特殊隨機變量起源及應(yīng)用

1、vs.1iib卡奈harbin i nstitute of technology課程設(shè)計說明書（論文）課程名稱：概率論課程設(shè)計設(shè)計題目：特殊隨機變量起源及應(yīng)用院 系：航天學(xué)院控制科學(xué)與工程系班 級：1104104設(shè)計者：田書赫學(xué) 號：學(xué)10410418指導(dǎo)教師：田波平設(shè)計時間：設(shè)121211哈爾濱工業(yè)大學(xué)教務(wù)處特殊隨機變量起源及應(yīng)用摘要本文論述了幾類特殊隨機變量的起源、定義、及部分應(yīng)用。詳細介紹了離散型的二 項分布和泊松分布，連續(xù)型的正態(tài)分布，討論了其在系統(tǒng)有效性問題、能量供應(yīng)問題、 成績評價等方面的應(yīng)用，并詳細探討了二項分布的泊松逼近和正態(tài)逼近，論述了棣莫弗 拉普拉斯極限定理，列舉了該定理在

2、實際中的應(yīng)用。正文一、隨機變量定義進行試驗時，相對于試驗的實際結(jié)果而言，通常我們更感興趣的是有關(guān)試驗結(jié)果的 某些函數(shù)。比如，在擲兩枚骰子的游戲中，我們通常更關(guān)心兩枚骰子的點數(shù)之和，而不 是各枚骰子的具體值；同樣，在擲若干枚硬幣時，我們或許關(guān)心正面朝上的總數(shù)，而不 關(guān)心實際結(jié)果有關(guān)正面朝上或反面朝上的排列情況。這些感興趣的量是試驗結(jié)果的實值 函數(shù)，我們稱之為隨機變量。定義1.1稱定義在樣本空間上試驗結(jié)果的實值函數(shù)*3)為一個隨機變量。定義1.2稱一元函數(shù)：f (x) =p ( e(co) k+1;(ii )x=k而且剩下的2個元件中至少有一個工作正常；(iii )x=k -1而且剩下的2個元件都

3、工作正常。 由于p2k(工作有效)= px k = px =k + px k+1可得p2k+(工作有效)-p2k(工作有效)=px =k -1p2 -(1 - p)2px =kkk4k 22 k kk4= c2k1(1 - p) p -(1 - p) c2k 4 p (1 - p)= c，pk(1-p)kp-(1 -p)-10= p -.2例2能量供應(yīng)問題假定有n=10個工人間歇性的使用電力，我們的目的是估計所需要的總負荷。建立這樣一個簡化的數(shù)學(xué)模型：設(shè)想在任何一個給定的時刻每一個工人以同樣的概率p需要一個單位電力。如果他們是獨立的進行工作，則恰有k個工人同時需要電能的概率是b(k; n, p

4、)。如果一個工人在一個小時內(nèi)平均有12分鐘需要電能，則我們令p=1/5o于是在同時有7個或者7個以上的工人需要電能的概率為b (7; 10, 0.2) +b(8; 10, 0.2)+b (10; 10, 0.2) =0.0008643584.如果最多只能供應(yīng)6個單位電力，則超過負荷的概率為 0.00086，即是1157分鐘內(nèi)約有1分鐘，亦即約20個工作時中可能有一分鐘超過負荷。2. 4其他離散型分布2.1.1 退化分布隨機變量只取常數(shù)值 c,又稱單點分布。2.1.2 幾何分布在事件a發(fā)生的概率為p的伯努利試驗中，若以刀記a首次出現(xiàn)的試驗次數(shù)，則 y服從幾何分布：g(k;p)=p =k =qp,

5、k =1,2,|幾何分布具有無記憶性，在概率論及其應(yīng)用同樣具有很重要的作用。2.1.3 超幾何分布對某批n件產(chǎn)品進行不放回抽樣檢查，若這批產(chǎn)品中有 m件次品，現(xiàn)從整批產(chǎn)品中隨機抽出n件產(chǎn)品，則在這n件產(chǎn)品中出現(xiàn)的次品數(shù) v是隨機變量，它取值0, 1, 2,， n,其概率分布為超幾何分布 .2.1.4 巴斯卡分布若以e記第r次成功出現(xiàn)時的試驗次數(shù)，則e是隨機變量，取值r, r+1,其概率分布為巴斯卡分布.三、連續(xù)型隨機變量前面我們討論了離散型隨機變量的起源及其應(yīng)用，這類隨機變量的可能取值的個數(shù)或者是有限的，或者是可數(shù)無限的。然而，還存在一類隨機變量，它們的可能取值是無 限不可數(shù)的，例如測量誤差、

6、分子運動速度、候車時的等待時間、降水量、風(fēng)速等。稱e為一個連續(xù)性隨機變量，如果存在一個定義在實數(shù)軸上的非負函數(shù)f,使得對于任一個實數(shù)集b,下式成立p ； = f (x)dxb函數(shù)f稱為隨機變量e的概率密度函數(shù)，或密度函數(shù)。3. 1正態(tài)分布正態(tài)分布是法國數(shù)學(xué)家亞伯拉罕棣莫弗在1733年引入的。他利用正態(tài)分布求出了有關(guān)拋擲硬幣試驗中隨機事件的概率的近似值。當時稱正態(tài)分布為指數(shù)鐘形曲線。1809年，德國著名數(shù)學(xué)家高斯以正態(tài)分布作為奧工具預(yù)測天文學(xué)中星體的位置，這時才展現(xiàn) 了正態(tài)分布的應(yīng)用價值。此后，正態(tài)分布就稱為高斯分布。在十九世紀后半葉，大部分統(tǒng)計學(xué)家認為大部分數(shù)據(jù)的直方圖都具有高斯鐘形曲線 的形

7、狀。事實上，大家認為正常的數(shù)據(jù)集合應(yīng)該具有這種形狀。由英國統(tǒng)計學(xué)家卡爾皮爾森開始，將高斯曲線稱為正態(tài)曲線。3.1.1 正態(tài)分布的定義稱e為服從參數(shù)為a和ff正態(tài)分布的隨機變量，或者簡稱為正態(tài)隨機變量，如果(x a)2-二：x ：:二的密度函數(shù)為1cp(x) ej2w。其中b0, a與b均為常數(shù)，相應(yīng)的分布函數(shù)為1f(x)= 2 二(y -a)2c 22 二 dy, -二9a=0, b=1時，稱為標準正()(x)及(x)。這個分布就稱為正態(tài)分布，簡記為n (a,仃2)。特別的，當態(tài)分布，記為ni (0, 1),相應(yīng)的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別記為1h 一 一( x) : -= e 2 , 一 二：二

8、 x ：二二- 2 二e 2 dy, _二：二 x :二-q01(x)=-2 二習(xí)慣上把服從正態(tài)分布的隨機變量稱為正態(tài)變量。3.1.2正態(tài)分布的性質(zhì)正態(tài)分布具有以下性質(zhì)：(1) 正態(tài)分布的參數(shù)a和。2分別代表了它的期望和方差。(2)若e n (a, a2),則隨機變量 十二二a服從n (0, 1), 一般n (a, a2)ct的分布函數(shù)值可由變換而得f(x)=：(3) p (x)在x=a處達到極大，其圖形關(guān)于x=a對稱，(t越小，分布越集中在x=a 附近，b越大，分布越平坦。3.1.3正態(tài)分布的應(yīng)用例1進行一次考試，如果所有考生所得的分數(shù)可近似地表示為正態(tài)密度函數(shù)(換句話說，各級考分的頻率圖近

9、似的呈現(xiàn)正態(tài)密度的中性曲線。)，則通常認為這次考試(就合理的劃分考生成績等級而言)是可取的。教師經(jīng)常用考試的分數(shù)去估計正態(tài)參數(shù) a和然后把分數(shù)超過 a+b的評為a等，分數(shù)在a到a+b之間的評為b等，分數(shù)在a-到a之間的評為 c等，分數(shù)在a-2 b至ij a- 之間評為d等，分數(shù)在a-2 以下者評為f 等。(稱這種方法為“曲線上”劃分等級法)由于一 . a.p a 二 =p =1- ：，(1) ： 0.1587a_.a .pa :二：二 a 二 二p0 :二=：1-: ： . - ： ：。： 0.3413：二 a-二 = p-2 ：二 ：二 一1二；： 一 ；10.1359ct,、， a 、,p

10、:二 a -2 c = p：二 _2 - ； -0.0228a所以，近似地說，這次考試中，能獲得 a等的占16% b等的占34% c等的占34% d等 的占14%成績很差的占2%remark:，立、， 七一a、h 工工，一，p t-a| ka =pk k=肉 k 廣肉k)=& k )-1, k=1,2, |k=1 時，p ja 。=漢 1) -1 =0.6826k=2 時，p t-a 2o=被2) -1=0.9544k=3 時，p m-a 0.5 ,則認為是1;如果r0.5,則認為是0.如果噪音服從正分布，我們將要計算n為標準正態(tài)隨機變量情形下的出錯概率。共有兩類錯誤。其一是信息 1被錯誤的認

11、為是 0;另一類是信息 0被錯誤的認為是1.第一類錯誤會在下列情形發(fā)生：如果信息是1,且2+n0.5.因此，p錯誤 信息是 1 =pn 2.5 =1 -9(2.5)之 0.0062例3二項分布的正態(tài)近似當n很大時，參數(shù)為(n, p)的二項分布可以用正態(tài)分布來近似。棣莫弗在 1733年證明了 p=1/2的特殊情形。而后，在 1812年，拉普拉斯對一般的 p進行了證明。棣莫弗-拉普拉斯極限定理在n次獨立重復(fù)試驗中，設(shè)每次成功的概率為p,記成功次數(shù)為e,則對任何ab有：當n?8 時pa(1.59) : 0.0559解：記e為入學(xué)新生人數(shù)，那么 e為以n=450, p=0.3為參數(shù)的二項隨機變量。利用 連續(xù)性修正及正態(tài)近似可得、450 0.3 0.7,450 0.3 0.7這樣，在接到錄取通知書白人中，入學(xué)者超過150名的可能性不超過 6%。3.2其他連續(xù)型分布3.2.1 均勻分布若e隨機變量服從a, b上均勻分布，則e在a, b中取值落在某一區(qū)域內(nèi)的概率與 這個區(qū)域的測度成正比.粗略地講就是，e取a, b中人一點的可能性一樣.3.2.2 指數(shù)分布分布密度函數(shù)為p(x) = 0,指數(shù)分布有重要應(yīng)用，常用