數(shù)學(xué)公式大全

1、因子個(gè)數(shù):設(shè)4= p農(nóng)嚴(yán)，其中以寸小為正質(zhì)因子，arbrce.n ,則(1)為之正因子個(gè)數(shù) (2+1)3 +1)( 1)刃之因子個(gè)數(shù)- 2g + 1) + 1此+ 1)si)砂煤省t 2(3)為之正因子總和=(1 + g + p2 4+田(1 4寸+q口 +g,( + v +/+ *)(4)刃之正因子乘積找因子:(1) 2之倍數(shù)臺(tái)末位為偶數(shù)(2) 4之倍數(shù) 末兩位為4之倍數(shù)(3) 8之倍數(shù)o末三位為8之倍數(shù)5之倍數(shù)臺(tái)末位為0或5(5) 3之倍數(shù)一數(shù)字之和為3之倍數(shù)(6) 9之倍數(shù)o數(shù)字之和為9之倍數(shù)11之倍數(shù) o (奇位數(shù)字和)(偶位數(shù)字和)恰為11的倍數(shù)(8) 7(13)之倍數(shù)o末位起向左每

2、三位為一區(qū)間(第奇數(shù)個(gè)區(qū)間之和)一(第偶數(shù)個(gè)區(qū)間之和)為7(13)之倍數(shù)質(zhì)數(shù)檢驗(yàn): 設(shè)廣三雨，p1,若尹沒(méi)有小于等于 g的正質(zhì)因子，則少為質(zhì)數(shù)。尤拉公式:設(shè)戶應(yīng)了表質(zhì)因子，(1) 不大于 工而與工互質(zhì)者：如-工川-3。-3個(gè)(2) 不大于工，為尹的倍數(shù)但不為倍數(shù)者有乂,乂(1-1)(1-3個(gè)* q f(3) 不大于衛(wèi)，為 以？的倍數(shù)但不為尸的倍數(shù)者有4/1乂1乂(1-3個(gè)&q 尸因倍數(shù)及公因子，公倍數(shù)性質(zhì):(1)劭瓦若卜4心，則a為樂(lè)占之公因子(2)次|比且(見(jiàn)垃1,則(3), b)d ,則必有二整數(shù) 也用，使 麗+尿=h(4)帛力曰2,若(/酊卜,q二輾轉(zhuǎn)相除法原理: 若口, ”0 ,若“姐

3、+廣，04廣a(z)=-(z +z), 六刃=值一刃 22i(7) 歹三no z為實(shí)數(shù)：z = z_a 2 = 0oz為純虛數(shù)do(8) 若 覆hjd wr, 2已旦，翼+占2=仃+ ,貝|尷=二且占/八、九 1 2_ n rnrr 叩匚成、 的:心壯一尸由、 ad -be(9) 設(shè) 匹亂*der ,則 砍一宜十萬(wàn) 十b a+bi a +b(10) 外為實(shí)系數(shù)，出為實(shí)數(shù)，則，g一5函)=力不行)等差與等比公式:（1）級(jí)數(shù)成等差，若首項(xiàng) 力，公差d ,貝!j %三q十（丹一1）d ；十%/i內(nèi)十伽-m級(jí)數(shù)成等比，若首項(xiàng)力，等比l ,s二r-11-r（3）調(diào)和級(jí)數(shù)：倒數(shù)成等差，故可用等差公式。雜級(jí)

4、數(shù)公式:（1）連積之和1十2十3十一十內(nèi)=；靖（國(guó)+1）1, 2 + n3i-十河（圈+1）=（理十1）（厘十2）12 3十234f八，十用（/十1）（題一2）二 %（基十1）（理十2）,十3）（依此類推）k 2k-2戶+i）qy1 （上十1），2.s 乙優(yōu)-i)仇+2) 2港二乙正后(2) ,； i - i 一 ： 十+ i ： 一 .十一一一，一： ： 一 | 片 f +.1十：.6 1 .厘+2 (用 1)十，一十（界-1）（題 + 2）無(wú)窮等比數(shù)列及級(jí)數(shù)之?dāng)可?a) 無(wú)窮等比級(jí)數(shù)(b) 無(wú)窮雜級(jí)數(shù)無(wú)窮循環(huán)小數(shù)，無(wú)窮幾何級(jí)數(shù):(1)循環(huán)小數(shù)化為無(wú)窮等比級(jí)數(shù)求之(2)化為數(shù)字9之級(jí)數(shù)厘而=

5、%;(其他類似)(4)無(wú)窮幾何級(jí)數(shù)求法要領(lǐng)：先求首項(xiàng)及公比距離公式:a（ , a（吃6 ） ,貝u二(2)abc中到三頂點(diǎn)等距支點(diǎn)為外心二：,. t，則, 1 1 l ： l在汽,句時(shí)，產(chǎn)生最小值。 我乳分點(diǎn)公式：7、 z 、 ap小七j1), 久程期)，=- 盟(a)若 a-p-b則與七竺巫竺)或(也s,詠也) 1十/1 + r*+*+世(b)若 a-b-p(或 p-a-b),則p吃二乂組3)或 空*,31) 1- r 1 -r-m+同 -m十題 zabc中，a&jj, b(j,%), cug,重心為 g則6=斜率：m(1 ) o隙q二陋就或小齊可6 m ,若 工產(chǎn)工之，則 啊: 電一再若

6、l一則 萬(wàn)無(wú)斜率(不加以定義)(2)直線l之斜率m,則1 . m 0 ,則右上升 / ；m 0 ,則右下降 ;m = 0 ,為水平線2 .網(wǎng)越大，則越接近鉛直；網(wǎng)越小，則越接近水平。(3) j之斜率分別為叫叫=卜|0嗎=的j 1 g q 組啊=-i(4 ) a , b , c 三點(diǎn)共線：,二工-直線方程式：(1) 點(diǎn)斜式：a(玉陽(yáng)),且斜率m之直線為(2) 斜截式：斜率m截距b之直線為1y 樹+方(3) 兩點(diǎn)式：過(guò)a(不/)，b(藥/)且貝(j羽：._.=一(4) 截距式：刀截醞，y截距b，且讓父0之直線為- + = 1 a b4 s1tmiy f 三 0，則過(guò) &輿j交點(diǎn)之直線可設(shè)為匯(,才

7、+占/ +/+意式+y，uq 。(6) 過(guò)尸(區(qū)田又在p點(diǎn)之象限與兩軸圍成最小面積之直線為二十上=1 ,而最小面積-.對(duì)稱點(diǎn)及對(duì)稱方程式:對(duì)稱軸(點(diǎn))a( xo , yo ) 之對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)圖形f( x , y尸0之對(duì)稱圖形(0,0 )a ( -xo , -yo )f(-x , -y)=0(a , b )a (2 a-xo , 2 b-yo)f(2 a-x , 2 b-y)=0x軸a (xo , -yo)f(x , -y)=0y軸a (-xo , yo)f(-x , y)=0x=ha (2 h-xo , yo)f(2 h-x , y)=0y=ka (xo , 2 k-yo)f(x , 2 k-y

8、)=0x+y-k=0a (k-yo , k-xo)f( k-y , k-x)=0x-y-k=0a (yo+ k , xo+ k)f(y+k , x-k)=0(注):x+y-k=0;x+y-k=0k,y十七a = 5為由此可幫助記憶最后二個(gè)公式菱形與正方形之圖形:若1。，白0,則 區(qū)，回=1之圖形為一菱形但功則為正方形）, a b而其圍成面積為心葉的當(dāng)然f+f 心圖形亦為菱形,只不過(guò)中心為（h,k）而已，故其面積仍為2ab。三角型面積:代耳，乃）、上（丸c（2了 1）一元二次方程式設(shè) a,b,c er, a 。對(duì)于 ax叢-4x）二相異實(shí)根，-4=0相等實(shí)根，*-4.0共鈍虛根（注）：若a ,

9、b , ceq,且 川7北為有理數(shù)之平方 =根為相異有理根根之正負(fù)：設(shè)實(shí)系數(shù)二次方程式ax2+bx+c=0的兩根為&、41. a，4皆為正根二（a）/-4函之0 （b）*-4貼0（c）0 02. cc、4皆為負(fù)根o （a）*-4函20 （b）叢-4此。（c）城03. a、戶為同號(hào)（皆正或負(fù)）0川-4面20且以戶0+bx+c=0中 x二4. a、)為異號(hào)(一正根一負(fù)根) 一城05. a，4為純虛數(shù) =b=0且0 0根與系數(shù)關(guān)系(1) 若 口，/,為 ax2 + bx + c = 0 ( a 半 0)之兩根=。+尸=一 1 a0 = ，以4+匕d +匕=0 4加+匕4+。= 0 aa(2) 二二

10、二一 , y -, l；工 一二二 l； 11，: 一 :：.；二次函數(shù)：y = j(x) = *bx 虱、& h 0)m+/+等之圖形拋物線(1)圖形坐標(biāo):對(duì)稱軸：2a4 口 e - 3j4h - b，._匚i.l 二山丁 .4a最小二乘方定理at如出*%是*已知.十。一4尸，則當(dāng).匕1謝坪均黝%有最小降八叱比較/（片）.忸一聞-卜-能|乜,一，,一凡|, 且叫m/m許，即舐副，密,，之中位瓢卬%,.%之居中之勵(lì)時(shí)，有最小值由二次圖形求不等式之解集（令凡）/）：y = ax2 + ax + j = （1一） （h - 4）（1m）0時(shí),1、 次/+及工+白2 0 0工工尸或xna2、 *:.

11、一，-.: j -/（加。時(shí),1、*；.一: j .，2、1= 0 o 工0b* 4ac0bjac 0多項(xiàng)式之基本性質(zhì)(1)若 一制一多項(xiàng)式，則一切系數(shù)之和 廣1、一i切奇式項(xiàng)之系數(shù)和_ _ j i i2、一切偶式項(xiàng)之系數(shù)和 -,j 十- h(2)多項(xiàng)式之相等1、，或工)匕 同次向?qū)?yīng)系數(shù)相等2、任彳郎值a代換x恒有3、4以第幻不超過(guò)我次，只要有 n + 1以上 之值帶入相等，則/w-gw(其逆為真)除法應(yīng)用(1)求yg t】之近似值:化，,一一 .一 口.；工，二 再以口士后代入，適當(dāng)略去后面部分可得所求。(2)除法求值：若為 /十十3 = 0之一根，了為一多項(xiàng)式，求時(shí)，可用除法求出 。,現(xiàn)

12、公，使 =*皿f)e(余十劇幻，則/g)q,氏余式定理跟因式定理余式定理:1y(工)-0-匚)0(力上/除以工一仁之余式為了)(2) 因式定理：0/,。又1，且/口,0q(kf)o一切求余式之假設(shè)法(1) 一 ：一,2、/w -(x-喇x -2)q(x”e。-a) + j(a)3、/w - tx-a)(i-a)(r-c)e(x) +a(x-a)(r-2) (x-d) +/(j)(2) _ i： b且 八辦了 0 ,則必有一根介于a與b之間若a0, b0%0，b0(2)口 0也 0 j b0, a0, q =1,貝 u lo.人二 cob二(2) i。蹌(叫=乂 ； *爐=*(定義之推論)(3)

13、 運(yùn)算：(1) 1g 一口(2) 1 鳴限/ + 1鳴 b (但 a0, b0)(3) i咕之二1。氏胃。氏引但a0, b0)(4) log二2的獸士(換底公式) loglogc a(5) logflfedogs c，lo隊(duì) d =logfl d (連鎖原理)(6)哨/尸卜夕嗎; 10gm爛)=1log*40gb q=1(倒數(shù)關(guān)系) j(d)指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)圖形：(1) f及/用口宮之圖形如下：(1)a1(增函數(shù))0ab1x0時(shí)，尸=浦的圖形恒在圖形的上方(2)x口，底數(shù)口，底數(shù)h1)(b) 可化為同底時(shí)：1 /付1 工網(wǎng)一 1 -alog 口 tog口 二八符=虱琦(c) 不可化為同底時(shí)

14、利用換底公式求之。(d) 求得之解代入 之有意義限制，除不合者。(e) 必要時(shí)令為看之方程式解之。(f)指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式：(1) 指數(shù)不等式：(1) 底數(shù)相同時(shí)：(a) a 0 貝u v 威 =/(b) 0 a 心 n fx kg(2)底數(shù)不同，兩方取對(duì)數(shù)必要時(shí)，令常數(shù)指數(shù)化為系數(shù)，轉(zhuǎn)成t之不等式。(2) 對(duì)數(shù)不等式：(1) 先注意對(duì)數(shù)有意義之限制(2) 底數(shù)相同時(shí)：7w0(a) 若al欲解1口乳g(k)=0(b) 若 0 a * m(幻)。力之北)(3)底數(shù)不同時(shí)= 換底(4)下列可當(dāng)公式用(當(dāng)然也可以直接討論)(g)常用對(duì)數(shù)：(1) 以10為底之對(duì)數(shù)，稱常用對(duì)數(shù)，常省略其底，即 lo

15、g/三(2) 科學(xué)記號(hào)表示法：若a0,則存在 刀匕2 ,使 lmo 且(3) 設(shè) a 0 且 #=1。*臺(tái)，1，小 1。= log蝮+1。2方，1 & x 10 , 01 log3 1 稱n為loga之首數(shù)，logb稱為loga之尾數(shù)(4) logx 之首數(shù)，=logx , logx 之尾數(shù)=logx-logx(5) 若 且logb之首數(shù)為mrj則b之整數(shù)部分為m+1位；若0 b 判斷位數(shù)：尾數(shù)了解用到之?dāng)?shù)字(有效之?dāng)?shù)字)。例如：log345000之首數(shù)為5;尾數(shù)之首數(shù)為-2;尾數(shù)！(7) a為n位數(shù) 題-3!丹loga之首數(shù)為nm1。區(qū)上療+ 1 loga=n+b,o loga-logb 為

16、整數(shù)例如：logx之首數(shù)為1且1咕/與logl之尾數(shù)相同，求x可利用此原理 工(10)log2= , log3= , log5=1-log2= , log7=(h)加強(qiáng)及注意: (1)a 十口17(x)1 +v -則1-一(3)a , b均正,疫1r. v =(帥=號(hào)=應(yīng)*取一 11 . 1-n=一一*或 x = y = z = 0不工 y(4) 2=空=51比較2x, 3y, 5z之大小時(shí)x, y, z為正合力2x3/；x = y = z = 0 二：x, y, z為負(fù)=$2方3下。(5)判斷a+b為幾位數(shù)，可先求a之位數(shù)及首位數(shù)字;b之位數(shù)及位數(shù)字然后判斷 a+b位數(shù)。(6)或知二或“嗎,

17、則兩方取 匕段，可化簡(jiǎn)成1。及工之代數(shù)式，在令kg/打解之 由|。丸d蝦）=。/）（1口的g二 3m。）二 io躍回砧=/好=j嗯口（a）角之度量:（1） 弧度：弧長(zhǎng)等于半徑所對(duì)圓心角稱一弧度，簡(jiǎn)稱一疊弧長(zhǎng)s,半徑r,所對(duì)圓心角 日=1=80=響r一周角=3襯=2后=啟蹩=180=1驍=-=57 1745 斯=1咫急解三。1貍（4）如右圖：扇形面積一二，一 弓形面積=（扇形面積）一（三角形面積）- -r3 sin 822 1 、 sin)（日表圓心角之度量）常用角度之換算表:d度3045。60 口90r0過(guò)7zr4監(jiān)5跖萬(wàn)(a)角之度量:g型j 斜遣csec 0 =g,鯉二 封逡(2) 位于標(biāo)

18、準(zhǔn)位置之角終邊上之一點(diǎn)p(x, y)(x #0, y#0),則(1)三角函數(shù)直在各象限之正負(fù):第一象限第二象限第三象限第四象限sin &r esc &+-cosa sec 6+-+tan 比 cot 3+-+-(2)函數(shù)值之增減(在第一象限):sinfi?，【ant? rec。為增函數(shù)、ccl escg為減函數(shù)(e)基本不等性質(zhì):(1) 機(jī)可三1,比洲工1u - 1m 乳n 父 l t，cos 3 ml、 |stc t?| “ |csc 司衛(wèi)若 03c2 則 siti & 0 tane? secs2fq5 & gqt & |cv若 日則 |sin| |tan| (3) taiip + gt8之

19、2 ； 門口日十0盹日三r_j + h.cose+3道口j j +小(f)基本恒等式：(1)倒數(shù)關(guān)系：knwc算8 = 1; cost?sec# = 1 ； tam?icoti? = 1(2)平方關(guān)系：snr +cos3 0= 1 ； l+tanj = sec2 6 ； l + cm，=c招日(3)商數(shù)關(guān)系：, sin - l：os &tan p =, c o t o =-cossin q(4)次要恒等式：1、 je (二 l 一 二;二二 -,sin4 & + cos4 0 - 1 - 2 siiij6cos3 &2、 1- e . 1- k + r1 + 2 sin 0- (cos4(g)

20、化任意之三角函數(shù)為銳角三角形函 數(shù)值：任一角之三角函數(shù)值，通常由某一銳角之三角函數(shù)數(shù)值求出，其求法如下：(1) 負(fù)角之三角函數(shù)：sin(-s)= -sin. ； csc-)= - esc 6tan(-6) = -tan ； cos(-) = -cot但 . 一 ： ? , s 一 -1、n為偶數(shù)時(shí):/土白)二符卿例：抬今9)=符版81口日、ggaa=cosh、匕皿(再8)=符虢1；亞口2、n為奇數(shù)時(shí):八咤士毋二符船蹤函物皿jt1t例：sinq，, 土營(yíng))=符就腌印、=符脫tan 3(2) 空欄符號(hào)乃要吾人填“ +”號(hào)或“-”，其取正或負(fù)需視 方為正銳角時(shí)，川衛(wèi)士r在第幾象限，對(duì)左邊原三角函數(shù)該

21、選正或負(fù)。 2(h)三角形a + b + c = 2 s之一些關(guān)系：(1 ) aj3c 中，乙4，nb，/c 分別以，a, b , c 代表；a, b, c依序表 乙4 ： zb ,2c之對(duì)邊長(zhǎng)；b=巴上， 2r表內(nèi)切圓半徑，r表外接圓半徑，一 門 f 依次表 4 *c之內(nèi)部之傍切圓半徑(2) bd = bf=sb, ae = af=s a, cd = ce=s c,. 4jh內(nèi)切圓半徑r ,則 a (面積)=s*尸，而tan = 2 s - a(3) ae = af=s; bd = be=s c; cd = cf=sb=(面積)=曝4=-(看圖推出)(i)三角形之面積公式：&4 sle之面積

22、ab sin c = sin.j4 = ca sin b222-.jns _曰於一g8一理1 j 1 .1 ,=a*h = b*hj,= 一色血二廣咕2也廿2=g*仁- g =7&一與 f 冷一切。尿=47(j)邊形關(guān)系之重要定理：(1)正弦定律：a h c 廣二 ahc=zjcs a(k)解三角形:(1)由已知之編輯角，求未知之邊與角，叫解三角形。(2) s . a. s之解法：第三邊用余弦定律求出=在利用正弦定律求出另兩角(3) s . s. s之解法：利用余弦定律求出各角(4) a. a. a之解法：利用三角度量和=180*求出第三角形，利用正弦定律求其他邊長(zhǎng)。(5) s . s . a

23、之解法：例如：已知a, b及一角 上乂由a與b之大小二4奧與之大小，可知/3是否可能為直角、鈍角，再由七二當(dāng)，求出(可能無(wú)解 sin a sin b或一組解或二解)(l)測(cè)量：測(cè)量問(wèn)題：(1)方法：從已知條件作三角形之關(guān)系圖形，利用解三角形求出所要之邊長(zhǎng)或角度。(2)題型:1、單方向求高度(觀測(cè)者向目標(biāo)移動(dòng)或仰視、俯視)利用直角解之2、多方面求高度作立體圖形，轉(zhuǎn)成地面之三角形解之。3、航行方位問(wèn)題;由平面之方向作成平面之三角形解之(a)和角公式： 主要:cos(g+ ff) = cos js-sin cf sin 0sin(ci + /?) = sin as cos &sin fsin(a f

24、f) = sin a cos/?- cos a sin 0tana + taii 1- tancs tan 0tana- tan g14-tanc; tan cot jscotg -1cqt +gtc(cot 0 cot fit h-1cot cot at 虹1(已 + /?)= tanfp- 0)= cot(ct 4-/7)=，cot(c -/?)= 推廣：(1)，二-5-1cosfficos 6/c、q s1h(ck - ff(2) .，：cs ： 6，c、心 小口 (j3+g)(3) - t sincinn /?(4)t.：smcifin /?-1tioti(5) i j - .1l :

25、f * u； - = ti . 17 ；-；-(6) - tany - tanez - tan0 = tany tana tari 0(2) r 1 l(a) . - j i-in- -h -i-h -(b)值f07v)rtan -tan + tsxi 1t3ti + tsn tdxi = 1222222(c)acot - -l-cot26ya6ycot c ot 1 c ot c ot 22222(d) ； j 1 _f(b)倍角公式(1) sin2t?- 2sin cost?( 由 win0+6)推之)(2)l.,：:j i.-.l l二:一 1：=2 cs2 1 = 1-2 sin2 &

26、tan 2t?=2tan 日1tan2 asi口 2皆二2tan81 十 tanwcos 23 1 - tan，b(1) 之一二工 二二一id 一i一二(2) i. :行-.： 1二 _ 一 ：匚輔助公式：sin linger -日”由(6 0*+=lsm3e4-cos3&4cos 5cos(60n -6) sm(6ct +日)=(3) i t k i； i- l ： |；，” r ： , (c)半角公式i fl +cds b士號(hào)隨在第幾象限而定)士號(hào)隨?在第幾象限而定)b , 11- cos tm 一二 j2 vl+cos6?1 -csg;js =g$3 +/?) +cos(o； -ff)2

27、sin asm 0= cos(ct- -cos(a +/j)值+0+了=痞時(shí)，貝uqk a e fsm c-fin/ + siny =4 cos y cos cqe qr 0 f 產(chǎn)cos cx+cos p +cos/ = 1 + 4 sin sia sin sin 2a 4- sin 2。+ sin 2y = 4 sin a sin sin ycos 2ct +cos 20 -feos 2y =1- 4cosc; cos/匚。/(e)常見(jiàn)求極值:-心*” (-, ： cos 8+ j 卜 sin ff) 心+k7)acos 黑+b 亂illcgwh+cfki 工1 + cos2a. . ,s

28、in 2a.-)+y1- cosz2(c + sm 2j-i- cos2x(可禾ll用222合并)f) = a +tsin x 4-cos k) + 二 sm 工 cos a可令； ；. =si fl xcos x= -1)jqx) - a + 加 - (/ _ )a cos x cos/ + a cos xsin /+t: sin r| ab -c ， -ac - b1 i 2cos 求證： b e ad(4) 中線：設(shè)正為mbc之中線，則京4配2而2+2期(5) 高： 三邊長(zhǎng)比 二厘b : c=： 4外%(g)復(fù)數(shù)之絕對(duì)值:設(shè)z =5+歷(cr b 五)，則團(tuán)二巧萬(wàn)er ,且不為負(fù)(2)

29、設(shè)4, 4巨u ,則：| |z1h411m區(qū)土切(3) 設(shè) 4 * 小 c ,則端邑|昨必|;固=國(guó) 回國(guó)(4) =同=1引=1，r-t,r _ _二 1則：，；. 一z(5)同= 0oz = 0(6);1 -.i 設(shè)馬 zwc且入 乙在復(fù)數(shù)平面上(1) 設(shè)e&c且團(tuán)，n之幅度為6,則z之?dāng)X式敷(gs8 +工sing)(注)：由式軸正向到近之有角為幅角，其中0女0 2e叫主幅角,以卅表示隸美弗定理: ; 二一貝u r廠多=占/+5 一表4典乙之距離(h)復(fù)數(shù)絕對(duì)值之幾何意義:所對(duì)之點(diǎn)為目、舄，則2/=信-4卜卷(4) 分點(diǎn)公式：在復(fù)數(shù)平面上，設(shè) f0)邛公即0 ,_ 必+小z =-陽(yáng)十同則一；

30、: 褥-i依(5) 在復(fù)數(shù)平面上f0),對(duì)支軸之對(duì)稱點(diǎn)1對(duì)t軸對(duì)稱點(diǎn)為鳥(-2)，對(duì)原點(diǎn)之 對(duì)稱點(diǎn)1-f(i)復(fù)數(shù)之極式：設(shè)想e zjlz二產(chǎn)(c日+工飄口日),則 - j ( 旦i . ： h7(注)：亦可推出f(cogh 一,血n 團(tuán)產(chǎn)”(。心網(wǎng)切 加口題8)(3) 若 z =網(wǎng)5。+2 mli 8 ,貝！j = cos 3-i sm &- z ； zz = cos +isin 檢 gzn = cos曾升一，倒立履日(j)復(fù)數(shù)平方根：(1) 任一復(fù)數(shù)，除0外，恰有二個(gè)平方根,此二平方根之和為0。(2) 平方根速算法：設(shè)廛+歷=(1,則(由b之正負(fù)決定x , y之同號(hào)或異號(hào))根為一力士2a平

31、方根。(不要用根式表水)(k)復(fù)數(shù)孔方根：(3) 設(shè)甩巴n，附之2,滿足z 為已知復(fù)數(shù))之z叫口之修次方根，通常有 冷個(gè)解。(4) 若 =b = r(cz + ring) ,產(chǎn))。,而 4 f | 2? izg為其個(gè)方根e, 口2k霓 + & . . 2屈 + 0, . ._.貝lj zk -rb(cos+ ism) , = =0 , 1 ,2 , ,甩 一卸丸(5) 上面之3 %必 ，.洽分布在一圓上(圓心為原點(diǎn)，半徑 段),且將此圓用等分(即連接可得一正 耳邊形)(6) 若招 2 (盟 wn),且 w = cos +i si.n ,貝 u n 川為 犬-1之虛根，而lwm,.tj篇/二1之

32、解集合。(b)卜 1 : .1. . il ：.1? + vp3 = 0儼心已27)的招 * 必*.一 2r 22v)dt3 - ah- (ljw +占k?)(以訶= +sm)n 12m 一冗 +1 . a - w)g-yv)(l)加強(qiáng)及補(bǔ)充:1 + cos !sill 8.1：. cos 9 h 氫口.日1 + co冷 日瘠 sin 82.1 + sin6 rccs61 + sintfticosff=sin 3 i co58理由:1+z而os 士謳in日l(shuí)+-3.工十）=2匚0曰= t*+a = 2cob總?cè)?hxl百殳人0，b2) , c億。7 4若一- = /-(cos + isifi

33、9)(尸 0)|麗麻 ，布t方向由 正之方向增加日角.z5l4c = 2建定!日求整戮0 5使0工乙24c1后)2.以。焉中心，黠況旋9到黠jb(jzz-z d=(z i -zj(8s 班 isin ff)2庶 ,2jt出=cos+j sin n n cos e + cos 26 + cos-西可令由=cos +j in6k 4 3s - d? + o/ + 田*求之(a)向量定義：(1) 有向線段及向量：若a、b是相異的兩點(diǎn)，線段毋賦與游a到b的方向后，就稱為是由a到b的有向線段，記為 京，簡(jiǎn)稱為向量毋(2) 有向線段之始點(diǎn)、終點(diǎn)、長(zhǎng)：向量 行的a叫始點(diǎn)，b叫終點(diǎn)，a b兩點(diǎn)的距離(或近之長(zhǎng)

34、)叫近之長(zhǎng)，以i國(guó)表示。(3) 零向量：a=b時(shí)，稱樂(lè)為零向量，可用9或6表示。(4) 若o為原點(diǎn)，a之坐標(biāo)為(a,b),則 應(yīng)可用(a,b)表示，即 而=(a,b)(5) 若a (心必則 適可用(與一西，乃-乃)表示【注意】：(終點(diǎn))-(起點(diǎn))(6) 貝i n 之長(zhǎng)=期=+*,而a叫爐之x分量，b叫v之分量。(7) ，一.【.，一,：“(b)方向角:(1) =(心舊與x軸用向所夾之角解或之方向角，其中二.a ysin =-方向角:r* aos 9 = i 其中產(chǎn) + y ,ab+cd ：設(shè)冠、礪是任意兩個(gè)向量，點(diǎn)x使向量 血=而，則稱向量 衣 為向量 方 與向量 e5的和，記做axab+cd

35、 若 3=(即，的)，苫二色，瓦)， 則$ +由=!瓦.口。+ % ) 卜rtan =亢|可=丁，方向角為0,則 1-照：1：c)向量加法:(3)對(duì)任意向量奮，m ,我們定義-彳3 + (-)(4)3=凡),1(瓦,瓦), 則事一方二(也1 一年，出一四)() : 啊+甌+收=而萬(wàn)+而十豆=6(d系數(shù)積:(1) 二1. r 0 =與同方向且長(zhǎng)度為原來(lái)倍2. r 0 =與通反方向且長(zhǎng)度為原來(lái)倍3. r = 00萬(wàn)=0(2) 向量系數(shù)積之坐標(biāo)表示：設(shè)a二0w=(即，叼),則叫=0% ,/)(3) 向量系數(shù)積之基本性質(zhì)：1.2. ，| ,，一 r ,(廣 a，后為向量)3. - j :(e)分點(diǎn)公式

36、:(1) ap b且竺，,o為任意一點(diǎn),pb n貝(j一一 n m 4- 川+兒(2) a - b - p (或 p ab )且 k = o 為任意占j、)貝u. -,m-n靴i一程面積比:若1, m, n匕尺且/瓦i+機(jī)麗+汽所=。則 labp : arcf : azcf=m : p | :(注)：若1 , m, n同號(hào)，則在也abc內(nèi)部，若1 , m, n不同號(hào)，則p在 abc#部。(g)共線：(1) a, b, c為三點(diǎn) o存在比又使得大前三正。(2) 設(shè)a, b, c為三點(diǎn)，。為任一點(diǎn)，x、y=r且正=工十歷，則 a, b, c共線 ax + y = 1內(nèi)積：(1)3 m| | 5 |

37、 cos?(白焉夾角)可捕此求犯角，或退i或內(nèi)稹) n 7=| af(.a = 4a b )工二(x，m)，e二無(wú)，乃)，若j 切、同就，即j p在 aec內(nèi)部若，,冽甚不同稿，即p在 abc外部更j w - 3 =百為+乃乃因稹性管1 .也-曰二|4口-口 二。口 二1 42 . 0 b = x 厘 ata (aij) ba (曲)-o; (a i?)3 . a- 4-c) = a h+ff-r4 (r十 品)，(喀小+s )廠門* |十 同+2附)厘，b + &界|匕|(i)平行與垂直(a*0、b*0)_j-(1) 三(工i qi)力 (/ jq ),厘 _l 8 亡; tzz? = 0(

38、2) a /常 或以二g匕 br w r】使得口二尸否(3) &=值#5=住仙),則 &hb=乃二 o； n m而金j_g勺丸工？+y2二口(j)投影與投影量：(1) 二在單位向量 5之正射影=(a cos 6 ) v(其中日篇白奧,之夾角)(2)占同向之單位向量(3)】在 石之正射影(4)在e之正射影亦稱2在石之分向量或高在后之投影，而同稱 為在之分量(投影量)(5)在(后之諸平行向量)之投影(分向量)均相等。(k)科西史瓦滋不等式：(1)設(shè)已，后任二向量，則卜時(shí)之g 斤(2 )若；： - ： 貝u且等式成立1 .身,瓦的，色津/陸口 ，& j r(3)： +-1+ 一,等虢成立= r= t

39、從%以(l)三角形之五心：(a)若野a&c之內(nèi)心同的記n而+白75 = 0;aaib c: aaiac: aaiab = -ra : rb -rc = a.b.c2 乙 211 ir b 6aoab =-ab2ii-raofac = -ac若gsuabc之重心，且u ga+g5+gco; aagbc ： aacc i agab =1 ： 1 ： 1而v則w礪二灰(。舄任一顆群篇& abc之重心，即 ah*ab ab*ac = ah-ac初旗=hbhc令 q a、b 不共線，0a =-b則 少bc之面稹=耳 并 懷-(uy若04 =j工必)aabc =:忖必萬(wàn)川 -:】一二.一 ,則面積=-2(

40、nd二向量線性組合之終點(diǎn)圖形：(1) 3 =歸因=蒞衣+/，少班=1)表一直線。(可由滿足廣工+包1之二組(”)求出兩點(diǎn)，連接之)(2) 一 日一一七三一 一一 _ ：.二 l 二 3 二：_ ：i則s之面積 2gaabu,9-*(d-c ,其他不同之后、&限制，由作圖后求之(o)直線之參數(shù)式:(1)點(diǎn)向式：設(shè)直線l過(guò)產(chǎn)(為黑)且與向量f= (a , b)平行(2)點(diǎn)向式之推論：l :為戶=q過(guò)(3)兩點(diǎn)是：av 7i) 7(st) : f =。一火 i。e/. ab ： as :(q)點(diǎn)到距離：求4如+已=0(/+加工0),則l有一唾直向里(法向里)一.樂(lè)五.一工1y里切，加131 0第=吟

41、卜=乃+8-，“有一平行向量r五即+ 口外)口，占&又垂直l之直線之參數(shù)式可為一州+加(y -兩十乩汽叼%)7巳e又平行l(wèi)之直線之參數(shù)式可為 un%電”。，則而=(勺力以)一f l 玉+ / 一 弓 x以之參數(shù)式可為上跖+g-9z二百每十,叱武少乃十3-兇)0二釬舊-仆”0l之方程式p點(diǎn)到l線之距離二p到（p到l之投影點(diǎn)q）之距離=|pfi|cq5（r為l之垂直向量之交角）（2）戶飆，。）j l :十如十白0, 則p到l之距離d（理由）：令垃總區(qū)m為l上某一點(diǎn)，e為百與 四之交角，則、n【l 甬+如1 +己=0prn哂十妙1 一0兩一5口|r % -她 |ja2 +b同側(cè)與反側(cè)1、若君（公，乃