chap3 隨機(jī)過程

1、1 通信原理 2 通信原理 第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 l 通信系統(tǒng)中的通信系統(tǒng)中的信號(hào)信號(hào)和和噪聲噪聲都是都是隨機(jī)隨機(jī)的的 l定義：定義：這類事物變化的過程不可能用一個(gè)這類事物變化的過程不可能用一個(gè) 或幾個(gè)時(shí)間或幾個(gè)時(shí)間t的的確定函數(shù)確定函數(shù)來描述，這類過程來描述，這類過程 稱為隨機(jī)過程。稱為隨機(jī)過程。 3 復(fù)習(xí) 4 隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性 u隨機(jī)變量：隨機(jī)變量：表示隨機(jī)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的一個(gè)變量，叫隨表示隨機(jī)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的一個(gè)變量，叫隨 機(jī)變量。機(jī)變量。 l 用大寫字母用大寫字母X X、Y Y、等表示隨機(jī)變量，用小寫等表示隨機(jī)變量，用小寫 字母字母x x、y y、等，表示隨

2、機(jī)變量的取值。等，表示隨機(jī)變量的取值。 連續(xù)型隨機(jī)變量：連續(xù)型隨機(jī)變量：X X的可能取值為整個(gè)區(qū)間的任的可能取值為整個(gè)區(qū)間的任 意值。如接收機(jī)輸出電壓噪聲。意值。如接收機(jī)輸出電壓噪聲。 離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量： X X的可能取值為有限值。如的可能取值為有限值。如 擲殺子。擲殺子。 隨機(jī)變量 在實(shí)際問題中，往往研究在實(shí)際問題中，往往研究XxiXxi的概率比研究的概率比研究x=xix=xi的概率更有意義。的概率更有意義。 u隨機(jī)變量隨機(jī)變量X X的取值不超過的取值不超過x x的的概率概率P(X x)P(X x)為為X X的（概率）分布函數(shù)的（概率）分布函數(shù)。記。記 為為F(x)= P(X x

3、)F(x)= P(X x)。 設(shè)設(shè)離散隨機(jī)變量離散隨機(jī)變量X X可能取值有可能取值有6 6個(gè)個(gè),x,x1 1x x6 6 , ,且且x x1 1x x6 6 , ,概率表：概率表： X x1x2x3x4x5x6 P(xi) 1/1 2 1/1 2 1/6 1/3 1/6 1/6 分布函數(shù) l如取如取x=x3 ,即即F(x3)= P(X x3)= P(x1)+P(x2)+P(x3)=1/12+1/12+1/6=1/3 lx x1時(shí)，時(shí)， F(x) =P(X x x1)=0。 l x1 x x2 時(shí)，時(shí)， F(x) =P(X x)= P(x1)=1/12 l x2 x x3 時(shí)時(shí)， F(x) =P

4、(X x)= P(x1)+ P(x2) =1/12+ 1/12=1/6 lx3 x x4 時(shí)時(shí)， F(x) =P(X x)= P(x1)+ P(x2)+ P(x3) = =1/12+ 1/12+ 1/6 =1/3 l x4 x x5 時(shí)時(shí)， F(x) =P(X x)= P(x1)+ P(x2)+ P(x3)+ P(x4) = 1/12+ 1/12+ 1/6 + 1/3 =2/3 l x5 x x6 時(shí)，時(shí)， F(x) =P(X x)= P(x1)+ + P(x5) = 2/3 + 1/12 =5/6。 lx6 x時(shí)，時(shí)， F(x) =P(X x)= P(x1)+ + P(x6) = 5/6 +

5、1/6 =1。 分布函數(shù)：F(x)= P(X x)。F(x)是關(guān)于x的函數(shù)。 F(x)波形：離散隨機(jī)變量 F(x)性質(zhì)： 0 F(x) 1 F(-)=0， F()=1 F(x)單調(diào)增，即：若x1 x2，則F(x1) F(x2) F(x)右連續(xù)。 連續(xù)隨機(jī)變量的分布函數(shù) l若若F(x)F(x)是連續(xù)的，一階導(dǎo)數(shù)存在，則定義是連續(xù)的，一階導(dǎo)數(shù)存在，則定義 l為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量x x的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù)f(x)f(x)。概率密度函數(shù)的積分就是分布函數(shù)概率密度函數(shù)的積分就是分布函數(shù) )( dx dF(x) xf x df)( 1)()( Fdxxf 2 1 )( x x dxxf 概率密度函

6、數(shù)f(x) f(x)的性質(zhì)： 非負(fù)，即 f(x) 0 F(x)=P(Xx)= (因?yàn)閒(x)為F(x)的導(dǎo)數(shù)) P(x1x x2)= P(x x2) P(xx1)= 對(duì)于離散型的隨機(jī)變量，我們通過大量的統(tǒng)計(jì)測(cè)量其取某一值的概率， 對(duì)于連續(xù)型的隨機(jī)變量，我們往往通過統(tǒng)計(jì)知道其服從某一種分布即概率密度函數(shù) （如高斯分布、均勻分布、瑞利分布等），積分得到分布函數(shù) l二維分布函數(shù)：二維分布函數(shù)：兩個(gè)隨機(jī)變量?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量X X、Y Y，其可能取值為，其可能取值為 x x、y y，將兩個(gè)事件，將兩個(gè)事件(X x)(X x)和和(Y y)(Y y)同時(shí)出現(xiàn)的概同時(shí)出現(xiàn)的概 率定義為二維隨機(jī)變量率定義為二維隨

7、機(jī)變量X X、Y Y的二維（聯(lián)合概率）分的二維（聯(lián)合概率）分 布函數(shù)，布函數(shù)，F(xiàn)( X,Y)F( X,Y)。即。即F( X,Y)=P(X x, Y y)F( X,Y)=P(X x, Y y) l概率密度函數(shù)：概率密度函數(shù)：若二維分布函數(shù)若二維分布函數(shù)F( X,Y)F( X,Y)是連續(xù)的是連續(xù)的 ，且二階混合偏導(dǎo)數(shù)存在，則定義，且二階混合偏導(dǎo)數(shù)存在，則定義 l 為二維概率密度函數(shù)，記為為二維概率密度函數(shù)，記為f(x,y)f(x,y)。 l顯然：顯然： ),( ),( 2 yxf yx yxF xy ddfyxF),(),( 多維隨機(jī)變量：如二維 lf(x,y)f(x,y)的性質(zhì)：的性質(zhì)： l f

8、(x,y) 0f(x,y) 0 l l l l 若若f(x,y)=f(x)f(y) , f(x,y)=f(x)f(y) , 則稱則稱X X、Y Y相互統(tǒng)計(jì)相互統(tǒng)計(jì) 獨(dú)立。獨(dú)立。 xy ddfyxF),(),( 1),( ddf dyyxfxF),()( dxyxfyF),()( 若X、Y相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，則f(x,y) =f(x)f(y) 概率密度函數(shù)f(x) l數(shù)學(xué)期望：數(shù)學(xué)期望：隨機(jī)變量隨機(jī)變量X X的統(tǒng)計(jì)平均值。的統(tǒng)計(jì)平均值。 l X X為連續(xù)隨機(jī)變量為連續(xù)隨機(jī)變量 X X為離散隨機(jī)變量為離散隨機(jī)變量 l性質(zhì)：性質(zhì)： l Ea= a Ea= a （ a a為常數(shù)）為常數(shù)） l Eax=a E

9、x Eax=a Ex l EX EXY= EX Y= EX EY EY（X X、Y Y均為隨機(jī)變量）均為隨機(jī)變量） dxxxf)(xEmx 11 x )()(xEm i ii i ii xPxxxPx 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 l 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的函數(shù)的函數(shù)g(x)的期望為的期望為 l X為連續(xù)隨機(jī)為連續(xù)隨機(jī) 變量變量 l l X為離散隨機(jī)變量為離散隨機(jī)變量 11 )()()()()x(gE i ii i ii xPxgxxPxg dxxfxg)()()x(gE l原點(diǎn)矩原點(diǎn)矩 l n階原點(diǎn)矩：階原點(diǎn)矩： l2階原點(diǎn)矩：階原點(diǎn)矩： 為為X的均方值的均方值。 l1階原點(diǎn)矩：階原點(diǎn)矩： 為為X的期望

10、。的期望。 l中心矩中心矩 ln階中心矩：階中心矩：E(x-mx)n= l1階中心矩：階中心矩： E(x-mx)1= Ex -Emx= mx- mx= 0 dxxfx n )(x E n dxxfx)(x E 22 dxxxf )( x E dxxfmx n x )()( l2 2階中心矩：階中心矩：方差方差 l =Dx = E(x-mx)2= l = Ex2-2 mxx+ mx2 l = Ex2-2mx2+mx2 l = Ex2- mx2 l = Ex2- E2x 均方值均方值- -均值的平方均值的平方 l2 2階中心矩稱為階中心矩稱為“方差方差”，用，用 或或 D(x)D(x)表示。表示。

11、反映隨機(jī)變量反映隨機(jī)變量X X相對(duì)相對(duì) 于統(tǒng)計(jì)平均值于統(tǒng)計(jì)平均值m mx x的分散（偏離）程度。均值和方差是描述隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)性質(zhì)最常的分散（偏離）程度。均值和方差是描述隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)性質(zhì)最常 用的二個(gè)主要衡量指標(biāo)。最常出現(xiàn)在哪一點(diǎn)，就是均值，偏離程度就是方差。用的二個(gè)主要衡量指標(biāo)。最常出現(xiàn)在哪一點(diǎn)，就是均值，偏離程度就是方差。 l性質(zhì)：性質(zhì)： Dx = Ex2- E2x l Da= Ea2- E2a =0 l Dax= Ea2x2- E2ax=a2 Ex2- E2x= a2Dx l DX Y = DX + DY 2CXY dxxfmx x )()( 22 x 2 x l 聯(lián)合矩聯(lián)合矩（針對(duì)二個(gè)隨

12、機(jī)變量而言）（針對(duì)二個(gè)隨機(jī)變量而言） l聯(lián)合原點(diǎn)矩：聯(lián)合原點(diǎn)矩：EXEXn nY Y k k 稱為兩個(gè)隨機(jī)變量 稱為兩個(gè)隨機(jī)變量X X和和Y Y的聯(lián)合原的聯(lián)合原 點(diǎn)矩，反映點(diǎn)矩，反映X X和和Y Y的關(guān)聯(lián)程度。的關(guān)聯(lián)程度。 l當(dāng)當(dāng)n=k=1n=k=1時(shí)，時(shí)， EXYEXY稱為稱為互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)或相關(guān)矩?；蛳嚓P(guān)矩。 l聯(lián)合中心矩：聯(lián)合中心矩： E(X-EX)E(X-EX)n n (Y-EY) (Y-EY)k k l 當(dāng)當(dāng)n=k=1n=k=1時(shí)，時(shí)，E(X-EX)(Y-EY)=CE(X-EX)(Y-EY)=CXY XY 協(xié)方差 協(xié)方差 lE(X-EX)(Y-EY)=E(XY-Y mE(X-E

13、X)(Y-EY)=E(XY-Y mx x-X m-X my y+m+mx xm my y) l = EXY- EXEY =R = EXY- EXEY =RXY XY m mx xm my y l C CXYXY=R =RXY XY m mx xm my y l當(dāng)當(dāng)C CXY XY=0 =0時(shí)，稱時(shí)，稱X X與與Y Y不相關(guān)不相關(guān)。此時(shí)：。此時(shí)： EXY= EXEY EXY= EXEY xy Rdxdyyxxyf ),(EXY lX X與與Y Y不相關(guān)時(shí)：不相關(guān)時(shí)： l CXY= EXY- EX EY=0 lRXY =EXY= EX EY lDXY= DX+ DY 統(tǒng)計(jì)獨(dú)立與不相關(guān)：是兩個(gè)不同的

14、概念。 u若兩隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，則它們必然是不相關(guān)的。 若f(x,y)=f(x)f(y) , 則稱X、Y相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。 也滿足： RXY= EXY= EX EY及CXY= rxy=0 u若X與Y不相關(guān)，不一定統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。 不相關(guān)的充要條件為：CXY= rxy=0 協(xié)方差為0 例例3.1-1 3.1-1 隨機(jī)過程隨機(jī)過程X(t)X(t)取離散值取離散值2 2，5 5，8 8，概率，概率 分別為分別為0.50.5、0.20.2、0.30.3，求該隨機(jī)過程的方差。，求該隨機(jī)過程的方差。 =26.24.42=6.84 1 2 1 22 )()(x E i i i i xPxxxPx ii 11 x )(

15、)( xEm i ii i ii xPxxxPx =2P(2)+5P(5)+8P(8) =20.5+50.2+80.3=4.4 =220.5+520.2+82 0.3=26.2 D(X)= E(X2) E2(X) l 在區(qū)間（在區(qū)間（-）均勻分布，則）均勻分布，則 l的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為 f()= 1/2, - f()= 1/2, - 2時(shí)， 22 1 1)( ax erfcxF 22 ( )1( ) t x erfc xerf xedt 21 ( ) x erfc xe x 76 第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 p用Q函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)： Q函數(shù)定義： Q函數(shù)和erfc函數(shù)的關(guān)系

16、： Q函數(shù)和分布函數(shù)F(x)的關(guān)系： Q函數(shù)值也可以從查表得到。 2 /2 1 ( ) 2 t x Q xedt 22 1 )( x erfcxQ)2(2)(xQxerfc ax Q ax erfcxF1 22 1 1)( l上述特性是高斯過程特有的，一般隨機(jī)過程無此特性。上述特性是高斯過程特有的，一般隨機(jī)過程無此特性。 一般隨機(jī)過程一般隨機(jī)過程高斯過程高斯過程 若統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，則必不相關(guān)；若統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，則必不相關(guān)； 反之，則不然，即：若不相反之，則不然，即：若不相 關(guān)，則不一定統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。關(guān)，則不一定統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。 若不相關(guān)，則統(tǒng)計(jì)若不相關(guān)，則統(tǒng)計(jì) 獨(dú)立。獨(dú)立。 若狹義平穩(wěn)，則必廣義平穩(wěn)；若狹義平穩(wěn)，則

17、必廣義平穩(wěn)； 反之，則不然，即：若廣義反之，則不然，即：若廣義 平穩(wěn)，則不一定狹義平穩(wěn)。平穩(wěn)，則不一定狹義平穩(wěn)。 若廣義平穩(wěn)，則狹若廣義平穩(wěn)，則狹 義平穩(wěn)。義平穩(wěn)。 高斯過程與一般隨機(jī)過程性能比較高斯過程與一般隨機(jī)過程性能比較 dz az xpxF x 2 )( exp 2 1 )()( 2 2 2 1 )(zf z x 藍(lán)線下面積為為藍(lán)線下面積為為F(x)F(x) 紅線下面積為紅線下面積為Q Q函數(shù)函數(shù) 高斯分布函數(shù)的計(jì)算高斯分布函數(shù)的計(jì)算-查表法（附錄查表法（附錄B B）計(jì)算高斯過程的分布計(jì)算高斯過程的分布函數(shù)函數(shù) ) 2 ( 2 1 2 1 ax erf x t dtexerf 0 22

18、 )( 誤差函數(shù)：誤差函數(shù)： 或：或： ) 2 ( 2 1 1 ax erfc 互補(bǔ)誤差函數(shù)：互補(bǔ)誤差函數(shù)： 21 )( x e x xerfc ax Q或：或： Q(x)Q(x)函數(shù)：函數(shù)： dteQ(x) x t 2/ 2 2 1 lZ(t)=XZ(t)=X1 1coswcosw0 0t tX X2 2sinwsinw0 0t t 是一隨機(jī)過程。若是一隨機(jī)過程。若X X1 1、X X2 2 是彼此獨(dú)立且具有均值為是彼此獨(dú)立且具有均值為0 0，方差為，方差為2 2的正態(tài)隨機(jī)的正態(tài)隨機(jī) 變量，求：變量，求： l EZ(t) EZ(t) 、 DZ(t)DZ(t) l Z(t) Z(t)的一維概率

19、密度函數(shù)的一維概率密度函數(shù)f(z)f(z) l Z(t) Z(t)的自相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)R Rz z(t(t1 1、t t2 2) ) l 此隨機(jī)過程是否廣義平穩(wěn)？此隨機(jī)過程是否廣義平穩(wěn)？ l Z(t)Z(t)的平均功率的平均功率, ,直流功率直流功率, ,交流功率交流功率. . 例例3.2-2 3.2-2 lEZEZ2 2(t)(t)= E(X= E(X1 1coswcosw0 0t t X X2 2sinwsinw0 0t)t)2 2 l =cos =cos2 2w w0 0t EXt EX1 12 2 2cosw2cosw0 0tsinwtsinw0 0t EXt EX1 1X X2

20、2 sinsin2 2w w0 0t EXt EX2 22 2 l DX DX1 1= EX= EX1 12 2 E E2 2XX1 1 = = 2 2， E E2 2XX1 1 =0 =0 l EX EX1 12 2 = = 2 2 同理：同理： EXEX2 22 2 = = 2 2 l X X1 1、 X X2 2是彼此獨(dú)立是彼此獨(dú)立 lEXEX1 1X X2 2 = EX = EX1 1 EX EX2 2 =0 =0 l EZ EZ2 2(t)= cos(t)= cos2 2w w0 0t t 2 2 + sin + sin2 2w w0 0t t2 2 = = 2 2 lDZ(t)=

21、EZDZ(t)= EZ2 2(t)(t)E E2 2Z(t)Z(t) = = 2 2 EZ(t)EZ(t)=EX=EX1 1coswcosw0 0t tX X2 2sinwsinw0 0t =coswt =cosw0 0t tEXEX1 1 sinwsinw0 0t tEXEX2 2 （注意：對(duì)隨機(jī)變量求均值）（注意：對(duì)隨機(jī)變量求均值） 已知已知 EXEX1 1 = EX = EX2 2 =0 EZ(t) =0 =0 EZ(t) =0 （注意：（注意：cosw0tcosw0t是常數(shù)）是常數(shù)） l(5) EZ(t) =0, Z(t)(5) EZ(t) =0, Z(t)的直流功率的直流功率= E=

22、 E2 2Z(t)=0,Z(t)=0, l 交流功率交流功率= DZ(t) = = DZ(t) = 2 2 l 平均功率平均功率= =直流功率直流功率+ +交流功率交流功率=2 2 或 或: EZ: EZ2 2(t)= (t)= 2 2 Z(t)=X Z(t)=X1 1coswcosw0 0t tX X2 2sinwsinw0 0t t 是正態(tài)隨機(jī)變量是正態(tài)隨機(jī)變量X X1 1、 X X2 2的線性變的線性變 換，所以換，所以Z(t)Z(t)是正態(tài)隨機(jī)過程，只要求出是正態(tài)隨機(jī)過程，只要求出Z(t)Z(t)的均值和方差，的均值和方差， 帶入正態(tài)分布的一維概率密度函數(shù)公式即得帶入正態(tài)分布的一維概率

23、密度函數(shù)公式即得: : ) 2 exp( 2 1 ) 2 )( exp( 2 1 )( 2 2 2 2 zaz zf l(3) R z(t1、t2) = EZ(t1) Z(t2) l= E(X1cosw0t1 - X2sinw0t1)(X1cosw0t2 - X2sinw0t2) l = cosw0t1cosw0t2 EX12 - cosw0t1sinw0t2 EX1X2 l -sinw0t1cosw0t2 EX1X2 +sinw0t1sinw0t2 EX22 l = =2cosw0t1cosw0t2 + sinw0t1sinw0t2 l = = 2cosw0( t1-t2) = 2cosw0

24、 l a = EZ(t) = 0為常數(shù)，為常數(shù)， Rz(t1、t2) = Rz()是是的函的函 數(shù)數(shù) l 此隨機(jī)過程是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。此隨機(jī)過程是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。 Z(t)=XZ(t)=X1 1coswcosw0 0t tX X2 2sinwsinw0 0t t EX1X2 = EX1 EX2 X1與與X2不相關(guān)不相關(guān) 典型隨機(jī)過程典型隨機(jī)過程 1. 1. 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程 2. 2. 高斯隨機(jī)過程高斯隨機(jī)過程 3.3.隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 4. 4. 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)的一些性質(zhì) 僅討論平穩(wěn)過程通過線性時(shí)不變物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的情況僅討

25、論平穩(wěn)過程通過線性時(shí)不變物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的情況，針對(duì)確知，針對(duì)確知 信號(hào)。輸入過程信號(hào)。輸入過程 i i(t) (t) ，輸出過程，輸出過程o o(t)(t)的統(tǒng)計(jì)特性：的統(tǒng)計(jì)特性： 1、Eo(t) Eo(t)= Ei(t) H(0) = a H(0) 2、Ro(t1, t1+)= Ro() 若線性系統(tǒng)的輸入過程是平穩(wěn)的，那么輸出過程也是平穩(wěn)的。若線性系統(tǒng)的輸入過程是平穩(wěn)的，那么輸出過程也是平穩(wěn)的。 3 3、功率譜密度：、功率譜密度： )()()()()()( 2 0 wpwHwPwHwHwp ii 4. 4. 概率分布：概率分布：如果輸入是高斯過程，則系統(tǒng)的輸出也是高斯過程。如果輸入是高斯過程

26、，則系統(tǒng)的輸出也是高斯過程。 線性系統(tǒng)線性系統(tǒng) H(w)H(w) i i(t)(t) o o(t)(t) 85 第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 l3.4 平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) n確知信號(hào)通過線性系統(tǒng)（復(fù)習(xí)） ： 式中 vi 輸入信號(hào)， vo 輸出信號(hào) 對(duì)應(yīng)的傅里葉變換關(guān)系： n隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)： u假設(shè)：i(t) 是平穩(wěn)的輸入隨機(jī)過程， a 均值， Ri() 自相關(guān)函數(shù)， Pi() 功率譜密度； 求輸出過程o(t)的統(tǒng)計(jì)特性，即它的均值、自相關(guān)函 數(shù)、功率譜以及概率分布。 dtvhtvthtv ii )()()()()( 0 )f ()f ()f ( 0i VHV

27、 dtht i )()()( 0 86 第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 u一、輸出過程o(t)的均值 對(duì)下式兩邊取統(tǒng)計(jì)平均： 得到 設(shè)輸入過程是平穩(wěn)的 ，則有 （1） 式中，H(0)是線性系統(tǒng)在 f = 0處的頻率響應(yīng)，即直流增 益，因此輸出過程的均值是一個(gè)常數(shù)。 dtht i )()()( 0 dtEhdthEtE ii )()()()()( 0 atEtE ii )()( )0()()( 0 HadhatE 87 第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 u二、輸出過程o(t)的自相關(guān)函數(shù)：根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義 根據(jù)輸入過程的平穩(wěn)性，有 于是 （2） 上式表明,輸出過程的自相關(guān)函數(shù)僅是時(shí)間間隔 的函數(shù)。

28、 由上（1，2）兩式可知，若線性系統(tǒng)的輸入是平穩(wěn)的，則 輸出也是平穩(wěn)的。 ddttEhh dthdthE ttEttR ii ii )()()()( )()()()( )()(),( 11 11 1010110 )()()( 11 iii RttE )()()()(),( 0110 RddRhhttR i 88 第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 u三、輸出過程o(t)的功率譜密度 對(duì)下式進(jìn)行傅里葉變換： 得出 令 = + - ，代入上式，得到 即 結(jié)論：輸出過程的功率譜密度是輸入過程的功率譜密度乘 以系統(tǒng)頻率響應(yīng)模值的平方。 應(yīng)用：由Po( f )的反傅里葉變換求Ro() )()()()(),(

29、0110 RddRhhttR i deRfP j )()( 00 deddRhh j i )()()( 0 )()()()( deRdehdehfP j i jj )()()()()()( 2 0 fPfHfPfHfHfP ii 89 第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 u四、輸出過程o(t)的概率分布 p如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過 程也是高斯型的。 因?yàn)閺姆e分原理看， 可以表示為： 由于已假設(shè)i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一項(xiàng) 在任一時(shí)刻上都是一個(gè)高斯隨機(jī)變量。因此，輸出過程 在任一時(shí)刻上得到的隨機(jī)變量就是無限多個(gè)高斯隨機(jī)變 量之和。由概率論理論得知，這個(gè)“和” 也是高

30、斯隨機(jī) 變量，因而輸出過程也為高斯過程。 注意，與輸入高斯過程相比，輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變 了。 kkk k i htt k )()(lim)( 0 0 0 dtht i )()()( 0 90 第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 l3.5 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程 n什么是窄帶隨機(jī)過程？ 若隨機(jī)過程(t)的譜密度集中在中心頻率 fc附近相對(duì)窄的頻帶范圍f 內(nèi)，即滿足f fc 的條件，且 fc 遠(yuǎn)離零頻率，則稱該(t)為窄帶 隨機(jī)過程。 窄帶隨機(jī)過程的定義 所謂“窄帶”系統(tǒng)，是指其頻譜被限制在載波或某中心頻率附 近一個(gè)窄的頻帶上，而這個(gè)中心頻率又遠(yuǎn)離零頻率。 例如隨機(jī)過程通過以例如隨機(jī)過程通過以

31、fcfc為中心頻率的為中心頻率的帶通濾波器帶通濾波器后，即是窄帶過程。實(shí)際后，即是窄帶過程。實(shí)際 中，大多數(shù)通信系統(tǒng)都是窄帶型的，信號(hào)和噪聲都滿足中，大多數(shù)通信系統(tǒng)都是窄帶型的，信號(hào)和噪聲都滿足“窄帶窄帶”的假設(shè)。的假設(shè)。 通帶寬度通帶寬度ffcffc，且，且f fc c遠(yuǎn)離零遠(yuǎn)離零 頻率頻率 窄帶過程的頻譜和波形示意 fcO S( f ) ff fc f (a) t O S( f ) 緩慢變化的包絡(luò)a(t) 頻率近似為 fc (b) t 用示波器觀察一個(gè)實(shí)現(xiàn)的用示波器觀察一個(gè)實(shí)現(xiàn)的 波形，它是一個(gè)頻率近似波形，它是一個(gè)頻率近似 為為fcfc，包絡(luò)和相位隨機(jī)緩，包絡(luò)和相位隨機(jī)緩 變的正弦波。變

32、的正弦波。 ffcffc， 且且f fc c遠(yuǎn)離遠(yuǎn)離 零頻率零頻率 93 第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 n窄帶隨機(jī)過程的一個(gè)樣本波形如同一個(gè)包絡(luò)和 相位隨機(jī)緩變的正弦波 n窄帶隨機(jī)過程的表示式 式中，a (t) 隨機(jī)包絡(luò)， (t) 隨機(jī)相位 c 中心角頻率 顯然， a (t)和 (t)的變化相對(duì)于載波cos ct的變化 要緩慢得多。 0)(,)(cos)()(tatttat c 94 第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 n窄帶隨機(jī)過程表示式展開 可以展開為 式中 (t)的同相分量 (t)的正交分量 可以看出： (t)的統(tǒng)計(jì)特性由a (t)和 (t)或c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性確定。 若(t)的統(tǒng)計(jì)

33、特性已知，則a (t)和 (t)或c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特 性也隨之確定。 0)(,)(cos)()(tatttat c ttttt cscc sin)(cos)()( )(cos)()(ttat c )(sin)()(ttat s 同相和正交分量的統(tǒng)計(jì)特性同相和正交分量的統(tǒng)計(jì)特性 它的同相分量它的同相分量c(t)c(t)和正交分量和正交分量s(t)s(t)也是平穩(wěn)高斯過程，也是平穩(wěn)高斯過程， 而且均值都為零，方差也相同。而且均值都為零，方差也相同。 在同一時(shí)刻上得到的在同一時(shí)刻上得到的c(t)c(t)和和s(t)s(t)是互不相關(guān)的或統(tǒng)計(jì)獨(dú)是互不相關(guān)的或統(tǒng)計(jì)獨(dú) 立的。立的。 u前提條件：針

34、對(duì)一個(gè)均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程前提條件：針對(duì)一個(gè)均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程(t)(t)； u結(jié)論：結(jié)論： 包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)特性包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)特性 包絡(luò)包絡(luò)a a (t) (t)的一維分布是瑞利分布：的一維分布是瑞利分布： 相位相位 (t) (t)的一維分布是在（的一維分布是在（0 0，22）內(nèi)均勻分布；）內(nèi)均勻分布； 就一維分布而言，就一維分布而言，a a (t) (t)與與 (t) (t)是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，即：是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，即： u前提條件：針對(duì)一個(gè)均值為零，方差為前提條件：針對(duì)一個(gè)均值為零，方差為2 2 的窄帶平穩(wěn)高斯過程 的窄帶平穩(wěn)高斯過程(t) (t) u結(jié)論：結(jié)論： f(a f(a

35、, , )=f(a )=f(a ) )f( f( ) ) 0, 2 exp)( 2 2 2 a aa af 97 第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 n3.5.1 c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性 p數(shù)學(xué)期望：對(duì)下式求數(shù)學(xué)期望： 得到 因?yàn)?t)平穩(wěn)且均值為零，故對(duì)于任意的時(shí)間t，都有 E(t) = 0 ，所以 ttttt cscc sin)(cos)()( ttEttEt cscc sin)(cos)()(E 0)(0)(tEtE sc ， 98 第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 p(t)的自相關(guān)函數(shù)：由自相關(guān)函數(shù)的定義式 式中 因?yàn)?t)是平穩(wěn)的，故有 這就要求上式的右端與時(shí)間t無關(guān)，而僅與有關(guān)。 因此

36、，若令 t = 0，上式仍應(yīng)成立，它變?yōu)?)()(),( ttEttR )(sinsin),( )(cossin),( )(sincos),( )(coscos),( ttttR ttttR ttttR ttttR ccs ccsc cccs ccc )()(),( )()(),( )()(),( )()(),( ttEttR ttEttR ttEttR ttEttR sss cssc sccs ccc )(),( RttR ccscc ttRttRRsin),(cos),()( 99 第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 因與時(shí)間t無關(guān)，以下二式自然成立 所以，上式變?yōu)?再令 t = /2c，同理可

37、以求得 由以上分析可知，若窄帶過程(t)是平穩(wěn)的，則c(t)和s(t) 也必然是平穩(wěn)的。 ccscc ttRttRRsin),(cos),()( )(),( )(),( cscs cc RttR RttR ccscc RRRsin)(cos)()( csccs RRRsin)(cos)()( 100 第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 p進(jìn)一步分析，下兩式 應(yīng)同時(shí)成立，故有 上式表明，同相分量c(t) 和正交分量s(t)具有相同的自相關(guān)函數(shù)。 根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)有 代入上式，得到 上式表明Rsc()是 的奇函數(shù)，所以 同理可證 ccscc RRRsin)(cos)()( csccs RRRsi

38、n)(cos)()( )()( sc RR)()( sccs RR )()( sccs RR )()( scsc RR 0)0( sc R 0)0( cs R 101 第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 將 代入下兩式 得到 即 上式表明(t) 、 c(t)和s(t)具有相同的平均功 率或方差。 csccs RRRsin)(cos)()( ccscc RRRsin)(cos)()( 0)0( sc R0)0( cs R )0()0()0( sc RRR 222 sc 102 第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 p根據(jù)平穩(wěn)性，過程的特性與變量t無關(guān)，故由式 得到 因?yàn)?t)是高斯過程，所以， c(t1)，

39、s(t2)一定是高斯隨機(jī) 變量，從而c(t) 、 s(t)也是高斯過程。 p根據(jù) 可知， c(t) 與s(t)在 = 0處互不相關(guān)，又由于它們是高斯 型的，因此c(t) 與s(t)也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。 ttttt cscc sin)(cos)()( )()(,0 111 tttt c 時(shí) )()(, 2 222 tttt s c 時(shí) 0)0( cs R 103 第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 u結(jié)論結(jié)論：一個(gè)均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程(t) ，它的同 相分量c(t)和正交分量s(t)同樣是平穩(wěn)高斯過程，而且 均值為零，方差也相同。此外，在同一時(shí)刻上得到的c 和s是互不相關(guān)的或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。 104 第

40、第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 n3.5.2 a(t)和(t)的統(tǒng)計(jì)特性 u聯(lián)合概率密度函數(shù) f (a , ) 根據(jù)概率論知識(shí)有 由 可以求得 ),( )( ),(),( , a faf sc sc sin cos a a s c ),( )( , a sc sc sc aa a aa cossin sincos 2 exp 2 1 )()(),( 2 22 2 sc scsc fff 105 第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 于是有 式中 a 0, = (0 2) 2 )sin()cos( exp 2 ),(),( 22 2 aaa faaf sc 2 2 2 2 exp 2 aa 106 第第3章

41、章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 ua的一維概率密度函數(shù) 可見， a服從瑞利(Rayleigh)分布。 2 0 2 2 2 2 exp 2 ),()(d aa dafaf 0 2 exp 2 2 2 a aa 107 第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 u的一維概率密度函數(shù) 可見， 服從均勻分布。 20 2 1 2 exp 2 1 ),()( 0 2 2 2 0 da aa daaff 108 第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 u結(jié)論 一個(gè)均值為零，方差為2的窄帶平穩(wěn)高斯過程(t)，其 包絡(luò)a(t)的一維分布是瑞利分布，相位(t)的一維分布 是均勻分布，并且就一維分布而言， a(t)與(t)是統(tǒng)計(jì) 獨(dú)立的 ，即有

42、(,)()()f af af 第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 l3.6 正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲 l通信系統(tǒng)中為了減少噪聲，在解調(diào)器（接 收機(jī)）前加一個(gè)帶通濾波器，以濾除信號(hào) 頻帶以外的噪聲。這時(shí)帶通濾波器的輸出 就是正弦波已調(diào)信號(hào)與窄帶高斯噪聲的混 合波形。 109 正弦波加窄帶高斯噪聲 接收機(jī)前端帶通濾波器的輸出是信號(hào)與窄帶噪聲的混合波形。通信系統(tǒng)中最常接收機(jī)前端帶通濾波器的輸出是信號(hào)與窄帶噪聲的混合波形。通信系統(tǒng)中最常 見的是正弦波加窄帶高斯噪聲的合成波：見的是正弦波加窄帶高斯噪聲的合成波： r(t)=A cos(ct+)+n(t) 信號(hào)部分信號(hào)部分 正弦波加窄帶高斯過程的

43、正弦波加窄帶高斯過程的包絡(luò)包絡(luò)概率密度函數(shù)為概率密度函數(shù)為廣義瑞利分布廣義瑞利分布，也稱，也稱萊斯分布萊斯分布。 0),()( 2 1 exp)( 2 0 22 22 z Az IAz z zf nnn 噪聲部分噪聲部分n(t)=nc(t) cosct-ns(t) sinct 小信噪比時(shí)，合成波的包絡(luò)接近于瑞利分布，相位接近于均勻分小信噪比時(shí)，合成波的包絡(luò)接近于瑞利分布，相位接近于均勻分 布；大信噪比時(shí)，包絡(luò)接近于高斯分布，相位集中在有用信號(hào)相布；大信噪比時(shí)，包絡(luò)接近于高斯分布，相位集中在有用信號(hào)相 位附近。位附近。 正弦波加窄帶高斯過程的包絡(luò)與相位分布 n f (z) 0.5 0.4 0.3

44、 0.2 0.1 r 0 nAz (a) 0 r 0 f () (b) 0 r 1 r 1 (瑞利分布瑞利分布) (高斯分布高斯分布) 112 第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 l3.6 正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲 n正弦波加窄帶高斯噪聲的表示式 式中 窄帶高斯噪聲 正弦波的隨機(jī)相位，均勻分布在0 2間 A和c 確知振幅和角頻率 于是有 式中 )()cos()(tntAtr c ttnttntn cscc sin)(cos)()( )(cos)( sin)(cos)( sin)(sincos)(cos)( tttz ttzttz ttnAttnAtr c cScc cscc )(co

45、s)(tnAtz cc )(sin)(tnAtz ss 113 第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 n正弦波加窄帶高斯噪聲的包絡(luò)和相位表示式 包絡(luò)： 相位： 0,)()()( 22 ztztztz sc )20(, )( )( )( 1 tz tz tgt c s 114 第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 n正弦波加窄帶高斯噪聲的包絡(luò)的統(tǒng)計(jì)特性 u包絡(luò)的概率密度函數(shù) f (z) 利用上一節(jié)的結(jié)果，如果值已給定，則zc、zs是相互獨(dú) 立的高斯隨機(jī)變量，且有 所以，在給定相位 的條件下的zc和zs的聯(lián)合概率密度函 數(shù)為 222 sin cos nsc s c AzE AzE 22 22 )sin()cos(

46、 2 1 exp 2 1 )/,( AzAzzzf sc nn sc 115 第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 利用與上一節(jié)分析a和相似的方法，根據(jù)zc，zs與z，之間 的隨機(jī)變量關(guān)系 可以求得在給定相位 的條件下的z與的聯(lián)合概率密度函數(shù) 然后求給定條件下的邊際分布， 即 sin cos zz zz s c )/,()/,( sc zzfzf )( )( z, zz sc, )/,( sc zzfz )cos(2 2 1 exp 2 22 22 AzAz z nn d AzAzz dzfzf nnn )cos(exp 2 exp 2 )/,()/( 2 2 0 2 22 2 2 0 116 第第3

47、章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 由于 故有 式中 I0(x) 第一類零階修正貝塞爾函數(shù) 因此 由上式可見，f (, z)與無關(guān)，故的包絡(luò)z的概率密度函數(shù)為 稱為廣義瑞利分布，又稱萊斯（Rice）分布。 )(cosexp 2 1 0 2 0 xIdx 2 0 2 2 0 )cos(exp 2 1 nn Az Id Az 2 0 22 22 )( 2 1 exp)/( nnn Az IAz z zf 0)( 2 1 exp)( 2 0 22 22 z Az IAz z zf nnn 117 第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 u討論 p1. 當(dāng)信號(hào)很小時(shí)，即A 0時(shí)，上式中(Az/n2)很小， I0 (Az/n

48、2) 1，上式的萊斯分布退化為瑞利分布。 信號(hào)與噪聲的功率比：信噪比 p2. 當(dāng)(Az/n2)很大時(shí)，有 這時(shí)上式近似為高斯分布，即 0)( 2 1 exp)( 2 0 22 22 z Az IAz z zf nnn x e xI x 2 )( 0 2 2 2 )( exp 2 1 )( nn Az zf 2 2 2 n A r 118 第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 p包絡(luò)概率密度函數(shù) f (z)曲線 信噪比小時(shí)：瑞利分布 信噪比大時(shí)：高斯分布 119 第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 n正弦波加窄帶高斯噪聲的相位的統(tǒng)計(jì)特性 F() 通信過程中的噪聲 l高斯噪聲：幅度值的概率分布服從高斯分布。高斯

49、噪聲：幅度值的概率分布服從高斯分布。 l白噪聲：功率譜密度在頻域內(nèi)服從均勻分布白噪聲：功率譜密度在頻域內(nèi)服從均勻分布 l高斯白噪聲：高斯噪聲的功率譜密度在頻域內(nèi)服高斯白噪聲：高斯噪聲的功率譜密度在頻域內(nèi)服 從均勻分布。從均勻分布。 l通常假定通信系統(tǒng)中噪聲為高斯白噪聲，便于分通常假定通信系統(tǒng)中噪聲為高斯白噪聲，便于分 析和運(yùn)算，另一方面，真實(shí)代表噪聲信道噪聲的析和運(yùn)算，另一方面，真實(shí)代表噪聲信道噪聲的 特性。特性。 l窄帶高斯噪聲：當(dāng)高斯白噪聲通過中心頻率為窄帶高斯噪聲：當(dāng)高斯白噪聲通過中心頻率為fc 的窄帶系統(tǒng)時(shí)，就形成窄帶高斯噪聲。的窄帶系統(tǒng)時(shí)，就形成窄帶高斯噪聲。 l窄帶系統(tǒng)：通頻帶寬度

50、遠(yuǎn)小于通帶中心頻率。大窄帶系統(tǒng)：通頻帶寬度遠(yuǎn)小于通帶中心頻率。大 多數(shù)通信信道實(shí)際是窄帶系統(tǒng)。多數(shù)通信信道實(shí)際是窄帶系統(tǒng)。 120 121 第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 l3.7 高斯白噪聲和帶限白噪聲高斯白噪聲和帶限白噪聲 n白噪聲n (t) u定義：功率譜密度在所有頻率上均為常數(shù)的噪聲， 即 雙邊功率譜密度 或 單邊功率譜密度 式中 n0 正常數(shù) u白噪聲的自相關(guān)函數(shù)：對(duì)雙邊功率譜密度取傅里葉 反變換，得到相關(guān)函數(shù)： 2 )( 0 n fP n )(f 0 )(nfPn)(0 f )( 2 )( 0 n R 白噪聲功率譜密度在整個(gè)頻率范圍內(nèi)均勻分布，是一個(gè)理想的寬帶隨機(jī)白噪聲功率譜密度在整

51、個(gè)頻率范圍內(nèi)均勻分布，是一個(gè)理想的寬帶隨機(jī) 過程。即雙邊功率譜密度為過程。即雙邊功率譜密度為n n0 0/2/2：（單邊的是：（單邊的是n n0 0, ,實(shí)際的噪聲實(shí)際的噪聲) ) 2 0 n R()=R()= )( 2 0 n P()= )( 2 0 n 0 0 2 0 n 0 0 f 白噪聲白噪聲 說明說明白噪聲在任意兩個(gè)時(shí)刻上的隨機(jī)變量都是互不相關(guān)的。白噪聲在任意兩個(gè)時(shí)刻上的隨機(jī)變量都是互不相關(guān)的。 只在只在=0時(shí)才相時(shí)才相 關(guān)關(guān) 0， R()=0 n n0 0為常數(shù)，單位：為常數(shù)，單位：w/Hz(w/Hz(瓦瓦/ /赫茲赫茲) ) 理想化的白噪聲在實(shí)際中是不存在的，但是，如果噪聲的功率

52、譜的頻率范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)大理想化的白噪聲在實(shí)際中是不存在的，但是，如果噪聲的功率譜的頻率范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)大 于通信系統(tǒng)的工作頻帶，可以視為白噪聲。在通信系統(tǒng)中，一般把信道噪聲近似為于通信系統(tǒng)的工作頻帶，可以視為白噪聲。在通信系統(tǒng)中，一般把信道噪聲近似為 白噪聲。白噪聲。 123 第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 u白噪聲的功率 由于白噪聲的帶寬無限，其平均功率為無窮大，即 或 p因此，真正“白”的噪聲是不存在的，它只是構(gòu)造的一 種理想化的噪聲形式。 p實(shí)際中，只要噪聲的功率譜均勻分布的頻率范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)大 于通信系統(tǒng)的工作頻帶，我們就可以把它視為白噪聲。 p如果白噪聲取值的概率分布服從高斯分布，則稱之為高 斯白噪聲。

53、p高斯白噪聲在任意兩個(gè)不同時(shí)刻上的隨機(jī)變量之間，不 僅是互不相關(guān)的，而且還是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。 f 2 n )0( 0 dR )0( 2 )0( 0 n R 124 第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 n低通白噪聲低通白噪聲 u定義：如果白噪聲通過理想矩形的低通濾波器或理想 低通信道，則輸出的噪聲稱為低通白噪聲。 u功率譜密度 p由上式可見，白噪聲的功率譜密度被限制在| f | fH內(nèi)， 通常把這樣的噪聲也稱為帶限白噪聲。 u自相關(guān)函數(shù) 其它0 2 )( 0 H n ff n fP H H H f f fnR 2 2sin )( 0 125 第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 u功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)曲線 p由

54、曲線看出，這種帶限白噪聲只有在 上得到的隨機(jī)變量才不相關(guān)。 ), 3 , 2 , 1(2/kfk H 如果白噪聲被限制在如果白噪聲被限制在(-f(-fH H,f,fH H) )之內(nèi)，則稱為帶限白噪聲之內(nèi)，則稱為帶限白噪聲。 l例如：功率譜密度為例如：功率譜密度為n n0 0/2/2的白噪聲的白噪聲n ni i(t)(t)通過截止頻通過截止頻 率為率為f fH H的理想低通濾波器后，即成為帶限白噪聲。的理想低通濾波器后，即成為帶限白噪聲。 帶限白噪聲的定義帶限白噪聲的定義 求帶限白噪聲的功率譜密度、自相關(guān)函數(shù)和噪聲平均功率。求帶限白噪聲的功率譜密度、自相關(guān)函數(shù)和噪聲平均功率。 H nK i wwwHwpwp 2 0 | ,)()()( 2 2 nn0 0 輸出噪聲的功率譜密度輸出噪聲的功率譜密度在在|H H內(nèi)是均勻的內(nèi)是均勻的， 在此范圍外為在此范圍外為 零。其自相關(guān)函數(shù)為零。其自相關(guān)函數(shù)為 )(F)( 0n 1 0n wPR H H H w w fnk sin 0 2 0 H nK i wwwHwpwp 2 0 | ,)()()( 2 2 nn0 0 t)(wSf(t) Ha w H = k /2f= k /2fH H時(shí)過零點(diǎn)時(shí)過零點(diǎn) 對(duì)帶限白噪聲按抽樣定理抽樣，各抽樣值是互不相關(guān)的隨機(jī)變量對(duì)帶限白噪聲按抽樣定理抽樣，各抽樣值是互不相關(guān)的隨機(jī)變量 lPi(w)