同濟(jì)大學(xué)(高等數(shù)學(xué))_第八章_向量代數(shù)與解析幾何

1、同濟(jì)大學(xué)(高等數(shù)學(xué))_第八章_向量代數(shù)與解析幾何第五篇 向量代數(shù)與空間解析幾何第8章 向量代數(shù)與空間解析幾何 解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法來(lái)研究幾何的問(wèn)題，為了把代數(shù)運(yùn)算引入幾何中來(lái)，最根本的做法就是設(shè)法把空間的幾何結(jié)構(gòu)有系統(tǒng)的代數(shù)化，數(shù)量化. 平面解析幾何使一元函數(shù)微積分有了直觀(guān)的幾何意義，所以為了更好的學(xué)習(xí)多元函數(shù)微積分，空間解析幾何的知識(shí)就有著非常重要的地位.本章首先給出空間直角坐標(biāo)系，然后介紹向量的基礎(chǔ)知識(shí)，以向量為工具討論空間的平面和直線(xiàn)，最后介紹空間曲面和空間曲線(xiàn)的部分內(nèi)容.第1節(jié) 空間直角坐標(biāo)系1.1 空間直角坐標(biāo)系 用代數(shù)的方法來(lái)研究幾何的問(wèn)題，我們需要建立空間的點(diǎn)與有序數(shù)

2、組之間的聯(lián)系，為此我們通過(guò)引進(jìn)空間直角坐標(biāo)系來(lái)實(shí)現(xiàn).1.1.1 空間直角坐標(biāo)系過(guò)定點(diǎn)，作三條互相垂直的數(shù)軸，這三條數(shù)軸分別叫做x軸(橫軸）、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)，它們都以為原點(diǎn)且具有相同的長(zhǎng)度單位. 通常把x軸和y軸配置在水平面上，而z軸則是鉛垂線(xiàn)；它們的正方向要符合右手規(guī)則：右手握住軸，當(dāng)右手的四指從x軸的正向轉(zhuǎn)過(guò)角度指向y軸正向時(shí)，大拇指的指向就是z軸的正向，這樣就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系（圖8-1），稱(chēng)為直角坐標(biāo)系，點(diǎn)叫做坐標(biāo)原點(diǎn).圖8-1在直角坐標(biāo)系下，數(shù)軸Ox,Oz統(tǒng)稱(chēng)為坐標(biāo)軸，三條坐標(biāo)軸中每?jī)蓷l可以確定一個(gè)平面，稱(chēng)為坐標(biāo)面，分別為，三個(gè)坐標(biāo)平面將空間分為八個(gè)部分，每一部分叫做

3、一個(gè)卦限（圖8-2），分別用、表示.圖8-2 1.1.2 空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)設(shè)為空間中的任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作垂直于三個(gè)坐標(biāo)軸的三個(gè)平面，與軸、軸和軸依次交于、三點(diǎn)，若這三點(diǎn)在軸、軸、軸上的坐標(biāo)分別為，于是點(diǎn)就唯一確定了一個(gè)有序數(shù)組，則稱(chēng)該數(shù)組為點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，如圖8-3，分別稱(chēng)為點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo) 圖8-3反之，若任意給定一個(gè)有序數(shù)組，在軸、軸、軸上分別取坐標(biāo)為，的三個(gè)點(diǎn)、，過(guò)這三個(gè)點(diǎn)分別作垂直于三個(gè)坐標(biāo)軸的平面，這三個(gè)平面只有一個(gè)交點(diǎn)，該點(diǎn)就是以有序數(shù)組為坐標(biāo)的點(diǎn)，因此空間中的點(diǎn)就與有序數(shù)組之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系注：、這三點(diǎn)正好是過(guò)點(diǎn)作三個(gè)坐標(biāo)軸的垂線(xiàn)的垂足1.2 空間中兩

4、點(diǎn)之間的距離 設(shè)兩點(diǎn)，則與之間的距離為 （8-1-1）事實(shí)上，過(guò)點(diǎn)和作垂直于平面的直線(xiàn)，分別交平面于點(diǎn)和，則 ，顯然，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為（如圖8-4）圖8-4由平面解析幾何的兩點(diǎn)間距離公式知，和的距離為：過(guò)點(diǎn)作平行于平面的平面，交直線(xiàn)于，則，因此的坐標(biāo)為，且，在直角三角形中，所以點(diǎn)與間的距離為例1 設(shè)與為空間兩點(diǎn)，求與兩點(diǎn)間的距離解 由公式（8-1-1）可得，與兩點(diǎn)間的距離為例2 在軸上求與點(diǎn)和等距的點(diǎn)解 由于所求的點(diǎn)在軸上，因而點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為，又由于，由公式（8-1-1），得從而解得，即所求的點(diǎn)為習(xí)題8-11討論空間直角坐標(biāo)系的八個(gè)卦限中的點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)2在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)和在坐標(biāo)平面上的點(diǎn)

5、的坐標(biāo)各有何特點(diǎn)？3在空間直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出下列各點(diǎn)： ；4求點(diǎn)關(guān)于各坐標(biāo)平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)5求點(diǎn)關(guān)于各坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)6求下列各對(duì)點(diǎn)間的距離：(1) 與；(2) 與7在坐標(biāo)平面上求與三點(diǎn)、和等距的點(diǎn)8求點(diǎn)與原點(diǎn)、各坐標(biāo)平面和各坐標(biāo)軸的距離9. 證明以為頂點(diǎn)的三角形ABC是一等腰三角形.第2節(jié) 空間向量的代數(shù)運(yùn)算2.1 空間向量的概念在日常生活中，我們經(jīng)常會(huì)遇到一些量，如質(zhì)量、時(shí)間、面積、溫度等，它們?cè)谌《ㄒ粋€(gè)度量單位后，就可以用一個(gè)數(shù)來(lái)表示這種只有大小沒(méi)有方向的量，叫做數(shù)量（或標(biāo)量）但有一些量，如力、位移、速度、電場(chǎng)強(qiáng)度等，僅僅用一個(gè)實(shí)數(shù)是無(wú)法將它們確切表示出來(lái)，因?yàn)樗鼈儾粌H有大小，而且

6、還有方向，這種既有大小又有方向的量，叫做向量（或矢量）在數(shù)學(xué)上，我們用有向線(xiàn)段來(lái)表示向量，稱(chēng)為向量的起點(diǎn)，稱(chēng)為向量的終點(diǎn)，有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度就表示向量的大小，有向線(xiàn)段的方向就表示向量的方向通常在印刷時(shí)用黑體小寫(xiě)字母，來(lái)表示向量，手寫(xiě)時(shí)用帶箭頭的小寫(xiě)字母來(lái)記向量.向量的長(zhǎng)度稱(chēng)為向量的模，記作或，模為的向量叫做單位向量，模為的向量叫做零向量，記作0，規(guī)定：零向量的方向可以是任意的本章我們討論的是自由向量，即只考慮向量的大小和方向，而不考慮向量的起點(diǎn)，因此，我們把大小相等，方向相同的向量叫做相等向量，記作.規(guī)定：所有的零向量都相等.與向量大小相等，方向相反的向量叫做的負(fù)向量(或反向量)，記作平行于同一直

7、線(xiàn)的一組向量稱(chēng)為平行向量（或共線(xiàn)向量）平行于同一平面的一組向量，叫做共面向量，零向量與任何共面的向量組共面. 2.2 向量的線(xiàn)性運(yùn)算 2.2.1 向量的加法我們?cè)谖锢韺W(xué)中知道力與位移都是向量，求兩個(gè)力的合力用的是平行四邊形法則，我們可以類(lèi)似地定義兩個(gè)向量的加法定義1 對(duì)向量，從同一起點(diǎn)作有向線(xiàn)段、分別表示與，然后以、為鄰邊作平行四邊形，則我們把從起點(diǎn)到頂點(diǎn)的向量稱(chēng)為向量與的和（圖8-5），記作這種求和方法稱(chēng)為平行四邊形法則 圖8-5 圖8-6若將向量平移，使其起點(diǎn)與向量的終點(diǎn)重合，則以的起點(diǎn)為起點(diǎn)，的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量就是與的和(圖8-6），該法則稱(chēng)為三角形法則多個(gè)向量，如、首尾相接，則從第一個(gè)

8、向量的起點(diǎn)到最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的向量就是它們的和 （圖8-7）圖8-7對(duì)于任意向量，滿(mǎn)足以下運(yùn)算法則：(1) (交換律)(2) (結(jié)合律)(3) 2.2.2 向量的減法定義2 向量與的負(fù)向量的和，稱(chēng)為向量與的差，即 特別地，當(dāng)時(shí)，有.由向量減法的定義，我們從同一起點(diǎn)作有向線(xiàn)段，分別表示，則也就是說(shuō)，若向量與的起點(diǎn)放在一起，則，的差向量就是以的終點(diǎn)為起點(diǎn)，以的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量（圖8-8） 圖8-82.2.3數(shù)乘向量定義3 實(shí)數(shù)與向量的乘積是一個(gè)向量，記作，的模是，方向： 當(dāng)時(shí)，與同向；當(dāng)時(shí)，與反向；當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意向量，以及任意實(shí)數(shù)，有運(yùn)算法則：(1) (2) (3) 向量的加法、減法及數(shù)乘向量運(yùn)

9、算統(tǒng)稱(chēng)為向量的線(xiàn)性運(yùn)算，稱(chēng)為，的一個(gè)線(xiàn)性組合 特別地，與同方向的單位向量叫做的單位向量，記做，即. 上式表明：一個(gè)非零向量除以它的模的結(jié)果是一個(gè)與原向量同方向的單位向量. 例1 如圖8-9，在平行六面體中，設(shè),試用來(lái)表示對(duì)角線(xiàn)向量圖8-9解 ； .由于向量與平行，所以我們通常用數(shù)與向量的乘積來(lái)說(shuō)明兩個(gè)向量的平行關(guān)系.即有,定理1 向量與非零向量平行的充分必要條件是存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得.2.3 向量的坐標(biāo)表示2.3.1向量在坐標(biāo)軸上的投影設(shè)為空間中一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，垂足為，則稱(chēng)為點(diǎn)在軸上的投影(圖8-10)圖8-10若為空間直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，則在軸、軸、軸上的投影為、，如圖8-11所示圖8-

10、11設(shè)向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)在軸的投影分別為、，那么軸上的有向線(xiàn)段的值叫做向量在軸上的投影，記作，軸稱(chēng)為投影軸.圖8-12當(dāng)與軸同向時(shí)，投影取正號(hào)，當(dāng)與軸反向時(shí)，投影取負(fù)號(hào)注 (1) 向量在軸上投影是標(biāo)量(2) 設(shè)為空間直角坐標(biāo)系中的一個(gè)向量，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，顯然，向量在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影分別為， 2.3.2向量的坐標(biāo)表示 取空間直角坐標(biāo)系，在軸、軸、軸上各取一個(gè)與坐標(biāo)軸同向的單位向量，依次記作，它們稱(chēng)為坐標(biāo)向量空間中任一向量，它都可以唯一地表示為數(shù)乘之和事實(shí)上，設(shè)，過(guò)、作坐標(biāo)軸的投影，如圖8-13所示由于與平行，與平行，與平行，所以，存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，即 (8-2-1)圖 8-13我們

11、把(8-2-1)式中系數(shù)組成的有序數(shù)組叫做向量的直角坐標(biāo)，記為，向量的坐標(biāo)確定了，向量也就確定了顯然，(8-2-1)中的是向量分別在軸、軸、軸上的投影因此，在空間直角坐標(biāo)系中的向量的坐標(biāo)就是該向量在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影組成的有序數(shù)組例2 在空間直角坐標(biāo)系中設(shè)點(diǎn)，求向量及的直角坐標(biāo)解 由于向量的坐標(biāo)即為向量在坐標(biāo)軸上的投影組成的有序數(shù)組，而向量的各投影即為終點(diǎn)坐標(biāo)與起點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)分量的差所以向量的坐標(biāo)為，向量的坐標(biāo)為例3(定比分點(diǎn)公式) 設(shè)和為兩已知點(diǎn)，有向線(xiàn)段上的點(diǎn)將它分為兩條有向線(xiàn)段和，使它們的值的比等于數(shù)，即，求分點(diǎn)的坐標(biāo). 圖8-14解 如圖8-14，因?yàn)榕c在同一直線(xiàn)上，且同方向，故，而 ，

12、 所以 ， 解得 當(dāng)l=1, 點(diǎn)的有向線(xiàn)段的中點(diǎn), 其坐標(biāo)為 , , .2.3.3向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式向量可以用它的模與方向來(lái)表示，也可以用它的坐標(biāo)式來(lái)表示，這兩種表示法之間的是有聯(lián)系的.設(shè)空間向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角分別為，規(guī)定： ,稱(chēng)為向量的方向角. 圖8-15因?yàn)橄蛄康淖鴺?biāo)就是向量在坐標(biāo)軸上的投影，因此 (8-2-2) 公式(8.2.2)中出現(xiàn)的稱(chēng)為向量的方向余弦.而 是與向量同方向的單位向量.而 ，故向量的模為 (8-2-3)從而向量的方向余弦為 (8-2-4)并且 . 例4 已知兩點(diǎn)和,求向量的模、方向余弦和方向角. 解 ；. 例5 已知兩點(diǎn)和，求與同方向的單位向量.

13、解 因?yàn)?所以 于是 2.4 向量的數(shù)量積在物理中我們知道，一質(zhì)點(diǎn)在恒力的作用下，由點(diǎn)沿直線(xiàn)移到點(diǎn)，若力與位移向量的夾角為，則力所作的功為類(lèi)似的情況在其他問(wèn)題中也經(jīng)常遇到由此，我們引入兩向量的數(shù)量積的概念定義1 設(shè)，為空間中的兩個(gè)向量，則數(shù)叫做向量與的數(shù)量積(也稱(chēng)內(nèi)積或點(diǎn)積)，記作，讀作“點(diǎn)乘”即 （8-2-5）其中表示向量與的夾角，并且規(guī)定 兩向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量而不是向量，特別地當(dāng)兩向量中一個(gè)為零向量時(shí)，就有.由向量數(shù)量積的定義易知：(1) ，因此 (2) 對(duì)于兩個(gè)非零向量，與垂直的充要條件是它們的數(shù)量積為零，即注 數(shù)量積在解決有關(guān)長(zhǎng)度、角度、垂直等度量問(wèn)題上起著重要作用數(shù)量積的運(yùn)算滿(mǎn)足

14、如下運(yùn)算性質(zhì)：對(duì)于任意向量，及任意實(shí)數(shù)，有(1) 交換律：(2) 分配律：(3) 與數(shù)乘結(jié)合律：(4) 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立例6 對(duì)坐標(biāo)向量，求， ，解 由坐標(biāo)向量的特點(diǎn)及向量?jī)?nèi)積的定義得，例7 已知，求，解 由兩向量的數(shù)量積定義有 ，因此在空間直角坐標(biāo)系下，設(shè)向量，向量，即,則由于，所以 (8-2-6)也就是說(shuō)，在直角坐標(biāo)系下，兩向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)分量的乘積之和同樣，利用向量的直角坐標(biāo)也可以求出向量的模、兩向量的夾角公式以及兩向量垂直的充要條件，即設(shè)非零向量，向量，則 (8-2-7) (8-2-8) (8-2-9)例8 在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)三點(diǎn)，證明:是直角三角形證明 由題意可知

15、，則，所以即是直角三角形2.5向量的向量積在物理學(xué)中我們知道，要表示一外力對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)所產(chǎn)生的影響，我們用力矩的概念來(lái)描述設(shè)一杠桿的一端固定，力作用于杠桿上的點(diǎn)處，與的夾角為，則杠桿在的作用下繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，這時(shí)，可用力矩來(lái)描述力對(duì)的力矩是個(gè)向量，的大小為的方向與及都垂直，且，成右手系，如圖8-16所示 圖8-162.5.1向量積的定義在實(shí)際生活中，我們會(huì)經(jīng)常遇到象這樣由兩個(gè)向量所決定的另一個(gè)向量，由此，我們引入兩向量的向量積的概念定義2 設(shè)，為空間中的兩個(gè)向量，若由，所決定的向量，其模為 (8-2-10)其方向與，均垂直且，成右手系（如圖8-17），則向量叫做向量與的向量積(也稱(chēng)外積或叉積)記作，

16、讀作“叉乘”注 (1) 兩向量與的向量積是一個(gè)向量，其模的幾何意義是以，為鄰邊的平行四邊形的面積(2) 這是因?yàn)閵A角=0，所以 圖8-17(3)對(duì)兩個(gè)非零向量與，與平行(即平行)的充要條件是它們的向量積為零向量向量積的運(yùn)算滿(mǎn)足如下性質(zhì)：對(duì)任意向量，及任意實(shí)數(shù)，有(1) 反交換律：(2) 分配律: ，(3) 與數(shù)乘的結(jié)合律：例9 對(duì)坐標(biāo)向量，求，解 ，2.5.2向量積的直角坐標(biāo)運(yùn)算在空間直角坐標(biāo)系下，設(shè)向量，向量，即，因?yàn)?，則為了便于記憶，借助于線(xiàn)性代數(shù)中的二階行列式及三階行列式有注 設(shè)兩個(gè)非零向量，則，若某個(gè)分母為零，則規(guī)定相應(yīng)的分子為零例10 設(shè)向量，求的坐標(biāo)解 因此的直角坐標(biāo)為例11 在空

17、間直角坐標(biāo)系中，設(shè)向量，求同時(shí)垂直于向量與的單位向量解 設(shè)向量，則同時(shí)與，垂直而，所以向量的坐標(biāo)為再將單位化，得，即與為所求的向量例12 在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)，求的面積解 由兩向量積的模的幾何意義知：以、為鄰邊的平行四邊形的面積為，由于，因此，所以故的面積為2.6向量的混合積定義3 給定空間三個(gè)向量，如果先作前兩個(gè)向量與的向量積，再作所得的向量與第三個(gè)向量的數(shù)量積，最后得到的這個(gè)數(shù)叫做三向量的混合積，記做或. 說(shuō)明：三個(gè)不共面向量的混合積的絕對(duì)值等于以為棱的平行六面體的體積. 定理 如果，那么 習(xí)題8-25.設(shè)為單位向量,且滿(mǎn)足,求6.7.已知三點(diǎn)的坐標(biāo)、模、方向余弦和方向角.8.一向量的

18、終點(diǎn)在點(diǎn)B(2,-1,7),它在x軸、y軸和z軸上的投影依次為4，-4和7.求這向量的起點(diǎn)A的坐標(biāo).9設(shè)，求，10設(shè)向量，兩兩垂直，且，求向量的模及11在空間直角坐標(biāo)系中，已知，求：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 12.已知向量，計(jì)算（1）（2）（3）.13設(shè)向量，的直角坐標(biāo)分別為和，若，求的值 14設(shè)向量，求以為鄰邊構(gòu)造的平行四邊形面積15求同時(shí)垂直于向量和縱軸的單位向量16已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)，求的面積第3節(jié) 空間中的平面與直線(xiàn)方程在本節(jié)我們以向量為工具，在空間直角坐標(biāo)系中討論最簡(jiǎn)單的曲面和曲線(xiàn)平面和直線(xiàn).3.1平面及其方程首先利用向量的概念，在空間直角坐標(biāo)系中建立平面的方程，下面我們

19、將給出幾種由不同條件所確定的平面的方程3.1.1平面的點(diǎn)法式方程若一個(gè)非零向量垂直于平面，則稱(chēng)向量為平面的一個(gè)法向量顯然，若是平面的一個(gè)法向量，則 (為任意非零實(shí)數(shù))都是的法向量，即平面上的任一向量均與該平面的法向量垂直由立體幾何知識(shí)知道，過(guò)一個(gè)定點(diǎn)且垂直于一個(gè)非零向量有且只有一個(gè)平面設(shè)為平面上的任一點(diǎn)，由于，因此由兩向量垂直的充要條件，得,而，所以可得 (8-3-1)由于平面上任意一點(diǎn)都滿(mǎn)足方程(8-3-1)，而不在平面上的點(diǎn)都不滿(mǎn)足方程(8-3-1)，因此方程(8-3-1)就是平面的方程由于方程(8-3-1)是給定點(diǎn)和法向量所確定的，因而稱(chēng)式(8-3-1)叫做平面的點(diǎn)法式方程圖8-18例1

20、 求通過(guò)點(diǎn)且垂直于向量的平面方程解 由于為所求平面的一個(gè)法向量，平面又過(guò)點(diǎn)，所以，由平面的點(diǎn)法式方程(6-14)可得所求平面的方程為，整理，得例2 求過(guò)三點(diǎn)， 的平面的方程解 所求平面的法向量必定同時(shí)垂直于與因此可取與的向量積為該平面的一個(gè)法向量即由于，因此,因此所求平面的方程為，化簡(jiǎn)得一般地，過(guò)三點(diǎn)的平面方程為稱(chēng)為平面的三點(diǎn)式方程。特殊地，過(guò)三點(diǎn)， 的平面的方程為化簡(jiǎn)整理得 (8-3-2)、三點(diǎn)為平面與三個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，我們把這三個(gè)點(diǎn)中的坐標(biāo)分量分別叫做該平面在軸，軸和軸上截距，方程(8-3-2)稱(chēng)平面的截距式方程，如圖8-19圖8-193.1.2平面的一般式方程 前面我們有了平面的點(diǎn)法式方

21、程，展開(kāi)平面的點(diǎn)法式方程(6-14)，得，設(shè)，則 (不全為零) (8-3-3)即任意一個(gè)平面的方程都是的一次方程反過(guò)來(lái)，任意一個(gè)含有的一次方程(8-3-3)都表示一個(gè)平面事實(shí)上，設(shè)是滿(mǎn)足方程(8-3-3)的一組解，則 (8-3-4)式(8-3-3)減去式(8-3-4)，得 (8-3-5)由(8-3-5)決定一非零向量，它與向量垂直，其中，而為一固定點(diǎn)，為任一點(diǎn)因此平面(8-3-3)上任一點(diǎn)與的連線(xiàn)均與垂直，由平面的點(diǎn)法式方程可知，方程(8-3-3)表示一個(gè)平面我們稱(chēng)方程(8-3-3)為平面的一般式方程其中為該平面的一個(gè)法向量現(xiàn)在來(lái)討論(8-3-3)的幾種特殊情況，也就是當(dāng)它的某些系數(shù)或常數(shù)項(xiàng)為

22、零時(shí)，平面對(duì)坐標(biāo)系來(lái)說(shuō)具有某種特殊位置的情況.1. ，上式變?yōu)?，此時(shí)為方程組的解，因此平面通過(guò)原點(diǎn)；反過(guò)來(lái)，如果平面通過(guò)原點(diǎn)，那么顯然有.2. 中有一個(gè)為0，例如，上式就變?yōu)椋?dāng)時(shí)，軸上任意一點(diǎn)都不滿(mǎn)足方程，所以x軸與平面平行；當(dāng)時(shí)，軸上每一點(diǎn)都滿(mǎn)足方程，這時(shí)平面通過(guò)軸.反過(guò)來(lái)，當(dāng)平面平行x軸時(shí)，我們有平面通過(guò)軸時(shí)，對(duì)于其他兩種情況可以得出類(lèi)似的結(jié)論.3. 中有兩個(gè)為0時(shí)，可得下面的結(jié)論： 當(dāng)且僅當(dāng)，平面平行于坐標(biāo)面當(dāng)且僅當(dāng)平面就是例3 求過(guò)兩點(diǎn)，且與軸平行的平面方程解 要求出平面的方程，關(guān)鍵要找出平面所過(guò)的一個(gè)點(diǎn)以及平面的一個(gè)法向量由已知，所求平面的法向量同時(shí)與和軸垂直即法向量同時(shí)與和垂直因

23、此，可取作為該平面的一個(gè)法向量所以為所求平面的一個(gè)法向量再由平面的點(diǎn)法式方程(6-14)得所求平面的方程為，整理得3.1.3兩平面間的關(guān)系空間兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系有三種：平行、重合和相交下面根據(jù)兩個(gè)平面的方程來(lái)討論它們之間的位置關(guān)系設(shè)有兩個(gè)平面與，它們的方程為： (不同時(shí)為零)，： (不同時(shí)為零)，則它們的法向量分別為和(1) 兩平面平行(2) 兩平面重合(3) 兩平面相交與不成比例當(dāng)兩平面相交時(shí)，把它們的夾角定義為其法向量的夾角，且規(guī)定 圖8-20即 特別地，當(dāng)時(shí)，則，即反之亦然，所以例4 求兩平面和的夾角.解 由公式有， 因此，所求夾角.例5 一平面通過(guò)兩點(diǎn)和且垂直于平面，求它的方程.解

24、 設(shè)所求平面的一個(gè)法向量為.因在所求平面上，它必與n垂直，所以有又因所求平面垂直與已知平面所以有所以得由平面的點(diǎn)法式方程可知，所求平面方程為,整理得 ,這就是所求的平面方程.3.1.4點(diǎn)到平面的距離在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)，平面：(不全為零)，可以證明點(diǎn)到平面的距離為例6 求點(diǎn)到平面：的距離解 由點(diǎn)到平面的距離公式得例7 求兩個(gè)平行平面與間的距離解 在一個(gè)平面上任取一點(diǎn)，如取點(diǎn)，則點(diǎn)到另一平面的距離即為兩平行平面間的距離所以例8 求過(guò)直線(xiàn)且與點(diǎn)的距離為1 的平面方程. 解 設(shè)過(guò)此直線(xiàn)的平面束方程為:,由點(diǎn)到平面的距離公式,故所求平面的方程為3.2空間中的直線(xiàn)及其方程3.2.1直線(xiàn)的點(diǎn)向式方程我

25、們知道，一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向可以確定一條直線(xiàn)，而方向可以用一個(gè)非零向量來(lái)表示因此，一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)非零向量確定一條直線(xiàn)如果一個(gè)非零向量與直線(xiàn)平行，則稱(chēng)向量是直線(xiàn)的一個(gè)方向向量而向量的方向余弦叫做該直線(xiàn)的方向余弦.顯然，若是直線(xiàn)的一個(gè)方向向量，則 (為任意非零實(shí)數(shù))都是的方向向量在空間直角坐標(biāo)系中，若是直線(xiàn)上的一個(gè)點(diǎn)，為的一個(gè)方向向量，下面求直線(xiàn)的方程設(shè)為直線(xiàn)上的任一點(diǎn)，如圖8-21，則，所以?xún)上蛄繉?duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例而的坐標(biāo)為，因此有 (8-3-6)稱(chēng)式(8-3-6)為直線(xiàn)的點(diǎn)向式方程（或叫對(duì)稱(chēng)式方程）其中是直線(xiàn)上一點(diǎn)的坐標(biāo)，為直線(xiàn)的一個(gè)方向向量注 由于直線(xiàn)的方向向量，所以不全為零，但當(dāng)有一個(gè)為零時(shí)，如時(shí)，

26、(8-3-6)應(yīng)理解為該直線(xiàn)與平面平行當(dāng)有兩個(gè)為零時(shí)，如時(shí)，式(8-3-6)應(yīng)理解為該直線(xiàn)與軸平行由直線(xiàn)的點(diǎn)向式方程很容易導(dǎo)出直線(xiàn)的參數(shù)方程.如設(shè)那么 ,方程組就是直線(xiàn)的參數(shù)方程.例9 設(shè)直線(xiàn)過(guò)兩點(diǎn)和，求直線(xiàn)的方程解 直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為，則,由直線(xiàn)的點(diǎn)向式方程(6-22)可得的方程為例10 求過(guò)點(diǎn)且與兩平面：和：都平行的直線(xiàn)方程解 所求的直線(xiàn)與與都平行，即與、的法向量、都垂直，其中，因此可用作為直線(xiàn)的一個(gè)方向向量，即 于是所求直線(xiàn)的方程為3.2.2直線(xiàn)的一般式方程空間任一條直線(xiàn)都可看成是通過(guò)該直線(xiàn)的兩個(gè)平面的交線(xiàn)，同時(shí)空間兩個(gè)相交平面確定一條直線(xiàn)，所以將兩個(gè)平面方程聯(lián)立起來(lái)就代表空間直線(xiàn)的方

27、程設(shè)兩個(gè)平面的方程為 ：， ：，則 (8-3-7)表示一條直線(xiàn)，其中與不成比例稱(chēng)(8-3-7)為直線(xiàn)的一般式方程圖8-22例11 將直線(xiàn)的一般式方程化為點(diǎn)向式方程和參數(shù)方程解 先求直線(xiàn)上一點(diǎn)，不妨設(shè)，代入方程中得解之得所以為直線(xiàn)上的一點(diǎn)再求直線(xiàn)的一個(gè)方向向量由于直線(xiàn)與兩個(gè)平面的法向量、都垂直，其中，因此可用作為直線(xiàn)的一個(gè)方向向量，即于是，該直線(xiàn)的點(diǎn)向式方程為令得所給直線(xiàn)的參數(shù)方程為3.2.3兩直線(xiàn)間的關(guān)系空間中兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系可以用兩條直線(xiàn)的方程構(gòu)成的方程組的解來(lái)確定設(shè)兩條直線(xiàn)與的方程為：，：，由它們的方程構(gòu)成的方程組 (8-3-8) 若方程組(8-3-8)有無(wú)窮組解，則與重合； 若方程組(

28、8-3-8)只有一組解，則與相交，且方程組的解即為與的交點(diǎn)坐標(biāo)； 若方程組(8-3-8)無(wú)解，且，即，則與平行； 若方程組(8-3-8)無(wú)解，且，則與異面直線(xiàn)兩相交直線(xiàn)與所形成的4個(gè)角中，把不大于的那對(duì)對(duì)頂角叫做這兩條直線(xiàn)的夾角若與的方向向量分別為，顯然有 (8-3-9)注 (1) 若，相當(dāng)于，規(guī)定與的夾角為0；(2) 對(duì)于異面直線(xiàn)，可把這兩條直線(xiàn)平移至相交狀態(tài)，此時(shí)，它們的夾角稱(chēng)為異面直線(xiàn)的夾角；(3) 若例12 判斷直線(xiàn)：與的位置關(guān)系解 容易知由、的方程聯(lián)立得到的方程組無(wú)解，因此直線(xiàn)與不相交而的一個(gè)方向向量為，的一個(gè)方向向量為,則與不平行因此與為異面直線(xiàn) 例13 求直線(xiàn) 和的夾角.解 直線(xiàn)

29、的方向向量為, 直線(xiàn)的方向向量為兩直線(xiàn)的夾角余弦為=,即 .例14 求與平面和的交線(xiàn)平行且過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)方程.解 直線(xiàn)方程的方向向量可取為：則所求直線(xiàn)方程為:例15 求過(guò)點(diǎn)(2,1,3)且與直線(xiàn)垂直相交的直線(xiàn)方程. 解 (法一)過(guò)點(diǎn)(2,1,3)作平面垂直于已知直線(xiàn),則此平面的方程為 求已知直線(xiàn)與該平面的交點(diǎn),將直線(xiàn)的參數(shù)方程代入平面方程得，從而得交點(diǎn)于是所求直線(xiàn)的方向向量為. 故所求直線(xiàn)的方程為:.(法二)設(shè)所求直線(xiàn)的參數(shù)方程為由于所求直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直,從而有:. 又由于所求直線(xiàn)與已知直線(xiàn)相交,故由兩直線(xiàn)的參數(shù)方程有,. 顯然,從而解得:. 故有所求直線(xiàn)的參數(shù)方程為:,或者所求直線(xiàn)的方程為:.

30、3.2.4直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系在空間中，直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系有三種：直線(xiàn)在平面內(nèi)，直線(xiàn)與平面平行，直線(xiàn)與平面相交，它們的位置關(guān)系可以根據(jù)聯(lián)立直線(xiàn)與平面的方程構(gòu)成的方程組解的情況來(lái)判定設(shè)直線(xiàn)：，平面：，將其聯(lián)立起來(lái)的方程組為 (8-3-10)(1) 若方程組(8-3-10)有無(wú)窮組解，則在內(nèi)，即(2) 若方程組(8-3-10)無(wú)解，則；(3) 若方程組(8-3-10)只有一組解，則與相交，方程組的解即為與的交點(diǎn)坐標(biāo)注 還可以根據(jù)直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量的關(guān)系來(lái)判定直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系若，即時(shí)，在內(nèi)或；若，即與不垂直時(shí)，與相交例16 判斷下列直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系，若相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)(1) ：

31、，：；(2) ：，：；(3) ：，：解 (1) 設(shè)，則代入，得，即（無(wú)解）因此(2) 顯然方程組有無(wú)窮組解，因此在內(nèi)(3) 解方程組得，因此，與相交，且交點(diǎn)坐標(biāo)為直線(xiàn)與它在平面上的投影之間的夾角 ()，稱(chēng)為直線(xiàn)與平面的夾角若直線(xiàn)：，平面：，則直線(xiàn)的方向向量為，平面的法向量為，設(shè)直線(xiàn)與平面的法線(xiàn)之間的夾角為，則(如圖8-23)所以， (8-3-11)特別地圖8-233.2.5平面束 定義 通過(guò)定直線(xiàn)的所有平面方程的全體稱(chēng)為平面束。定理 設(shè)直線(xiàn)L為,其中系數(shù)A1,B1,C1和A2,B2,C2不成比例,則過(guò)L的平面束方程為 (8-3-12)其中是不全為零的任意實(shí)數(shù).例17 求直線(xiàn)在平面上的投影直線(xiàn)方

32、程. 解 設(shè)經(jīng)過(guò)直線(xiàn)L:的平面束方程為即由于此平面與已知平面垂直,所以即有,代入平面束方程得投影平面的方程為從而得投影直線(xiàn)l的方程:習(xí)題8-3 9.求過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程.11.求過(guò)點(diǎn)且與兩直線(xiàn)平行的平面方程.14.求直線(xiàn)與平面的夾角.21.求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.第4節(jié) 空間曲面及其方程4.1曲面方程的概念空間曲面方程的意義與平面解析幾何中曲線(xiàn)與方程的意義相仿，那就是在建立了空間直角坐標(biāo)系之后，任何曲面都看成點(diǎn)的幾何軌跡，由此可以定義空間曲面的方程定義1 如果曲面與方程,滿(mǎn)足(1) 曲面上每一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足方程；(2) 以滿(mǎn)足方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲面上則稱(chēng)方程為曲面的方程，而稱(chēng)曲面為此方程的圖形（圖

33、8-24） 圖8-24 圖8-25下面我們?cè)谥苯亲鴺?biāo)系下，舉例說(shuō)明怎樣從曲面上的點(diǎn)的特征性質(zhì)來(lái)導(dǎo)出曲面的方程.例1 求聯(lián)結(jié)兩點(diǎn)A（1,2,3）和B（2，-1,4）的線(xiàn)段的垂直平分面的方程.解 垂直平分面可以看成到兩定點(diǎn)A和B為等距離的動(dòng)點(diǎn)M（x，y，z）的軌跡.設(shè)M（x，y，z）為所求平面上的任意一點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)M的特性|AM|=|BM|，而 所以,化簡(jiǎn)得 這就是所求的垂直平分面的方程.例2 設(shè)球面的中心是點(diǎn)，半徑為的球面方程(圖8-25).解 定點(diǎn)為，定長(zhǎng)為，設(shè)是球面上任一點(diǎn)，則，即，兩邊平方，得 （8-4-1）反之，若的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程(6-28)，則總有，所以方程(8-4-1)為是以為球心，以半

34、徑的球面方程特別地，以坐標(biāo)原點(diǎn)為球心，以半徑的球面方程為 將（8-4-1）式展開(kāi)得,所以，球面方程具有下列兩個(gè)特點(diǎn)：（1） 它是之間的二次方程，且方程中缺項(xiàng)；（2） 的系數(shù)相同且不為零。例3 方程表示怎樣的曲面？解 通過(guò)配方原方程可以改寫(xiě)為,所以原方程表示球心在、半徑為的球面.上面幾個(gè)例子表明在空間解析幾何中關(guān)于曲面的研究，有下列兩個(gè)問(wèn)題：（1） 已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時(shí)，求曲面方程（2） 已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究這個(gè)關(guān)系式所表示的曲面形狀 下面我們繼續(xù)介紹柱面、旋轉(zhuǎn)曲面與常見(jiàn)的二次曲面.在這些曲面中，有的具有較為突出的幾何特征，有的在方程上表現(xiàn)出特殊的簡(jiǎn)單形式，對(duì)于前者，我們從圖形出發(fā)，去討論

35、曲面的方程；而對(duì)于后者，我們將從它的方程去研究它的圖形.4.2柱面用直線(xiàn)沿空間一條曲線(xiàn)平行移動(dòng)所形成的曲面稱(chēng)為柱面動(dòng)直線(xiàn)稱(chēng)為柱面的母線(xiàn)，定曲線(xiàn)稱(chēng)為柱面的準(zhǔn)線(xiàn)，如圖8-26所示常見(jiàn)的柱面有：圓柱面： (圖8-27),橢圓柱面： (圖8-28),雙曲柱面： (圖8-29),拋物柱面： (圖8-30) 圖8-26 圖8-27 圖8-28 圖8-29 圖8-30注 若曲面方程為，則它一定是母線(xiàn)平行于軸，準(zhǔn)線(xiàn)為平面的一條曲線(xiàn)(在平面直角坐標(biāo)系中的方程為)的柱面類(lèi)似的，只含而缺的方程和只含而缺的方程分別表示母線(xiàn)平行于y軸和x軸的柱面.如圓柱面：，它就是以平面上的圓作為準(zhǔn)線(xiàn)，以平行于軸的直線(xiàn)作為母線(xiàn)形成的柱

36、面 再如平面表示母線(xiàn)平行于軸,準(zhǔn)線(xiàn)為平面上的直線(xiàn):平面為特殊的柱面。圖8-314.3 旋轉(zhuǎn)曲面一條平面曲線(xiàn)繞同一平面內(nèi)的一條定直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)所形成的曲面稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲面曲線(xiàn)稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲面的母線(xiàn)，定直線(xiàn)稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲面的旋轉(zhuǎn)軸，簡(jiǎn)稱(chēng)軸前面講過(guò)的球面，圓柱面等都是旋轉(zhuǎn)曲面例4 設(shè)母線(xiàn)在平面上，它的平面直角坐標(biāo)方程為證明：繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為證明 設(shè)為旋轉(zhuǎn)曲面上的任一點(diǎn)，并假定點(diǎn)是由曲線(xiàn)上的點(diǎn)繞軸旋轉(zhuǎn)到一定角度而得到的因而，且點(diǎn)到軸的距離與到軸的距離相等而到軸的距離為，到軸的距離為，即又因?yàn)樵谏?，因而，將上式代入得，即旋轉(zhuǎn)曲面上任一點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程 . 圖8-32注 此例說(shuō)明，若旋轉(zhuǎn)曲面的母線(xiàn)在平面上，它

37、在平面直角坐標(biāo)系中的方程為，則要寫(xiě)出曲線(xiàn)繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面的方程，只需將方程中的換成即可同理，曲線(xiàn)繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為，即將中的換成反之，一個(gè)方程是否表示旋轉(zhuǎn)曲面，只需看方程中是否含有兩個(gè)變量的平方和如在平面內(nèi)的橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為，該曲面稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)橢球面 例5 將坐標(biāo)面上的雙曲線(xiàn)=1分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn)一周,求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 解 繞x軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面: . 繞z軸旋轉(zhuǎn)生成旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面: 例6 直線(xiàn)繞另一條與相交的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)曲面叫圓錐面兩直線(xiàn)的交點(diǎn)為 圓錐面的頂點(diǎn)，兩直線(xiàn)的夾角叫圓錐面的半頂角試建立頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)軸為軸，半頂角為的圓錐面方

38、程解 面上直線(xiàn)方程為,因?yàn)樾D(zhuǎn)軸為z軸，所以只要將方程中的y改成，便得到這個(gè)圓錐面方程 .或，其中.顯然圓錐面上任一點(diǎn)M的坐標(biāo)一定滿(mǎn)足錐面方程.如果點(diǎn)M不住圓錐面上，那么直線(xiàn)OM與z軸的夾角就不等于，于是點(diǎn)M的坐標(biāo)就不滿(mǎn)足此方程. 4.4 二次曲面 我們把三元二次方程所表示的曲面稱(chēng)為二次曲面.適當(dāng)選取坐標(biāo)系，可得到它們的標(biāo)準(zhǔn)方程.下面就它們的標(biāo)準(zhǔn)方程來(lái)討論幾種常見(jiàn)的二次曲面的形狀.二次曲面有九種，選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，可以得到它們的標(biāo)準(zhǔn)方程.前面我們已經(jīng)有了三種二次曲面，橢圓柱面 ，雙曲柱面，拋物面下面我們討論另外6種二次曲面的形狀.1. 橢圓錐面 由方程所確定的曲面稱(chēng)為橢圓錐面,圖像如右圖2橢球

39、面由方程 ()所確定的曲面稱(chēng)為橢球面，稱(chēng)為橢球面的半軸，此方程稱(chēng)為橢球面的標(biāo)準(zhǔn)方程橢球面的形狀如圖8-33圖8-333雙曲面由方程 () (8-4-2)所確定的曲面稱(chēng)為單葉雙曲面（圖8-34）由方程 () (8-4-3)所確定的曲面稱(chēng)為雙葉雙曲面（圖8-35）注 方程和也都是單葉雙曲面注 方程和也都是雙葉雙曲面 圖8-33 圖8-354拋物面由方程 () (8-4-4)所確定的曲面稱(chēng)為橢圓拋物面由方程 () (8-4-5)所確定的曲面稱(chēng)為雙曲拋物面用截痕法可得到它們的圖形分別如圖(8-33)與(8-34)所示注 雙曲拋物面的圖形形狀很象馬鞍，因此也稱(chēng)馬鞍面 圖8-34 圖8-35習(xí)題8-41

40、建立以點(diǎn)為球心，且過(guò)原點(diǎn)的球面方程.2 方程表示什么曲面？3 一動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離為與平面的距離的一半，試求其所生成的軌跡，并確定它為何種二次曲面.4 將面上的拋物線(xiàn)繞軸旋轉(zhuǎn)，求出旋轉(zhuǎn)后所得的曲面方程.5. 將坐標(biāo)面上的圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.6. 將坐標(biāo)面上的雙曲線(xiàn)分別繞軸，軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.7說(shuō)明下列二次曲面的名稱(chēng)，若它們是旋轉(zhuǎn)曲面，那么，是怎樣生成的？8指出下列方程在平面解析幾何和空間解析幾何中所表示的不同意義.（1）（2）；（3）；（4）。9指出下列各方程在空間解析幾何中所表示的幾何圖形，并作出它們的草圖.第5節(jié) 空間曲線(xiàn)及其方程5.1空間曲線(xiàn)的一般方程空

41、間曲線(xiàn)可看作兩曲面的交線(xiàn)，設(shè) 和 是兩曲面的方程，它們的交線(xiàn)為.曲線(xiàn)上的任何點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)同時(shí)滿(mǎn)足這兩個(gè)曲面方程，因此，應(yīng)滿(mǎn)足方程組，(8-5-1)反過(guò)來(lái)，如果點(diǎn)不在曲線(xiàn)上，那么它不可能同時(shí)兩曲面上.所以，它的坐標(biāo)不滿(mǎn)足方程組(1).由上述兩點(diǎn)可知：曲線(xiàn)可由方程組(8-5-1)表示.圖8-36方程組(8-5-1)稱(chēng)作空間曲線(xiàn)的一般方程.例1 方程組 表示怎樣的曲線(xiàn)？解 表示圓柱面，表示平面，所以方程組就表示圓柱面與平面的交線(xiàn)，即橢圓. 例2 討論方程組表示的曲線(xiàn).解 該方程組表示上半球面與圓柱面的交線(xiàn)C，如下圖 5.2空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程 對(duì)于空間曲線(xiàn)，若上的動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)可表示成為參數(shù)的函數(shù)(8-5-

42、2)隨著的變動(dòng)可得到曲線(xiàn)上的全部點(diǎn)，方程組(8-5-2)叫做空間曲線(xiàn)參數(shù)方程.例3 將空間曲線(xiàn) 表示成參數(shù)方程.解 由方程組消去得 化簡(jiǎn)整理得 由于在此橢圓柱面上，故的方程可用如下形式來(lái)表示(1)如果我們以作為參數(shù)，即令 ,則 ， .從而得到曲線(xiàn)的參數(shù)方程 (2)如果令，由橢球柱面方程有 ，而,則曲線(xiàn)又可表示成為5.3 空間曲線(xiàn)在坐標(biāo)面上的投影設(shè)空間曲線(xiàn)的一般方程為,(8-5-3)下面，我們來(lái)研究由方程組(8-5-3)消去變量之后所得到的方程,(8-5-4)因(8-5-4)是由(8-5-3)消去后所得，則當(dāng)坐標(biāo) 適合方程組(8-5-3)時(shí)，前兩個(gè)坐標(biāo)必定適合方程(8-5-4)，即曲線(xiàn)上的所有點(diǎn)

43、都在由(8-5-4)表示的曲面上.而方程(8-5-4)表示一個(gè)母線(xiàn)平行于軸的柱面，因此，此柱面必定包含曲線(xiàn).以曲線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)，母線(xiàn)平行于軸的柱面叫做關(guān)于面的投影柱面；投影柱面與面的交線(xiàn)叫做空間曲線(xiàn)在面上的投影曲線(xiàn)，該曲線(xiàn)的方程可寫(xiě)成.同理，消去方程組( 8-5-3) 中的變量 或 ，再分別與 或 聯(lián)立，我們便得到了空間曲線(xiàn)在或 面上的投影曲線(xiàn)方程. 或 .例4 已知求它們的交線(xiàn)在面上的投影曲線(xiàn)方程.解 先求包含曲線(xiàn)且母線(xiàn)平行于軸的柱面，從方程組中消去，有,這便是所要求的柱面方程，即一個(gè)準(zhǔn)線(xiàn)為坐標(biāo)面上的拋物線(xiàn)，母線(xiàn)平行于軸的拋物柱面.于是，曲線(xiàn)在面上的投影曲線(xiàn)為. 在重積分和曲面積分的計(jì)算中，往往需

44、要確定一個(gè)立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影，這時(shí)要利用投影柱面和投影曲線(xiàn). 有時(shí)，我們需要確定一個(gè)空間立體（或空間曲面）在坐標(biāo)面上的投影，一般來(lái)說(shuō)，這種投影往往是一個(gè)平面區(qū)域，因此，我們稱(chēng)它為空間立體（或空間曲面）在坐標(biāo)面的投影區(qū)域.投影區(qū)域可以利用投影柱面與投影曲線(xiàn)來(lái)確定.例5 求上半球面 和錐面 所圍成的空間立體在面上的投影區(qū)域.解 上半球面與錐面的交線(xiàn)C為由方程組消去變量，有這是母線(xiàn)平行于軸的投影柱面，空間立體恰好鑲在該柱體內(nèi)，該柱體在面的交線(xiàn)所包圍的區(qū)域正好是在面上的投影區(qū)域.投影柱面在面上的交線(xiàn)為這是一個(gè)圓，它所包圍的區(qū)域?yàn)?習(xí)題8-51. 指出下列方程組在平面解析幾何中與在空間解析幾何中

45、分別表示什么圖形：（1） ； （2）；（3）2求曲線(xiàn)在坐標(biāo)面上的投影方程.3.求拋物面與平面的截線(xiàn)在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影曲線(xiàn)方程.4.分別求母線(xiàn)平行于軸及軸而且通過(guò)曲線(xiàn)的柱面方程.5.求橢圓拋物面與拋物柱面的交線(xiàn)關(guān)于面的投影柱面和在面上的投影曲線(xiàn)方程.6求空間區(qū)域與的公共部分在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域.7畫(huà)出旋轉(zhuǎn)拋物面（）在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影.8.將下列曲線(xiàn)的一般式方程化為參數(shù)方程：9. 求螺旋線(xiàn)在坐標(biāo)面上的投影.第6節(jié) 空間曲線(xiàn)和曲面的應(yīng)用及舉例6.1空間曲線(xiàn)的應(yīng)用及舉例6.1.1.螺旋線(xiàn) 例1 如果空間一點(diǎn)在圓柱面上以角速度繞軸旋轉(zhuǎn)，同時(shí)又以線(xiàn)速度沿平行于軸的正方向上升(其中：，均為常數(shù))，那未點(diǎn)的軌跡叫做螺旋線(xiàn)，試建立其參數(shù)方程. 解 取時(shí)間為參數(shù).設(shè)當(dāng) 時(shí)，動(dòng)點(diǎn)與軸上的點(diǎn) 重合，經(jīng)過(guò)時(shí)間，動(dòng)點(diǎn)由運(yùn)動(dòng)到. 記在面上的投影為，它的坐標(biāo)為由于動(dòng)點(diǎn)在圓柱面上以角速度繞軸旋轉(zhuǎn)，經(jīng)過(guò)時(shí)間，從而 .又由于動(dòng)點(diǎn)同時(shí)以線(xiàn)速度沿平行于軸正方向上升，所以.因此，螺旋線(xiàn)的參數(shù)方程為,或令，則方程形式可化為.螺旋線(xiàn)有一個(gè)重要性質(zhì)：