34三角網(wǎng)條件平差計(jì)算

1、3-4 三角網(wǎng)條件平差計(jì)算 2學(xué)時(shí)三角網(wǎng)測(cè)量的目的，是通過(guò)觀測(cè)三角形的各角度或邊長(zhǎng)，計(jì)算三角網(wǎng)中各未知點(diǎn)的坐標(biāo)、邊的長(zhǎng)度及方位角等。三角網(wǎng)按條件平差計(jì)算時(shí)，首要的問(wèn)題是列出條件方程。因此了解三角網(wǎng)的構(gòu)成，總結(jié)其條件方程的種類(lèi)及各種條件方程的組成規(guī)律是十分重要的。三角網(wǎng)的種類(lèi)比較多，網(wǎng)的布設(shè)形式也比較復(fù)雜。根據(jù)觀測(cè)內(nèi)容的不同，有測(cè)角網(wǎng)、測(cè)邊網(wǎng)、邊角同測(cè)網(wǎng)等；根據(jù)網(wǎng)中起始數(shù)據(jù)的多少，有自由三角網(wǎng)和非自由三角網(wǎng)。自由三角網(wǎng)是指僅具有必要起算數(shù)據(jù)的三角網(wǎng)，網(wǎng)中沒(méi)有多余的已知數(shù)據(jù)。如果測(cè)角三角網(wǎng)中，只有兩個(gè)已知點(diǎn)（或者已知一個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)、一條已知邊的長(zhǎng)度和一個(gè)已知的方位角），根據(jù)數(shù)學(xué)理論，以這兩個(gè)已知

2、點(diǎn)為起算數(shù)據(jù)，再結(jié)合必要的角度測(cè)量值，就能夠解算出網(wǎng)中所有未知點(diǎn)的坐標(biāo)。如果三角網(wǎng)中除了必要的起算數(shù)據(jù)外還有其它的已知數(shù)據(jù)，或者說(shuō)已知數(shù)據(jù)有冗余，就會(huì)增加對(duì)網(wǎng)形的約束，從而增強(qiáng)其可靠性，這種三角網(wǎng)稱之為非自由三角網(wǎng)。無(wú)論多么復(fù)雜的三角網(wǎng)，都是由單三角形、大地四邊形和中點(diǎn)多邊形組合而成的。在本節(jié)，我們先討論三角網(wǎng)條件平差中條件方程個(gè)數(shù)的確定問(wèn)題，然后主要討論測(cè)角三角網(wǎng)的條件方程的形式問(wèn)題。一、網(wǎng)中條件方程的個(gè)數(shù)三角網(wǎng)平差的目的，是要確定三角點(diǎn)在平面坐標(biāo)系中的坐標(biāo)最或然值。如圖3-9所示，根據(jù)前面學(xué)到的測(cè)量基礎(chǔ)知識(shí)，我們知道，必須事先知道三角網(wǎng)中的四個(gè)數(shù)據(jù)，如兩個(gè)三角點(diǎn)的4個(gè)坐標(biāo)值，或者一個(gè)三角點(diǎn)

3、的2個(gè)坐標(biāo)值、一條邊的長(zhǎng)度和一個(gè)方位角，這4個(gè)已知數(shù)據(jù)我們稱之為三角網(wǎng)的必要起算數(shù)據(jù)。有了必要起算數(shù)據(jù)，就可以確定三角網(wǎng)在平面坐標(biāo)系中的位置、網(wǎng)的大小及其方位，就可以計(jì)算三角網(wǎng)中未知點(diǎn)的坐標(biāo)。要對(duì)三角網(wǎng)進(jìn)行平差計(jì)算，還必須先知道網(wǎng)中的總觀測(cè)數(shù)n、判定必要觀測(cè)數(shù)t，從而確定了多余觀測(cè)數(shù)：r = n - t由條件平差原理知，多余觀測(cè)數(shù)與條件方程數(shù)是相等的，有了多余觀測(cè)數(shù)，也就確定出了條件方程的個(gè)數(shù)。因此，問(wèn)題的關(guān)鍵是判定必要觀測(cè)數(shù)t。1.網(wǎng)中有2個(gè)或2個(gè)以上已知點(diǎn)的情況三角網(wǎng)中有2個(gè)或2 個(gè)以上已知三角點(diǎn)，就一定具備了4個(gè)必要起算數(shù)據(jù)。無(wú)論是測(cè)角網(wǎng)、測(cè)邊網(wǎng)還是邊角同測(cè)網(wǎng)，如果有2個(gè)已知點(diǎn)相鄰，要確

4、定一個(gè)未知點(diǎn)的坐標(biāo)，需要觀測(cè)兩個(gè)觀測(cè)值（2個(gè)角，或者1條邊和1個(gè)角，或者2條邊）。也就是說(shuō)，確定1個(gè)未知點(diǎn)要有2個(gè)必要觀測(cè)值；那么如果網(wǎng)中有p個(gè)未知點(diǎn)，必要觀測(cè)數(shù)應(yīng)等于未知點(diǎn)個(gè)數(shù)的兩倍。t = 2 p (3-4-1)(1) 測(cè)角網(wǎng)圖3-9所示，三角網(wǎng)中有2個(gè)已知點(diǎn)，待定點(diǎn)個(gè)數(shù)為p = 6。如果三角網(wǎng)中觀測(cè)量全部是角度時(shí)?？傆^測(cè)值個(gè)數(shù)： n = 23必要觀測(cè)數(shù)： t = 2 p =12則多余觀測(cè)數(shù)，即條件平差條件方程個(gè)數(shù)： r = n t = 11(2) 測(cè)邊網(wǎng)在圖3-9中，如果三角網(wǎng)中觀測(cè)量全部是邊的長(zhǎng)度時(shí)：總觀測(cè)值個(gè)數(shù)： n = 14必要觀測(cè)數(shù)： t = 2 p =12則多余觀測(cè)數(shù)，即條件平

5、差條件方程個(gè)數(shù)： r = n t = 2 (3) 邊角同測(cè)網(wǎng)在圖3-9中，如果三角網(wǎng)中的所有的角度值和所有的邊長(zhǎng)值都進(jìn)行觀測(cè)時(shí)：總觀測(cè)值個(gè)數(shù)： n = 37必要觀測(cè)數(shù)： t = 2 p =12則多余觀測(cè)數(shù)，即條件平差條件方程個(gè)數(shù)： r = n t = 252. 網(wǎng)中已知點(diǎn)少于2個(gè)的情況有些情況下，三角網(wǎng)中已知點(diǎn)可能少于2個(gè)，只有1個(gè)已知點(diǎn)、1個(gè)已知邊和1個(gè)已知方位角，或者沒(méi)有已知點(diǎn)和已知方位角只有1個(gè)已知邊。但是，不管怎樣說(shuō)，1條已知邊是必須已知的，或者需要進(jìn)行觀測(cè)的。如果沒(méi)有已知點(diǎn)，可以假定網(wǎng)中的1個(gè)未知點(diǎn)；如果沒(méi)有已知方位角，可以取網(wǎng)中的1個(gè)方向的方位角為某一假定值。這樣也就間接地等價(jià)于網(wǎng)

6、中有2個(gè)相鄰點(diǎn)的坐標(biāo)是已知的。(1) 測(cè)角網(wǎng)三角網(wǎng)中共有p個(gè)三角點(diǎn)、1個(gè)已知方位角（也可以沒(méi)有）、1個(gè)已知點(diǎn)（也可以沒(méi)有已知點(diǎn)）和1個(gè)已知邊長(zhǎng)s（或者也是觀測(cè)得到的），并觀測(cè)了所有的角度。如果已知點(diǎn)和已知方位角都沒(méi)有，就要進(jìn)行必要的假設(shè)。則在進(jìn)行條件平差時(shí)，必要觀測(cè)數(shù)為：t = 2 ( p 2) (3-4-2)如圖3-10所示，三角網(wǎng)中觀測(cè)了所有角度值（如果沒(méi)有已知邊時(shí)，也觀測(cè)1條邊長(zhǎng)作為起算數(shù)據(jù)）。網(wǎng)中三角點(diǎn)個(gè)數(shù)： p = 6角度觀測(cè)值個(gè)數(shù)： n = 12必要觀測(cè)數(shù)： t = 2 ( p 2) = 8則多余觀測(cè)數(shù)，即條件平差條件方程個(gè)數(shù)： r = n t = 4 (2) 測(cè)邊網(wǎng)或邊角同測(cè)網(wǎng)若

7、三角網(wǎng)中，共有p個(gè)三角點(diǎn)和1個(gè)已知點(diǎn)（或者也是假定的），并對(duì)所有的邊長(zhǎng)，或者角度和邊長(zhǎng)進(jìn)行了觀測(cè)，觀測(cè)值總個(gè)數(shù)為n。在進(jìn)行條件平差時(shí)，由于要加上必須的起算邊長(zhǎng)，則必要觀測(cè)（邊或者邊和角）的個(gè)數(shù)為t = 2 ( p 2)+1 (3-4-3)如圖3-10所示，網(wǎng)中三角點(diǎn)個(gè)數(shù)：p = 6如果是測(cè)邊網(wǎng)，則總觀測(cè)值個(gè)數(shù)： n = 9必要觀測(cè)數(shù)： t = 2 ( p 2) +1=9多余觀測(cè)數(shù)，即條件平差條件方程個(gè)數(shù)： r = n t = 0如果是邊角同測(cè)網(wǎng)，則總觀測(cè)值個(gè)數(shù)： n = 21必要觀測(cè)數(shù)： t = 2 ( p 2) +1=9多余觀測(cè)數(shù)，即條件平差條件方程個(gè)數(shù)： r = n t = 12以上我們僅

8、對(duì)幾種三角網(wǎng)，討論了條件平差時(shí)必要觀測(cè)數(shù)及多余觀測(cè)數(shù)和條件平差方程數(shù)的確定方法，還有很多情況沒(méi)有涉及到。在實(shí)際平差計(jì)算中，應(yīng)針對(duì)不同情況進(jìn)行具體分析。二、條件方程的形式三角網(wǎng)中的條件方程主要有以下幾種形式：1. 圖形條件方程圖形條件，又叫三角形內(nèi)角和條件，或三角形閉合差條件。在三角網(wǎng)中，一般對(duì)三角形的每個(gè)內(nèi)角都進(jìn)行了觀測(cè)。根據(jù)平面幾何知識(shí)，三角形的三個(gè)內(nèi)角的平差值的和應(yīng)為180，如圖3-12中的三角形abp，其內(nèi)角平差值的和應(yīng)滿足下述關(guān)系： (3-4-4)此即為三角形內(nèi)角和條件方程。由于三角形是組成三角網(wǎng)的最基本的幾何圖形，因此，通常稱三角形內(nèi)角和條件為圖形條件。因此圖形條件也是三角網(wǎng)的最基本

9、、最常見(jiàn)的條件方程形式。與（3-4-4）式相對(duì)應(yīng)的改正數(shù)條件方程為 (3-4-5) (3-4-6)2. 水平條件方程水平條件，又稱圓周條件，這種條件方程一般見(jiàn)于中點(diǎn)多邊形中。如圖3-12所示，在中點(diǎn)p上設(shè)觀測(cè)站時(shí)，周?chē)奈鍌€(gè)角度都要觀測(cè)。這五個(gè)觀測(cè)值的平差值之和應(yīng)等于360，即 (3-4-7)相應(yīng)的改正數(shù)條件方程為 (3-4-8) (3-4-9) 3. 極條件方程極條件是一種邊長(zhǎng)條件，一般見(jiàn)于中點(diǎn)多邊形和大地四邊形中。先看中點(diǎn)多邊形的情況。如圖3-12所示，中心p點(diǎn)為頂點(diǎn)，有五條邊，從其中任一條邊開(kāi)始依次推算其它各邊的長(zhǎng)度，最后又回到起始邊，則起始邊長(zhǎng)度的平差值應(yīng)與推算值的長(zhǎng)度相等。在圖3-1

10、2所示的三角網(wǎng)中，我們應(yīng)用正弦定理，以bp邊為起算邊，依次推算ap、ep、dp、cp，最后回到起算邊bp、，得到下式整理得 (3-4-10)（3-4-10）式即為平差值的極條件方程。為得到其改正數(shù)條件方程形式，可用泰勒級(jí)數(shù)對(duì)上式左邊展開(kāi)并取至一次項(xiàng)：化簡(jiǎn)，即得極條件的改正數(shù)條件方程： (3-4-11) (3-4-12)在大地四邊形中的極條件方程與中點(diǎn)多邊形稍有不同。如圖3-11所示，可以取d點(diǎn)為極點(diǎn)，以bd為起始邊，依次推算ad、cd再回到bd邊。仿照中點(diǎn)多邊形的極條件方程，由正弦定理，得大地四邊形的極條件平差值方程整理得 (3-4-13)相應(yīng)的改正數(shù)條件方程 (3-4-14) (3-4-15

11、)4. 方位角條件方程前面討論的三種條件方程在三角網(wǎng)中比較常見(jiàn)。如果三角網(wǎng)中的起始數(shù)據(jù)有了變化，起算數(shù)據(jù)不相鄰，或者已知數(shù)據(jù)有冗余，還會(huì)增加一些限制條件，產(chǎn)生其它類(lèi)型的條件方程，如方位角條件方程、邊長(zhǎng)條件方程、坐標(biāo)條件方程等。這些類(lèi)型的條件方程常見(jiàn)于非自由三角網(wǎng)中。如圖3-13所示，為一個(gè)非自由三角網(wǎng)，有4個(gè)已知點(diǎn)、2個(gè)未知點(diǎn)和12個(gè)角度觀測(cè)值。必要觀測(cè)個(gè)數(shù)t = 2 2 = 4，多余觀測(cè)數(shù)r = n t = 12 - 4 = 8，即共有8個(gè)條件方程，其中圖形條件方程有4個(gè)，沒(méi)有極條件，也沒(méi)有水平角條件，那么另4個(gè)是什么類(lèi)型的呢？由于三角網(wǎng)中有4個(gè)已知點(diǎn)，每個(gè)已知點(diǎn)有2個(gè)坐標(biāo)值，共計(jì)8個(gè)已知數(shù)

12、據(jù)，超過(guò)了4個(gè)必要起算數(shù)據(jù)，從而產(chǎn)生4個(gè)冗余的已知數(shù)據(jù)。這4個(gè)多余的已知數(shù)據(jù)必然會(huì)導(dǎo)致4個(gè)矛盾，進(jìn)而產(chǎn)生4個(gè)條件方程。方位角條件，嚴(yán)格地說(shuō)是方位角附合條件，是指從一個(gè)已知方位角出發(fā)，推算至另一個(gè)已知方位角后，所得推算值應(yīng)與原已知值相等。如從4個(gè)已知點(diǎn)可以反算出ab和ef兩邊的邊長(zhǎng)值和方位角值，這些值也可看作是已知值，作為起算數(shù)據(jù)用。設(shè)ab邊的方位角，ef邊的已知方位角為。如果從ab向ef推算，推算路線如圖中所示，設(shè)ef方位角的推算值的最或然值為，近似值為tef。則方位角附合條件方程為 (3-4-16)其中代入（3-4-16）后，整理得其相應(yīng)的改正數(shù)條件方程 (3-4-17)其中 (3-4-18

13、)5. 邊長(zhǎng)條件方程邊長(zhǎng)條件，嚴(yán)格地說(shuō)是邊長(zhǎng)附合條件，是指從一個(gè)已知邊長(zhǎng)出發(fā)，推算至另一個(gè)已知邊長(zhǎng)后，所得推算值應(yīng)與原已知值相等。圖3-13三角網(wǎng)中，設(shè)ab邊的已知長(zhǎng)度為，ef邊的已知長(zhǎng)度為。如果沿圖中所示的推算路線，從ab向ef推算，得ef邊長(zhǎng)推算值的最或然值為，近似值為sef 。則邊長(zhǎng)附合條件方程為 (3-4-19)其中將上式代入（3-4-19）式，并將邊長(zhǎng)條件整理為 (3-4-20)仿照極條件式，將上式左邊用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，取至一次項(xiàng)，整理后得其改正數(shù)條件方程： (3-4-21) (3-4-22)6. 坐標(biāo)條件方程坐標(biāo)條件方程，是指從一個(gè)已知點(diǎn)出發(fā)，推算至另一個(gè)已知點(diǎn)后，所得推算值應(yīng)與該點(diǎn)

14、的已知坐標(biāo)值相等。圖3-13三角網(wǎng)中，設(shè)b點(diǎn)的已知坐標(biāo)為（，），e點(diǎn)的已知坐標(biāo)為（，）。如果沿圖中所示的路線，從bce進(jìn)行推算，得e點(diǎn)坐標(biāo)推算值的最或然值為（，），近似值為(xe ,ye)。則坐標(biāo)條件方程為 (3-4-23) (3-4-24)而 (3-4-25)其中 (3-4-26) (3-4-27) (3-4-28) (3-4-29)將上述(3-4-26) (3-4-29)式代入(3-4-25)式，然后用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，取至一次項(xiàng)，整理后得： (3-4-30)為不使閉合差項(xiàng)wx過(guò)大，影響平差結(jié)果的精度，在計(jì)算坐標(biāo)條件方程時(shí)，可以考慮x、y以公里（km）為單位，而wx中的坐標(biāo)差項(xiàng)以米（m）為單位

15、。即 (3-4-31)同理可寫(xiě)出橫坐標(biāo)改正數(shù)條件方程 (3-4-32)其中 (3-4-33)坐標(biāo)附合條件方程，尤其是改正數(shù)條件方程，形式上雖然比較復(fù)雜，但也非常具有規(guī)律性。這一點(diǎn)，請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合圖3-13認(rèn)真地分析，看能否總結(jié)出其概括形式。以上八種條件方程及其改正數(shù)條件方程的類(lèi)型和形式，基本上涵蓋了測(cè)角型三角網(wǎng)條件方程的基本形式。需要說(shuō)明的是，三角網(wǎng)布設(shè)形式極其多樣，條件方程的形式也較為繁雜，但關(guān)鍵是要掌握其基本形式，并能融會(huì)貫通靈活運(yùn)用。三、例題如圖3-14是一個(gè)三角網(wǎng)，a、b、e、f是已知點(diǎn)，c、d是待定點(diǎn)，等精度觀測(cè)了所有內(nèi)角值，已知數(shù)據(jù)和觀測(cè)數(shù)據(jù)如表3-4所示。試列出用條件平差法時(shí)的改正

16、數(shù)條件方程。表3-4已知坐標(biāo)(m)已知方位角已知邊長(zhǎng)(m)b (183120.420 , 29502560.540)e (181740.210 , 29505455.940)tab = 322014.9tef = 3555342.6sab = 2501.118sef = 2582.529角度觀測(cè)值1 = 4621 56.12 = 7459 41.43 = 5838 17.24 = 6221 42.45 = 6739 43.65 = 4958 38.91 = 5803 46.62 = 5315 16.13 = 6840 54.31 = 9143 54.02 = 472149.93 = 4054

17、08.1解：這是一個(gè)非自由測(cè)角三角網(wǎng)。觀測(cè)值總數(shù) n = 12必要觀測(cè)數(shù) t = 4多余觀測(cè)數(shù) r = n t = 8即，有8個(gè)條件方程，而網(wǎng)中共有：4個(gè)圖形條件、4個(gè)坐標(biāo)附合條件、1個(gè)方位角條件和1個(gè)邊長(zhǎng)附條件可選。由于坐標(biāo)條件較為復(fù)雜，為計(jì)算方便，選4個(gè)圖形條件、1個(gè)方位角條件、1個(gè)邊長(zhǎng)條件和2個(gè)坐標(biāo)條件。運(yùn)算線路如圖中所示。因?yàn)榻嵌鹊挠^測(cè)精度相同，取q = p 1 = e首先，根據(jù)觀測(cè)值，利用余切公式計(jì)算有關(guān)近似坐標(biāo)：c (181440.319 , 29503390.921)d (183084.184 , 29504111.735)e (181740.109 , 29505456.041)圖形條件方程方位角條件方程邊長(zhǎng)條件方程其改正數(shù)形式縱橫坐標(biāo)條件方程其中閉合差項(xiàng)為：= 5.3= - 4.9= 2