北京市大興區(qū)高三統(tǒng)一練習理科數(shù)學試題及答案

1、北京市大興區(qū)2014年高三統(tǒng)一練習數(shù)學（理科） 本試卷分兩部分，第一部分（選擇題）和第二部分（非選擇題）共4頁，共150分，考試時間120分鐘。考試結束，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）已知集合，那么等于 a. b. c. d. （2）復數(shù) a. b. c. d. （3）在極坐標系中，點到直線的距離是 a. b. c. 1 d. （4）將函數(shù)的圖像向左平移個單位后，所得圖像的解析式是 a. b. c. d.（5）“”是“”的a. 充分不必要條件 b. 必要不充分條件 c. 充

2、要條件 d. 既不充分也不必要條件（6）不等式組在坐標平面內表示的圖形的面積等于 a. b. c. d. （7）某三棱錐的三視圖如圖所示，則其表面中，直角三角形的個數(shù)為 a. 1個 b. 2個 c. 3個 d. 4個（8）給出下列函數(shù)：；則滿足關系式的函數(shù)的序號是 a. b. c. d. 第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。（9）橢圓的離心率等于 . （10） .（11）在銳角中,，則角_.（12）當圓的圓心到直線的距離最大時， （13）已知數(shù)列滿足，則 ； 前2n項和 （14）如圖所示，點是圓上的兩點，點d是圓周上異于a，b的任意一點，線段od與線段交于

3、點.若，則 ；若，則的取值范圍是 三、解答題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。 （15）（本小題共13分）已知（i）求的值；（ii）求的最大值以及取得最大值時的值（16）（本小題共13分）為了改善空氣質量，某市規(guī)定，從2014年3月1日起，對二氧化碳排放量超過130g/km的輕型汽車進行懲罰性征稅檢測單位對甲、乙兩品牌輕型汽車各抽取5輛進行碳排放檢 測，記錄如下：（單位：g/km）甲80110120140150乙100120120100160（i）根據(jù)表中的值，比較甲、乙兩品牌輕型汽車二氧化碳排放量的穩(wěn)定性（寫出判斷過程）；（ii）現(xiàn)從被檢測的甲、乙品牌汽車中隨機抽取

4、2輛車，用表示抽出的二氧化碳排放量超過130g/km的汽車數(shù)量，求的分布列注：方差，其中為的平均數(shù)（17）（本小題共14分）如圖，在四棱錐中，側面底面，已知是等腰直角三角形，其中為直角，底面是邊長為2的正方形，是的中點，是上的點（i）求證：平面； （ii）若，求證：平面； （iii）求二面角的大小 （18）（本小題共13分）已知函數(shù)，. （）求在點處的切線方程； （）設函數(shù)，求證：對任意，都有.（19）（本小題共14分）已知點，直線，動點p到點f的距離與到直線的距離相等（）求動點p的軌跡c的方程； （）直線與曲線c交于a，b兩點，若曲線c上存在點d使得四邊形fabd為平行四邊形，求b的值.（2

5、0）（本小題共13分）對于各項均為正數(shù)的無窮數(shù)列，記，給出下列定義：若存在實數(shù)，使成立，則稱數(shù)列為“有上界數(shù)列”；若數(shù)列為有上界數(shù)列，且存在，使成立，則稱數(shù)列為“有最大值數(shù)列”；若，則稱數(shù)列為“比減小數(shù)列”.（）根據(jù)上述定義，判斷數(shù)列是何種數(shù)列？（）若數(shù)列中，求證：數(shù)列既是有上界數(shù)列又是比減小數(shù)列；（）若數(shù)列是單調遞增數(shù)列，且是有上界數(shù)列，但不是有最大值數(shù)列，求證：，理科參考答案一、選擇題題號12345678答案dbbacbdc二、填空題(9) (10) 1 (11) (12) 0 (13) 7； (14) 1；三、解答題（15）（ii） 取最大值38分（16）（本題滿分13分）解: （i）甲

6、品牌輕型汽車二氧化碳排放量的平均數(shù)為:甲品牌輕型汽車二氧化碳排放量的方差為: 2分乙品牌輕型汽車二氧化碳排放量的平均數(shù)為:乙品牌輕型汽車二氧化碳排放量的方差為: 4分因為樣本的甲品牌輕型汽車二氧化碳排放量的方差比乙品牌的方差大,所以估計乙品牌輕型汽車二氧化碳排放量比甲品牌穩(wěn)定. 5分 012（ii）由題意可知， 1分, 7分隨機變量的分布列是8分（17）（本題滿分14分）證明：（）連結ac交bd于點o，連結eo,因為abcd是正方形，所以o為ac中點,又因為e為pc中點，所以eo為cpa的中位線,所以eopa .2分因為eo平面edb , pa平面edb,所以pa平面edb.4分（）因為側面p

7、dc底面abcd,平面pdc平面abcd=dc,又因為側面pdc是等腰直角三角形，其中pdc為直角所以pddc.又pd平面pcd,所以pd平面abcd.又 adcd， 得da、dc、dp兩兩垂直.如圖，以d為原點建立空間直角坐標系d-xyz. 1分d（0，0，0），p（0，0，2），b（2，2，0），e（0，1，1）a (2, 0, 0), c (0, 2, 0).設f（x，y，z），由得： 所以，所以. 2分又，所以， 4分 所以，且于。所以平面. 5分（） 由（）知 pd平面abcd,又因為ac平面abcd,所以acpd,又acbd,所以ac平面pbd.所以平面pbd的法向量是. 1分設平

8、面pbc的法向量(x,y,z) 由（）知, 則有所以 令z=1 得n=(0,1,1) . 3分 則 .4分由圖可知二面角c-pb-d的平面角為銳角,所以二面角c-pb-d的大小為. 5分（18）（本小題共13分）解：（），2分由題意，4分 所以切線方程為5分（），（）=2分=0，得3分-0+減極小值增 5分所以=6分 即8分 （19）（本小題共14分）解：（）依題意，動點p的軌跡c是以為焦點，為準線的拋物線 -2分 設軌跡c的方程為， 則 所以動點p的軌跡c的方程為 -4分 （）解法一：因為，故直線fd的方程為 -1分 聯(lián)立方程組消元得：，解得點的橫坐標為或 由拋物線定義知：或 -3分又由 消

9、元得：。設，則且 -5分 所以 -7分因為fabd為平行四邊形，所以 所以或， -9分解得或，代入成立。-10分（）解法二：因為，故直線fd的方程為-1分聯(lián)立方程組消元得：，解得或 故點或-3分 當時，設聯(lián)立方程組消元得：（*） 根據(jù)韋達定理有， -5分又因為四邊形是平行四邊形，所以， 將坐標代入有 -6分代入有， 代入有 整理得-8分此時（*）的判別式,符合題意-9分 當時，同理可解得 -10分（20）（本題滿分13分）解：（），且顯然，且存在，所以數(shù)列既是有上界數(shù)列，又是有最大值數(shù)列。3分（）下面用數(shù)學歸納法證明，顯然，假設n=k時命題成立，即當n=k+1時， 所以，當n=k+1時，命題成立，即；下面證明。因為，所以