必修四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理

1、必修四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理 必修四必修四 平面向量平面向量 知識(shí)點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)梳理 必修四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理 知知 識(shí)識(shí) 網(wǎng)網(wǎng) 絡(luò)絡(luò) 平 面 向 量 加法、減法加法、減法 數(shù)乘向量數(shù)乘向量 坐標(biāo)表示坐標(biāo)表示 兩向量數(shù)量積兩向量數(shù)量積 零向量、單位向量、零向量、單位向量、 共線向量、相等向量共線向量、相等向量 向量平行的充要條件向量平行的充要條件 平面向量基本定理平面向量基本定理 兩向量的夾角公式兩向量的夾角公式 向量垂直的充要條件向量垂直的充要條件 兩點(diǎn)的距離公式兩點(diǎn)的距離公式 向量的概念向量的概念 解決解決 圖形圖形 的平的平 行和行和 比例比例 問(wèn)題問(wèn)題 解決解決 圖形圖形 的垂的垂 直和

2、直和 角度角度, 長(zhǎng)度長(zhǎng)度 問(wèn)題問(wèn)題 向 量 的 初 步 應(yīng) 用 必修四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理 向量定義：向量定義：既有既有大小大小又有又有方向方向的量叫向量。的量叫向量。 重要概念：重要概念： （1）零向量：）零向量： 長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為0的向量，記作的向量，記作0. （2）單位向量：）單位向量：長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量個(gè)單位長(zhǎng)度的向量. （3）平行向量：）平行向量：也叫共線向量，方向相同或相反也叫共線向量，方向相同或相反 的非零向量的非零向量. （4）相等向量：）相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量. （5）相反向量：）相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量長(zhǎng)度相等且方向相

3、反的向量. 一、平面向量概念一、平面向量概念 必修四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理 幾何表示幾何表示 : 有向線段有向線段 向量的表示向量的表示 字母表示字母表示 : aAB 、等 坐標(biāo)表示坐標(biāo)表示 : (x，y) 若若 A(x1,y1), B(x2,y2) 則則 AB = (x2 x1 , y2 y1) 一、平面向量概念一、平面向量概念 必修四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理 a 向量的模（長(zhǎng)度）向量的模（長(zhǎng)度） 1. 設(shè)設(shè) = ( x , y ), 則則 2. 若表示向量若表示向量 (x1,y1)、B (x2,y2) ，則，則 ABa 22 yx 2 21 2 21 yyxx 一、平面向量概念一、平面向量概念

4、必修四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理 1.向量的加法運(yùn)算向量的加法運(yùn)算 A B C AB+BC= 三角形法則三角形法則 O A B C OA+OB= 平行四邊形法則平行四邊形法則 坐標(biāo)運(yùn)算坐標(biāo)運(yùn)算: 則則a + b = 重要結(jié)論：重要結(jié)論：AB+BC+CA= 0 設(shè)設(shè) a = (x1, y1), b = (x2, y2) ( x1 + x2 , y1 + y2 ) AC OC 一、平面向量概念一、平面向量概念 必修四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理 2.向量的減法運(yùn)算向量的減法運(yùn)算 1）減法法則：）減法法則： OA B 2）坐標(biāo)運(yùn)算）坐標(biāo)運(yùn)算: 若若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 ) 則則a b

5、= 3 3.加加法減法運(yùn)算律法減法運(yùn)算律 a+b=b+a （a+b)+c=a+(b+c) 1）交換律：）交換律： 2）結(jié)合律：）結(jié)合律： BA (x1 x2 , y1 y2) OAOB = 一、平面向量概念一、平面向量概念 必修四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理 練習(xí) _; _; _; _; _. ABBD BABC BCCA ODOA OAOB 填空： AD BA AD BA CA 必修四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理 ,120 | | 3| o ABa ADbDAB ababab 練習(xí)、如圖已知向量， 且，求和 120o a b A D B C O 必修四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理 |ba|DB|ba|AC| baD

6、BbaAC 3|AB|AD| ABCDADAB ，故 ， 由向量的加減法知 ，故此四邊形為菱形由于 ，為鄰邊作平行四邊形、解：以 120o a b A D B C O 33 3 | |sin603 22 o AOD ODAD 由于菱形對(duì)角線互相垂直平分,所以是直角三角形， 33|ba|3|ba| ，所以 3|AC|ADC 60DAC120DAB OO 是正三角形，則所以 ，所以因?yàn)?return 必修四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理 4.實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) 與向量與向量 的積的積 定義定義： 坐標(biāo)運(yùn)算：坐標(biāo)運(yùn)算： 其實(shí)質(zhì)就是向量的伸長(zhǎng)或縮短！其實(shí)質(zhì)就是向量的伸長(zhǎng)或縮短！ 若若 = (x , y), 則則(x ,

7、y) = ( x , y) 一、平面向量概念一、平面向量概念 必修四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理 則則 |a a a . ba 存在唯一實(shí)數(shù)存在唯一實(shí)數(shù) ，使得，使得 結(jié)論結(jié)論: 設(shè)表示與非零向量同向的單位向量設(shè)表示與非零向量同向的單位向量. a a ba 與 定理定理1:兩個(gè)非零向量平行兩個(gè)非零向量平行 (方向相同或相反方向相同或相反) 一、平面向量概念一、平面向量概念 必修四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理 向量垂直充要條件的兩種形式向量垂直充要條件的兩種形式: 0)2( 0)1 ( 2121 yyxxbaba baba 二、平面向量之間關(guān)系 向量平行向量平行(共線共線)充要條件的兩種形式充要條件的兩種形式:

8、 0 )0),(),(/)2( ;)0(/) 1 ( 1221 2211 yxyx byxbyxaba babba 必修四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理 （3）兩個(gè)向量相等的充要條件是兩個(gè)向量的）兩個(gè)向量相等的充要條件是兩個(gè)向量的 坐標(biāo)相等坐標(biāo)相等. 即即: 那么那么 ),( 11 yxa ),( 22 yxb 2121 yyxxba且 三、平面向量的基本定理平面向量的基本定理 如果如果 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線 向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向 量量 ，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) 使使 21 , ee , 21 a 2211 eea 必修

9、四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理 1、平面向量數(shù)量積的定義：、平面向量數(shù)量積的定義： ba cos|ba 2、數(shù)量積的幾何意義：、數(shù)量積的幾何意義： |cos.aabab 等于 的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積 O A B B 1 (四四) 數(shù)量積數(shù)量積 abba）（1 ）（）（）（bababa2 cbcacba ）（3 4、運(yùn)算律、運(yùn)算律: 2121 yyxxba 3、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算 必修四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理 5、數(shù)量積的主要性質(zhì)及其坐標(biāo)表示：、數(shù)量積的主要性質(zhì)及其坐標(biāo)表示： 001 2121 yyxxbaba 反向時(shí)，當(dāng) 同向時(shí)，當(dāng) 時(shí)，當(dāng) baba baba baba/.2 2

10、1 2 1 2 ,) 3(yxaaaaaa 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 cos4 yxyx yyxx ba ba ),(是兩個(gè)非零向量ba baba5 必修四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理 babababa有：、證明對(duì)任意例 . 1 結(jié)結(jié)論論顯顯然然成成立立。有有一一個(gè)個(gè)為為，若若證證明明, 0)1(:ba ,bAB, aOA, 0ba)2( 作作都都不不為為，若若 baOB 則則 他他兩兩邊邊之之差差，其其他他兩兩邊邊之之和和，大大于于其其 邊邊小小于于不不共共線線時(shí)時(shí)，由由三三角角形形一一，當(dāng)當(dāng) ba ABOAOBABOA bababa ABOAOBba 同同向向，則則，若若 ABOA

11、OBba 反反向向，則則，若若 a b O B A bababababa 或或共線時(shí)，共線時(shí)，、 綜上所述：原命題成立綜上所述：原命題成立 必修四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理 例例 2. . | 3 1 | | 3 1 |. , MNONOMbaCDCN BCBMCODAB bOBaOAOADB ，表示、，用 ，且交于與 ，中，已知平行四邊形 C N DB M OA 解解: baOBOABA baBABCBM 6 1 6 1 6 1 3 1 babBMOBOM 6 1 6 1 ba 6 5 6 1 必修四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理 例例 2. . | 3 1 | | 3 1 |. , MNONOMbaCDC

12、N BCBMCODAB bOBaOAOADB ，表示表示、，用，用 ，且且交于交于與與 ，中，中，已知平行四邊形已知平行四邊形 C N DB M OA CDODCNOCON 3 1 2 1 )(baODODOD 3 2 3 2 6 1 2 1 ba 3 2 3 2 baOMONMN 6 1 2 1 必修四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理 例例3、 已知已知a=(3,-2) ， b=(-2,1)， c=(7,-4)， 用用a、b表示表示c。 解：解：c = m a+n b (7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1) 3m-2n=7 m=1 -2m+n=-4 n=-2 c = a-2b 必修四-平面向量知識(shí)

13、點(diǎn)梳理 4.,OA OB 例例 如如圖圖不不共共線線(),APtAB tR ,.OA OBOP 用用表表示示 :,APtAB 解解 OPOAAP OAtAB ()(1).OAt OBOAt OAtOB O A B P (1).OPt OAtOB ()OPOAt OBOA APtAB 另解另解:可以試著將可以試著將,OA OBOP 用用， 表表示示出出來(lái)來(lái). .APtAB 必修四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理 說(shuō)明：說(shuō)明：(1) 本題是個(gè)重要題型：設(shè)本題是個(gè)重要題型：設(shè)O為為 平面上任一點(diǎn)，則：平面上任一點(diǎn)，則： A、P、B三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線 (1).OPt OAtOB 或令或令 = 1 t， = t，則，

14、則 A、P、B三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線 (其中其中 + = 1) .OPOAOB (2) 當(dāng)當(dāng)t = 時(shí)，時(shí)， 常稱常稱 為為OAB的中線公式的中線公式(向量式向量式) 1 2 1 () 2 OPOAOB 必修四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理 例例5.設(shè)設(shè)AB=2(a+5b)，BC= 2a + 8b，CD=3(a b)， 求證：求證：A、B、D 三點(diǎn)共線。三點(diǎn)共線。 分析分析 要證要證A、B、D三點(diǎn)共線，可證三點(diǎn)共線，可證 AB=BD關(guān)鍵是找到 解：解： BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b AB=2 BD A、B、D 三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線 AB BD 且且AB與與BD有公共點(diǎn)有公共點(diǎn)B 必

15、修四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理 例例6.設(shè)非零向量設(shè)非零向量 不共線，不共線， 若若 試求試求 k. ba, bakc ),(Rkbkad,/dc 解：解： ,/ dc 由向量共線的充要條件得：由向量共線的充要條件得： ,dc 即即 ),(bkabak 又又 不共線不共線 ba, 由平面向量的基本定理由平面向量的基本定理 1 1 k k k 必修四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理 解：設(shè)頂點(diǎn)解：設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（x，y） ），（），（211321( AB )4 ,3(yxDC ，得得由由DCAB )4 ,3()2 , 1(yx y x 42 31 2 2 y x ），的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為（頂頂點(diǎn)點(diǎn)22D

16、例例8 已知已知 ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐的坐 標(biāo)分別為（標(biāo)分別為（2，1）、（）、（ 1，3）、（）、（3，4），求），求 頂點(diǎn)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)的坐標(biāo) 必修四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理 例例9. 已知已知A(2，1)，B(1，3)，求線段，求線段AB中中 點(diǎn)點(diǎn)M和三等分點(diǎn)坐標(biāo)和三等分點(diǎn)坐標(biāo)P，Q的坐標(biāo)的坐標(biāo) . 解：解：(1) 求中點(diǎn)求中點(diǎn)M的坐標(biāo)，由中點(diǎn)公式可知的坐標(biāo)，由中點(diǎn)公式可知 M( ，2) 2 1 (2) 因?yàn)橐驗(yàn)?=(1，3)(2，1) =(3，2) ABOBOA 必修四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理 1 3 1 ( 2,1)(3,2) 3 5 ( 1, ) 3 OPOAAB 2

17、3 2 ( 2,1)(3,2) 3 7 (0, ) 3 OQOAAB 必修四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理 例例10.設(shè)設(shè)A(2, 3)，B(5, 4)，C(7, 10) 滿足滿足 (1) 為何值時(shí)為何值時(shí),點(diǎn)點(diǎn)P在直線在直線y=x上上? (2)設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P在第三象限在第三象限, 求求的范圍的范圍. APABAC 解解: (1) 設(shè)設(shè)P(x, y)，則，則 (x2, y3)=(3, 1)+(5, 7), 所以所以x=5+5，y=7+4. 2 1 解得解得 = (2) 由已知由已知 5+50,7+40 , 所以所以1. 必修四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理 例例1111（1 1）已知）已知 = =（4 4，3 3），

18、向量），向量 是是 垂直于垂直于 的單位向量，求的單位向量，求 . . ab a b ./)2 , 1 (,102的坐標(biāo)，求，且）已知（ababa . 4 3 )5 ,(),0 , 3(3 的值求 ，的夾角為與，且）已知（ k bakba . 532222222 ). 5 4 , 5 3 () 5 4 , 5 3 (1 k bb ）；（，）或（，）（ 或）答案：（ 必修四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理 例例13、已知、已知ABC中，中，A(2,4),B(-1,-2), C(4,3),BC邊上的高為邊上的高為AD。 （1）求證：）求證：ABAC； （2）求點(diǎn)）求點(diǎn)D和向量和向量AD的坐標(biāo)；的坐標(biāo)； （3）

19、求證：）求證：AD2=BDDC 解：（解：（1）A(2,4) B(-1,-2) C(4,3) AB=(-3,-6) AC=(2,-1) ABAC=(-3)2+(-6)(-1)=0 ABAC 必修四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理 （2）D(x,y) AD=(x-2,y-4) BC=(5,5) BD=(x+1,y+2) ADBC ADBC=0 5(x-2)+5(y-4)=0 又又B、D、C共線共線 5(x+1)-5(y+2)=0 x+y-6=0 x= D( , ) x-y-1=0 y= AD=( ,- ) 2 7 2 5 2 7 2 5 2 3 2 3 必修四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理 （3）AD=( ,- )

20、BD=( , ) DC=( , ) |AD| = + = BDDC= + = AD =BDDC 2 1 2 9 4 9 2 3 2 3 2 9 2 1 4 9 2 9 4 9 4 9 2 9 2 2 例例13、已知、已知ABC中，中，A(2,4),B(-1,-2), C(4,3),BC邊上的高為邊上的高為AD。 （1）求證：）求證：ABAC； （2）求點(diǎn)）求點(diǎn)D和向量和向量AD的坐標(biāo)；的坐標(biāo)； （3）求證：）求證：AD2=BDDC 必修四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理 例例14.14.已知已知a a=(2,3),=(2,3),b b=(-4,7),=(-4,7),則則a a在在b b上的投影為（上的投影

21、為（ ） A. A. B. B. C. C. D.D. 解析解析 設(shè)設(shè)a a和和b b的夾角為的夾角為， | |a a|cos|cos= C 13 5 13 5 65 65 |b| ba . 5 65 65 13 7)4( 73)4(2 22 必修四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理 2 1 12 1 ) 5 4 , 5 3 ( 222 ）即（ ba bbaaba baba 120 180,0 2 1 cos ba ba 3 32 22 2 babbaaba 解：解： 必修四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理 2 12 121 ,60 ? 2,32?. o e e aeebeeab 例16、設(shè)為兩個(gè)單位向量?且?jiàn)A角為 若

22、求 與 的夾角 解：解： 222 22 12121122 2244aeeeeee ee 22 2 112 1 44cos604 14 1 117 2 eeee 7a 同理可得同理可得 7b 2 2 12121122 7 23262 2 a beeeeee ee 7 1 2 cos 277 a b ab =120 必修四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理 . 0,(cos ,sin ), a abc a bc 例17 若向量 則 與 一定滿足( ) 以上都不對(duì)以上都不對(duì) D. )()( C. 0 B. A. cbcb cbab ).()( 0)( 1sincos, 1 22 22 cbcb cbcbcb cb

23、 解解 答案答案 C 必修四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理 ABAC ABACABAC BCABC ABACABAC 例18(06陜西)已知非零向量與滿足 1 (+)=0且=則為( ) 2 A,三邊均不相等的三角形, B直角三角形, C,等腰非等邊三角形, D等邊三角形, , 60 , ABAC A ABAC A ABAC ABACA ABAC A 解析:+在的平分線上, 由題意得的平分線垂直于邊BC, 1 故又=1 1cos= 2 故選D. AB C 必修四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理 ,() , ABC PA PBPB PCPC PAABC ABCD 例19(05湖南)已知P是所在平面上一點(diǎn), 若則P是的

24、外心, 內(nèi)心, 重心, 垂心. ()0, :, PA PB PB PC PB PA PCPB CAPB CA PA BCPC ABP 解 析 :由 得 同 理 可 得故為 垂 心 ,選 D. A BC P 必修四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理 . 3 2 , 6 )( 3 2 62 3 6 2 2 6 13 6 2 6 ,0 ) 6 2sin(2)2cos 2 1 2sin 2 3 (2 2cos2sin31)( ,2sin3cos2(1) 2 的單調(diào)遞減區(qū)間為故 即由 xf xx xx xxx xxbaxf xxba 解析解析 必修四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理 【例例2323】已知向量已知向量a a=(co

25、s =(cos x x,sin ,sin x x),), b b=(cos ,-sin )=(cos ,-sin )，且，且x x . . (1) (1)求求a ab b及及| |a a+ +b b|;|; (2) (2)若若f f( (x x)=)=a ab b-|-|a a+ +b b| |，求，求f f( (x x) )的最大值和最小值的最大值和最小值. . 2 3 2 3 2 x 2 x 4 3 ， 必修四-平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理 ,2cos 2 sin 2 3 sin 2 cos 2 3 cos) 1 (x x x x xba解解 xx xx x x x x x x xx cos, 4 , 3 |,cos|22cos22 ) 2 sin 2 3 (sin 2 cos 2 3 cos 2 sin 2 3 sin