七年級(jí)數(shù)學(xué)：有理數(shù)綜合復(fù)習(xí)+解題技巧講解

1、第一部分：有理數(shù)的綜合復(fù)習(xí)一、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)： 1什么叫做有理數(shù)?答：“整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)”為了進(jìn)一步理解有理數(shù)概念的內(nèi)涵，有理數(shù)是形如的數(shù)，其中m，n都是整數(shù)且n02數(shù)軸的三要素是什么?如何利用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)?3什么叫做相反數(shù)?互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)有什么特征?4什么叫做一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值?有理數(shù)的絕對(duì)值有什么性質(zhì)?5如何比較兩個(gè)有理數(shù)的大小?6有理數(shù)的加法、減法、乘法、除法的運(yùn)算法則是什么?7乘方的意義和運(yùn)算法則分別是什么?8如何正確進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算?(用筆算和用計(jì)算器算)9什么叫做近似數(shù)和有效數(shù)字?如何用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)?10你能舉出有理數(shù)在實(shí)際應(yīng)用中的2至3個(gè)實(shí)例嗎?11有理數(shù)集有哪

2、些性質(zhì)?答：有理數(shù)集具有以下的性質(zhì)：(1)四則運(yùn)算的封閉性在有理數(shù)的集合里，任何兩個(gè)有理數(shù)的加、減、乘、除四種運(yùn)算(除數(shù)不是零) 總可以進(jìn)行(2)有理數(shù)集的順序性有理數(shù)集合是一個(gè)有序體，任何兩個(gè)有理數(shù)總可以比較大小(3)有理數(shù)集的稠密性不論a，b是怎樣兩個(gè)相異的有理數(shù)(a0表明a是正數(shù)；a0表明a是負(fù)數(shù)；a0表明a是非負(fù)數(shù)；a0表明a是非正數(shù)。2、 數(shù)軸數(shù)軸是理解有理數(shù)概念與運(yùn)算的重要工具，數(shù)與表示數(shù)的圖形（如數(shù)軸）相結(jié)合的思想是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要思想。正如華羅庚教授詩云： 數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)是難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非。切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，

3、永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離！數(shù)與形的第一次聯(lián)姻數(shù)軸，使數(shù)與直線上的點(diǎn)之間建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系，揭示了數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，并由此成為數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)。知識(shí)點(diǎn)1 數(shù)軸的概念規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸數(shù)軸的定義包含三層含義：一，數(shù)軸是一條直線，可以向兩端無限延伸；二，數(shù)軸有三要素原點(diǎn)、正方向、單位長度，三者缺一不可；三，原點(diǎn)的選定、正方向的取向、單位長度大小的確定，都是根據(jù)實(shí)際需要“規(guī)定”的（通常取向右為正方向）。6543210123456知識(shí)點(diǎn)2 數(shù)軸的畫法（1）畫一條直線（一般畫成水平的直線）。（2）在直線上選取一點(diǎn)為原點(diǎn)，并用這點(diǎn)表示零（在原點(diǎn)下面標(biāo)上“0”）。（3）確定正方向（一般規(guī)定向右為正

4、），用箭頭表示出來。（4）選取適當(dāng)?shù)拈L度作為單位長度，從原點(diǎn)向右，每隔一個(gè)單位長度取一點(diǎn)，依次表示為1，2，3；從原點(diǎn)向左，每隔一個(gè)單位長度取一點(diǎn)，依次表示為1，2，3注 （1）原點(diǎn)的位置、單位長度的大小可根據(jù)實(shí)際情況適當(dāng)選??； （2）確定單位長度時(shí)，根據(jù)實(shí)際情況，有時(shí)也可以每隔兩個(gè)(或更多的)單位長度取一點(diǎn)，從原點(diǎn)向右，依次表示為2，4，6，；從原點(diǎn)向左，依次表示為2，4，6，； 知識(shí)點(diǎn)3 數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的關(guān)系所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示。正有理數(shù)可以用原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示，負(fù)有理數(shù)可以用原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示，零用原點(diǎn)表示。知識(shí)點(diǎn)4 利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總

5、比左邊的數(shù)大。正數(shù)都大于0；負(fù)數(shù)都小于0；正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)。3、相反數(shù)知識(shí)點(diǎn)1 相反數(shù)的概念（1）相反數(shù)的幾何定義：在數(shù)軸上原點(diǎn)的兩旁，到原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)，叫做互為相反數(shù)。如下圖，4與4互為相反數(shù)，與互為相反數(shù)。（2）相反數(shù)的代數(shù)定義：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)（除了符號(hào)不同以外完全相同），我們說其中一個(gè)是另一個(gè)的相反數(shù)，0的相反數(shù)是0。知識(shí)點(diǎn)2 相反數(shù)的表示方法一般地，數(shù)a的相反數(shù)是a。這里a表示任意的一個(gè)數(shù)，可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)、或者0。知識(shí)點(diǎn)3 多重符號(hào)的化簡（1）在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)“”號(hào)，仍然與原數(shù)相同，如55，（5）5。（2）在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)“”號(hào)，就成為原數(shù)的相反數(shù)。

6、如（3）就是3的相反數(shù)，因此，（3）3。4、絕對(duì)值知識(shí)點(diǎn)1 絕對(duì)值的概念（1）絕對(duì)值的幾何定義：一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，數(shù)a的絕對(duì)值記作“”（2）絕對(duì)值的代數(shù)定義：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0。即知識(shí)點(diǎn)2 兩個(gè)負(fù)數(shù)大小的比較因?yàn)閮蓚€(gè)負(fù)數(shù)在數(shù)軸上的位置關(guān)系是：絕對(duì)值較大的負(fù)數(shù)一定在絕對(duì)值較小的負(fù)數(shù)的左邊，所以，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。比較兩個(gè)負(fù)數(shù)大小的方法是：一、先分別求出這兩個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值；二、比較這兩個(gè)絕對(duì)值的大??；三、根據(jù)“兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小”做出正確的判斷。知識(shí)點(diǎn)3 有理數(shù)大小的比較法則正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都

7、小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。二、有理數(shù)的運(yùn)算1、有理數(shù)的加法知識(shí)點(diǎn)1 有理數(shù)的加法把兩個(gè)有理數(shù)合成一個(gè)有理數(shù)的運(yùn)算叫做有理數(shù)的加法。相加的兩個(gè)有理數(shù)有以下幾種情況：（1）兩數(shù)都是正數(shù)；（2）兩數(shù)都是負(fù)數(shù)；（3）兩數(shù)異號(hào)，即一個(gè)是正數(shù)，一個(gè)是負(fù)數(shù)；（4）一個(gè)是正數(shù)，一個(gè)是0；（5）一個(gè)是負(fù)數(shù)，一個(gè)是0；（6）兩個(gè)都是0。知識(shí)點(diǎn)2 有理數(shù)加法法則（1）同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加。（2）絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值?；橄喾磾?shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0。（3）一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)。知識(shí)點(diǎn)3 有理數(shù)加法的運(yùn)

8、算定律（1）加法交換律：。（2）加法結(jié)合律：。2、有理數(shù)的減法知識(shí)點(diǎn)1 有理數(shù)減法的意義有理數(shù)減法的意義與小學(xué)學(xué)過的減法的意義相同。已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算，叫做減法。減法是加法的逆運(yùn)算。知識(shí)點(diǎn)2 有理數(shù)減法法則減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，即3、有理數(shù)的加減混合運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)1 有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法的意義對(duì)于有理數(shù)的加減混合運(yùn)算中的減法，可以根據(jù)有理數(shù)減法法則將減法轉(zhuǎn)化為加法。這樣一來，就將原來的混合運(yùn)算統(tǒng)一為加法運(yùn)算。統(tǒng)一成加法以后的式子是幾個(gè)正數(shù)或負(fù)數(shù)的和的形式，有時(shí)，我們把這樣的式子叫做代數(shù)和。知識(shí)點(diǎn)2 有理數(shù)加減混合運(yùn)算的方法一、運(yùn)用減法法則將有理數(shù)混

9、合運(yùn)算中的減法轉(zhuǎn)化為加法。二、運(yùn)用加法法則、加法交換律、加法結(jié)合律簡便運(yùn)算。4、有理數(shù)的乘法知識(shí)點(diǎn)1 有理數(shù)乘法法則兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘。任何數(shù)同0相乘，都得0。知識(shí)點(diǎn)2 有理數(shù)乘法法則的推廣（1）幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定。當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正。（2）幾個(gè)數(shù)相乘，只要有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0。知識(shí)點(diǎn)3 有理數(shù)乘法的運(yùn)算定律（1）乘法交換律：。（2）乘法結(jié)合律：。（3）分配律：。5、有理數(shù)的除法知識(shí)點(diǎn)1 倒數(shù)的概念乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。由于 ，所以當(dāng)a是不為0的有理數(shù)時(shí)，a的倒數(shù)是。若a、b互為倒數(shù)，則ab1。

10、知識(shí)點(diǎn)2 有理數(shù)除法法則一、除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。即。二、兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0。6、有理數(shù)的乘方知識(shí)點(diǎn)1 有理數(shù)乘方的意義求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫乘方。記作“”。乘方的結(jié)果叫做冪。在中，叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)， 讀作的n次方，。知識(shí)點(diǎn)2 乘方運(yùn)算的符號(hào)法則正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)。知識(shí)點(diǎn)3 科學(xué)計(jì)數(shù)法把一個(gè)大于10的數(shù)記成“”的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位中只有一位的數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法。如42 000 0004.2。7、有理數(shù)的混合運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)1 有理數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序先算乘方，再

11、算乘除，最后算加減，如果有括號(hào)，就先算括號(hào)里面的。8、近似數(shù)與有效數(shù)字知識(shí)點(diǎn)1 研究近似數(shù)的意義在生產(chǎn)實(shí)踐和實(shí)際生活中，不僅存在著大量的準(zhǔn)確數(shù)，同時(shí)也存在著大量的近似數(shù)。近似數(shù)就是與實(shí)際接近的數(shù)。出現(xiàn)近似數(shù)的原因有兩點(diǎn)：一是有時(shí)候不能得到完全準(zhǔn)確的數(shù)，如太陽的半徑大約是696 000千米；二是有時(shí)也沒有必要弄得完全準(zhǔn)確，如買10千克大米，有時(shí)可能多一點(diǎn)，有時(shí)也可能少一點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)2 精確度一個(gè)近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位。知識(shí)點(diǎn)3 有效數(shù)字四舍五入后的近似數(shù)，從左邊第一個(gè)不為0的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位止，所有的數(shù)字，都叫做這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。方法技巧1：在只含有乘、除法的算式中，可以由“負(fù)”號(hào)的個(gè)數(shù)確定結(jié)果的符號(hào)。“負(fù)”號(hào)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，結(jié)果為負(fù)；“負(fù)”號(hào)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，結(jié)果為正。方法技巧2：分?jǐn)?shù)、小數(shù)乘除混合運(yùn)算，通常把小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)。當(dāng)把乘