2.1事件的獨(dú)立性ppt課件

1、一、兩個(gè)事件的獨(dú)立性一、兩個(gè)事件的獨(dú)立性 二、有限個(gè)事件的獨(dú)立性二、有限個(gè)事件的獨(dú)立性 三、典型例題三、典型例題 四、小結(jié)四、小結(jié) 第六節(jié)第六節(jié) 獨(dú)立性獨(dú)立性 一、一、 兩個(gè)事件的獨(dú)立性兩個(gè)事件的獨(dú)立性 由條件概率，知由條件概率，知 )( )( )( BP ABP BAP 一般地，一般地， )()(APBAP 這意味著：事件這意味著：事件B的發(fā)生對(duì)事件的發(fā)生對(duì)事件A發(fā)生的概發(fā)生的概 率有影響率有影響. 然而，在有些情形下又會(huì)出現(xiàn)：然而，在有些情形下又會(huì)出現(xiàn)： )()(APBAP , , . , )23(5 取到綠球取到綠球第二次抽取第二次抽取 取到綠球取到綠球第一次抽取第一次抽取 記記地取兩次

2、地取兩次 有放回有放回每次取出一個(gè)每次取出一個(gè)紅紅綠綠個(gè)球個(gè)球盒中有盒中有 B A 則有則有 , )()(BPABP .發(fā)發(fā)生生的的可可能能性性大大小小的的發(fā)發(fā)生生并并不不影影響響它它表表示示BA )()(BPABP )()()(BPAPABP 1.引例引例 事件事件 A 與與 事件事件 B 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 說明說明 2.定義定義 ,是是兩兩事事件件設(shè)設(shè)BA )(ABP ,相相互互獨(dú)獨(dú)立立則則稱稱事事件件BA 如果滿足等式如果滿足等式 )()(BPAP .,獨(dú)獨(dú)立立簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱BA 容易知道容易知道, ,0)( AP若若,0)( BP相相互互則則BA, .,互互不不相相容容不不能能同同時(shí)時(shí)成成

3、立立獨(dú)獨(dú)立立與與BA 與事件與事件 B 發(fā)生的概率無關(guān)發(fā)生的概率無關(guān). 是指事件是指事件 A 的發(fā)生的發(fā)生 獨(dú)立與互斥的關(guān)系獨(dú)立與互斥的關(guān)系 這是兩個(gè)不同的概念這是兩個(gè)不同的概念. 兩事件相互獨(dú)立兩事件相互獨(dú)立 )()()(BPAPABP 兩事件互斥兩事件互斥 AB , 2 1 )(, 2 1 )( BPAP若若 ).()()(BPAPABP 則則 例如例如 二者之間沒二者之間沒 有必然聯(lián)系有必然聯(lián)系 獨(dú)立是事獨(dú)立是事 件間的概件間的概 率屬性率屬性 互斥是事互斥是事 件間本身件間本身 的關(guān)系的關(guān)系 1 1 A B AB 由此可見兩事件相互獨(dú)立但兩事件不互斥由此可見兩事件相互獨(dú)立但兩事件不互斥

4、. 兩事件相互獨(dú)立兩事件相互獨(dú)立兩事件互斥兩事件互斥. A B )( 2 1 )(, 2 1 )(如如圖圖若若 BPAP )()()(BPAPABP 故故 由此可見兩事件互斥但不獨(dú)立由此可見兩事件互斥但不獨(dú)立. , 0)( ABP則則 , 4 1 )()( BPAP 又如：又如： 兩事件相互獨(dú)立兩事件相互獨(dú)立. 兩事件互斥兩事件互斥 證明證明 )( )( )( AP ABP ABP )( )( )()( BP AP BPAP . )()(BPABP 定理一定理一,是是兩兩事事件件設(shè)設(shè)BA,0)( AP且且 BA,若若 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, .)()(BPABP 則則反之亦然反之亦然. 定理二定理

5、二,相相互互獨(dú)獨(dú)立立與與若若事事件件BA則下列各對(duì)事則下列各對(duì)事 件也相互獨(dú)立件也相互獨(dú)立. ,BA與與,BA與與.BA與與 證證 因?yàn)橐驗(yàn)?A )(BBA BAAB 于是于是 )(AP )(BAABP )()(BAPABP )()(BPAP)(BAP )(BAP )(1)(BPAP )()(BPAP .相相互互獨(dú)獨(dú)立立與與因因此此BA.獨(dú)獨(dú)立立與與由由此此可可立立即即推推出出BA ,BB 再由再由.相相互互獨(dú)獨(dú)立立與與又又推推出出BA 例例1 從一副不含大小王的撲克牌中任取一張從一副不含大小王的撲克牌中任取一張, 記記 A抽到抽到K, B抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的, 問事件問事件 、A

6、 B是否獨(dú)立 是否獨(dú)立? 解一解一 利用定義判斷利用定義判斷.由由 , 13 1 52 4 )( AP, 2 1 52 26 )( BP, 26 1 52 2 )( ABP ),()()(BPAPABP 故事件故事件 、A B 獨(dú)立獨(dú)立. 例例1 從一副不含大小王的撲克牌中任取一張從一副不含大小王的撲克牌中任取一張, 記記 A抽到抽到K, B抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的, 問事件問事件 、A B是否獨(dú)立 是否獨(dú)立? 解二解二利用條件概率判斷利用條件概率判斷. 由由 , 13 1 )( AP, 13 1 26 2 )|( BAP ),|()(BAPAP 故事件故事件 、A B 獨(dú)立獨(dú)立. 1

7、. 三事件兩兩相互獨(dú)立的概念三事件兩兩相互獨(dú)立的概念 定義定義 ., ),()()( ),()()( ),()()( , 兩兩相互獨(dú)立兩兩相互獨(dú)立則稱事件則稱事件 如果滿足等式如果滿足等式是三個(gè)事件是三個(gè)事件設(shè)設(shè) CBA CPAPACP CPBPBCP BPAPABP CBA 二、有限個(gè)事件的獨(dú)立性二、有限個(gè)事件的獨(dú)立性 當(dāng)三事件兩兩相互獨(dú)立時(shí)，下面等式不一定成立：當(dāng)三事件兩兩相互獨(dú)立時(shí)，下面等式不一定成立： ).()()()(CPBPAPABCP 2. 三事件相互獨(dú)立的概念三事件相互獨(dú)立的概念 ., ),()()()( ),()()( ),()()( ),()()( , 相相互互獨(dú)獨(dú)立立則則

8、稱稱事事件件 如如果果滿滿足足等等式式是是三三個(gè)個(gè)事事件件設(shè)設(shè) CBA CPBPAPABCP CPAPACP CPBPBCP BPAPABP CBA 設(shè)設(shè) A1，A2 ， ，An為為n 個(gè)事件，個(gè)事件， 若對(duì)于任意若對(duì)于任意k(1kn), 及及 1i 1 i 2 i kn 3. n 個(gè)事件的獨(dú)立性個(gè)事件的獨(dú)立性 定義定義 若事件若事件 A1，A2 ， ，An 中任意兩個(gè)事中任意兩個(gè)事 件相互獨(dú)立，即對(duì)于一切件相互獨(dú)立，即對(duì)于一切 1 i j n, 有有 )()()( jiji APAPAAP . 21 兩兩兩兩相相互互獨(dú)獨(dú)立立，則則稱稱 n AAA .12 )11( 10 32 個(gè)式子個(gè)式子

9、共共 n CC CCC n nn n n nnn 定義定義 )()()()( 2121kk iiiiii APAPAPAAAP 有有 . 21 相相互互獨(dú)獨(dú)立立，則則稱稱 n AAA 注注. 相互獨(dú)立相互獨(dú)立 n AAA, 21 兩兩相互獨(dú)立兩兩相互獨(dú)立 n AAA, 21 兩個(gè)推論兩個(gè)推論 1。 ,)2(, 21 相相互互獨(dú)獨(dú)立立若若事事件件 nAAA n 1 A則則將將 們們各各自自的的對(duì)對(duì)立立事事中中任任意意多多個(gè)個(gè)事事件件換換成成它它 n AA, 2 件件, .個(gè)個(gè)事事件件仍仍相相互互獨(dú)獨(dú)立立所所得得的的n 2。 .)2(個(gè)個(gè)事事件件也也是是相相互互獨(dú)獨(dú)立立其其中中任任意意nkk ,)

10、2(, 21 相相互互獨(dú)獨(dú)立立若若事事件件 nAAA n 那么那么 n 個(gè)獨(dú)立事件和的概率公式個(gè)獨(dú)立事件和的概率公式: n AAA, 21 設(shè)事件設(shè)事件 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, ,那么那么 ） n AAAP 21 1( )(1 21n AAAP )()()( n APAPAP 21 1 也相互獨(dú)立也相互獨(dú)立 n AAA, 21 即即 n個(gè)獨(dú)立事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率等于個(gè)獨(dú)立事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率等于 1減去各自對(duì)立事件概率的乘積減去各自對(duì)立事件概率的乘積. )( n AAAP 21 結(jié)論的應(yīng)用結(jié)論的應(yīng)用 n AAA, 21 那么那么“ “ 至少有一個(gè)發(fā)生的概率為至少有一個(gè)發(fā)生的概率為 P(A1

11、An) =1- (1-p1 ) (1- pn ) )()()(1 21n APAPAP , 1n pp n AAA, 21 若設(shè)若設(shè)n n個(gè)獨(dú)立事件個(gè)獨(dú)立事件發(fā)生的概率發(fā)生的概率 分別為分別為 類似可以得出：類似可以得出： n AAA, 21 至少有一個(gè)不發(fā)生的概率為至少有一個(gè)不發(fā)生的概率為“ )( n AAAP 21 =1- p1 pn 三、典型例題三、典型例題 例例1 ,“乙乙兩兩枚枚硬硬幣幣拋拋甲甲為為設(shè)設(shè)試試驗(yàn)驗(yàn) E觀察正反面觀察正反面 出現(xiàn)的情況出現(xiàn)的情況”. ,”“HA甲甲幣幣出出現(xiàn)現(xiàn)為為設(shè)設(shè)事事件件B事件事件 .”“H乙乙?guī)艓懦龀霈F(xiàn)現(xiàn)為為的的樣樣本本空空間間為為E S .,TTT

12、HHTHH )(AP 4 2 , 2 1 )(BP 4 2 , 2 1 )(ABP , 2 1 )(ABP . 4 1 ,)()(BPABP 所所以以)(ABP)()(BPAP 由題意由題意, 甲幣是否出現(xiàn)正面與乙?guī)攀欠癯霈F(xiàn)甲幣是否出現(xiàn)正面與乙?guī)攀欠癯霈F(xiàn) 正面是互不影響的正面是互不影響的. 例例 2加工某一零件共需經(jīng)過四道工序加工某一零件共需經(jīng)過四道工序, 設(shè)第一、設(shè)第一、 二、三、四道工序的次品率二、三、四道工序的次品率 3%, 假定各道工序是互不影響的假定各道工序是互不影響的, 求加工出來的求加工出來的 零件的次品率零件的次品率. 解解 本題應(yīng)先計(jì)算合格品率本題應(yīng)先計(jì)算合格品率, 這樣可以

13、使計(jì)算簡(jiǎn)便這樣可以使計(jì)算簡(jiǎn)便. 設(shè)設(shè) 4321 ,AAAA 為四道工序發(fā)生次品事件為四道工序發(fā)生次品事件, 加工出來的零件為次品的事件加工出來的零件為次品的事件, 的事件的事件, 那么那么D為產(chǎn)品合格為產(chǎn)品合格 故有故有 D為 為 , 4321 AAAAD 分別是分別是2%, 3%, 5%, 例例 2加工某一零件共需經(jīng)過四道工序加工某一零件共需經(jīng)過四道工序, 設(shè)第一、設(shè)第一、 二、三、四道工序的次品率二、三、四道工序的次品率 3%, 假定各道工序是互不影響的假定各道工序是互不影響的, 求加工出來的求加工出來的 零件的次品率零件的次品率. 解解 本題應(yīng)先計(jì)算合格品率本題應(yīng)先計(jì)算合格品率, 這樣可

14、以使計(jì)算簡(jiǎn)便這樣可以使計(jì)算簡(jiǎn)便. 分別是分別是2%, 3%, 5%, )()()()()( 4321 APAPAPAPDP %)31%)(51%)(31%)(21( %;60.87%59779.87 )(1)(DPDP %.40.12%60.871 例例 3 一個(gè)元件一個(gè)元件(或系統(tǒng)或系統(tǒng))能正常工作的概率稱為元件能正常工作的概率稱為元件 (或系統(tǒng)或系統(tǒng))的可靠性的可靠性. 如下圖如下圖, 設(shè)有設(shè)有4個(gè)獨(dú)立工作的元個(gè)獨(dú)立工作的元 件件1,2,3,4按先串聯(lián)再并聯(lián)的方式聯(lián)接按先串聯(lián)再并聯(lián)的方式聯(lián)接. 個(gè)元件個(gè)元件設(shè)第設(shè)第i ),4 , 3 , 2 , 1( ipi的的可可靠靠性性為為試求系統(tǒng)的可

15、靠性試求系統(tǒng)的可靠性. 12 34 故有故有 A 21A A. 43A A 由事件的獨(dú)立性由事件的獨(dú)立性, 得系統(tǒng)的可靠性得系統(tǒng)的可靠性 )(AP)( 21A AP)( 43A AP )( 4321 AAAAP )()( 21 APAP)()( 43 APAP )()()()( 4321 APAPAPAP 21 pp 43 pp . 4321 pppp 解解 個(gè)元件正常工個(gè)元件正常工第第表示事件表示事件以以iiAi“)4 , 3 , 2 , 1( 作作”, .”“系系統(tǒng)統(tǒng)正正常常工工作作表表示示事事件件以以 A 系統(tǒng)由兩條線路系統(tǒng)由兩條線路I和和II組成組成. 當(dāng)且僅當(dāng)至少有一當(dāng)且僅當(dāng)至少有一

16、 條線路中兩個(gè)元件均正常工作時(shí)條線路中兩個(gè)元件均正常工作時(shí), 系統(tǒng)才正常工作系統(tǒng)才正常工作, 例例 4 要驗(yàn)收一批要驗(yàn)收一批(100件件)樂器樂器. 驗(yàn)收方案如下驗(yàn)收方案如下: 自該批樂器中隨機(jī)地取自該批樂器中隨機(jī)地取3件測(cè)試件測(cè)試(設(shè)設(shè)3件樂器的測(cè)試件樂器的測(cè)試 是相互獨(dú)立的是相互獨(dú)立的), 如果如果3件中至少有一件在測(cè)試中被件中至少有一件在測(cè)試中被 認(rèn)為音色不純認(rèn)為音色不純, 則這批樂器就被拒絕接收則這批樂器就被拒絕接收. 設(shè)一件設(shè)一件 音色不純的樂器經(jīng)測(cè)試查出其為音色不純的概率音色不純的樂器經(jīng)測(cè)試查出其為音色不純的概率 為為0.95; 而一件音色純的樂器經(jīng)測(cè)試被誤認(rèn)為不純而一件音色純的樂

17、器經(jīng)測(cè)試被誤認(rèn)為不純 的概率為的概率為0.01. 如果已知這如果已知這100件樂器中恰有件樂器中恰有4件是件是 音色不純的音色不純的. 試問這批樂器被接收的概率是多少試問這批樂器被接收的概率是多少? ,樂樂器器 3210 ,HHHH,的的一一個(gè)個(gè)劃劃分分是是S .“這這批批樂樂器器被被接接收收”表表示示事事件件以以A 已知一件音色純的樂器已知一件音色純的樂器, , 經(jīng)測(cè)試被認(rèn)為音色純的概經(jīng)測(cè)試被認(rèn)為音色純的概 率為率為 0.99, 而一件音色不純的樂器而一件音色不純的樂器, 經(jīng)測(cè)試被認(rèn)為經(jīng)測(cè)試被認(rèn)為 音色純的概率為音色純的概率為0.05, 并且三件樂器的測(cè)試是相互并且三件樂器的測(cè)試是相互 獨(dú)立

18、的獨(dú)立的, 于是有于是有 )( 0 HAP,)99. 0( 3 )( 1 HAP ,05. 0)99. 0( 2 ,”件音色不純件音色不純其中恰有其中恰有i 解解 件件隨隨機(jī)機(jī)地地取取出出“表表示示事事件件設(shè)設(shè)以以3 )3 , 2 , 1 , 0( iH i )( 0 HP , 3 100 3 96 )( 1 HP, 3 100 2 96 1 4 )( 2 HP , 3 100 1 96 2 4 )( 3 HP . 3 100 3 4 故故 )(AP)()( 3 0 ii i HPHAP 000055. 08574. 0 .8629. 0 而而 )( 2 HAP ,)05. 0(99. 0 2

19、 )( 3 HAP ,)05. 0( 3 例例 5 甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽, 每局甲勝的概率每局甲勝的概率 ,p為為.21 p問對(duì)甲而言問對(duì)甲而言, 采取三局兩勝制有利采取三局兩勝制有利, 還是五局三勝制有利還是五局三勝制有利. 設(shè)各局勝負(fù)相互獨(dú)立設(shè)各局勝負(fù)相互獨(dú)立. 解解 , 甲甲最最終終獲獲勝勝采采用用三三局局二二勝勝制制 :勝局情況可能是勝局情況可能是 “甲甲甲甲”, , “乙甲甲乙甲甲”, , “甲乙甲甲乙甲”; ; ,容容由由于于這這三三種種情情況況互互不不相相 :獲獲勝勝的的概概率率為為于于是是由由獨(dú)獨(dú)立立性性得得甲甲最最終終 ).1(2 22 1 ppp

20、p 3,至少需比賽至少需比賽甲最終獲勝甲最終獲勝采用五局三勝制采用五局三勝制 ,局局 ,比比賽賽四四局局例例如如:則則甲甲的的勝勝局局情情況況可可能能是是 “甲乙甲甲甲乙甲甲”, , “乙甲甲甲乙甲甲甲”, , “甲甲乙甲甲甲乙甲”; ; ,容容由由于于這這三三種種情情況況互互不不相相 :, 甲甲最最終終獲獲勝勝的的概概率率為為在在五五局局三三勝勝制制下下 .)1( 2 4 )1( 2 3 2333 2 pppppp :于是由獨(dú)立性得于是由獨(dú)立性得 .,局局而前面甲需勝二而前面甲需勝二且最后一局必需是甲勝且最后一局必需是甲勝 )312156( 232 12 pppppp由由于于 . )12()

21、1(3 22 ppp ;, 2 1 12 ppp 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng). 2 1 , 2 1 12 ppp時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ., 2 1 制制有有利利對(duì)對(duì)甲甲來來說說采采用用五五局局三三勝勝時(shí)時(shí)故故當(dāng)當(dāng) p . 2 1 , , 2 1 都都是是相相同同的的 概概率率是是兩兩種種賽賽制制甲甲最最終終獲獲勝勝的的時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) p 答案 答案 課堂練習(xí)課堂練習(xí) 互互不不相相容容與與BAA. 相相容容和和BAB. )()()(.BPAPABPC )()(.APBAPD 答案 1.(B) 2.(A) 3.(D) 返回 返回 四、小結(jié)四、小結(jié) )()()(,. 1BPAPABPBA 兩兩事事件件獨(dú)獨(dú)立立 . )()()()( ,

22、 )()()( , )()()( , )()()( , CPBPAPABCP CPAPACP CPBPBCP BPAPABP CBA三個(gè)事件相互獨(dú)立三個(gè)事件相互獨(dú)立 ., . 2 相相互互獨(dú)獨(dú)立立與與與與與與相相互互獨(dú)獨(dú)立立 重重要要結(jié)結(jié)論論 BABABABA 補(bǔ)充補(bǔ)充1 1 設(shè)每一名機(jī)槍射擊手擊落飛機(jī)的概率都是設(shè)每一名機(jī)槍射擊手擊落飛機(jī)的概率都是 0.2,0.2,若若1010名機(jī)槍射擊手同時(shí)向一架飛機(jī)射擊名機(jī)槍射擊手同時(shí)向一架飛機(jī)射擊, ,問擊問擊 落飛機(jī)的概率是多少落飛機(jī)的概率是多少? ? 射擊問題射擊問題 解解 ,名射手擊落飛機(jī)”名射手擊落飛機(jī)”為“第為“第設(shè)事件設(shè)事件iAi 事件事件

23、B 為為“擊落飛機(jī)擊落飛機(jī)”, , 1021 AAAB 則則 補(bǔ)充例題補(bǔ)充例題 .10, 2 , 1 i )()( 1021 AAAPBP )(1 1021 AAAP )()()(1 1021 APAPAP .893. 0)8 . 0(1 10 )(1 1021 AAAP 甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊, 三人三人 擊中的概率分別為擊中的概率分別為 0.4, 0.5, 0.7, 飛機(jī)被一人擊中飛機(jī)被一人擊中 而被擊落的概率為而被擊落的概率為0.2 ,被兩人擊中而被擊落的概被兩人擊中而被擊落的概 率為率為 0.6 , 若三人都擊中飛機(jī)必定被擊落若三人都擊中飛機(jī)必

24、定被擊落, 求飛機(jī)求飛機(jī) 被擊落的概率被擊落的概率. 解解 ,個(gè)個(gè)人人擊擊中中飛飛機(jī)機(jī)表表示示有有設(shè)設(shè)iAi A, B, C 分別表示甲、乙、丙擊中飛機(jī)分別表示甲、乙、丙擊中飛機(jī) , , 1 CBACBACBAA 由由于于 ,7 . 0)(,5 . 0)(,4 . 0)( CPBPAP則則 補(bǔ)充補(bǔ)充2 )()()()()()()()()()( 1 CPBPAPCPBPAPCPBPAPAP 故故得得 7 . 05 . 06 . 03 . 05 . 06 . 03 . 05 . 04 . 0 .36. 0 , 2 BCACBACABA 因因?yàn)闉?)()()()()()()()()(CPBPAPCPBPAPCPBPAP .41. 0 )()( 2 BCACBACABPAP 得得 , 3 ABCA 由由)()( 3 ABCPAP 得得 )()()(CPBPAP 7 . 05 . 04 . 0 因而因而, ,由全概率公式得飛機(jī)