高中數(shù)學(xué)圓與直線知識(shí)點(diǎn)與各類提高習(xí)題(附答案).

1、圓與直線知識(shí)點(diǎn)圓的方程：（1）標(biāo)準(zhǔn)方程：（圓心為A(a,b),半徑為r） （2）圓的一般方程：（） 圓心（-，-）半徑點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷方法：根據(jù)點(diǎn)與圓心的距離與在大小關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系判斷方法（1）幾何法：由圓心到直線的距離和圓的半徑的大小關(guān)系來(lái)判斷。 d=r 為相切，dr為相交，d0為相交，0為相交，0為相離或內(nèi)含。若兩圓相交，兩圓方程相減得公共弦所在直線方程。5. 直線與圓的方程的應(yīng)用：利用平面直角坐標(biāo)系解決直線與圓的位置關(guān)系選擇題1圓的切線方程中有一個(gè)是（ ）Axy0Bxy0Cx0Dy02若直線與直線互相垂直，那么的值等于（ ）A1 B C D3設(shè)直線過(guò)點(diǎn)其斜率為1，且與圓

2、相切，則的值為（ ）4平面的斜線交于點(diǎn)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線與垂直，且交于點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是 （ ）A一條直線B一個(gè)圓 C一個(gè)橢圓D雙曲線的一支5參數(shù)方程（為參數(shù)）所表示的曲線是（ ）A圓 B直線 C兩條射線 D線段6如果直線的斜率分別為二次方程的兩個(gè)根，那么與的夾角為（ ）A B C D7已知，若，則（ ）A B C D8一束光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)x軸反射到圓上的最短路徑是（ ）A4 B5 C D9若直線始終平分圓的周長(zhǎng)，則 的最小值為（ ）A1 B5 C D10已知平面區(qū)域由以、為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部和邊界組成.若在區(qū)域 上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)可使目標(biāo)函數(shù)取得最小值，則（ ） A B C D411、設(shè)，則M與N、

3、與的大小關(guān)系為 ( ) A. B. C. D.12、已知兩圓相交于點(diǎn)，兩圓圓心都在直線上，則的值等于 A-1 B2 C3 D013、三邊均為整數(shù)且最大邊的長(zhǎng)為11的三角形的個(gè)數(shù)為 ( ) A.15 B.30 C.36 D.以上都不對(duì)14、設(shè)，則直線與圓的位置關(guān)系為 （ ）A.相切 B.相交 C.相切或相離 D.相交或相切15、已知向量若與的夾角為，則直線與圓的位置關(guān)系是（ ） A相交但不過(guò)圓心 B相交過(guò)圓心 C相切 D相離16、已知圓和點(diǎn),若點(diǎn)在圓上且的面積為,則滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 （ ）A.1 B.2 C.3 D.417、若圓始終平分圓的周長(zhǎng),則實(shí)數(shù)應(yīng)滿足的關(guān)系是 ( ) A B C D1

4、8、在平面內(nèi),與點(diǎn)距離為1, 與點(diǎn)距離為2的直線共有 ( ) A.1條 B. 2條 C. 3條 D. 4條填空題1、直線2xy4=0上有一點(diǎn)P，它與兩定點(diǎn)A(4，1)，B(3，4)的距離之差最大，則P點(diǎn)坐標(biāo)是_ 2、設(shè)不等式對(duì)一切滿足的值均成立，則的范圍為 。3、已知直線與圓，則上各點(diǎn)到的距離的最大值與最小值之差為 。4、直線被圓截得的弦長(zhǎng)為_。5、已知圓，直線，以下命題成立的有_。對(duì)任意實(shí)數(shù)與，直線和圓相切；對(duì)任意實(shí)數(shù)與，直線和圓有公共點(diǎn)；對(duì)任意實(shí)數(shù)，必存在實(shí)數(shù)，使得直線和圓相切對(duì)任意實(shí)數(shù)，必存在實(shí)數(shù)，使得直線和圓相切6、點(diǎn)A(3，3)發(fā)出的光線l射到x軸上被x軸反射，反射光線與圓相切，則光

5、線l所在直線方程為_ _。7、直線與圓交于、兩點(diǎn)，且、關(guān)于直線對(duì)稱，則弦的長(zhǎng)為 。8、過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)作一弦交圓于兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)分別作圓的切線，兩切線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為 。解答題1、設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，a、b是常數(shù)且。（1）證明：是等差數(shù)列；（2）證明：以為坐標(biāo)的點(diǎn)，落在同一直線上，并求直線方程。（3）設(shè)，是以為圓心，為半徑的圓，求使得點(diǎn)P1、P2、P3都落在圓C外時(shí)，r的取值范圍。2、求與圓外切于點(diǎn)，且半徑為的圓的方程OACBDNxyM3、如圖，已知圓心坐標(biāo)為的圓與軸及直線均相切，切點(diǎn)分別為、，另一圓與圓、軸及直線均相切，切點(diǎn)分別為、。（1）求圓和圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作的平行線，求直線被圓 截得的弦

6、的長(zhǎng)度；4、如果實(shí)數(shù)、滿足，求的最大值、的最小值。5、已知圓，直線，。（1）證明：不論取什么實(shí)數(shù)，直線與圓恒交于兩點(diǎn)；（2）求直線被圓截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)的方程.QPRO6、已知為原點(diǎn)，定點(diǎn)，點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)。（1）求線段中點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)的平分線交于，求點(diǎn)的軌跡方程。7、如圖所示，過(guò)圓與軸正半軸的交點(diǎn)A作圓的切線，M為上任意一點(diǎn)，再過(guò)M作圓的另一切線，切點(diǎn)為Q，當(dāng)點(diǎn)M在直線上移動(dòng)時(shí)，求三角形MAQ的垂心的軌跡方程。MyxQOABP8、已知圓，是軸上的動(dòng)點(diǎn)，QA，QB分別切圓M于A，B兩點(diǎn)，求動(dòng)弦AB的中點(diǎn)P的軌跡方程。1C圓心為（1，），半徑為1，故此圓必與y軸（x=0）相切，選C.2D由可

7、解得3C直線和圓相切的條件應(yīng)用， ,選C;4A過(guò)點(diǎn)A且垂直于直線AB的平面與平面的交線就是點(diǎn)C的軌跡，故是一條直線.5C原方程6A由夾角公式和韋達(dá)定理求得7C數(shù)形結(jié)合法，注意等價(jià)于8A先作出已知圓C關(guān)于x軸對(duì)稱的圓，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)A到圓上的點(diǎn)的最短路徑，即9D已知直線過(guò)已知圓的圓心（2，1），即所以10C由、的坐標(biāo)位置知，所在的區(qū)域在第一象限，故.由得，它表示斜率為.（1）若，則要使取得最小值，必須使最小，此時(shí)需，即1；（2）若，則要使取得最小值，必須使最小，此時(shí)需，即2，與矛盾.綜上可知，1.11解：設(shè)點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)，則M、N分別表示直線AB、AC 的斜率，BC的方程為，點(diǎn)A在直線的下方，即MN

8、； 同理，得。 答案選B。 仔細(xì)體會(huì)題中4個(gè)代數(shù)式的特點(diǎn)和“數(shù)形結(jié)合”的好處12解：由題設(shè)得：點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,； 線段的中點(diǎn)在直線上，答案選C。13解：設(shè)三角形的另外兩邊長(zhǎng)為x,y,則 ；注意“=”號(hào)，等于11的邊可以多于一條。點(diǎn)應(yīng)在如右圖所示區(qū)域內(nèi)：當(dāng)x=1時(shí)，y=11；當(dāng)x=2時(shí)，y=10,11；當(dāng)x=3時(shí)，y=9,10,11；當(dāng)x=4時(shí)，y=8,9,10,11；當(dāng)x=5時(shí)，y=7,8,9,10,11。以上共有15個(gè)，x,y對(duì)調(diào)又有15個(gè)。再加(6，6），(7，7），(8，8），(9，9），(10，10）、(11， 11），共36個(gè)，答案選C。14解：圓心到直線的距離為，圓半徑。，直線與圓

9、的位置關(guān)系是相切或相離，答案選C。 15解：，圓心到直線的距離，直線與圓相離，答案選D。 復(fù)習(xí)向量點(diǎn)乘積和夾角余弦的計(jì)算及三角函數(shù)公式16解:由題設(shè)得：，點(diǎn)到直線的距離, 直線的方程為,與直線平行且距離為1的直線為 得：圓心到直線的的距離,到直線的距離為, 圓與直線相切；與直線相交, 滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3，答案選C17解：公共弦所在的直線方程為：， 即：，圓始終平分圓的周長(zhǎng)，圓的圓心在直線上,，即，答案選B。18解：直線與點(diǎn)距離為1，所以直線是以A為圓心1為半徑的圓的切線，同理直線也是以B為圓心2為半徑的圓的切線，即兩圓的公切線，兩圓相交，公切線有2條，答案選B。想一下，如果兩圓相切或相離，

10、各有幾條公切線？BABPAPC填空題1解：A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A，AB與直線l的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)。得P(5，6）。想一想，為什么，AB與直線l的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)？ 如果A、B兩點(diǎn)在直線的同一邊，情況又如何？2解：原不等式變換為，設(shè)：，按題意得：。即：。3解： 圓心到直線的距離=，直線與圓相離， 上各點(diǎn)到的距離的最大值與最小值之差= 。4解：直線方程消去參數(shù)得：，圓心到直線的距離，弦長(zhǎng)的一半為，得弦長(zhǎng)為。5解：圓心坐標(biāo)為 ，所以命題成立。 仔細(xì)體會(huì)命題的區(qū)別。6解：光線l所在的直線與圓關(guān)于x軸對(duì)稱的圓相切。圓心坐標(biāo)為，半徑，直線過(guò)點(diǎn)A(3，3)，設(shè)的方程為：，即：圓心到直線的距離，解得：或，得直

11、線的方程：或。7解：由直線與直線垂直，由圓心在直線上，圓方程為，圓心為，圓心到直線的距離，弦的長(zhǎng)=8解：設(shè),根據(jù)題設(shè)條件，線段為點(diǎn)對(duì)應(yīng)圓上的切點(diǎn)弦，直線的方程為,點(diǎn)在上，,即的軌跡方程為：。 注意掌握切點(diǎn)弦的證明方法。1、設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，a、b是常數(shù)且。（1）證明：是等差數(shù)列；（2）證明：以為坐標(biāo)的點(diǎn)，落在同一直線上，并求直線方程。（3）設(shè)，是以為圓心，為半徑的圓，求使得點(diǎn)P1、P2、P3都落在圓C外時(shí)，r的取值范圍。1解：（1）證明：由題設(shè)得；當(dāng)n2時(shí)，。所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列。證畢；（2）證明：，對(duì)于n2，以為坐標(biāo)的點(diǎn)，落在過(guò)點(diǎn)，斜率為的同一直線上，此直線方程為：，即。（3）解：

12、當(dāng)時(shí)，得，都落在圓C外的條件是 由不等式，得r1由不等式，得r或r+由不等式，得r4或r4+再注意到r0，14=+4+使P1、P2、P3都落在圓C外時(shí)，r的取值范圍是(0，1)(1,)(4+,+)。2、求與圓外切于點(diǎn)，且半徑為的圓的方程2解一：設(shè)所求圓的圓心為，則 ， 所求圓的方程為。 注：因?yàn)閮蓤A心及切點(diǎn)共線得（1）式解二：設(shè)所求圓的圓心為，由條件知OACBDNxyM ，所求圓的方程為。仔細(xì)體會(huì)解法2，利用向量表示兩個(gè)圓心的位置關(guān)系，同時(shí)體現(xiàn)了共線關(guān)系和長(zhǎng)度關(guān)系，顯得更簡(jiǎn)潔明快，值得借鑒。3、如圖，已知圓心坐標(biāo)為的圓與軸及直線均相切，切點(diǎn)分別為、，另一圓與圓、軸及直線均相切，切點(diǎn)分別為、。（

13、1）求圓和圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作的平行線，求直線被圓 截得的弦的長(zhǎng)度；3解：（1）由于圓與的兩邊相切，故到及的距離均為圓的半徑，則在的角平分線上，同理，也在的角平分線上，即三點(diǎn)共線，且為的角平分線，的坐標(biāo)為，到軸的距離為1，即：圓的半徑為1，圓的方程為；設(shè)圓的半徑為，由，得：,即，圓的方程為：；（2）由對(duì)稱性可知，所求弦長(zhǎng)等于過(guò)點(diǎn)的的平行線被圓截得的弦長(zhǎng)，此弦所在直線方程為，即，圓心到該直線的距離，則弦長(zhǎng)=注：也可求得點(diǎn)坐標(biāo)，得過(guò)點(diǎn)的平行線的方程，再根據(jù)圓心到直線的距離等于，求得答案；還可以直接求點(diǎn)或點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而求得弦長(zhǎng)4、如果實(shí)數(shù)、滿足，求的最大值、的最小值。4解：（1）問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為

14、求圓上點(diǎn)到原點(diǎn)的連線的斜率的最大值。設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線方程為，由圖形性質(zhì)知當(dāng)直線斜率取最值時(shí)，直線與圓相切。得：，（2）滿足，。 注意學(xué)習(xí)掌握解（2）中利用圓的參數(shù)方程將關(guān)于x,y的二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的一元函數(shù)，從而方便求解的技巧。5、已知圓，直線，。（1）證明：不論取什么實(shí)數(shù)，直線與圓恒交于兩點(diǎn)；（2）求直線被圓截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)的方程.5解：（1）解法1：的方程， 即恒過(guò)定點(diǎn)圓心坐標(biāo)為，半徑，點(diǎn)在圓內(nèi)，從而直線恒與圓相交于兩點(diǎn)。解法2：圓心到直線的距離，所以直線恒與圓相交于兩點(diǎn)。（2）弦長(zhǎng)最小時(shí)，代入，得的方程為。注意掌握以下幾點(diǎn)：（1）動(dòng)直線斜率不定，可能經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)；（2）直線與圓恒有公共點(diǎn)

15、直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)在圓內(nèi)，此結(jié)論可推廣到圓錐曲線；（3）過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)，最長(zhǎng)的弦為直徑，最短的弦為垂直于直徑的弦。6、已知為原點(diǎn)，定點(diǎn)，點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)。（1）求線段中點(diǎn)的軌跡方程；QPRO（2）設(shè)的平分線交于，求點(diǎn)的軌跡方程。6解：（1）設(shè)中點(diǎn)，則，代入圓的方程得。（2）設(shè)，其中，由，代入圓方程并化簡(jiǎn)得：。當(dāng)y=0時(shí)，即在軸上時(shí)，的平分線無(wú)意義。（1）本題的解法稱作相關(guān)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法求軌跡，其核心是找到未知與已知?jiǎng)狱c(diǎn)之間的坐標(biāo)關(guān)系；（2）處理“角平分線”問(wèn)題，一般有以下途徑：轉(zhuǎn)化為對(duì)稱問(wèn)題利用角平分線性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為比例關(guān)系利用夾角相等。7、如圖所示，過(guò)圓與軸正半軸的交點(diǎn)A作圓的切線，M為上任意一點(diǎn)，再過(guò)M作圓的另一切線