量子力學的一些基礎

1、量子力學的起源 1關于原子的穩(wěn)定性，做經(jīng)典運動的電子必然 輻射電磁波，使得電子不斷的失去能量，原 子便不是一個穩(wěn)定的結構，與事實相反。 2真空電磁場的比熱無窮大，因為這里面有無 窮個自由度，按照能量勻分定理，每一個自 由度的能量是KT 3無法解釋固體的存在以及各種宏觀參數(shù)的大 小（密度，比熱容等） 4沒有熵的概念，也就沒有溫度的概念，物理 無法達到熱平衡。 如果我們假設能量E=w，當w很大的時候，一個光 子的能量很高，難以被激發(fā)，從而保證比熱不會 發(fā)散。根據(jù)這個假設可以得到正確的輻射公式。 再根據(jù)質能E2=p2c2+m02c2,可以推導出p=k。 實物粒子也具有如同光子一樣的波粒二象性，我 聽

2、有的人說實物粒子是概率波，它不像光波一樣 有振幅，不過我覺得實物粒子是物質波，它有振 幅。一個粒子如果它的頻率和波矢都確定的話， 粒子波函數(shù)是 但是這樣的波函數(shù)是不存在的，因為它無法歸一 化，實際 的波函數(shù)是不同的動量本征函數(shù)疊加而 成的,從而可以歸一化。 Et/-ipx/ e 2 1 = 實物粒子的運動是由波函數(shù)來描述，波函數(shù)遵守 薛定諤方程 i/t=H，波函數(shù)得 在某個表象上描述，動量表象的基底是（p-p0）， 坐標表象的基底是（x-x0），動量和坐標表象的 基底都是連續(xù)的，也可以是能量表象，能量表象 的基底可能不是連續(xù)的。我們在測量粒子的位置 時，粒子在某個位置出現(xiàn)的概率等于波函數(shù)的平

3、方，但是波函數(shù)在進行相加時是概率幅的相加， 而不是概率幅平方的相加，從而產(chǎn)生干涉現(xiàn)象。 當我們測量粒子的位置時，波函數(shù)會瞬間塌縮，這 個速度超過光速，這是量子力學的一個佯謬。 對于H不含時的薛定諤方程 H (r)=E 解這個方程可以得到 (r,0)= cn n, 加入時間就是 (r,t)= cn n(r)e-iEnt/, 所以我能只要知道了0時刻 的波函數(shù)，就知道 了t時刻的波函數(shù)。不同的n之間是相互正交的。如 果此時的表象是能量的話，那么n就是基底，cn就 是波函數(shù)。 我們不能將力學量直接作用在波函數(shù) 上，我們要將力學量用算符來表示才能進行運算， 它是厄米算符，即 F+=F 然后將力學量作用

4、在波函數(shù)上，從而得 到一系列力學量的本征函數(shù)和本證值，這些本征 函數(shù)組成希爾伯特空間的一個基底，它是一組完 備的基底，任意 的波函數(shù)都可以用這些本征函數(shù) 展開。所以也可以用矩陣來處理量子力學中的計 算。F+的矩陣的轉置共軛就是F的矩陣。 除了厄米算符外，我們還有很多其他非力學量算符 投影算符：=-r 有限旋轉算符：Ru()=e-iLu Lu/ 算符的對易關系：A,B=AB-BA,x，p=i ,互相對 易的算符具有相同的本征函數(shù)。 薛 定 諤 方 程 為 化 簡 假 設 v 在 某 個 區(qū) 域 不 變， 設 若 E v， 則 ， k 為 實 數(shù)， 波 函 數(shù) 的 模 隨 x 增 大 指 數(shù) 減

5、小， 我 們 可 以 看 到 我 們 可 以 看 到 在 能 量 小 于 勢 能 的 地 方 粒 子 仍 然 能 夠 出 現(xiàn)， 粒 子 有 一 定 概 率 隧 穿 到 勢 能 小 的 地 方。 同 時 粒 子 也 可 能 會 被 勢 壘 反 射。 0= E)+2m(v -/dxd E=v+/dxd 2m - 2 22 22 2 22 k=E)/+2m(v -kx Ae= 對 于 平 行 六 面 體 中 的 空 腔 中 的 電 磁 場， 它 是 一 系 列 駐 波 組 成 的， 一 個 波 模 是 于 是 我 們 有 對 于 q k l m ( t) 的 變 化 有： ) L z sin() L

6、 y sin() L x sin( 8 =z)y,(x,f 321321 klm mlk LLL ),()(t)(r, , zyxftq klm mlk klm 0)( 2 2 2 tqw dt d klmklm q k l m 的 共 軛 動 量 是 p k l m， 哈 密 頓 函 數(shù) 是 我 們 可 以 看 出 光 子 的 能 量 表 達 式 和 諧 振 子 很 想， 所 以 光 子 的 能 量 是 h 2 1 2 2 klmklmklm klm pqH klmklmklm 1)h+n（=H 氨 分 子 的 三 個 H 原 子 在 一 個 平 面 上， N 原 子 可 能 在 H 原 子

7、 的 左 邊， 也 可 能 在 H 原 子 的 右 邊， N 原 子 可 以 通 過 隧 穿 效 應 從 左 邊 到 右 邊， 因 為 勢 能 是 對 稱 的， 所 以 氨 分 子 可 以 對 稱 的 波 函 數(shù) s 和 反 對 稱 的 波 函 數(shù) a 描 述， 這 兩 種 波 函 數(shù) 對 應 的 能 量 本 征 值 是 n a n a n s n s , n a n s EHEH n n s n a EE 所以我們可以觀測到氨分子發(fā)射或吸收頻率為 /2的電磁輻射，落在厘米波段，氨分子的 微波量子放大器的工作原理，就是根據(jù)氨分子的 這種電磁波 的受激輻射。 振 動 能 級: 取 雙 原 子 分

8、 子 之 間 勢 能 的 一 級 近 似， 就 是 諧 振 子 模 型， 它 的 能 級 是 轉 動 能 級： 在 計 算 轉 動 能 級 時 是 假 設 原 子 之 間 的 距 離 r 不 變， 薛 定 諤 方 程 是： 能 級 間 隔 是 2 B l， 純 轉 動 譜 位 于 遠 紅 外 波 或 微 波 波 段。 ) 2 1 ( n mlrllmlrLmlH ee ,2/) 1(,2/, 2 2 2 2 但是對于同極分子，它沒有永久電偶極矩，但是 電子會在電場Eeit的作用下發(fā)生受迫振動，從而 出現(xiàn)電偶極矩Deit，D并不一定平行于E， D在oz軸上的投影： 因為分子在轉動，所以它還會對Dz進行調制。我 們計算Dz在 之間的矩 陣元。 tEEDcos)( / tE tEEDz coscos)( cos)sin(cos 2 / ),(),( m l m l YY與 可 以 證 明 只 有 當 時， 矩 陣 元 才