全等三角形的提高拓展經(jīng)典題(教師版)

1、全等三角形的提高拓展經(jīng)典題(教師版)全等三角形的提高拓展訓(xùn)練知識點睛 全等三角形的性質(zhì)：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)邊上的中線相等，對應(yīng)邊上的高相等，對應(yīng)角的角平分線相等，面積相等尋找對應(yīng)邊和對應(yīng)角，常用到以下方法：(1)全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊(2)全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角(3)有公共邊的，公共邊常是對應(yīng)邊(4)有公共角的，公共角常是對應(yīng)角(5)有對頂角的，對頂角常是對應(yīng)角(6)兩個全等的不等邊三角形中一對最長邊(或最大角)是對應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角)，一對最短邊(或最小角)是對應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角)要想正確地表示兩個三角形全等，找出

2、對應(yīng)的元素是關(guān)鍵全等三角形的判定方法：(1) 邊角邊定理(SAS)：兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等 (2) 角邊角定理(ASA)：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(3) 邊邊邊定理(SSS)：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(4) 角角邊定理(AAS)：兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(5) 斜邊、直角邊定理(HL)：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等全等三角形的應(yīng)用：運用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問題，在證明的過程中，注意有時會添加輔助線拓展關(guān)鍵點：能通過判定兩個三角形全等進(jìn)而證明兩條線段間的位置關(guān)系和大小關(guān)系而證明兩條線段或兩個

3、角的和、差、倍、分相等是幾何證明的基礎(chǔ)例題精講板塊一、截長補短【例1】 已知中，、分別平分和，、交于點，試判斷、的數(shù)量關(guān)系，并加以證明 【例2】 如圖，點為正三角形的邊所在直線上的任意一點(點除外)，作，射線與外角的平分線交于點，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系?【變式拓展訓(xùn)練】_N_C_D_E_B_M_A如圖，點為正方形的邊上任意一點，且與外角的平分線交于點，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 【例3】 已知：如圖，ABCD是正方形，F(xiàn)AD=FAE. 求證：BE+DF=AE._F_E_D_C_B_A【例4】 以的、為邊向三角形外作等邊、，連結(jié)、相交于點求證：平分 【例5】 如圖所示，是邊長為的正三角形，是頂角為的等腰三

4、角形，以為頂點作一個的，點、分別在、上，求的周長 【例6】 五邊形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180， 求證：AD平分CDE板塊二、全等與角度【例7】如圖，在中，是的平分線，且，求的度數(shù). 【例8】在等腰中，頂角，在邊上取點，使， 求. 【例9】 如圖所示，在中，又在上，在上，且滿足，求. 【例10】 在四邊形中，已知，求的度數(shù).【例11】 如圖所示，在四邊形中，求的度數(shù). 【例12】 在正內(nèi)取一點，使，在外取一點，使，且，求. 【例13】 如圖所示，在中，為內(nèi)一點，使得，求的度數(shù).全等三角形證明經(jīng)典50題（含答案）ADBC1. 已知：AB=4，AC=2，D是B

5、C中點，AD是整數(shù)，求AD延長AD到E,使DE=AD,則三角形ADC全等于三角形EBD DABC即BE=AC=2 在三角形ABE中,AB-BEAEAB+BE 即:10-22AD10+2 4AD6 又AD是整數(shù),則AD=5 2. 已知：D是AB中點，ACB=90，求證：3. 已知：BC=DE，B=E，C=D，F(xiàn)是CD中點，求證：1=2ABCDEF21證明：連接BF和EF。因為 BC=ED,CF=DF,BCF=EDF。所以 三角形BCF全等于三角形EDF(邊角邊)。所以 BF=EF,CBF=DEF。連接BE。在三角形BEF中,BF=EF。所以 EBF=BEF。又因為 ABC=AED。所以 ABE=

6、AEB。所以 AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中，AB=AE,BF=EF,ABF=ABE+EBF=AEB+BEF=AEF。所以 三角形ABF和三角形AEF全等。所以 BAF=EAF (1=2)。 BACDF21E4. 已知：1=2，CD=DE，EF/AB，求證：EF=AC證明：過E點，作EG/AC，交AD延長線于G則DEG=DCA，DGE=2又CD=DEADCGDE（AAS）EG=ACEF/ABDFE=11=2DFE=DGEEF=EGEF=ACACDB5. 已知：AD平分BAC，AC=AB+BD，求證：B=2C證明：在AC上截取AE=AB，連接EDAD平分BACEAD=BAD又AE=A

7、B，AD=ADAEDABD（SAS）AED=B，DE=DBAC=AB+BD AC=AE+CECE=DEC=EDCAED=C+EDC=2CB=2C12. 如圖，四邊形ABCD中，ABDC，BE、CE分別平分ABC、BCD，且點E在AD上。求證：BC=AB+DC。證明:在BC上截取BF=BA,連接EF.ABE=FBE,BE=BE,則ABEFBE(SAS),EFB=A;AB平行于CD,則:A+D=180;又EFB+EFC=180,則EFC=D;又FCE=DCE,CE=CE,故FCEDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD.DCBAFE13.已知：AB/ED，EAB=BDE，A

8、F=CD，EF=BC，求證：F=CAB/ED,AE/BD推出AE=BD,又有AF=CD,EF=BC所以三角形AEF 全等于三角形DCB，所以:C=F14. 已知：AB=CD，A=D，求證：B=CABCD證明：設(shè)線段AB,CD所在的直線交于E，（當(dāng)ADBC時，E點是射線AB,DC的交點）。則：AED是等腰三角形。所以：AE=DE而AB=CD所以：BE=CE (等量加等量，或等量減等量）所以：BEC是等腰三角形所以：角B=角C.PDACB15. P是BAC平分線AD上一點，ACAB，求證：PC-PBAC-AB作B關(guān)于AD的對稱點B，因為AD是角BAC的平分線，B在線段AC上（在AC中間，因為AB較

9、短）因為PCPB+BC,PC-PBBC,而BC=AC-AB=AC-AB,所以PC-PB三角形ADC全等于三角形ABC.所以BC等于DC，角3等于角4,EC=EC三角形DEC全等于三角形BEC所以5=634已知ABDE，BCEF，D，C在AF上，且ADCF，求證：ABCDEF因為D,C在AF上且AD=CF所以AC=DF又因為AB平行DE，BC平行EF所以角A+角EDF，角BCA=角F（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）然后SSA（角角邊）三角形全等ACBDEF35已知：如圖，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分別為D、E，BD、CE相交于點F，求證：BE=CD證明：因為 AB=AC， 所以 EBC=DC

10、B 因為 BDAC，CEAB 所以 BEC=CDB BC=CB (公共邊) 則有 三角形EBC全等于三角形DCB 所以 BECDAEBDCF36、 如圖，在ABC中，AD為BAC的平分線，DEAB于E，DFAC于F。求證：DE=DFAAS證ADF37.已知：如圖, ACBC于C , DEAC于E , ADAB于A , BC =AE若AB = 5 ,求AD 的長？DCBAE角C=角E=90度角B=角EAD=90度-角BACBC=AEABCDAEAD=AB=538如圖：AB=AC，MEAB，MFAC，垂足分別為E、F，ME=MF。求證：MB=MC證明AB=ACABC是等腰三角形B=C又ME=MF，

11、BEM和CEM是直角三角形BEM全等于CEMMB=MC40在ABC中，直線經(jīng)過點，且于，于.(1)當(dāng)直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證： ；(2)當(dāng)直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，說明理由.（1） 證明：ACB=90，ACD+BCE=90，而ADMN于D，BEMN于E，ADC=CEB=90，BCE+CBE=90，ACD=CBE在RtADC和RtCEB中，ADC=CEBACD=CBE AC=CB，RtADCRtCEB（AAS），AD=CE，DC=BE，DE=DC+CE=BE+AD；AEBMCF（2）不成立，證明：在ADC和CEB中，ADC=CEB=

12、90ACD=CBE AC=CB，ADCCEB（AAS），AD=CE，DC=BE，DE=CE-CD=AD-BE；41如圖所示，已知AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求證：（1）EC=BF；（2）ECBF（1） 證明;因為AE垂直AB所以角EAB=角EAC+角CAB=90度因為AF垂直AC所以角CAF=角CAB+角BAF=90度所以角EAC=角BAF因為AE=AB AF=AC所以三角形EAC和三角形FAB全等所以EC=BF角ECA=角F（2） (2)延長FB與EC的延長線交于點G因為角ECA=角F(已證）所以角G=角CAF因為角CAF=90度所以EC垂直BF42如圖：BEAC，CFAB，

13、BM=AC，CN=AB。求證：（1）AM=AN；（2）AMAN。證明：（1）BEAC，CFABABM+BAC=90，ACN+BAC=90ABM=ACNBM=AC，CN=ABABMNACAM=AN（2）ABMNACBAM=NN+BAN=90BAM+BAN=90即MAN=90AMAN43如圖,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求證:BCEF連接BF、CE，證明ABF全等于DEC（SAS），然后通過四邊形BCEF對邊相等的證得平行四邊形BCEF從而求得BC平行于EF44如圖,已知ACBD，EA、EB分別平分CAB和DBA，CD過點E，則AB與AC+BD相等嗎？請說明理由在AB上取點N

14、,使得AN=AC CAE=EAN ,AE為公共邊,所以三角形CAE全等三角形EAN所以ANE=ACE又AC平行BD所以ACE+BDE=180而ANE+ENB=180所以ENB=BDENBE=EBNBE為公共邊,所以三角形EBN全等三角形EBD所以BD=BN所以AB=AN+BN=AC+BD45、（10分） 如圖,已知: AD是BC上的中線 ,且DF=DE求證:BECF證明：AD是中線BD=CDDF=DE，BDE=CDFBDECDFBED=CFDBECF46、(10分)已知：如圖，ABCD，DEAC，BFAC，E，F(xiàn)是垂足，ADECBF求證：證明：DEAC，BFAC，DEC=AFB=90，在RtD

15、EC和RtBFA中，DE=BF，AB=CD，RtDECRtBFA，C=A，ABCD47、(10分)如圖，已知1=2，3=4，求證：AB=CD 【待定】ACEDB48、 (10分)如圖，已知ACAB，DBAB，ACBE，AEBD，試猜想線段CE與DE的大小與位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.結(jié)論：CEDE。當(dāng)AEB越小，則DE越小。證明：過D作AE平行線與AC交于F，連接FB由已知條件知AFDE為平行四邊形，ABEC為矩形 ，且DFB為等腰三角形。RTBAE中，AEB為銳角，即AEB90DF/AE FDB=AEB45RTAFB中，F(xiàn)BA=90-DBF 45ABAFAB=CE AF=DECEDE49、 (10分)如圖，已知ABDC，ACDB，BECE，求證：AEDE.ABECD先證明ABCBDC 的出角ABC=角DCB在證明ABEDCE得出AE