電磁學(xué)第十九講

1、第十九講第十九講 2010-05-013 第第5章章 真空中的靜磁場(chǎng)真空中的靜磁場(chǎng) 5.1 磁現(xiàn)象與磁場(chǎng)磁現(xiàn)象與磁場(chǎng) 5.2 畢奧薩伐爾定律畢奧薩伐爾定律 5.3 安培定律安培定律 5.4 靜磁場(chǎng)的基本定理靜磁場(chǎng)的基本定理 5.5 帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng) 小論文要求小論文要求 2. 高斯定理高斯定理(通量定律通量定律) 高斯定理高斯定理：通過(guò)任意閉合曲面：通過(guò)任意閉合曲面S的磁通量為零，即的磁通量為零，即 微分形式：微分形式： B0. 物理意義物理意義：反映了磁場(chǎng)的：反映了磁場(chǎng)的無(wú)源性無(wú)源性，即，即不存在孤立的不存在孤立的 磁荷磁荷，磁場(chǎng)線閉合磁場(chǎng)線閉合 (一般地說(shuō)一般地

2、說(shuō))。 注：注：不閉合不閉合其實(shí)是其實(shí)是更一般更一般的情況，所以的情況，所以加加下劃線下劃線句句 子子修正如下更妥：修正如下更妥：孤立磁荷之不存在孤立磁荷之不存在導(dǎo)致磁場(chǎng)線導(dǎo)致磁場(chǎng)線有有 可能閉合可能閉合。(穩(wěn)恒電流線為什么總能閉合？穩(wěn)恒電流線為什么總能閉合？) .d0. S BS 高斯定理的證明高斯定理的證明 證明證明 任意磁場(chǎng)都是由許多任意磁場(chǎng)都是由許多電流元電流元的磁場(chǎng)疊加而成。的磁場(chǎng)疊加而成。 只要證明只要證明電流元的磁場(chǎng)遵守高斯定理電流元的磁場(chǎng)遵守高斯定理，由磁通量的疊，由磁通量的疊 加性，任意磁場(chǎng)也遵守高斯定理。加性，任意磁場(chǎng)也遵守高斯定理。 取電流元取電流元Idl為坐標(biāo)原點(diǎn)，電流

3、元為坐標(biāo)原點(diǎn)，電流元 方向方向?yàn)闉閦軸。在以軸。在以z為軸的任意圓上，由為軸的任意圓上，由 畢畢薩定律得薩定律得 所以圓上任意一點(diǎn)所以圓上任意一點(diǎn)dB的大小相同，方向與圓相切。的大小相同，方向與圓相切。 穿過(guò)以穿過(guò)以z為軸的為軸的任一環(huán)形管內(nèi)任意截面任一環(huán)形管內(nèi)任意截面的的磁通量為磁通量為 常量常量，與截面在管中的位置、取向無(wú)關(guān)，與截面在管中的位置、取向無(wú)關(guān)。 0 2 d sin d 4 I l r B 對(duì)于任一對(duì)于任一封閉曲面封閉曲面S，上述，上述環(huán)形管每穿過(guò)環(huán)形管每穿過(guò)S一次一次， 均會(huì)在均會(huì)在S上上切出兩切出兩 (偶數(shù)偶數(shù)) 個(gè)面元個(gè)面元S1、S2，且其磁通，且其磁通 量量 B1 S1B

4、2 S2BS BS0. 對(duì)曲面對(duì)曲面S上的任一面元，都可作一個(gè)環(huán)形管，上的任一面元，都可作一個(gè)環(huán)形管，且且 可找可找到到S上的另一個(gè)面元與之對(duì)應(yīng)。同上理，這上的另一個(gè)面元與之對(duì)應(yīng)。同上理，這兩個(gè)兩個(gè) 面元面元的磁通量之和為零。的磁通量之和為零。 所以穿過(guò)所以穿過(guò)S 的總磁通的總磁通 證畢。證畢。 0.d S BS 3. 安培環(huán)路定理安培環(huán)路定理 類于靜電場(chǎng)環(huán)量，引入類于靜電場(chǎng)環(huán)量，引入磁場(chǎng)環(huán)量磁場(chǎng)環(huán)量 安培環(huán)路定理安培環(huán)路定理：磁感應(yīng)強(qiáng)度：磁感應(yīng)強(qiáng)度B沿任何閉合曲線沿任何閉合曲線L的環(huán)的環(huán) 量等于穿過(guò)量等于穿過(guò)L的電流強(qiáng)度代數(shù)和的的電流強(qiáng)度代數(shù)和的0倍，即倍，即 其微分形式為其微分形式為 物理

5、意義物理意義：磁場(chǎng)是：磁場(chǎng)是有旋場(chǎng)有旋場(chǎng)。 I 的正負(fù)規(guī)則的正負(fù)規(guī)則：設(shè)定：設(shè)定L的繞行方向，采用右手定則，的繞行方向，采用右手定則， 四指沿四指沿L方向，若方向，若I與大姆指方向一致則與大姆指方向一致則I取正，反之取正，反之 取負(fù)。取負(fù)。 d . L Bl 0 d. L I Bl 0 .Bj 安培環(huán)路定理的證明安培環(huán)路定理的證明 證明證明 因?yàn)楫a(chǎn)生磁場(chǎng)的穩(wěn)恒電流可等效為一些穩(wěn)恒因?yàn)楫a(chǎn)生磁場(chǎng)的穩(wěn)恒電流可等效為一些穩(wěn)恒 的閉合線電流的疊加，所以只要證明其中任一的閉合線電流的疊加，所以只要證明其中任一閉合閉合 線電流線電流I滿足滿足 則按照疊加原理，安培環(huán)路定理成立。則按照疊加原理，安培環(huán)路定理成

6、立。 先證明先證明I不穿過(guò)不穿過(guò)L的情形，再證明的情形，再證明I正向、反向穿過(guò)正向、反向穿過(guò)L的的 情形。情形。 0 0 0,( d,( .( L IL IIL IIL Bl 不不穿穿過(guò)過(guò) ） 正正向向穿穿過(guò)過(guò) ） 反反向向穿穿過(guò)過(guò) ） 1) 閉合線電流閉合線電流 I 不穿過(guò)閉合回路不穿過(guò)閉合回路L 閉合線電流閉合線電流I與圖示的元電流組與圖示的元電流組等效等效：各元電流的相：各元電流的相 鄰部分相消鄰部分相消B閉合線電流 閉合線電流=B元電流元電流。 。 元電流元電流I (磁偶極子磁偶極子) 在遠(yuǎn)處的磁場(chǎng)在遠(yuǎn)處的磁場(chǎng)與與電偶極子電場(chǎng)的電偶極子電場(chǎng)的 函數(shù)形式相同函數(shù)形式相同 (見(jiàn)例見(jiàn)例5.2

7、)。 類比靜電場(chǎng)環(huán)路定理類比靜電場(chǎng)環(huán)路定理 對(duì)元電流對(duì)元電流I有有 全體元電流全體元電流I的磁場(chǎng)環(huán)量為零，的磁場(chǎng)環(huán)量為零， 閉合線電流閉合線電流I的磁場(chǎng)環(huán)量為零，的磁場(chǎng)環(huán)量為零， 得證。得證。 d0, L El d0. L Bl 2) I正向穿過(guò)正向穿過(guò)L 另作任一另作任一讓讓I正向穿過(guò)正向穿過(guò)的的回路回路L，在，在L 與與L上切開(kāi)一小口，形成新回路，方上切開(kāi)一小口，形成新回路，方 向向ABLCDLA。其中。其中DLA與與(a)中中L同同 向，向，BLC與與(a)中中L反向。向。 由由1)的結(jié)論知的結(jié)論知 d()d0. DLABCDBAABL CDLL CA Bl+Bl dd d , d ,

8、d , d ABC L D A D L L C L B BlBl Bl Bl B Bl l dd0, dd . LL LL BlBl BlBl即即 由由L的的任意性任意性，可令其為半徑，可令其為半徑r0 (電流電流I的曲率半的曲率半 徑徑) 的圓，圓心在電流的圓，圓心在電流I回路上，圓面回路上，圓面 I。則。則L上的上的 場(chǎng)近似為一無(wú)窮長(zhǎng)直電流場(chǎng)近似為一無(wú)窮長(zhǎng)直電流I的場(chǎng)，由例的場(chǎng)，由例5.1可知可知 3) 反向情形與正向情形類似，不必多話。反向情形與正向情形類似，不必多話。 0 00 0 d2 2 L I rI r Bl 4. 安培環(huán)路定理應(yīng)用舉例安培環(huán)路定理應(yīng)用舉例 (對(duì)稱性好對(duì)稱性好)

9、例例5.5 一無(wú)限長(zhǎng)直圓柱導(dǎo)線，截面半徑為一無(wú)限長(zhǎng)直圓柱導(dǎo)線，截面半徑為R，電流，電流I沿沿 截面均勻分布，求導(dǎo)線內(nèi)、外的磁場(chǎng)分布。截面均勻分布，求導(dǎo)線內(nèi)、外的磁場(chǎng)分布。 解解 根據(jù)電流分布的軸對(duì)稱性，根據(jù)電流分布的軸對(duì)稱性，B沿圖示環(huán)向，大小沿圖示環(huán)向，大小 只與離軸線的距離有關(guān)。設(shè)圓回路只與離軸線的距離有關(guān)。設(shè)圓回路L 的半徑為的半徑為r，則由安培環(huán)路定理得，則由安培環(huán)路定理得 其中其中I為為穿過(guò)圓回路穿過(guò)圓回路L的電流。易證的電流。易證 0 d2, L rBI Bl 222 0 0 /,/(2), ,/(2). rRIIr RBIrR rRIIBIr 時(shí)時(shí)， 時(shí)時(shí)， 例例5.6 設(shè)一無(wú)限

10、長(zhǎng)螺絲管單位長(zhǎng)度上的匝數(shù)為設(shè)一無(wú)限長(zhǎng)螺絲管單位長(zhǎng)度上的匝數(shù)為n，電，電 流強(qiáng)度為流強(qiáng)度為I，求管內(nèi)、外的磁場(chǎng)。，求管內(nèi)、外的磁場(chǎng)。 解解由電流分布的軸對(duì)稱性可判斷管內(nèi)由電流分布的軸對(duì)稱性可判斷管內(nèi)B只有只有軸向分軸向分 量量，大小只與，大小只與場(chǎng)點(diǎn)場(chǎng)點(diǎn)離軸線的距離離軸線的距離r有關(guān)。有關(guān)。 取矩形回路取矩形回路ABCDA和和ABCDA，AB位位 于管軸上，于管軸上，CD和和CD分別位于管內(nèi)、分別位于管內(nèi)、 外外 (圖圖a)。由例。由例5.3，軸線上，軸線上B0nI。 對(duì)回路對(duì)回路ABCDA應(yīng)用安培環(huán)路定理得應(yīng)用安培環(huán)路定理得 Bi(r)0nI。 無(wú)限長(zhǎng)螺線管內(nèi)部無(wú)限長(zhǎng)螺線管內(nèi)部軸向磁場(chǎng)均勻。軸

11、向磁場(chǎng)均勻。 0 ( )0, i nIABArBB 對(duì)回路對(duì)回路ABCDA應(yīng)用安培環(huán)路定理得應(yīng)用安培環(huán)路定理得 即即無(wú)限長(zhǎng)螺線管外部無(wú)限長(zhǎng)螺線管外部軸向磁場(chǎng)處處為零軸向磁場(chǎng)處處為零。 另一方面，螺線管另一方面，螺線管存在一自右向左的等效軸向電流存在一自右向左的等效軸向電流I (圖圖b)，可視作，可視作沿螺線管表面均勻分布沿螺線管表面均勻分布，由它產(chǎn)生的磁，由它產(chǎn)生的磁 感應(yīng)強(qiáng)度沿環(huán)向。感應(yīng)強(qiáng)度沿環(huán)向。選擇選擇同螺線管共軸的圓回路并應(yīng)用同螺線管共軸的圓回路并應(yīng)用 安培環(huán)路定理，可得安培環(huán)路定理，可得管內(nèi)管內(nèi)Bi0，管外管外Be0I/2r。 結(jié)論：無(wú)限長(zhǎng)螺線管結(jié)論：無(wú)限長(zhǎng)螺線管 內(nèi)部?jī)?nèi)部磁場(chǎng)均勻分

12、布，與軸線平行；磁場(chǎng)均勻分布，與軸線平行； 外部外部磁場(chǎng)與無(wú)窮長(zhǎng)直線電流磁場(chǎng)相同。磁場(chǎng)與無(wú)窮長(zhǎng)直線電流磁場(chǎng)相同。 0/0/ ( ),( )0, ee ABABnIBrnIBABr 例例5.7 電流均勻分布在一無(wú)窮大平面導(dǎo)體薄板上，面電流均勻分布在一無(wú)窮大平面導(dǎo)體薄板上，面 電流密度為電流密度為i，求空間磁場(chǎng)分布。，求空間磁場(chǎng)分布。 解解 設(shè)導(dǎo)體板位于設(shè)導(dǎo)體板位于y-z平面，電流沿平面，電流沿z方向。由對(duì)稱性，方向。由對(duì)稱性， B只有只有y分量，大小只與分量，大小只與x有關(guān)，且有關(guān)，且B(x)B(x). 考慮考慮x軸上一點(diǎn)軸上一點(diǎn)P，以，以O(shè)為中心，在為中心，在 x-y平面過(guò)點(diǎn)平面過(guò)點(diǎn)P作矩形回

13、路作矩形回路ABCDA， 應(yīng)用安培環(huán)路定理可得應(yīng)用安培環(huán)路定理可得 B(x)=0i/2。 無(wú)窮大平面電流兩側(cè)為無(wú)窮大平面電流兩側(cè)為等大反向的均勻磁場(chǎng)等大反向的均勻磁場(chǎng)。 有限大小面電流：只要有限大小面電流：只要x帶電粒子帶電粒子回旋半徑回旋半徑，粒子，粒子 的運(yùn)動(dòng)就可的運(yùn)動(dòng)就可近似為近似為繞磁感應(yīng)線的繞磁感應(yīng)線的螺旋運(yùn)動(dòng)螺旋運(yùn)動(dòng)。但磁場(chǎng)。但磁場(chǎng) 沿磁場(chǎng)線的非均勻性將破壞沿磁場(chǎng)線的非均勻性將破壞v/和和v的守恒。的守恒。 新守恒量：帶電粒子繞磁場(chǎng)的快速旋轉(zhuǎn)形成新守恒量：帶電粒子繞磁場(chǎng)的快速旋轉(zhuǎn)形成圓電流圓電流 環(huán)環(huán)，相應(yīng)的磁矩稱粒子的，相應(yīng)的磁矩稱粒子的回旋磁矩回旋磁矩。 證明證明：以：以軸對(duì)稱

14、緩變軸對(duì)稱緩變非均勻磁場(chǎng)為例非均勻磁場(chǎng)為例 取小圓柱形高斯面，由取小圓柱形高斯面，由高斯定理高斯定理 ,. zr B zB rv zv Bv 2 2(0,)(0, )0, rzz Br zBzzBzr 0 (0,)(0, ) lim. 22 zzz r z BzzBzBrr B zz 2 / d . d22 zz r vBmvBr mqv Bqv tzBz Br導(dǎo)致導(dǎo)致z方向有方向有洛侖茲力洛侖茲力，運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程 可見(jiàn)，粒子受到由強(qiáng)場(chǎng)處指向弱場(chǎng)處的可見(jiàn)，粒子受到由強(qiáng)場(chǎng)處指向弱場(chǎng)處的磁壓力。磁壓力。 將上式兩邊同乘以將上式兩邊同乘以v/ ，又，又 帶電粒子作圓運(yùn)動(dòng)的帶電粒子作圓運(yùn)動(dòng)的磁矩磁矩

15、的大小為的大小為 =qB/m R=v/ mv r qB dddd , dddd BBzB v tztz 2 2 ( d1d . d22 #) d mvB mv tBt 22 1 /, 22 q I SRmvB 由上式代入由上式代入(#)式可得式可得 比較比較 另一方面，由于另一方面，由于 守恒守恒， 有有 可證，對(duì)任意可證，對(duì)任意隨時(shí)間空間緩變隨時(shí)間空間緩變磁場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)帶電粒磁場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)帶電粒 子的磁矩守恒。子的磁矩守恒。 d 0,. dt 守守恒恒 2 d 1d (), d2d B mv tt 222 vvv 22 d1d1ddd , d2d2ddd B mvmvBB ttttt 2. 應(yīng)用舉例

16、應(yīng)用舉例 1) 速度選擇速度選擇 一束帶電粒子射入相互垂直的均勻電場(chǎng)和均勻磁一束帶電粒子射入相互垂直的均勻電場(chǎng)和均勻磁 場(chǎng)。能從小孔穿出的粒子必沿場(chǎng)。能從小孔穿出的粒子必沿虛線虛線運(yùn)動(dòng)，要求電力與運(yùn)動(dòng)，要求電力與 磁力平衡，磁力平衡，qE=qvB，v=E/B。該裝置只允許該裝置只允許特定特定 速率速率的粒子穿過(guò)，無(wú)關(guān)粒子電荷、質(zhì)量。的粒子穿過(guò)，無(wú)關(guān)粒子電荷、質(zhì)量。 2) 質(zhì)譜儀質(zhì)譜儀 質(zhì)譜儀是通過(guò)測(cè)量質(zhì)譜儀是通過(guò)測(cè)量帶電帶電 離子離子的質(zhì)量或電荷與質(zhì)的質(zhì)量或電荷與質(zhì) 量的比值量的比值 (荷質(zhì)比荷質(zhì)比) 來(lái)對(duì)來(lái)對(duì) 樣品成分進(jìn)行分析。樣品成分進(jìn)行分析。 基本原理基本原理：離子束通過(guò)：離子束通過(guò)速度

17、選擇器速度選擇器，選出特定，選出特定v的的 離子，進(jìn)入均勻磁場(chǎng)中作圓運(yùn)動(dòng)，離子，進(jìn)入均勻磁場(chǎng)中作圓運(yùn)動(dòng)，回旋半徑回旋半徑R可由可由 感光膠片來(lái)測(cè)得。感光膠片來(lái)測(cè)得。B, v, R已知，由已知，由q/mv/(RB)可得可得 粒子的粒子的荷質(zhì)比荷質(zhì)比。 應(yīng)用應(yīng)用：質(zhì)譜儀可利用來(lái)：質(zhì)譜儀可利用來(lái)分離同位素分離同位素，分析含量。，分析含量。 3) 磁聚焦磁聚焦 若無(wú)磁場(chǎng)，離子束中各離子近似直線運(yùn)動(dòng)若無(wú)磁場(chǎng)，離子束中各離子近似直線運(yùn)動(dòng)發(fā)散發(fā)散。 外加均勻磁場(chǎng)，離子束作螺旋線運(yùn)動(dòng)，若離子束初外加均勻磁場(chǎng)，離子束作螺旋線運(yùn)動(dòng)，若離子束初 始張角較小，始張角較小，v/ 常量，離子回旋頻率與回旋速度常量，離子回旋頻率與回旋速度 v無(wú)關(guān)，經(jīng)一個(gè)周期沿磁