2.17空間曲線及其方程ppt課件

1、1.7 1.7 空間曲線及其方程空間曲線及其方程 0),( 0),( zyxG zyxF 空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程 曲線上的點都滿足曲線上的點都滿足 方程，滿足方程的點都在方程，滿足方程的點都在 曲線上，不在曲線上的點曲線上，不在曲線上的點 不能同時滿足兩個方程不能同時滿足兩個方程. x o z y 1 S 2 S C 一。空間曲線一。空間曲線C可看作空間兩曲面的交線可看作空間兩曲面的交線. 特點：特點： 1.7.1空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程 例例1 1 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 6332 1 22 zyx yx 解解 1 22 yx 表示圓柱面，表

2、示圓柱面， 6332 zyx表示平面，表示平面， 6332 1 22 zyx yx 交線為橢圓交線為橢圓. 例例2 2 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 4 ) 2 ( 2 22 222 a y a x yxaz 解解 222 yxaz 上半球面上半球面, 4 ) 2 ( 2 22 a y a x 圓柱面圓柱面, 交線如圖交線如圖. )( )( )( tzz tyy txx 當當給給定定 1 tt 時時，就就得得到到曲曲線線上上的的一一個個點點 ),( 111 zyx，隨隨著著參參數(shù)數(shù)的的變變化化可可得得到到曲曲線線上上的的全全 部部點點. 空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程

3、1.7.2 空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程 動點從動點從A點出點出 發(fā)，經(jīng)過發(fā)，經(jīng)過t時間，運動到時間，運動到M點點 例例 3 3 如如果果空空間間一一點點M在在圓圓柱柱面面 222 ayx 上上以以 角角速速度度 繞繞z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，同同時時又又以以線線速速度度v沿沿平平行行于于z 軸軸的的正正方方向向上上升升（其其中中 、v都都是是常常數(shù)數(shù)），那那么么點點 M構(gòu)構(gòu)成成的的圖圖形形叫叫做做螺螺旋旋線線試試建建立立其其參參數(shù)數(shù)方方程程 A M M M在在xoy面的投影面的投影)0 ,(yx M tax cos tay sin vtz t 螺旋線的參數(shù)方程螺旋線的參數(shù)方程 取時間取時間t為

4、參數(shù)，為參數(shù)， 解解 x y z o 螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為 bz ay ax sin cos ),( v bt 螺旋線的重要性質(zhì)：螺旋線的重要性質(zhì)： ,: 00 ,: 00 bbbz 上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比 即即 上升的高度上升的高度 bh2 螺距螺距 ,2 0),( 0),( zyxG zyxF 消去變量消去變量z后得：后得： 0),( yxH 曲線關(guān)于曲線關(guān)于 的投影柱面的投影柱面xoy 設(shè)空間曲線的一般方程：設(shè)空間曲線的一般方程： 以此空間曲線為準線，垂直于所投影的坐標面以此空間曲線為準線，垂直于所投影的坐標面. 投影柱面

5、的特征：投影柱面的特征： 1.7.3空間曲線在坐標面上的投影空間曲線在坐標面上的投影 如圖如圖:投影曲線的研究過程投影曲線的研究過程. 空間曲線空間曲線投影曲線投影曲線投影柱面投影柱面 類似地：可定義空間曲線在其他坐標面上的投影類似地：可定義空間曲線在其他坐標面上的投影 0 0),( x zyR 0 0),( y zxT 面上的投影曲線面上的投影曲線,yoz面上的投影曲線面上的投影曲線,xoz 0 0),( z yxH 空間曲線在空間曲線在 面上的投影曲線面上的投影曲線xoy 例例4 4 求曲線求曲線 在坐標面上的投影在坐標面上的投影. . 2 1 1 222 z zyx 解解 （1消去變量消

6、去變量z后得后得 , 4 3 22 yx , 0 4 3 22 z yx 在在 面上的投影為面上的投影為 xoy 所以在所以在 面上的投影為線段面上的投影為線段.xoz ; 2 3 |, 0 2 1 x y z （3同理在同理在 面上的投影也為線段面上的投影也為線段.yoz . 2 3 |, 0 2 1 y x z （2因為曲線在平面因為曲線在平面 上，上， 2 1 z 例例5 5 求拋物面求拋物面xzy 22 與平面與平面 02 zyx 的截線在三個坐標面上的投影曲線方程的截線在三個坐標面上的投影曲線方程. 截線方程為截線方程為 02 22 zyx xzy 解解 如圖如圖, （2）消消去去y

7、得得投投影影, 0 0425 22 y xxzzx （3）消消去去x得得投投影影. 0 02 22 x zyzy （1）消消去去z得得投投影影, 0 045 22 z xxyyx 補充補充: : 空間立體或曲面在坐標面上的投影空間立體或曲面在坐標面上的投影. . 空間立體空間立體 曲面曲面 例例6 . ,)(3 4, 22 22 面上的投影面上的投影 求它在求它在錐面所圍成錐面所圍成和和 由上半球面由上半球面設(shè)一個立體設(shè)一個立體 xoyyxz yxz 解解 半球面和錐面的交線為半球面和錐面的交線為 , )(3 ,4 : 22 22 yxz yxz C , 1 22 yxz 得投影柱面得投影柱面

8、消去消去 面面上上的的投投影影為為在在則則交交線線xoyC . 0 , 1 22 z yx 一個圓一個圓, 面上的投影為面上的投影為所求立體在所求立體在 xoy . 1 22 yx 空間曲線的一般方程、參數(shù)方程空間曲線的一般方程、參數(shù)方程 四、小結(jié)四、小結(jié) 空間曲線在坐標面上的投影空間曲線在坐標面上的投影 0),( 0),( zyxG zyxF )( )( )( tzz tyy txx 0 0),( x zyR 0 0),( y zxT 0 0),( z yxH 思考題思考題 求求橢橢圓圓拋拋物物面面zxy 22 2與與拋拋物物柱柱面面 zx 2 2的的交交線線關(guān)關(guān)于于xoy面面的的投投影影柱柱面面和