利用空間向量解立體幾何(完整版)

1、向量法解立體幾何引言立體幾何的計算和證明常常涉及到二大問題： 一是位置關(guān)系，它 主要包括線線垂直，線面垂直，線線平行，線面平行；二是度量問題， 它主要包括點到線、點到面的距離，線線、線面所成角，面面所成角 等。教材上講的比較多的主要是用向量證明線線、 線面垂直及計算線 線角，而如何用向量證明線面平行，計算點到平面的距離、線面角及 面面角的例題不多，給老師對這部分內(nèi)容的教學(xué)及學(xué)生解有關(guān)這部分 內(nèi)容的題目造成一定的困難，下面主要就這幾方面問題談一下自己的 想法，起到一個拋磚引玉的作用?；舅悸放c方法一、基本工具1 .數(shù)量積：a b a b cos2 .射影公式：向量a在b上的射影為a-b b3 .

2、直線ax by c 0的法向量為 a,b ,方向向量為b, a4 .平面的法向量（略）二、用向量法解空間位置關(guān)系1 .平行關(guān)系線線平行 兩線的方向向量平行線面平行 線的方向向量與面的法向量垂直面面平行 兩面的法向量平行2 .垂直關(guān)系線線垂直（共面與異面）兩線的方向向量垂直線面垂直 線與面的法向量平行面面垂直 兩面的法向量垂直 三、用向量法解空間距離1 .點點距離點 p xi,yi,z 與 q x2,y2z 的距離為 pq j(x2 %)2 (y %)2 匕 zi)22 .點線距離求點p xo,yo到直線l : ax by c 0的距離:方法：在直線上取一點q x, y ,則向量pq在法向量nu

3、uira,b上的射影歸口條v即為點p到l的距離.3 .點面距離求點p xo，yo到平面的距離：方法：在平面 上去一點q x,y ,得向量puq計算平面的法向量n ,計算pq在 上的射影，即為點p到面 的距離.四、用向量法解空間角1 .線線夾角（共面與異面）線線夾角 兩線的方向向量的夾角或夾角的補(bǔ)角2 .線面夾角求線面夾角的步驟:先求線的方向向量與面的法向量的夾角， 若為銳角角即可，若為鈍角，則取其補(bǔ)角；再求其余角，即是線面的夾角.3 .面面夾角(二面角)若兩面的法向量一進(jìn)一出，則二面角等于兩法向量的夾角；法向量同進(jìn)同出，則二面角等于法向量的夾角的補(bǔ)角 .實例分析一、運用法向量求空間角向量法求空

4、間兩條異面直線a, b所成角0,只要在兩條異面直線一人uulr uuir uuir uuura, b 上各任取一個向量aa和bb,則角aa,bb=0或兀-0 ,因為uuur uuur不需要用法向量。是銳角，所以 cos e = .uua buuraa bb1、運用法向量求直線和平面所成角r設(shè)平面口的法向量為n= (x, y, 1),則直線ab和平面0c所成的角0的正弦值為sin 0 = cos( j- 0) = |cos abr , n | =uuir rab ?n-uutrrab ? n2、運用法向量求二面角設(shè)二面角的兩個面的法向量為，則ui,nu 或兀- nr,nu 是所求 角。這時要借助

5、圖形來判斷所求角為銳角還是鈍角，來決定 九微是所求，還是兀-是所求角。:、運用法向量求空間距離1、求兩條異面直線間的距離設(shè)異面直線a、b的公共法向量為在a、b上任取一點a、b,則異面直線a、r nuur r d =ab cos / baa =|abr?n| |n|略證：如圖，ef為a、b的公垂線段，a為過f與a平行的直線,在a、b上任取一點a b,過a作aa ”ef,交a于a ,則 照/,所以/ baa = （或其補(bǔ)角）uuu r異面直線a、b的距離d =ab cos/ baa =|陰？）| *|n|其中，n的坐標(biāo)可利用a、b上的任一向量a,b （或圖中的ar搟）,r及n的定義得r n r n

6、r a r br r n?a 0 r r n?b 0r解方程組可得no2、求點到面的距離rn (x, y,1),在 口n的坐標(biāo)由n與求a點到平面0c的距離，設(shè)平面0c的法向量法為uuu r內(nèi)任取一點b,則a點到平面0c的距離為d =四型|n|平面口內(nèi)的兩個不共線向量的垂直關(guān)系， 得到方程組（類似于前面所r述，若方程組無解，則法向量與xoyf面平行，此時可改設(shè)n (1,y,0),下同)3、求直線到與直線平行的平面的距離r.求直線a到平面0c的距離，設(shè)平面0c的法向量法為n (x,y,1),在直線a上任取一點a,在平面0c內(nèi)任取一點b,則直線a到平面0c的uur r距離d= 1am|n|4、求兩平

7、行平面的距離r.一.設(shè)兩個平行設(shè)平面%、 (3的公共法向量法為n (x,y,1),在平面、uuu rb內(nèi)各任取一點 a b,則平面0c到平面b的距離d = r？e|n|三、證明線面、面面的平行、垂直關(guān)系設(shè)平面外的直線a和平面口、(3,兩個面口、b的法向量為工力， 則urura/ a n1a a/n1it urrr ur/n1 / n2n1 n2四、應(yīng)用舉例：例1:如右下圖，在長方體abcd-abcd中，已知ab= 4, ad =3,aa= 2. e、f分別是線段 ab bc上的點，且 eb= fb=1.(1)求二面角c- de-c的正切值;(2)求直線eg與fd所成的余弦值.解：(i )以a為

8、原點， 建立空間直角坐標(biāo)系，則 d(0,3,0)、d(0,3,2)c(4,3,2) uuu 于是，de一 ，一 r 設(shè)法向量nuuruurr n r nuuu de uuir eci r n (3x(3, 3,0), eg(1,3,2), fdi ( 4,2,2)(x,y,2)與平面cide垂直，則有3y 0x 3y 2z 01, 1,2), uuuq向量aai(0,0, 2)與平面cde垂直r uuuaa1所成的角為二面角c de c1的平面角q costanr uuirn? aa1u-uuur|n| |aa1|,2210 10 2 2,114x004(ii )設(shè)eg與fd所成角為(3 ,則

9、uuir uuurcos|eci | |fdi|1 ( 4) 3 2 2 2.t 32 22( 4)2 22 22,2114例2:如圖，已知四棱錐 p-abcd底面abc奧菱形，/ dab=6。pdl平面 abcd pd=aq 點 e 為ab中點，點f為pd中點。(1)證明平面pedl平面pab(2)求二面角p-ab-f的平面角的余弦值證明：(1) .面abc匿菱形，/ dab=6。.abd等邊三角形，又e是ab中點，連結(jié)bd. / edb=30, / bdc=6b. / edc=9。如圖建立坐標(biāo)系 d-ecp設(shè)ad=ab=1貝u pf=fd=1 , ed=3 ,. p (0, 0, 1),

10、e (置，0, 0), b (號 1, 0) 222uurr , 31uur 、3 pb= (-1)，pe=(3, 0，1)，uuir平面ped的一個法向量為dc = （0,1,0)，設(shè)平面pab的法向量為 n= (x, y, 1)rnrnuuupb uuu pe3 1(x,y,1)?(, , 1)2 2,3 (x,y,1)?(,0, 1)23x23x212y 123,0, 1)uuur dcr i- uuur n=0 即 dc，r 一一 一一n 平面pedl平面pab解:由（1）知：平面pab的法向量為(3, 0,1),設(shè)平面一，一,rfab的法向量為n尸（x, y, -1）由（1）知:一，

11、1 、f (0, 0,；)uurfb =2）urfe0,r n1 r n1uuu fb uuu fe(x, y,(x, y,3 1 1)?(,-,2 2、.31)?( ,0,21)12)3x2.3x212y1 02rm=(-n ?n1n ? n15-714,0, -1)p-ab-f的平面角的余弦值cos 0r=|cos|例3:在棱長為4的正方體abcd-aicd中，o是正方形abgd的中直線apw平面bccb所成的角0的正弦值uuusin 0 = |cos| =164 3333心，點放棱cc上，且cc=4cp.(i)求直線apw平面bccb所成的角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)；(h )設(shè)0

12、電在平面da吐的射影是h,求證：dhlap;(田)求點網(wǎng)平面abd勺距離.解：(i)如圖建立坐標(biāo)系d-acd丁棱長為4.a (4, 0, 0), b (4, 4, 0), p (0, 4, 1)uuu小 uuurap = (-4, 4, 1),顯然 dc = (0, 4, 0)為平面bccb的一個法向量e為銳角，直線a由平面bce所成的角e為arcsin鴛r(hi)設(shè)平面abd的法向量為n=(x, y, 1),uuuuuum; ab= (0, 4, 0), adi = (-4 , 0, 4)r uuuu ,n ad1得y 04x 4rn二(1,0, 1)，點piu平面abd勺距離d =uur

13、rap?nin3.22例4:在長、寬、高分別為 2, 2, 3的長方體abcd-a1c1d中，o是底面中心，求ao與bc的距離解：如圖,建立坐標(biāo)系d-acd,則 o (1,1,(2, 2, 3),uuur二 ao ( 1,1,c(0, 2, 0)uuur3)b1c( 2,0,3)一 . . r設(shè)ao與bc的公共法向量為n(x,y,i),r uuur n ao r uuur n b1c(x,y,1)?( 1,1, 3) 0(x, y,1)?( 2,0, 3) 0x2x aio與bc的距離為uuur rd =|abr?n|n|0,2,0 ?3,3,12 2 2233i 1v223113,2211例

14、5:在棱長為1的正方體abcd-a1cd 中,的中點，求a到面bdfes勺距離。解:如圖，建立坐標(biāo)系 d-acd,則b (1,1,1)uuiruur二 bd ( 1, 1,0) be1( ?0j)uura1br設(shè)面bdfe勺法向量為n(x,y,1),rnrnuuin bd uuu be(x, y,1)?(x, y,1)?(1, 1,0)1,0,1)2x1x2(2, 2,1) a1到面bdfe勺距離為uuur r=jab?n|n|uunnab1(0,2,0)e、f分別是bc、cd1, 0), a(1, 0, 1),(0,1, 1)降10,1,21 ? 2,2,122 13ci五、課后練習(xí)：1、如圖，已知正四棱柱 abcd-abcd, ab=1,aai=2，點e為cc中點,點f為bd中點.（1） 證明ef為bd與cc的公垂線；（2）求點d到面bde勺距離.2、已知正方形abcd邊長為1,過d作pdl平面abcd且pd=1e、f分別是ab和bc的中點，（1）求