大地坐標(biāo)體系中的歐勒角 不同大地坐標(biāo)體系的轉(zhuǎn)換

1、大地坐標(biāo)系中的歐勒角大地坐標(biāo)系中的歐勒角 不同大地坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換不同大地坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換 測繪學(xué)院一系大地測量教研室測繪學(xué)院一系大地測量教研室 （FOUNDATION OF GEODESY） 大地坐標(biāo)系中的歐勒角大地坐標(biāo)系中的歐勒角 Eulers Angle in Geodetic Coordinate System 1、用矢量分析的方法討論坐標(biāo)轉(zhuǎn)換、用矢量分析的方法討論坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 問題問題 Discussion Coordinate Transformation with Vector Analytic Method 2、以歐勒角為旋轉(zhuǎn)參數(shù)的坐標(biāo)變換、以歐勒角為旋轉(zhuǎn)參數(shù)的坐標(biāo)變換 Coordinat

2、e Transformation with Rotation Parameters denoted by Eulers Angle 3、廣義垂線偏差公式和拉普拉斯方程廣義垂線偏差公式和拉普拉斯方程 Generalized Deflection of the Vertical and Laplace Equation 本章內(nèi)容綜述本章內(nèi)容綜述 提問：大地測量的基本任務(wù)是什么？提問：大地測量的基本任務(wù)是什么？ 精密確定地面點(diǎn)位及其變精密確定地面點(diǎn)位及其變 化化，研究地球重力場、地研究地球重力場、地 球形狀和地球動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。球形狀和地球動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。 需要一個(gè)與需要一個(gè)與 地球的關(guān)系地球的關(guān)系 相對(duì)確

3、定的相對(duì)確定的 坐標(biāo)系坐標(biāo)系 大地坐標(biāo)系大地坐標(biāo)系 二維天文二維天文 坐標(biāo)系坐標(biāo)系 大地空間直大地空間直 角坐標(biāo)系角坐標(biāo)系 大地極坐標(biāo)系大地極坐標(biāo)系 高斯平面直高斯平面直 角坐標(biāo)系角坐標(biāo)系 這些坐標(biāo)系這些坐標(biāo)系 在數(shù)學(xué)上是在數(shù)學(xué)上是 等價(jià)的等價(jià)的。 高斯平面極高斯平面極 坐標(biāo)系坐標(biāo)系 量量 度度 坐坐 標(biāo)標(biāo) 系系 水平控制網(wǎng)水平控制網(wǎng) CTRS衛(wèi)星衛(wèi)星 高程控制網(wǎng)高程控制網(wǎng) 坐標(biāo)系、參考架和參考系坐標(biāo)系、參考架和參考系 Coordinate systemCoordinate system、Reference frame and reference Reference frame and ref

4、erence systemsystem 坐標(biāo)系：坐標(biāo)系：由理論定義給出的用于描述點(diǎn)的位由理論定義給出的用于描述點(diǎn)的位 置和運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)工具置和運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)工具。一個(gè)坐標(biāo)系的定義包括。一個(gè)坐標(biāo)系的定義包括 坐標(biāo)原點(diǎn)位置、坐標(biāo)軸的指向、坐標(biāo)參量的尺坐標(biāo)原點(diǎn)位置、坐標(biāo)軸的指向、坐標(biāo)參量的尺 度和度量方式。例如：大地坐標(biāo)系、高斯平面度和度量方式。例如：大地坐標(biāo)系、高斯平面 直角坐標(biāo)系等。直角坐標(biāo)系等。 基本地球坐標(biāo)系：基本地球坐標(biāo)系：用于描述地球上點(diǎn)的位置用于描述地球上點(diǎn)的位置 和運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系，和運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系，可觀測性和無整體運(yùn)動(dòng)可觀測性和無整體運(yùn)動(dòng)。 參考架與坐標(biāo)系的關(guān)系：參考架與坐標(biāo)系的關(guān)系：參考架中

5、參考點(diǎn)參考架中參考點(diǎn) 的坐標(biāo)可以用不同形式表示，所以同的坐標(biāo)可以用不同形式表示，所以同一參考一參考 架可以對(duì)應(yīng)不同的坐標(biāo)系架可以對(duì)應(yīng)不同的坐標(biāo)系。 參考架：參考架：數(shù)學(xué)上定義的坐標(biāo)系需要通過一定數(shù)學(xué)上定義的坐標(biāo)系需要通過一定 數(shù)量的物理點(diǎn)的標(biāo)定來體現(xiàn)。這種由數(shù)量的物理點(diǎn)的標(biāo)定來體現(xiàn)。這種由標(biāo)定了坐標(biāo)定了坐 標(biāo)值的一組物理點(diǎn)組成的框架標(biāo)值的一組物理點(diǎn)組成的框架稱為參考架。稱為參考架。 坐標(biāo)系、參考架和參考系坐標(biāo)系、參考架和參考系 Coordinate systemCoordinate system、Reference frame and reference Reference frame and

6、 reference systemsystem 參考架與參考系的關(guān)系：參考架與參考系的關(guān)系：參考架的目的是參考架的目的是 提供一個(gè)使參考系具體化的方法，以便于用它提供一個(gè)使參考系具體化的方法，以便于用它 來定量描述地球上來定量描述地球上( (地球參考架地球參考架) )或天球上或天球上( (天球天球 參考架參考架) )的位置和運(yùn)動(dòng)。的位置和運(yùn)動(dòng)。參考系是總體概念，參考系是總體概念， 參考架才是具體應(yīng)用形式。參考架才是具體應(yīng)用形式。 參考系：參考系：實(shí)現(xiàn)理想的基本坐標(biāo)系的一套整體實(shí)現(xiàn)理想的基本坐標(biāo)系的一套整體 方案。方案。一個(gè)參考系包括：一組模型和常數(shù)；一個(gè)參考系包括：一組模型和常數(shù)； 一套理論和

7、數(shù)據(jù)處理方法；一個(gè)參考架。一套理論和數(shù)據(jù)處理方法；一個(gè)參考架。 坐標(biāo)系、參考架和參考系坐標(biāo)系、參考架和參考系 Coordinate systemCoordinate system、Reference frame and reference Reference frame and reference systemsystem 坐標(biāo)系是概念性的、抽象的、數(shù)學(xué)坐標(biāo)系是概念性的、抽象的、數(shù)學(xué) 的、沒有誤差的；的、沒有誤差的； 坐標(biāo)系、參考架和參考系坐標(biāo)系、參考架和參考系 Coordinate systemCoordinate system、Reference frame and reference R

8、eference frame and reference systemsystem 參考架是物理的；參考架是物理的； 參考系是實(shí)現(xiàn)基本坐標(biāo)系的某種整參考系是實(shí)現(xiàn)基本坐標(biāo)系的某種整 體方案，是多方面集成的。體方案，是多方面集成的。 1、用矢量分析法討論坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題、用矢量分析法討論坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題 Discussion Coordinate Transformation with Vector Analytic Method a b c d abc abd 矢量：矢量：稱只有大小而沒有方向的量為標(biāo)量，稱只有大小而沒有方向的量為標(biāo)量， 稱既有大小又有方向且加法滿足平行四邊形稱既有大小又有方向且加法滿足

9、平行四邊形 法則的量為矢量。法則的量為矢量。 位置矢量及其表示：位置矢量及其表示： M X Z Y r O rxiyjzk x y z ijk xx ryy zz R 1、用矢量分析法討論坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題、用矢量分析法討論坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題 Discussion Coordinate Transformation with Vector Analytic Method x yRr z M X Z Y O x y r z 1 12 3 1 3 3 2 cos, ii i a ba ba ba ba b b aaaRRb b 1、用矢量分析法討論坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題、用矢量分析法討論坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題 Discussio

10、n Coordinate Transformation with Vector Analytic Method 矢量的數(shù)乘：矢量的數(shù)乘： i RRjijkI k sin,aba ba b 矢量的叉乘：矢量的叉乘： aRabaiajakRbbR 12332 aia ia ja kia ja k 321321 32 31 21 0 0 0 a ja ka ka ia ia j aa Raa a R a a 11 22 33 bb Rbb b R b b R 3212332 3123113 2131221 0 0 0 aaba ba b abRaabRa ba ba b aaba ba b 1111

11、213 2123212223 3313233 aa ba ba b abRabbbRRa ba ba bR aa ba ba b 矢量的并乘二階張量：矢量的并乘二階張量： 111213111213 212223212223 313233313233 rrrppp FRrrrRPpppP rrrppp 111213111213 212223212223 313233313233 rrrppp rrrRPpppPR rrrppp 21123113 12213223 13312332 0 0 0 a ba ba ba b abRRRa ba ba ba bR a ba ba ba b 三重叉乘積三重

12、叉乘積 abcabRRc abRRbaab abcbaabcc a bc ba 三矢量的三重叉乘積仍然是一個(gè)矢量，這個(gè)矢三矢量的三重叉乘積仍然是一個(gè)矢量，這個(gè)矢 量在量在a a，b b構(gòu)成的平面內(nèi)并垂直與矢量構(gòu)成的平面內(nèi)并垂直與矢量c c。 坐標(biāo)平移轉(zhuǎn)換：坐標(biāo)平移轉(zhuǎn)換： M r X Y O X Y Z O r 0 r 0 rrr 0 0 0 xxx RyRyRy zzz 1、用矢量分析法討論坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題、用矢量分析法討論坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題 Discussion Coordinate Transformation with Vector Analytic Method Z M X Z Y r X Y

13、Z 12 3 1、用矢量分析法討論坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題、用矢量分析法討論坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題 Discussion Coordinate Transformation with Vector Analytic Method 1 2 3 3 cos,cos cos,cos cos,cos cos,cos iiii ijij ikik k kk k Rijk Pijk 正交變換正交變換 rx iy jz k xiyjzk xxiiyijzik zxk iykjzk k 1、用矢量分析法討論坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題、用矢量分析法討論坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題 Discussion Coordinate Transformation with

14、 Vector Analytic Method iiijik j ijjj k k xx y ikj y zkkz xx rPyRy zz PR xx yy zz yx j iyjjzj k 123 123 123 coscoscos coscoscos coscoscos xxx yyy zz R z P 0coscoscoscoscoscos 0coscoscoscoscoscos 0coscoscoscoscoscos 1coscoscos 1coscoscos 1coscoscos 131313 323232 212121 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2

15、 1 2 九個(gè)旋轉(zhuǎn)角中只有三個(gè)角是獨(dú)立九個(gè)旋轉(zhuǎn)角中只有三個(gè)角是獨(dú)立 為了保證轉(zhuǎn)換后坐標(biāo)的正交性，要求為了保證轉(zhuǎn)換后坐標(biāo)的正交性，要求 ： 坐標(biāo)系的正交變換坐標(biāo)系的正交變換 x rPy z x yPr z PRQTTRPrRr R xx yPrPRPRry zz 123 123 123 coscoscos coscoscos coscoscos PR 2，3的意義的意義： 3 ：兩坐標(biāo)系兩坐標(biāo)系Z Z軸的夾角軸的夾角 2 ：兩坐標(biāo)系起始大地子午面的夾角兩坐標(biāo)系起始大地子午面的夾角 橢球短軸間的夾角橢球短軸間的夾角 缺點(diǎn)：直接選用缺點(diǎn)：直接選用1，1， 1； ；2， ，2，2； ； 3， ，3，

16、3作為方向角，參數(shù)不作為方向角，參數(shù)不 獨(dú)立，公式十分冗長。獨(dú)立，公式十分冗長。 M X Z Y r X Y Z 3 1 2 Z Y X RRR Z Y X ZZYYXX )()()( 三個(gè)旋轉(zhuǎn)角三個(gè)旋轉(zhuǎn)角 Z、 Y 、 X ，描述飛描述飛 行器的姿態(tài)時(shí)分行器的姿態(tài)時(shí)分 別稱為別稱為偏航角、偏航角、 俯仰角和滾動(dòng)角俯仰角和滾動(dòng)角 X Z Y Z Y X O Y X Z Z Z0 X0 Y0 Y X 2、以歐勒角為旋轉(zhuǎn)參數(shù)的坐標(biāo)變換、以歐勒角為旋轉(zhuǎn)參數(shù)的坐標(biāo)變換 Coordinate Transformation with Rotation Parameters denoted by Euler

17、s Angle 2、以歐勒角為旋轉(zhuǎn)參數(shù)的坐標(biāo)變換、以歐勒角為旋轉(zhuǎn)參數(shù)的坐標(biāo)變換 Coordinate Transformation with Rotation Parameters denoted by Eulers Angle 2、以歐勒角為旋轉(zhuǎn)參數(shù)的坐標(biāo)變換、以歐勒角為旋轉(zhuǎn)參數(shù)的坐標(biāo)變換 Coordinate Transformation with Rotation Parameters denoted by Eulers Angle ZXZ XX YRRRY ZZ 三個(gè)旋轉(zhuǎn)角三個(gè)旋轉(zhuǎn)角 、 和和 ， ，在研究剛體轉(zhuǎn)動(dòng) 在研究剛體轉(zhuǎn)動(dòng) 時(shí)分別表示時(shí)分別表示進(jìn)動(dòng)角、進(jìn)動(dòng)角、 自轉(zhuǎn)角和章動(dòng)角自

18、轉(zhuǎn)角和章動(dòng)角。 Z Z X X N Y N O Y 100 ()0cossin 0sincos cos0sin ()010 sin0cos cossin0 ()sincos0 001 XXXX XX YY YY YY ZZ ZZZZ R R R 旋轉(zhuǎn)矩陣旋轉(zhuǎn)矩陣 111 222 333 coscoscos coscoscos cos ()()() coscoscossinsin cossinsinsincoscoscossinsinc coscos oss XXYYZZ YZYZY XZXYZXZXYZ XXX YYY ZZZ RRR incos sinsincossincossincosco

19、ssinsincoscos XY XYXYZXZXYZXY X Y Z 當(dāng)當(dāng) X ， Y ， Z 很小時(shí)，有：很小時(shí)，有： coscoscos1 sin,sin,sin sinsinsinsinsinsin0 XYz XXYYZZ XYYZZX 系數(shù)陣亦稱為系數(shù)陣亦稱為微分旋轉(zhuǎn)矩陣微分旋轉(zhuǎn)矩陣 1 1 1 ZY ZX YX XX YY ZZ 2、以歐勒角為旋轉(zhuǎn)參數(shù)的坐標(biāo)變換、以歐勒角為旋轉(zhuǎn)參數(shù)的坐標(biāo)變換 Coordinate Transformation with Rotation Parameters denoted by Eulers Angle 100 ()0cossin 0sincos

20、 cos0sin ()010 sin0cos cossin0 ()sincos0 001 XXXX XX YY YY YY ZZ ZZZZ R R R 100 01 01 10 010 01 10 10 001 XXX X Y YY Y Z ZZZ R R R 1 1 1 ()()()()()() ZY ZXXXYYZZXXZZYY YX RRRRRR 12 21()()()( )() 1 ZY ZXXXXYYZZXXZZ YXX RRRRR cos1 sin 3 2 1 coscoscos coscoscossinsinsin coscoscos XY XZXYZ YZ 22 3 22 2

21、22 1 XY XZ YZ 1、 2、 3與與歐勒歐勒 角的關(guān)系角的關(guān)系（略去三略去三 次以上微小項(xiàng)次以上微小項(xiàng)）： 2、以歐勒角為旋轉(zhuǎn)參數(shù)的坐標(biāo)變換、以歐勒角為旋轉(zhuǎn)參數(shù)的坐標(biāo)變換 Coordinate Transformation with Rotation Parameters denoted by Eulers Angle 01 1 01 0 ZY ZX YX ZY ZX YX XXX YYY ZZ X Z Y Z 上式中的紅色部分可看作是在坐標(biāo)系上式中的紅色部分可看作是在坐標(biāo)系 中的矢量中的矢量 由于坐標(biāo)系的微小旋轉(zhuǎn)引起的坐標(biāo)變由于坐標(biāo)系的微小旋轉(zhuǎn)引起的坐標(biāo)變 化化，如果在該坐標(biāo)系中定

22、義矢量，如果在該坐標(biāo)系中定義矢量 則紅色部分可看作矢量則紅色部分可看作矢量 的坐標(biāo)，在后續(xù)的課的坐標(biāo)，在后續(xù)的課 程地球自轉(zhuǎn)中我們將看到程地球自轉(zhuǎn)中我們將看到 即是即是角速度矢量角速度矢量。 OX Y Z r xyx ijk r 2、以歐勒角為旋轉(zhuǎn)參數(shù)的坐標(biāo)變換、以歐勒角為旋轉(zhuǎn)參數(shù)的坐標(biāo)變換 Coordinate Transformation with Rotation Parameters denoted by Eulers Angle ( )( )( )()()() coscossincos sincossinsincoscossinsin sincoscoscos sinsinsinco

23、scoscoscossin sinsinsincosc ZXZXXYYZZ XXX RRRRYY Z RYR ZZ o s X Y Z X ， Y ， Z 與與 、 、 的微分關(guān)系即剛的微分關(guān)系即剛 體轉(zhuǎn)動(dòng)的歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程體轉(zhuǎn)動(dòng)的歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 坐標(biāo)系繞某一矢量旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度的變換坐標(biāo)系繞某一矢量旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度的變換 如何求繞空間任一矢量旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度的如何求繞空間任一矢量旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度的 正交變換？正交變換？ 1 2basisaxisP 12basisbasisaxis 1 1basisaxisPaxis 21 1 co 1 cos11sin2 s1sin2basisbas PPbasis Pbas

24、isbas s is i X Z Y O r a r X Z Y r a r 1 b 2 b r r P P Z X Z X X Z Y Z Y X Y X Z Z Z0 X0 Y0 Y X O 2111 2 111 2 1 1cossin 1cossin 1cossin PPaxisaxisPaxisP PaxisPaxis Iaxisaxis P P 0 0 0 zy axiszx yx 2 2 2 2 1 1 1 xxyxz axisxyyyz xzyzz 222 1xyz cos sin 1 c s tc 2 21 2 2 1 txctxyzstxzys txyzstyctyzxs t

25、xzystyzxs PP z 3,11,32 3,22,32 2,11,22 mmsy mmsx mmsz /sin /sin /sin r r r xsx ysy zsz 3 2 2 22 13 /sin1 64 169 50040 SSS 22 2 2 22222 1 3,11,33,22,3 4 2,11,2sin Smmmm mmsxyz 如已知轉(zhuǎn)換矩陣如已知轉(zhuǎn)換矩陣Rmij，亦可求得相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)，亦可求得相應(yīng)的旋轉(zhuǎn) 矢量，并使其大小等于旋轉(zhuǎn)角。矢量，并使其大小等于旋轉(zhuǎn)角。 357 11 31 3 5 arcsin 2 32 3 42 3 4 5 xxxxx 3 、廣義垂線偏差和廣義拉普

26、拉斯方程式、廣義垂線偏差和廣義拉普拉斯方程式 Generalized Deflection of the Vertical and Laplace Equation 垂線偏差和拉普拉斯方程式垂線偏差和拉普拉斯方程式： ()cos B L tansin)( LA 前提條件前提條件： 橢球短軸與地軸平行橢球短軸與地軸平行 起始大地子午面與起始天文子午面平行起始大地子午面與起始天文子午面平行 (180)(90) zy Xx YRL RBy Zz 11 11 11 (180)(90) zy Xx YRRy Zz Z Y X RRR Z Y X ZZYYXX )()()( 1 1 1 3 、廣義垂線偏差

27、和廣義拉普拉斯方程式、廣義垂線偏差和廣義拉普拉斯方程式 Generalized Deflection of the Vertical and Laplace Equation 1 1 1 1 1 1 xx yy zz 1 1 1 ZY ZX YX XX YY ZZ 1 1 1 (90 )(180 )()()()(180)(90) yzZZYYXXzy xx yR BR LRRRRRy zz X Z Y Z Y X O Y X Z Z X0 Y0 Y X u Y X Z sincos cossin sincoscossincossi sinsino n cossc XY XY XY Z Z L

28、L B sincos sinsin cos AM xZA yrZA zZ 大 大 大 1 1 1 sincos sinsin cos AM xZ yrZ zZ 天 天 天 3 、廣義垂線偏差和廣義拉普拉斯方程式、廣義垂線偏差和廣義拉普拉斯方程式 Generalized Deflection of the Vertical and Laplace Equation 3 、廣義垂線偏差和廣義拉普拉斯方程式、廣義垂線偏差和廣義拉普拉斯方程式 Generalized Deflection of the Vertical and Laplace Equation coscossinsincossinco

29、s sincos sinsin cossinsincos sin coscos coscos X Y Z A ctgZctgZ ctgZctgZ ct LL gZ c ZBtg 天 大大 大大 大 s i n sincoscos cossin sinsin coscossinsi cos nsincossin X Z BLZZ 天大 不同大地坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換不同大地坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換 Transformation of Geodetic Coordinate Systems 1、不同空間直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換、不同空間直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換 Transformation of Space Rectangular C

30、oordinate Systems 2、不同大地坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換、不同大地坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換 Transformation of Geodetic Coordinate Systems Z、 YX ZYX 、 三個(gè)平移參數(shù)三個(gè)平移參數(shù) 三個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù)三個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù) 1 、不同大地空間直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換、不同大地空間直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換 Transformation of Space Rectangular Coordinate Systems 舊新 Z Y X Z Y X Z Y X XY XZ YZ 1 1 1 0 0 0 尺度比：尺度比： 舊 舊新 S SS m 舊舊 mXXX 舊舊 mYYY 舊舊 mZZZ 1 、不同大地空間直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換、不同大地空間直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換 Transformation of Space Rectangular Coordinate Systems m是均勻的，與是均勻的，與 點(diǎn)位和方向無關(guān)點(diǎn)位和方向無關(guān) 舊舊 舊舊 舊舊 新 mZZ mYY mXX Z Y X Z Y X XY XZ YZ 1 1 1 0 0 0 忽略二階忽略二階 小量并整小量并整 理得：理得： 0 0 0 0 (1)0 0 ZY ZX YX X mY XXX Y Z YY ZZZ 新舊舊 布爾莎七參數(shù)模型布爾莎七參數(shù)模型 1 、不同大地空間直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換、不同大地空間直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換 Tr