Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型

1、2021-7-12Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型1 第第 六六 章章 BlackBlack-ScholesScholes期權(quán)定價(jià)模型期權(quán)定價(jià)模型 2021-7-12Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型2 BlackBlack-ScholesScholes期權(quán)定價(jià)模型的基本思路期權(quán)定價(jià)模型的基本思路 n期權(quán)是標(biāo)的資產(chǎn)的衍生工具，其價(jià)格波動(dòng)的來(lái)源就是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)期權(quán)是標(biāo)的資產(chǎn)的衍生工具，其價(jià)格波動(dòng)的來(lái)源就是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià) 格的變化，期權(quán)價(jià)格受到標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的影響。格的變化，期權(quán)價(jià)格受到標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的影響。 n標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化過程是一個(gè)隨機(jī)過程。因此，期權(quán)價(jià)格變化標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化過程是一個(gè)隨

2、機(jī)過程。因此，期權(quán)價(jià)格變化 也是一個(gè)相應(yīng)的隨機(jī)過程。也是一個(gè)相應(yīng)的隨機(jī)過程。 n金融學(xué)家發(fā)現(xiàn)，股票價(jià)格的變化可以用金融學(xué)家發(fā)現(xiàn)，股票價(jià)格的變化可以用Ito過程來(lái)描述。而數(shù)學(xué)家過程來(lái)描述。而數(shù)學(xué)家 Ito發(fā)現(xiàn)的發(fā)現(xiàn)的Ito引理可以從股票價(jià)格的引理可以從股票價(jià)格的Ito過程推導(dǎo)出衍生證券價(jià)格所過程推導(dǎo)出衍生證券價(jià)格所 遵循的隨機(jī)過程。遵循的隨機(jī)過程。 n在股票價(jià)格遵循的隨機(jī)過程和衍生證券價(jià)格遵循的隨機(jī)過程中，在股票價(jià)格遵循的隨機(jī)過程和衍生證券價(jià)格遵循的隨機(jī)過程中， Black-Scholes發(fā)現(xiàn)，由于它們都只受到同一種不確定性的影響，如發(fā)現(xiàn)，由于它們都只受到同一種不確定性的影響，如 果通過買入和賣

3、空一定數(shù)量的衍生證券和標(biāo)的證券，建立一定的果通過買入和賣空一定數(shù)量的衍生證券和標(biāo)的證券，建立一定的 組合，可以消除這個(gè)不確定性，從而使整個(gè)組合只獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利組合，可以消除這個(gè)不確定性，從而使整個(gè)組合只獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利 率。從而得到一個(gè)重要的方程：率。從而得到一個(gè)重要的方程： Black-Scholes微分方程。微分方程。 n求解這一方程，就得到了期權(quán)價(jià)格的解析解。求解這一方程，就得到了期權(quán)價(jià)格的解析解。 2021-7-12Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型3 為什么要研究證券價(jià)格所遵循的隨機(jī)為什么要研究證券價(jià)格所遵循的隨機(jī) 過程過程? ? n期權(quán)是衍生工具，使用的是相對(duì)定價(jià)法，即相期權(quán)是衍生工

4、具，使用的是相對(duì)定價(jià)法，即相 對(duì)于對(duì)于證券價(jià)格的價(jià)格，因此要為期權(quán)定價(jià)首先證券價(jià)格的價(jià)格，因此要為期權(quán)定價(jià)首先 必須研究證券價(jià)格。必須研究證券價(jià)格。 n期權(quán)的價(jià)值正是來(lái)源于簽訂合約時(shí)，未來(lái)標(biāo)的期權(quán)的價(jià)值正是來(lái)源于簽訂合約時(shí)，未來(lái)標(biāo)的 資產(chǎn)價(jià)格與合約執(zhí)行價(jià)格之間的預(yù)期差異變化，資產(chǎn)價(jià)格與合約執(zhí)行價(jià)格之間的預(yù)期差異變化， 在現(xiàn)實(shí)中，資產(chǎn)價(jià)格總是隨機(jī)變化的。需要了在現(xiàn)實(shí)中，資產(chǎn)價(jià)格總是隨機(jī)變化的。需要了 解其所遵循的隨機(jī)過程。解其所遵循的隨機(jī)過程。 n研究變量運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)過程，可以幫助我們了解研究變量運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)過程，可以幫助我們了解 在特定時(shí)刻，變量取值的概率分布情況。在特定時(shí)刻，變量取值的概率分布情

5、況。 2021-7-12Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型4 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 n隨機(jī)過程是指某變量的值以某種不確定的方式隨機(jī)過程是指某變量的值以某種不確定的方式 隨時(shí)間變化的過程。隨時(shí)間變化的過程。 n隨機(jī)過程的分類隨機(jī)過程的分類 q離散時(shí)間、離散變量 q離散時(shí)間、連續(xù)變量 q連續(xù)時(shí)間、離散變量 q連續(xù)時(shí)間、連續(xù)變量 2021-7-12Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型5 幾種隨機(jī)過程幾種隨機(jī)過程 n標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)（維納過程標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)（維納過程 ） q起源于物理學(xué)中對(duì)完全浸沒于液體或氣體中，處于大量微小 分子撞擊下的的小粒子運(yùn)動(dòng)的描述。 q設(shè)t代表一個(gè)小的時(shí)間間隔長(zhǎng)度，z代表變量z在

6、t時(shí)間 內(nèi)的變化，遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的z具有兩種特征： n特征1： q其中，代表從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（即均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1.0的正態(tài)分 布）中取的一個(gè)隨機(jī)值。 n特征2：對(duì)于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔t ，z的值相互獨(dú)立。 q特征的理解 n特征1： n特征2: 馬爾可夫過程：只有變量的當(dāng)前值才與未來(lái)的預(yù)測(cè)有關(guān)， 變量過去的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式與未來(lái)的預(yù)測(cè) 無(wú)關(guān)。 zt 0,;zNtt方差為。 2021-7-12Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型6 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)（續(xù)）標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)（續(xù)） n考察變量考察變量z在一段較長(zhǎng)時(shí)間在一段較長(zhǎng)時(shí)間T中的變化情形：中的變化情形： qz（T）z(0)表示變量

7、z在T中的變化量 q又可被看作是在N個(gè)長(zhǎng)度為的小時(shí)間間隔中z的變化總量，其中 N=T/ t 。 q很顯然，這是n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的和： n因此，z（T）-z（0）也具有正態(tài)分布特征，其均值為0，方差為N t =T，標(biāo)準(zhǔn)差為 。 n為何定義為：為何定義為： q當(dāng)我們需要考察任意時(shí)間長(zhǎng)度間隔中的變量變化的情況時(shí)，獨(dú)立的 正態(tài)分布，期望值和方差具有可加性，而標(biāo)準(zhǔn)差不具有可加性。這 樣定義可以使方差與時(shí)間長(zhǎng)度成比例，不受時(shí)間劃分方法的影響。 q相應(yīng)的一個(gè)結(jié)果就是：標(biāo)準(zhǔn)差的單位變?yōu)?n連續(xù)時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)：連續(xù)時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)： q當(dāng)t 0時(shí)，我們就可以得到極限的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng) 1 ( )(0)

8、N i i z Tzt T tztz 而非 年 dzdt 2021-7-12Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型7 普通布朗運(yùn)動(dòng)普通布朗運(yùn)動(dòng) n變量變量x遵循普通布朗運(yùn)動(dòng)：遵循普通布朗運(yùn)動(dòng)： q其中，a和b均為常數(shù)，dz遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。 q這里的a為漂移率（Drift Rate），是指單位時(shí)間內(nèi)變量z均值 的變化值。 q這里的b2為方差率（Variance Rate），是指單位時(shí)間的方差。 q這個(gè)過程指出變量x關(guān)于時(shí)間和dz的動(dòng)態(tài)過程。其中第一項(xiàng) adt為確定項(xiàng)，它意味著x的期望漂移率是每單位時(shí)間為a。 第二項(xiàng)bdz是隨機(jī)項(xiàng)，它表明對(duì)x的動(dòng)態(tài)過程添加的噪音。這 種噪音是由維納過程的b倍給出

9、的。 n可以發(fā)現(xiàn)，任意時(shí)間長(zhǎng)度后，可以發(fā)現(xiàn)，任意時(shí)間長(zhǎng)度后，x值的變化都具有正態(tài)值的變化都具有正態(tài) 分布特征，其均值為分布特征，其均值為aT，標(biāo)準(zhǔn)差為，標(biāo)準(zhǔn)差為 ,方差為方差為b2T. dxadtbdz b T 2021-7-12Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型8 Ito過程和過程和Ito引理引理 n伊藤過程（伊藤過程（Ito Process）：）： q普通布朗運(yùn)動(dòng)假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂 移率和方差率當(dāng)作變量x和時(shí)間t的函數(shù)，我們就得到 其中，dz是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，a、b是變量x和t的函數(shù)， 變量x的漂移率為a，方差率為b2，都隨時(shí)間變化。這就是伊 藤過程。 nIto

10、引理引理 q若變量x遵循伊藤過程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過程： 其中，dz是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。由于a 和b都是x和t的函數(shù)， 因此函數(shù)G也遵循伊藤過程，它的漂移率為 方差率為 ( , )( , )dxa x t dtb x t dz 2 2 2 1 () 2 GGGG dGab dtbdz xtxx 2 2 2 1 2 GGG ab xtx 22 () G b x 2021-7-12Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型9 證券價(jià)格的變化過程證券價(jià)格的變化過程 n目的：找到一個(gè)合適的隨機(jī)過程表達(dá)式，來(lái)盡量準(zhǔn)確目的：找到一個(gè)合適的隨機(jī)過程表達(dá)式，來(lái)盡量準(zhǔn)確 地描述證券價(jià)格的變動(dòng)過程，同時(shí)

11、盡量實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)處理地描述證券價(jià)格的變動(dòng)過程，同時(shí)盡量實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)處理 上的簡(jiǎn)單性。上的簡(jiǎn)單性。 n基本假設(shè)：證券價(jià)格所遵循的隨機(jī)過程：基本假設(shè)：證券價(jià)格所遵循的隨機(jī)過程： q其中，S表示證券價(jià)格，表示證券在單位時(shí)間內(nèi)以連續(xù)復(fù)利 表示的期望收益率（又稱預(yù)期收益率），2 表示證券收 益率單位時(shí)間的方差，表示證券收益率單位時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差， 簡(jiǎn)稱證券價(jià)格的波動(dòng)率（Volatility），dz表示標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn) 動(dòng)。 一般和的單位都是年。 q很顯然，這是一個(gè)漂移率為S、方差率為2S2的伊藤過程。 也被稱為幾何布朗運(yùn)動(dòng) dS dSSdtSdzdtdz S 或 2021-7-12Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型1

12、0 為什么證券價(jià)格可以用幾何布朗運(yùn)動(dòng)為什么證券價(jià)格可以用幾何布朗運(yùn)動(dòng) 表示？表示？ n一般認(rèn)同的一般認(rèn)同的“弱式效率市場(chǎng)假說弱式效率市場(chǎng)假說”： q證券價(jià)格的變動(dòng)歷史不包含任何對(duì)預(yù)測(cè)證券價(jià)格未來(lái)變動(dòng)有用的信 息。 q馬爾可夫過程：只有變量的當(dāng)前值才與未來(lái)的預(yù)測(cè)有關(guān)，變量過去 的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式與未來(lái)的預(yù)測(cè)無(wú)關(guān)。 q幾何布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)項(xiàng)來(lái)源于維納過程dz，具有馬爾可夫性質(zhì)， 符合弱式假說。 n投資者感興趣的不是股票價(jià)格投資者感興趣的不是股票價(jià)格S，而是獨(dú)立于價(jià)格的收益率。投資，而是獨(dú)立于價(jià)格的收益率。投資 者不是期望股票價(jià)格以一定的絕對(duì)價(jià)格增長(zhǎng)，而是期望股票價(jià)格者不是期望股票價(jià)格

13、以一定的絕對(duì)價(jià)格增長(zhǎng)，而是期望股票價(jià)格 以一定的增長(zhǎng)率在增長(zhǎng)。因此需要用百分比收益率代替絕對(duì)的股以一定的增長(zhǎng)率在增長(zhǎng)。因此需要用百分比收益率代替絕對(duì)的股 票價(jià)格。票價(jià)格。 n幾何布朗運(yùn)動(dòng)最終隱含的是：股票價(jià)格的連續(xù)復(fù)利收益率（而不幾何布朗運(yùn)動(dòng)最終隱含的是：股票價(jià)格的連續(xù)復(fù)利收益率（而不 是百分比收益率）為正態(tài)分布；股票價(jià)格為對(duì)數(shù)正態(tài)分布。這比是百分比收益率）為正態(tài)分布；股票價(jià)格為對(duì)數(shù)正態(tài)分布。這比 較符合現(xiàn)實(shí)。較符合現(xiàn)實(shí)。 2021-7-12Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型11 百分比收益率與連續(xù)復(fù)利收益率百分比收益率與連續(xù)復(fù)利收益率 n百分比收益率：百分比收益率： n連續(xù)復(fù)利收益率連續(xù)

14、復(fù)利收益率: n百分比收益率的缺陷與連續(xù)復(fù)利收益率的優(yōu)點(diǎn)：百分比收益率的缺陷與連續(xù)復(fù)利收益率的優(yōu)點(diǎn)： q有限責(zé)任原則： n金融學(xué)中常常存在對(duì)實(shí)際收益率（近似）服從正態(tài)分布的隱含假定，但是在有限責(zé)任（投 資者頂多賠償全部的投資，不會(huì)損失更多）原則下，百分比收益率只在1和 之間變化， 不符合正態(tài)分布假定。 n對(duì)數(shù)收益率（ ， ）：更適合于建立正態(tài)分布的金融資產(chǎn)行為模型。 q多期收益率問題： n即使假設(shè)單期的百分比收益率服從正態(tài)分布，多期的百分比收益率是單期百分比收益率的 乘積，n個(gè)正態(tài)分布變量的乘積并非正態(tài)分布變量。從而產(chǎn)生悖論。 n多期的對(duì)數(shù)收益率是單期的對(duì)數(shù)收益率之和，仍然服從正態(tài)分布。 q交

15、叉匯率問題： n如果用百分比表示，例如美元對(duì)日元匯率變化收益率、日元對(duì)美元匯率變化收益率，兩者 絕對(duì)值不會(huì)相等；而且其中一個(gè)服從正態(tài)分布，另一個(gè)就無(wú)法服從正態(tài)分布；交叉匯率的 收益率難以直接計(jì)算。 n如果用對(duì)數(shù)收益率表示，兩個(gè)相互的匯率收益率絕對(duì)值正好相等而符號(hào)相反；可以滿足同 時(shí)服從正態(tài)分布的假設(shè)；交叉匯率收益率可以直接相加計(jì)算。 n連續(xù)復(fù)利收益率的問題：盡管時(shí)間序列的收益率加總可以很容易的實(shí)現(xiàn)；但是連續(xù)復(fù)利收益率的問題：盡管時(shí)間序列的收益率加總可以很容易的實(shí)現(xiàn)；但是 橫截面的收益率加總則不是單個(gè)資產(chǎn)收益率的加權(quán)平均值，因?yàn)閷?duì)數(shù)之和不是橫截面的收益率加總則不是單個(gè)資產(chǎn)收益率的加權(quán)平均值，因?yàn)?/p>

16、對(duì)數(shù)之和不是 和的對(duì)數(shù)。但是在很短時(shí)間內(nèi)幾乎可以認(rèn)為是近似。和的對(duì)數(shù)。但是在很短時(shí)間內(nèi)幾乎可以認(rèn)為是近似。JP摩根銀行的摩根銀行的 RiskMetrics方法就假定組合的收益率是單個(gè)資產(chǎn)連續(xù)復(fù)利收益率的加權(quán)平均。方法就假定組合的收益率是單個(gè)資產(chǎn)連續(xù)復(fù)利收益率的加權(quán)平均。 0 0 T SSS SS 或 0 lnln T SS 2021-7-12Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型12 幾何布朗運(yùn)動(dòng)的深入分析幾何布朗運(yùn)動(dòng)的深入分析 n在很短的時(shí)間在很短的時(shí)間tt后，后，證券價(jià)格比率的變化值證券價(jià)格比率的變化值 為：為： n可見，在短時(shí)間內(nèi)，可見，在短時(shí)間內(nèi)， 具有正態(tài)分布特征具有正態(tài)分布特征 n

17、其均值為其均值為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為，標(biāo)準(zhǔn)差為 ，方差為，方差為 。 S S tt S S (,) S tt S t t 2 t 2021-7-12Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型13 幾何布朗運(yùn)動(dòng)的深入分析（幾何布朗運(yùn)動(dòng)的深入分析（2） n但是，在一個(gè)較長(zhǎng)的時(shí)間但是，在一個(gè)較長(zhǎng)的時(shí)間T后，后， 不再具有正不再具有正 態(tài)分布的性質(zhì)：態(tài)分布的性質(zhì)： q多期收益率的乘積問題 q因此，盡管是短期內(nèi)股票價(jià)格百分比收益率的標(biāo) 準(zhǔn)差，但是在任意時(shí)間長(zhǎng)度T后，這個(gè)收益率的標(biāo) 準(zhǔn)差卻不再是 。股票價(jià)格的年波動(dòng)率并不是 一年內(nèi)股票價(jià)格百分比收益率變化的標(biāo)準(zhǔn)差。 S S T 2021-7-12Black-Schol

18、es期權(quán)定價(jià)模型14 幾何布朗運(yùn)動(dòng)的深入分析（幾何布朗運(yùn)動(dòng)的深入分析（3） n如果股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，則可以利用如果股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，則可以利用 Ito引理來(lái)推導(dǎo)證券價(jià)格自然對(duì)數(shù)引理來(lái)推導(dǎo)證券價(jià)格自然對(duì)數(shù)lnS所遵循的所遵循的 隨機(jī)過程：隨機(jī)過程： n這個(gè)隨機(jī)過程的特征：這個(gè)隨機(jī)過程的特征： q普通布朗運(yùn)動(dòng)：恒定的漂移率和恒定的方差率。 q在任意時(shí)間長(zhǎng)度T之后，G的變化仍然服從正態(tài)分 布，均值為 ，方差為 。標(biāo)準(zhǔn)差 仍然可以表示為 ，和時(shí)間長(zhǎng)度平方根成正比。 q從自然對(duì)數(shù)lnS所遵循的這個(gè)隨機(jī)過程可以得到兩 個(gè)結(jié)論: 2 () 2 dGdtdz 2 (/2)()Tt 2( )T

19、t tT 2 2 ()(),GTtTt 2021-7-12Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型15 （1）幾何布朗運(yùn)動(dòng)意味著股票價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分）幾何布朗運(yùn)動(dòng)意味著股票價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分 布。布。 n令令t時(shí)刻時(shí)刻G的值為的值為lnS，T時(shí)刻時(shí)刻G的值為的值為lnST，其中，其中S表表 示示t時(shí)刻（當(dāng)前時(shí)刻）的證券價(jià)格，時(shí)刻（當(dāng)前時(shí)刻）的證券價(jià)格，ST表示表示T時(shí)刻（將時(shí)刻（將 來(lái)時(shí)刻）的證券價(jià)格，則在來(lái)時(shí)刻）的證券價(jià)格，則在Tt期間期間G的變化為：的變化為： q這意味著： n進(jìn)一步從正態(tài)分布的性質(zhì)可以得到進(jìn)一步從正態(tài)分布的性質(zhì)可以得到 n也就是說，證券價(jià)格對(duì)數(shù)服從正態(tài)分布。如果一個(gè)變也就

20、是說，證券價(jià)格對(duì)數(shù)服從正態(tài)分布。如果一個(gè)變 量的自然對(duì)數(shù)服從正態(tài)分布，則稱這個(gè)變量服從對(duì)數(shù)量的自然對(duì)數(shù)服從正態(tài)分布，則稱這個(gè)變量服從對(duì)數(shù) 正態(tài)分布。這表明正態(tài)分布。這表明ST服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。 n 這正好與這正好與作為預(yù)期收益率的定義相符。作為預(yù)期收益率的定義相符。 lnln T SS 2 2 lnln ()(), T SSTtTt 2 2 ln ln()(), T SSTtTt () () T t T E SSe 2 22()() var()1 T tT t T SS ee 2021-7-12Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型16 （2）股票價(jià)格對(duì)數(shù)收益率服從正態(tài)分布股

21、票價(jià)格對(duì)數(shù)收益率服從正態(tài)分布 n由于由于dG實(shí)際上就是連續(xù)復(fù)利的對(duì)數(shù)收益率。實(shí)際上就是連續(xù)復(fù)利的對(duì)數(shù)收益率。 因此幾何布朗運(yùn)動(dòng)實(shí)際上意味著對(duì)數(shù)收益率遵因此幾何布朗運(yùn)動(dòng)實(shí)際上意味著對(duì)數(shù)收益率遵 循普通布朗運(yùn)動(dòng)，對(duì)數(shù)收益率的變化服從正態(tài)循普通布朗運(yùn)動(dòng)，對(duì)數(shù)收益率的變化服從正態(tài) 分布，對(duì)數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差與時(shí)間的平方根成分布，對(duì)數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差與時(shí)間的平方根成 比例。比例。 n將將t與與T之間的連續(xù)復(fù)利年收益率定義為之間的連續(xù)復(fù)利年收益率定義為，則，則 2 2 t 2 2 lnln ()( 1 e ), ( n, , l t ) T T T S SS SSTtT S t Tt （T- ） ， 可得 T

22、- 由 2021-7-12Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型17 結(jié)論結(jié)論 n幾何布朗運(yùn)動(dòng)較好地描繪了股票價(jià)格的運(yùn)動(dòng)過幾何布朗運(yùn)動(dòng)較好地描繪了股票價(jià)格的運(yùn)動(dòng)過 程。程。 2021-7-12Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型18 參數(shù)的理解參數(shù)的理解 n： q幾何布朗運(yùn)動(dòng)中的期望收益率，短時(shí)期內(nèi)的期望值。 q根據(jù)資本資產(chǎn)定價(jià)原理， 取決于該證券的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利 率水平、以及市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好。由于后者涉及主觀因素，因此 的決定本身就較復(fù)雜。然而幸運(yùn)的是，我們將在下文證明，衍生證 券的定價(jià)與標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益率是無(wú)關(guān)的。 q較長(zhǎng)時(shí)間段后的連續(xù)復(fù)利收益率的期望值等于 ，這是因 為較長(zhǎng)時(shí)

23、間段后的連續(xù)復(fù)利收益率的期望值是較短時(shí)間內(nèi)收益率幾 何平均的結(jié)果，而較短時(shí)間內(nèi)的收益率則是算術(shù)平均的結(jié)果。 n： q是證券價(jià)格的年波動(dòng)率，又是股票價(jià)格對(duì)數(shù)收益率的年標(biāo)準(zhǔn)差 q因此一般從歷史的價(jià)格數(shù)據(jù)中計(jì)算出樣本對(duì)數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，再 對(duì)時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)化，得到年標(biāo)準(zhǔn)差，即為波動(dòng)率的估計(jì)值。 q一般來(lái)說，時(shí)間越近越好；時(shí)間窗口太長(zhǎng)也不好；采用交易天數(shù)而 不采用日歷天數(shù)。 2 2 2021-7-12Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型19 小結(jié)小結(jié) n我們可以用幾何布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)描述股票價(jià)格的運(yùn)我們可以用幾何布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)描述股票價(jià)格的運(yùn) 動(dòng)：符合弱式有效、對(duì)數(shù)正態(tài)分布的市場(chǎng)現(xiàn)實(shí)，動(dòng)：符合弱式有效、對(duì)數(shù)正態(tài)分布

24、的市場(chǎng)現(xiàn)實(shí)， 以及投資者對(duì)收益率而非價(jià)格的關(guān)注。以及投資者對(duì)收益率而非價(jià)格的關(guān)注。 n根據(jù)根據(jù)Ito引理，可以得到衍生證券所遵循的隨引理，可以得到衍生證券所遵循的隨 機(jī)過程。機(jī)過程。 n股票價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，可以得到未來(lái)的股票價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，可以得到未來(lái)的 某個(gè)時(shí)刻股票價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的結(jié)論某個(gè)時(shí)刻股票價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的結(jié)論 dS dSSdtSdzdtdz S 或 2021-7-12Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型20 BlackBlack-ScholesScholes微分方程：基本思路微分方程：基本思路 n思路：由于衍生證券價(jià)格和標(biāo)的證券價(jià)格都受同一種思路：由于衍生證

25、券價(jià)格和標(biāo)的證券價(jià)格都受同一種 不確定性（不確定性（dz）影響，若匹配適當(dāng)?shù)脑?，這種不確定）影響，若匹配適當(dāng)?shù)脑?，這種不確定 性就可以相互抵消。因此布萊克和舒爾斯就建立起一性就可以相互抵消。因此布萊克和舒爾斯就建立起一 個(gè)包括一單位衍生證券空頭和若干單位標(biāo)的證券多頭個(gè)包括一單位衍生證券空頭和若干單位標(biāo)的證券多頭 的投資組合。若數(shù)量適當(dāng)?shù)脑挘瑯?biāo)的證券多頭盈利的投資組合。若數(shù)量適當(dāng)?shù)脑挘瑯?biāo)的證券多頭盈利 （或虧損）總是會(huì)與衍生證券空頭的虧損（或盈利）（或虧損）總是會(huì)與衍生證券空頭的虧損（或盈利） 相抵消，因此在短時(shí)間內(nèi)該投資組合是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的。那相抵消，因此在短時(shí)間內(nèi)該投資組合是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的。那 么，在無(wú)

26、套利機(jī)會(huì)的情況下，該投資組合在么，在無(wú)套利機(jī)會(huì)的情況下，該投資組合在短期內(nèi)的內(nèi)的 收益率一定等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。收益率一定等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。 n 2021-7-12Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型21 BlackBlack-ScholesScholes微分方程：假設(shè)微分方程：假設(shè) n假設(shè)：假設(shè)： q證券價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即證券價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即和和為常數(shù)；為常數(shù)； q允許賣空；允許賣空； q沒有交易費(fèi)用和稅收，所有證券都是完全可分的；沒有交易費(fèi)用和稅收，所有證券都是完全可分的； q在衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒有現(xiàn)金收益支付；在衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒有現(xiàn)金收益支付； q不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)

27、套利機(jī)會(huì)；不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)； q證券交易是連續(xù)的，價(jià)格變動(dòng)也是連續(xù)的；證券交易是連續(xù)的，價(jià)格變動(dòng)也是連續(xù)的； q在衍生證券有效期內(nèi)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率在衍生證券有效期內(nèi)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r為常數(shù)。為常數(shù)。 q歐式期權(quán)，股票期權(quán)，看漲期權(quán)歐式期權(quán)，股票期權(quán)，看漲期權(quán) 2021-7-12Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型22 股票價(jià)格和期權(quán)價(jià)格服從的隨機(jī)過程股票價(jià)格和期權(quán)價(jià)格服從的隨機(jī)過程 2 22 2 1 ()(2 2 dSSdtSdz ffff dfSSdtSdz StSS 股票價(jià)格:（1） 期權(quán)價(jià)格：） 2021-7-12Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型23 BlackBlack-Schol

28、esScholes微分方程微分方程 n推導(dǎo)過程推導(dǎo)過程 q根據(jù)（1）和（2），在一個(gè)很小的時(shí)間間隔里S和f 的變化值分別為 q為了消除 ，我們可以構(gòu)建一個(gè)包括一單位衍生證 券空頭和 單位標(biāo)的證券多頭的組合。令 代表 該投資組合的價(jià)值，則： 2 22 2 1 () 2 SS tS z ffff fSStS z StSS 和 z f S f fS S 2021-7-12Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型24 n在在 時(shí)間后：時(shí)間后： n將將 代入，可得：代入，可得： n在沒有套利機(jī)會(huì)的條件下：在沒有套利機(jī)會(huì)的條件下： n從而得到：從而得到： n這就是著名的布萊克這就是著名的布萊克舒爾斯微分分程

29、，它事實(shí)上適用于其價(jià)舒爾斯微分分程，它事實(shí)上適用于其價(jià) 格取決于標(biāo)的證券價(jià)格格取決于標(biāo)的證券價(jià)格S的所有衍生證券的定價(jià)。的所有衍生證券的定價(jià)。 n值得強(qiáng)調(diào)的是：上述投資組合只是在極短的時(shí)間內(nèi)才是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的。值得強(qiáng)調(diào)的是：上述投資組合只是在極短的時(shí)間內(nèi)才是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的。 會(huì)不斷地發(fā)生變化。會(huì)不斷地發(fā)生變化。 t f fS S 2 22 2 1 () 2 ff St tS rt fS和 2 22 2 1 2 fff rSSrf tSS f S 2021-7-12Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型25 BSBS公式的一個(gè)重要結(jié)論公式的一個(gè)重要結(jié)論 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理 n從從BS微分方程中

30、我們可以發(fā)現(xiàn)：衍生證券的價(jià)值微分方程中我們可以發(fā)現(xiàn)：衍生證券的價(jià)值 決定公式中出現(xiàn)的變量為標(biāo)的證券當(dāng)前市價(jià)決定公式中出現(xiàn)的變量為標(biāo)的證券當(dāng)前市價(jià) （S）、時(shí)間（）、時(shí)間（t）、證券價(jià)格的波動(dòng)率（）、證券價(jià)格的波動(dòng)率（）和）和 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r，它們?nèi)际强陀^變量，獨(dú)立于主觀，它們?nèi)际强陀^變量，獨(dú)立于主觀 變量變量風(fēng)險(xiǎn)收益偏好。而受制于主觀的風(fēng)險(xiǎn)收風(fēng)險(xiǎn)收益偏好。而受制于主觀的風(fēng)險(xiǎn)收 益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證 券的價(jià)值決定公式中。券的價(jià)值決定公式中。 n由此我們可以利用由此我們可以利用BS公式得到的結(jié)論，作出一個(gè)公式得到的結(jié)論，作

31、出一個(gè) 可以大大簡(jiǎn)化我們的工作的風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)：在對(duì)可以大大簡(jiǎn)化我們的工作的風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)：在對(duì) 衍生證券定價(jià)時(shí)，所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。衍生證券定價(jià)時(shí)，所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。 2021-7-12Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型26 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理 n所謂風(fēng)險(xiǎn)中性，即無(wú)論實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)如何，投資者都只要求所謂風(fēng)險(xiǎn)中性，即無(wú)論實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)如何，投資者都只要求 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率回報(bào)。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率回報(bào)。 n風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)的結(jié)果：我們進(jìn)入了一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性世界風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)的結(jié)果：我們進(jìn)入了一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性世界 q所有證券的預(yù)期收益率都可以等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 q所有現(xiàn)金流量都可以通過無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值

32、。 n盡管風(fēng)險(xiǎn)中性假定僅僅是為了求解布萊克盡管風(fēng)險(xiǎn)中性假定僅僅是為了求解布萊克舒爾斯微舒爾斯微 分方程而作出的人為假定，但分方程而作出的人為假定，但BS發(fā)現(xiàn)，通過這種假定發(fā)現(xiàn)，通過這種假定 所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險(xiǎn)中性情況，也適用所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險(xiǎn)中性情況，也適用 于投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)的所有情況。也就是說，我們?cè)陲L(fēng)險(xiǎn)于投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)的所有情況。也就是說，我們?cè)陲L(fēng)險(xiǎn) 中性世界中得到的期權(quán)結(jié)論，適合于現(xiàn)實(shí)世界。中性世界中得到的期權(quán)結(jié)論，適合于現(xiàn)實(shí)世界。 2021-7-12Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型27 An Example n假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價(jià)為假設(shè)一種

33、不支付紅利股票目前的市價(jià)為10元，我們知道在元，我們知道在3個(gè)月后，個(gè)月后， 該股票價(jià)格要么是該股票價(jià)格要么是11元，要么是元，要么是9元?，F(xiàn)在我們要找出一份元。現(xiàn)在我們要找出一份3個(gè)月期個(gè)月期 協(xié)議價(jià)格為協(xié)議價(jià)格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。 n由于歐式期權(quán)不會(huì)提前執(zhí)行，其價(jià)值取決于由于歐式期權(quán)不會(huì)提前執(zhí)行，其價(jià)值取決于3個(gè)月后股票的市價(jià)。若個(gè)月后股票的市價(jià)。若 3個(gè)月后該股票價(jià)格等于個(gè)月后該股票價(jià)格等于11元，則該期權(quán)價(jià)值為元，則該期權(quán)價(jià)值為0.5元；若元；若3個(gè)月后該個(gè)月后該 股票價(jià)格等于股票價(jià)格等于9元，則該期權(quán)價(jià)值為元，則該期權(quán)價(jià)值為0。 n為

34、了找出該期權(quán)的價(jià)值，我們可構(gòu)建一個(gè)由一單位看漲期權(quán)空頭和為了找出該期權(quán)的價(jià)值，我們可構(gòu)建一個(gè)由一單位看漲期權(quán)空頭和 單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。若單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。若3個(gè)月后該股票價(jià)格等于個(gè)月后該股票價(jià)格等于11元時(shí)，元時(shí)， 該組合價(jià)值等于（該組合價(jià)值等于（110.5）元；若）元；若3個(gè)月后該股票價(jià)格等于個(gè)月后該股票價(jià)格等于9元時(shí)，元時(shí)， 該組合價(jià)值等于該組合價(jià)值等于9元。為了使該組合價(jià)值處于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)，我們應(yīng)選元。為了使該組合價(jià)值處于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)，我們應(yīng)選 擇適當(dāng)?shù)闹担箵襁m當(dāng)?shù)闹?，?個(gè)月后該組合的價(jià)值不變，這意味著：個(gè)月后該組合的價(jià)值不變，這意味著： n110.5=9 n =

35、0.25 n因此，一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合應(yīng)包括一份看漲期權(quán)空頭和因此，一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合應(yīng)包括一份看漲期權(quán)空頭和0.25股標(biāo)的股票。股標(biāo)的股票。 無(wú)論無(wú)論3個(gè)月后股票價(jià)格等于個(gè)月后股票價(jià)格等于11元還是元還是9元，該組合價(jià)值都將等于元，該組合價(jià)值都將等于2.25 元。元。 2021-7-12Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型28 n在沒有套利機(jī)會(huì)情況下，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合只能獲得在沒有套利機(jī)會(huì)情況下，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合只能獲得 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。假設(shè)現(xiàn)在的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。假設(shè)現(xiàn)在的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率等于 10%，則該組合的現(xiàn)值應(yīng)為：，則該組合的現(xiàn)值應(yīng)為： n2.25e-0.1 0.25=2.19 n由于該組合中有一單

36、位看漲期權(quán)空頭和由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單單 位股票多頭，而目前股票市場(chǎng)價(jià)格為位股票多頭，而目前股票市場(chǎng)價(jià)格為10元，因元，因 此：此： n100.25-f2.19; f0.31 n這就是說，該看漲期權(quán)的價(jià)值應(yīng)為這就是說，該看漲期權(quán)的價(jià)值應(yīng)為0.31元，否元，否 則就會(huì)存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。則就會(huì)存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。 2021-7-12Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型29 n從該例子可以看出，在確定期權(quán)價(jià)值時(shí)，我們并不需要知道股票從該例子可以看出，在確定期權(quán)價(jià)值時(shí)，我們并不需要知道股票 價(jià)格上漲到價(jià)格上漲到11元的概率和下降到元的概率和下降到9元的概率。但這并不意味著概率

37、元的概率。但這并不意味著概率 可以隨心所欲地給定。事實(shí)上，只要股票的預(yù)期收益率給定，股可以隨心所欲地給定。事實(shí)上，只要股票的預(yù)期收益率給定，股 票上升和下降的概率也就確定了。例如，在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，無(wú)票上升和下降的概率也就確定了。例如，在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，無(wú) 風(fēng)險(xiǎn)利率為風(fēng)險(xiǎn)利率為10%，則股票上升的概率，則股票上升的概率P可以通過下式來(lái)求：可以通過下式來(lái)求： n10=e-0.1 0.25 11p+9(1-p) nP=62.66%。 n又如，如果在現(xiàn)實(shí)世界中股票的預(yù)期收益率為又如，如果在現(xiàn)實(shí)世界中股票的預(yù)期收益率為15%，則股票的上，則股票的上 升概率可以通過下式來(lái)求：升概率可以通過下式來(lái)求： n

38、10=e-0.15 0.25 11p+9(1-p) nP=69.11%。 n可見，投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)程度決定了股票的預(yù)期收益率，而股票的可見，投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)程度決定了股票的預(yù)期收益率，而股票的 預(yù)期收益率決定了股票升跌的概率。然而，無(wú)論投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)預(yù)期收益率決定了股票升跌的概率。然而，無(wú)論投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn) 程度如何，從而無(wú)論該股票上升或下降的概率如何，該期權(quán)的價(jià)程度如何，從而無(wú)論該股票上升或下降的概率如何，該期權(quán)的價(jià) 值都等于值都等于0.31元。元。 2021-7-12Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型30 前文的兩個(gè)重要結(jié)論前文的兩個(gè)重要結(jié)論 n股票價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布股票價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分

39、布 n風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理 2021-7-12Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型31 blackScholes期權(quán)定價(jià)公式期權(quán)定價(jià)公式 n金融產(chǎn)品今天的價(jià)值，應(yīng)該等于未來(lái)收入的貼現(xiàn)：金融產(chǎn)品今天的價(jià)值，應(yīng)該等于未來(lái)收入的貼現(xiàn)： （3） n其中，由于風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)，其中，由于風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)， E是風(fēng)險(xiǎn)中性世界中是風(fēng)險(xiǎn)中性世界中 的期望值。所有的利率都使用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率：包括的期望值。所有的利率都使用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率：包括 期望值的貼現(xiàn)率和對(duì)數(shù)正態(tài)分布中的期望收益率期望值的貼現(xiàn)率和對(duì)數(shù)正態(tài)分布中的期望收益率 。 n要求解這個(gè)方程，關(guān)鍵在于到期的股票價(jià)格要求解這個(gè)方程，關(guān)鍵在于到期的股票價(jià)格ST，

40、 我們知道它服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，且其中所有的利我們知道它服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，且其中所有的利 率應(yīng)用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，因此，率應(yīng)用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，因此， () max(,0) r T t T ceESX 2 ln ln()(), 2 T SSrTtTt 2021-7-12Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型32 n對(duì)式（對(duì)式（3）積分求得：）積分求得： nN（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累計(jì)概率分布）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累計(jì)概率分布 函數(shù)（即這個(gè)變量小于函數(shù)（即這個(gè)變量小于x的概率）。的概率）。 n這就是無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式這就是無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式 2 1 2 21 ln( /)(/2

41、)() ln( /)(/2)() S XrTt d Tt S XrTt ddTt Tt () 12 ()() r T t cSN dXeN d 2021-7-12Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型33 首先，首先，N(dN(d2 2) )是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中S ST T大于大于X X 的概率，或者說是歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概的概率，或者說是歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概 率，率， e e-r(T-t) -r(T-t)XN(d XN(d2 2) )是是X X的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn) 值。值。 SN(dSN(d1 1)= e)= e-r(T-t) -r(T-t)S ST

42、T N(d N(d1 1) )是是S ST T的風(fēng)險(xiǎn)中性的風(fēng)險(xiǎn)中性 期望值的現(xiàn)值。期望值的現(xiàn)值。 因此，這個(gè)公式就是未來(lái)收益期望值的貼因此，這個(gè)公式就是未來(lái)收益期望值的貼 現(xiàn)?，F(xiàn)。 BS公式的理解公式的理解 2021-7-12Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型34 n其次，其次， 是復(fù)制交易策略中股票的數(shù)量是復(fù)制交易策略中股票的數(shù)量 （求導(dǎo)），（求導(dǎo)），SN（d1)就是股票的市值就是股票的市值, -e-r(T- t)XN(d2)則是復(fù)制交易策略中負(fù)債的價(jià)值。 則是復(fù)制交易策略中負(fù)債的價(jià)值。 q數(shù)學(xué)等式的金融工程含義 q看漲期權(quán)空頭的套期保值結(jié)果 )( 1 dN 2021-7-12Black

43、-Scholes期權(quán)定價(jià)模型35 n最后，從金融工程的角度來(lái)看，歐式看漲期權(quán)可以分最后，從金融工程的角度來(lái)看，歐式看漲期權(quán)可以分 拆成資產(chǎn)或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)（拆成資產(chǎn)或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)（Asset-or-noting call option）多頭和現(xiàn)金或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)（）多頭和現(xiàn)金或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)（cash-or- nothing option）空頭，）空頭，SN(d1)是資產(chǎn)或無(wú)價(jià)值看漲是資產(chǎn)或無(wú)價(jià)值看漲 期權(quán)的價(jià)值，期權(quán)的價(jià)值，-e-r(T-t)XN(d2)是是X份現(xiàn)金或無(wú)價(jià)值看漲份現(xiàn)金或無(wú)價(jià)值看漲 期權(quán)空頭的價(jià)值。期權(quán)空頭的價(jià)值。 q資產(chǎn)或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)：如果標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在到期時(shí)低于執(zhí) 行價(jià)

44、格，該期權(quán)沒有價(jià)值；如果高于執(zhí)行價(jià)格，則該期權(quán)支 付一個(gè)等于資產(chǎn)價(jià)格本身的金額，因此該期權(quán)的價(jià)值為e-r(T- t)STN(d1)= SN(d1) q（標(biāo)準(zhǔn)）現(xiàn)金或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán):如果標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在到期時(shí) 低于執(zhí)行價(jià)格，該期權(quán)沒有價(jià)值；如果高于執(zhí)行價(jià)格，則該 期權(quán)支付1元， 由于期權(quán)到期時(shí)價(jià)格超過執(zhí)行價(jià)格的概率為1 份現(xiàn)金或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)的現(xiàn)值為-e-r(T-t) N(d2)。 2021-7-12Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型36 n在標(biāo)的資產(chǎn)無(wú)收益情況下，由于在標(biāo)的資產(chǎn)無(wú)收益情況下，由于C=c，因此，因此 式也給出了無(wú)收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的價(jià)式也給出了無(wú)收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的價(jià) 值。

45、值。 n根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平 價(jià)關(guān)系，可以得到無(wú)收益資產(chǎn)歐式看跌期價(jià)關(guān)系，可以得到無(wú)收益資產(chǎn)歐式看跌期 權(quán)的定價(jià)公式權(quán)的定價(jià)公式 ： n由于美式看跌期權(quán)與看漲期權(quán)之間不存在嚴(yán) 密的平價(jià)關(guān)系，因此美式看跌期權(quán)無(wú)法得到 精確的解析公式，而只能運(yùn)用數(shù)值方法和近 似方法得到。 )()( 12 )( dSNdNXep tTr BS定價(jià)模型的基本推廣定價(jià)模型的基本推廣 2021-7-12Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型37 有收益歐式資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià)公式 n基本理解：基本理解：在收益已知情況下，我們可以把標(biāo)的證券價(jià)在收益已知情況下，我們可以把標(biāo)的證券

46、價(jià) 格分解成兩部分：期權(quán)有效期內(nèi)已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值部格分解成兩部分：期權(quán)有效期內(nèi)已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值部 分和一個(gè)有風(fēng)險(xiǎn)部分。當(dāng)期權(quán)到期時(shí)，這部分現(xiàn)值將由分和一個(gè)有風(fēng)險(xiǎn)部分。當(dāng)期權(quán)到期時(shí)，這部分現(xiàn)值將由 于標(biāo)的資產(chǎn)支付現(xiàn)金收益而消失。因此，我們只要用于標(biāo)的資產(chǎn)支付現(xiàn)金收益而消失。因此，我們只要用S 表示有風(fēng)險(xiǎn)部分的證券價(jià)格。表示有風(fēng)險(xiǎn)部分的證券價(jià)格。表示風(fēng)險(xiǎn)部分遵循隨機(jī)表示風(fēng)險(xiǎn)部分遵循隨機(jī) 過程的波動(dòng)率，就可直接套用公式（過程的波動(dòng)率，就可直接套用公式（6.23）和（）和（6.24） 分別計(jì)算出有收益資產(chǎn)的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)分別計(jì)算出有收益資產(chǎn)的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià) 值。值。 n因此

47、，當(dāng)標(biāo)的證券已知收益的現(xiàn)值為因此，當(dāng)標(biāo)的證券已知收益的現(xiàn)值為I I時(shí)，我們只要用時(shí)，我們只要用 （S SI I）代替式（）代替式（6.216.21）和（）和（6.226.22）中的）中的S S即可求出固即可求出固 定收益證券歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格。定收益證券歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格。 n當(dāng)標(biāo)的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的固定收益率當(dāng)標(biāo)的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的固定收益率q （單位為年）時(shí)，我們只要將（單位為年）時(shí)，我們只要將SeSe q q（T-tT-t）代替式（ 代替式（6.23） 和（和（6.24）中的）中的S就可求出支付連續(xù)復(fù)利收益率證券的就可求出支付連續(xù)復(fù)利收益率證券的 歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格。歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格。 2021-7-12Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型38 n歐式股指期權(quán)、歐式外匯期權(quán)都可以看成歐式股指期權(quán)、歐式外匯期權(quán)都可以看成 支付連續(xù)復(fù)利紅利率的資產(chǎn)期權(quán)支付連續(xù)復(fù)利紅利率的資產(chǎn)期權(quán) n歐式期貨期權(quán)定價(jià)公式為：歐式期貨期權(quán)定價(jià)公式為： （6.23） （6.24） n其中：其中： )()( 21 )( dXNdFNec tTr )()( 12 )( dFNdXNep tTr tTd tT tTXF d tT tTXF d 1 2 2