電磁學第十九講

1、第十九講第十九講 2010-05-013 第第5章章 真空中的靜磁場真空中的靜磁場 5.1 磁現(xiàn)象與磁場磁現(xiàn)象與磁場 5.2 畢奧薩伐爾定律畢奧薩伐爾定律 5.3 安培定律安培定律 5.4 靜磁場的基本定理靜磁場的基本定理 5.5 帶電粒子在磁場中的運動帶電粒子在磁場中的運動 小論文要求小論文要求 2. 高斯定理高斯定理(通量定律通量定律) 高斯定理高斯定理：通過任意閉合曲面：通過任意閉合曲面S的磁通量為零，即的磁通量為零，即 微分形式：微分形式： B0. 物理意義物理意義：反映了磁場的：反映了磁場的無源性無源性，即，即不存在孤立的不存在孤立的 磁荷磁荷，磁場線閉合磁場線閉合 (一般地說一般地

2、說)。 注：注：不閉合不閉合其實是其實是更一般更一般的情況，所以的情況，所以加加下劃線下劃線句句 子子修正如下更妥：修正如下更妥：孤立磁荷之不存在孤立磁荷之不存在導致磁場線導致磁場線有有 可能閉合可能閉合。(穩(wěn)恒電流線為什么總能閉合？穩(wěn)恒電流線為什么總能閉合？) .d0. S BS 高斯定理的證明高斯定理的證明 證明證明 任意磁場都是由許多任意磁場都是由許多電流元電流元的磁場疊加而成。的磁場疊加而成。 只要證明只要證明電流元的磁場遵守高斯定理電流元的磁場遵守高斯定理，由磁通量的疊，由磁通量的疊 加性，任意磁場也遵守高斯定理。加性，任意磁場也遵守高斯定理。 取電流元取電流元Idl為坐標原點，電流

3、元為坐標原點，電流元 方向方向為為z軸。在以軸。在以z為軸的任意圓上，由為軸的任意圓上，由 畢畢薩定律得薩定律得 所以圓上任意一點所以圓上任意一點dB的大小相同，方向與圓相切。的大小相同，方向與圓相切。 穿過以穿過以z為軸的為軸的任一環(huán)形管內(nèi)任意截面任一環(huán)形管內(nèi)任意截面的的磁通量為磁通量為 常量常量，與截面在管中的位置、取向無關，與截面在管中的位置、取向無關。 0 2 d sin d 4 I l r B 對于任一對于任一封閉曲面封閉曲面S，上述，上述環(huán)形管每穿過環(huán)形管每穿過S一次一次， 均會在均會在S上上切出兩切出兩 (偶數(shù)偶數(shù)) 個面元個面元S1、S2，且其磁通，且其磁通 量量 B1 S1B

4、2 S2BS BS0. 對曲面對曲面S上的任一面元，都可作一個環(huán)形管，上的任一面元，都可作一個環(huán)形管，且且 可找可找到到S上的另一個面元與之對應。同上理，這上的另一個面元與之對應。同上理，這兩個兩個 面元面元的磁通量之和為零。的磁通量之和為零。 所以穿過所以穿過S 的總磁通的總磁通 證畢。證畢。 0.d S BS 3. 安培環(huán)路定理安培環(huán)路定理 類于靜電場環(huán)量，引入類于靜電場環(huán)量，引入磁場環(huán)量磁場環(huán)量 安培環(huán)路定理安培環(huán)路定理：磁感應強度：磁感應強度B沿任何閉合曲線沿任何閉合曲線L的環(huán)的環(huán) 量等于穿過量等于穿過L的電流強度代數(shù)和的的電流強度代數(shù)和的0倍，即倍，即 其微分形式為其微分形式為 物理

5、意義物理意義：磁場是：磁場是有旋場有旋場。 I 的正負規(guī)則的正負規(guī)則：設定：設定L的繞行方向，采用右手定則，的繞行方向，采用右手定則， 四指沿四指沿L方向，若方向，若I與大姆指方向一致則與大姆指方向一致則I取正，反之取正，反之 取負。取負。 d . L Bl 0 d. L I Bl 0 .Bj 安培環(huán)路定理的證明安培環(huán)路定理的證明 證明證明 因為產(chǎn)生磁場的穩(wěn)恒電流可等效為一些穩(wěn)恒因為產(chǎn)生磁場的穩(wěn)恒電流可等效為一些穩(wěn)恒 的閉合線電流的疊加，所以只要證明其中任一的閉合線電流的疊加，所以只要證明其中任一閉合閉合 線電流線電流I滿足滿足 則按照疊加原理，安培環(huán)路定理成立。則按照疊加原理，安培環(huán)路定理成

6、立。 先證明先證明I不穿過不穿過L的情形，再證明的情形，再證明I正向、反向穿過正向、反向穿過L的的 情形。情形。 0 0 0,( d,( .( L IL IIL IIL Bl 不不穿穿過過 ） 正正向向穿穿過過 ） 反反向向穿穿過過 ） 1) 閉合線電流閉合線電流 I 不穿過閉合回路不穿過閉合回路L 閉合線電流閉合線電流I與圖示的元電流組與圖示的元電流組等效等效：各元電流的相：各元電流的相 鄰部分相消鄰部分相消B閉合線電流 閉合線電流=B元電流元電流。 。 元電流元電流I (磁偶極子磁偶極子) 在遠處的磁場在遠處的磁場與與電偶極子電場的電偶極子電場的 函數(shù)形式相同函數(shù)形式相同 (見例見例5.2

7、)。 類比靜電場環(huán)路定理類比靜電場環(huán)路定理 對元電流對元電流I有有 全體元電流全體元電流I的磁場環(huán)量為零，的磁場環(huán)量為零， 閉合線電流閉合線電流I的磁場環(huán)量為零，的磁場環(huán)量為零， 得證。得證。 d0, L El d0. L Bl 2) I正向穿過正向穿過L 另作任一另作任一讓讓I正向穿過正向穿過的的回路回路L，在，在L 與與L上切開一小口，形成新回路，方上切開一小口，形成新回路，方 向向ABLCDLA。其中。其中DLA與與(a)中中L同同 向，向，BLC與與(a)中中L反向。向。 由由1)的結論知的結論知 d()d0. DLABCDBAABL CDLL CA Bl+Bl dd d , d ,

8、d , d ABC L D A D L L C L B BlBl Bl Bl B Bl l dd0, dd . LL LL BlBl BlBl即即 由由L的的任意性任意性，可令其為半徑，可令其為半徑r0 (電流電流I的曲率半的曲率半 徑徑) 的圓，圓心在電流的圓，圓心在電流I回路上，圓面回路上，圓面 I。則。則L上的上的 場近似為一無窮長直電流場近似為一無窮長直電流I的場，由例的場，由例5.1可知可知 3) 反向情形與正向情形類似，不必多話。反向情形與正向情形類似，不必多話。 0 00 0 d2 2 L I rI r Bl 4. 安培環(huán)路定理應用舉例安培環(huán)路定理應用舉例 (對稱性好對稱性好)

9、例例5.5 一無限長直圓柱導線，截面半徑為一無限長直圓柱導線，截面半徑為R，電流，電流I沿沿 截面均勻分布，求導線內(nèi)、外的磁場分布。截面均勻分布，求導線內(nèi)、外的磁場分布。 解解 根據(jù)電流分布的軸對稱性，根據(jù)電流分布的軸對稱性，B沿圖示環(huán)向，大小沿圖示環(huán)向，大小 只與離軸線的距離有關。設圓回路只與離軸線的距離有關。設圓回路L 的半徑為的半徑為r，則由安培環(huán)路定理得，則由安培環(huán)路定理得 其中其中I為為穿過圓回路穿過圓回路L的電流。易證的電流。易證 0 d2, L rBI Bl 222 0 0 /,/(2), ,/(2). rRIIr RBIrR rRIIBIr 時時， 時時， 例例5.6 設一無限

10、長螺絲管單位長度上的匝數(shù)為設一無限長螺絲管單位長度上的匝數(shù)為n，電，電 流強度為流強度為I，求管內(nèi)、外的磁場。，求管內(nèi)、外的磁場。 解解由電流分布的軸對稱性可判斷管內(nèi)由電流分布的軸對稱性可判斷管內(nèi)B只有只有軸向分軸向分 量量，大小只與，大小只與場點場點離軸線的距離離軸線的距離r有關。有關。 取矩形回路取矩形回路ABCDA和和ABCDA，AB位位 于管軸上，于管軸上，CD和和CD分別位于管內(nèi)、分別位于管內(nèi)、 外外 (圖圖a)。由例。由例5.3，軸線上，軸線上B0nI。 對回路對回路ABCDA應用安培環(huán)路定理得應用安培環(huán)路定理得 Bi(r)0nI。 無限長螺線管內(nèi)部無限長螺線管內(nèi)部軸向磁場均勻。軸

11、向磁場均勻。 0 ( )0, i nIABArBB 對回路對回路ABCDA應用安培環(huán)路定理得應用安培環(huán)路定理得 即即無限長螺線管外部無限長螺線管外部軸向磁場處處為零軸向磁場處處為零。 另一方面，螺線管另一方面，螺線管存在一自右向左的等效軸向電流存在一自右向左的等效軸向電流I (圖圖b)，可視作，可視作沿螺線管表面均勻分布沿螺線管表面均勻分布，由它產(chǎn)生的磁，由它產(chǎn)生的磁 感應強度沿環(huán)向。感應強度沿環(huán)向。選擇選擇同螺線管共軸的圓回路并應用同螺線管共軸的圓回路并應用 安培環(huán)路定理，可得安培環(huán)路定理，可得管內(nèi)管內(nèi)Bi0，管外管外Be0I/2r。 結論：無限長螺線管結論：無限長螺線管 內(nèi)部內(nèi)部磁場均勻分

12、布，與軸線平行；磁場均勻分布，與軸線平行； 外部外部磁場與無窮長直線電流磁場相同。磁場與無窮長直線電流磁場相同。 0/0/ ( ),( )0, ee ABABnIBrnIBABr 例例5.7 電流均勻分布在一無窮大平面導體薄板上，面電流均勻分布在一無窮大平面導體薄板上，面 電流密度為電流密度為i，求空間磁場分布。，求空間磁場分布。 解解 設導體板位于設導體板位于y-z平面，電流沿平面，電流沿z方向。由對稱性，方向。由對稱性， B只有只有y分量，大小只與分量，大小只與x有關，且有關，且B(x)B(x). 考慮考慮x軸上一點軸上一點P，以，以O為中心，在為中心，在 x-y平面過點平面過點P作矩形回

13、路作矩形回路ABCDA， 應用安培環(huán)路定理可得應用安培環(huán)路定理可得 B(x)=0i/2。 無窮大平面電流兩側為無窮大平面電流兩側為等大反向的均勻磁場等大反向的均勻磁場。 有限大小面電流：只要有限大小面電流：只要x帶電粒子帶電粒子回旋半徑回旋半徑，粒子，粒子 的運動就可的運動就可近似為近似為繞磁感應線的繞磁感應線的螺旋運動螺旋運動。但磁場。但磁場 沿磁場線的非均勻性將破壞沿磁場線的非均勻性將破壞v/和和v的守恒。的守恒。 新守恒量：帶電粒子繞磁場的快速旋轉形成新守恒量：帶電粒子繞磁場的快速旋轉形成圓電流圓電流 環(huán)環(huán)，相應的磁矩稱粒子的，相應的磁矩稱粒子的回旋磁矩回旋磁矩。 證明證明：以：以軸對稱

14、緩變軸對稱緩變非均勻磁場為例非均勻磁場為例 取小圓柱形高斯面，由取小圓柱形高斯面，由高斯定理高斯定理 ,. zr B zB rv zv Bv 2 2(0,)(0, )0, rzz Br zBzzBzr 0 (0,)(0, ) lim. 22 zzz r z BzzBzBrr B zz 2 / d . d22 zz r vBmvBr mqv Bqv tzBz Br導致導致z方向有方向有洛侖茲力洛侖茲力，運動方程運動方程 可見，粒子受到由強場處指向弱場處的可見，粒子受到由強場處指向弱場處的磁壓力。磁壓力。 將上式兩邊同乘以將上式兩邊同乘以v/ ，又，又 帶電粒子作圓運動的帶電粒子作圓運動的磁矩磁矩

15、的大小為的大小為 =qB/m R=v/ mv r qB dddd , dddd BBzB v tztz 2 2 ( d1d . d22 #) d mvB mv tBt 22 1 /, 22 q I SRmvB 由上式代入由上式代入(#)式可得式可得 比較比較 另一方面，由于另一方面，由于 守恒守恒， 有有 可證，對任意可證，對任意隨時間空間緩變隨時間空間緩變磁場，運動帶電粒磁場，運動帶電粒 子的磁矩守恒。子的磁矩守恒。 d 0,. dt 守守恒恒 2 d 1d (), d2d B mv tt 222 vvv 22 d1d1ddd , d2d2ddd B mvmvBB ttttt 2. 應用舉例

16、應用舉例 1) 速度選擇速度選擇 一束帶電粒子射入相互垂直的均勻電場和均勻磁一束帶電粒子射入相互垂直的均勻電場和均勻磁 場。能從小孔穿出的粒子必沿場。能從小孔穿出的粒子必沿虛線虛線運動，要求電力與運動，要求電力與 磁力平衡，磁力平衡，qE=qvB，v=E/B。該裝置只允許該裝置只允許特定特定 速率速率的粒子穿過，無關粒子電荷、質量。的粒子穿過，無關粒子電荷、質量。 2) 質譜儀質譜儀 質譜儀是通過測量質譜儀是通過測量帶電帶電 離子離子的質量或電荷與質的質量或電荷與質 量的比值量的比值 (荷質比荷質比) 來對來對 樣品成分進行分析。樣品成分進行分析。 基本原理基本原理：離子束通過：離子束通過速度

17、選擇器速度選擇器，選出特定，選出特定v的的 離子，進入均勻磁場中作圓運動，離子，進入均勻磁場中作圓運動，回旋半徑回旋半徑R可由可由 感光膠片來測得。感光膠片來測得。B, v, R已知，由已知，由q/mv/(RB)可得可得 粒子的粒子的荷質比荷質比。 應用應用：質譜儀可利用來：質譜儀可利用來分離同位素分離同位素，分析含量。，分析含量。 3) 磁聚焦磁聚焦 若無磁場，離子束中各離子近似直線運動若無磁場，離子束中各離子近似直線運動發(fā)散發(fā)散。 外加均勻磁場，離子束作螺旋線運動，若離子束初外加均勻磁場，離子束作螺旋線運動，若離子束初 始張角較小，始張角較小，v/ 常量，離子回旋頻率與回旋速度常量，離子回旋頻率與回旋速度 v無關，經(jīng)一個周期沿磁