第3章MATLAB矩陣分析與處理

1、第3章MATLAB矩陣分析與處理 第3章 MATLAB矩陣分 析與處理 3.1 特殊矩陣 3.2 矩陣結(jié)構(gòu)變換 3.3 矩陣求逆與線性方程組求解 3.4 矩陣求值 3.5 矩陣的特征值與特征向量 3.6 矩陣的超越函數(shù) 第3章MATLAB矩陣分析與處理 特殊矩陣 通用的特殊矩陣 常用的產(chǎn)生通用特殊矩陣的函數(shù)有： zeros:產(chǎn)生全0矩陣(零矩陣)。 ones:產(chǎn)生全1矩陣(幺矩陣)。 eye：產(chǎn)生單位矩陣。 rand：產(chǎn)生01間均勻分布的隨機(jī)矩陣。 randn：產(chǎn)生均值為0，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分 布隨機(jī)矩陣。 第3章MATLAB矩陣分析與處理 例3.1 分別建立33、32和與矩陣A同樣 大小的

2、零矩陣。 (1) 建立一個(gè)33零矩陣。 zeros(3) (2) 建立一個(gè)32零矩陣。 zeros(3,2) (3) 設(shè)A為23矩陣，則可以用zeros(size(A) 建立一個(gè)與矩陣A同樣大小零矩陣。 A=1 2 3;4 5 6; %產(chǎn)生一個(gè)23階矩陣 A zeros(size(A) %產(chǎn)生一個(gè)與矩陣A同樣大 小的零矩陣 第3章MATLAB矩陣分析與處理 例3.2 建立隨機(jī)矩陣： (1) 在區(qū)間20,50內(nèi)均勻分布的5階隨機(jī)矩陣。 (2) 均值為、方差為的5階正態(tài)分布隨機(jī)矩陣。 命令如下： x=20+(50-20)*rand(5) %yi=a+(b-a)xi y=0.6+sqrt(0.1)*

3、randn(5) %yi= +xi 此外，常用的函數(shù)還有reshape(A,m,n)，它在 矩陣總元素保持不變的前提下，將矩陣A重新 排成mn的二維矩陣。 第3章MATLAB矩陣分析與處理 例3.2 建立隨機(jī)矩陣： (1) 在區(qū)間20,50內(nèi)均勻分布的5階隨機(jī)矩陣。 (2) 均值為、方差為的5階正態(tài)分布隨機(jī)矩陣。 命令如下： x=20+(50-20)*rand(5) y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5) 此外，常用的函數(shù)還有reshape(A,m,n)，它在 矩陣總元素保持不變的前提下，將矩陣A重新 排成mn的二維矩陣。 第3章MATLAB矩陣分析與處理 用于專門學(xué)科的特殊矩陣 (

4、1) 魔方矩陣 魔方矩陣有一個(gè)有趣的性質(zhì)，其每行、每列及 兩條對(duì)角線上的元素和都相等。對(duì)于n階魔方陣， 其元素由1,2,3,n2共n2個(gè)整數(shù)組成。 MATLAB提供了求魔方矩陣的函數(shù)magic(n)， 其功能是生成一個(gè)n階魔方陣。 第3章MATLAB矩陣分析與處理 例3.3 將101125等25個(gè)數(shù)填入一個(gè)5行5 列的表格中，使其每行每列及對(duì)角線的和均為 565。 M=100+magic(5) %5階魔方矩陣每行、每 列及對(duì)角線的和均為65 第3章MATLAB矩陣分析與處理 范得蒙矩陣 范得蒙(Vandermonde)矩陣最后一列全為1，倒 數(shù)第二列為一個(gè)指定的向量，其他各列是其后列與 倒數(shù)第

5、二列的點(diǎn)乘積。可以用一個(gè)指定向量生成一 個(gè)范得蒙矩陣。在MATLAB中，函數(shù)vander(V) 生成以向量V為基礎(chǔ)向量的范得蒙矩陣。例如， A=vander(1;2;3;5)即可得到上述范得蒙矩陣。 A= 1 1 1 1; 8 4 2 1; 27 9 3 1; 125 25 5 1 第3章MATLAB矩陣分析與處理 希爾伯特矩陣 在MATLAB中，生成希爾伯特矩陣的函數(shù)是 hilb(n),hij=1/(i+j-1)。 使用一般方法求逆會(huì)因?yàn)樵紨?shù)據(jù)的微小擾動(dòng) 而產(chǎn)生不可靠的計(jì)算結(jié)果。MATLAB中，有一 個(gè)專門求希爾伯特矩陣的逆的函數(shù)invhilb(n)， 其功能是求n階的希爾伯特矩陣的逆矩陣

6、。 第3章MATLAB矩陣分析與處理 例3.4 求4階希爾伯特矩陣及其逆矩陣。 命令如下： format rat %以有理形式輸出 H=hilb(4) H=invhilb(4) 第3章MATLAB矩陣分析與處理 托普利茲矩陣 托普利茲(Toeplitz)矩陣除第一行第一列外，其 他每個(gè)元素都與左上角的元素相同。生成托普 利茲矩陣的函數(shù)是toeplitz(x,y)，它生成一個(gè) 以x為第一列，y為第一行的托普利茲矩陣。這 里x, y均為向量，兩者不必等長。toeplitz(x) 用向量x生成一個(gè)對(duì)稱的托普利茲矩陣。例如 T=toeplitz(1:6) 第3章MATLAB矩陣分析與處理 伴隨矩陣 M

7、ATLAB生成伴隨矩陣的函數(shù)是compan(p)，其 中p是一個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)向量，高次冪系數(shù)排在前， 低次冪排在后。例如，為了求多項(xiàng)式的x3-7x+6的 伴隨矩陣，可使用命令： p=1,0,-7,6; compan(p) ans= 07-6 100 010 第3章MATLAB矩陣分析與處理 帕斯卡矩陣 二次項(xiàng)(x+y)n展開后的系數(shù)隨n的增大組成一 個(gè)三角形表，稱為楊輝三角形。由楊輝三角形 表組成的矩陣稱為帕斯卡(Pascal)矩陣。函數(shù) pascal(n)生成一個(gè)n階帕斯卡矩陣。 第3章MATLAB矩陣分析與處理 例3.5 求(x+y)5的展開式。 在MATLAB命令窗口，輸入命令： pas

8、cal(6) 矩陣次對(duì)角線上的元素1,5,10,10,5,1即為展 開式的系數(shù)。 第3章MATLAB矩陣分析與處理 矩陣結(jié)構(gòu)調(diào)整變換 對(duì)角陣 1對(duì)角陣 只有對(duì)角線上有非0元素的矩陣稱為對(duì)角矩陣， 對(duì)角線上的元素相等的對(duì)角矩陣稱為數(shù)量矩陣， 對(duì)角線上的元素都為1的對(duì)角矩陣稱為單位矩陣。 第3章MATLAB矩陣分析與處理 提取矩陣的對(duì)角線元素 設(shè)A為mn矩陣， diag(A)函數(shù)用于提取矩 陣A主對(duì)角線元素，產(chǎn) 生一個(gè)具有min(m,n) 個(gè)元素的列向量。 diag(A)函數(shù)還有一種形 式diag(A,k)，其功能是 提取第k條對(duì)角線的元素。 第3章MATLAB矩陣分析與處理 A = 1 2 3;

9、4 5 6; 7 8 9 ; D=diag(A) D = 1 5 9 diag(A,1) ans = 2 6 第3章MATLAB矩陣分析與處理 構(gòu)造對(duì)角矩陣 設(shè)V為具有m個(gè)元素的向量，diag(V)將產(chǎn)生一個(gè) mm對(duì)角矩陣，其主對(duì)角線元素即為向量V的元 素。 diag(V)函數(shù)也有另一種形式diag(V,k)，其功能是 產(chǎn)生一個(gè)nn(n=m+|k|)對(duì)角陣，其第k條對(duì)角線 的元素即為向量V的元素。 diag(D) ans = 1 0 0 0 5 0 0 0 9 第3章MATLAB矩陣分析與處理 例3.6 先建立55矩陣A，然后將A的第一行 元素乘以1，第二行乘以2，第五行乘以5。 A=17,0

10、,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13, 0,22;10,12,19,21,3;. 11,18,25,2,19; D=diag(1:5); D*A %用D左乘A，對(duì)A的每行乘 以一個(gè)指定常數(shù) 第3章MATLAB矩陣分析與處理 三角陣 三角陣又進(jìn)一步分為上三角陣和下三角陣，所 謂上三角陣，即矩陣的對(duì)角線以下的元素全為0 的一種矩陣，而下三角陣則是對(duì)角線以上的元 素全為0的一種矩陣。 嚴(yán)格上三角矩陣和嚴(yán)格下三角矩陣（包括主對(duì) 角線上的元素也為0）。 第3章MATLAB矩陣分析與處理 上三角矩陣 求矩陣A的上三角陣的MATLAB函數(shù)是triu(A)。 triu(A)函數(shù)也有另一種形式

11、triu(A,k)，其功能 是求矩陣A的第k條對(duì)角線以上的元素。例如， 提取矩陣A的第2條對(duì)角線以上的元素，形成新 的矩陣B。 triu(ones(4,4),-1) ans = 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 第3章MATLAB矩陣分析與處理 下三角矩陣 在MATLAB中，提取矩陣A的下三角矩陣的函數(shù)是 tril(A)和tril(A,k)，其用法與提取上三角矩陣的函數(shù) triu(A)和triu(A,k)完全相同。 tril(ones(4,4),-1) ans = 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 第3章MATLAB矩陣分析與處理 矩

12、陣的轉(zhuǎn)置 轉(zhuǎn)置運(yùn)算符是單撇號(hào)()。 A = 1 2 3;4 5 6; 7 8 9 A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A ans = 1 4 7 2 5 8 3 6 9 第3章MATLAB矩陣分析與處理 矩陣的旋轉(zhuǎn) 利用函數(shù)rot90(A,k)將矩陣A按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90的 k倍，當(dāng)k為1時(shí)可省略。 X = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Y = rot90(X) Y = 3 6 9 2 5 8 1 4 7 第3章MATLAB矩陣分析與處理 矩陣的左右翻轉(zhuǎn) 對(duì)矩陣實(shí)施左右翻轉(zhuǎn)是將原矩陣的第一列和最 后一列調(diào)換，第二列和倒數(shù)第二列調(diào)換， 依次類推。MATLAB對(duì)矩陣A實(shí)施左右翻轉(zhuǎn)的 函數(shù)

13、是fliplr(A)。 If A is the 3-by-2 matrix, A = 1 4 2 5 3 6 then fliplr(A) produces 4 1 5 2 6 3 If A is a row vector, A = 1 3 5 7 9 then fliplr(A) produces 9 7 5 3 1 第3章MATLAB矩陣分析與處理 矩陣的上下翻轉(zhuǎn) MATLAB對(duì)矩陣A實(shí)施上下翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是 flipud(A)。 If A is the 3-by-2 matrix, A = 1 4 2 5 3 6 then flipud(A) produces 3 6 2 5 1 4 If

14、A is a column vector, A = 3 5 7 then flipud(A) produces A = 7 5 3 第3章MATLAB矩陣分析與處理 矩陣的逆與偽逆 對(duì)于一個(gè)方陣A，如果存在一個(gè)與其同階的方 陣B，使得： AB=BA=I (I為單位矩陣) 則稱B為A的逆矩陣，當(dāng)然，A也是B的逆矩陣。 求一個(gè)矩陣的逆是一件非常煩瑣的工作，容易 出錯(cuò)，但在MATLAB中，求一個(gè)矩陣的逆非常 容易。求方陣A的逆矩陣可調(diào)用函數(shù)inv(A)。 例 第3章MATLAB矩陣分析與處理 矩陣的逆與偽逆 如果矩陣A不是一個(gè)方陣，或者A是一個(gè)非滿秩的方陣時(shí)，矩 陣A沒有逆矩陣，但可以找到一個(gè)與A的

15、轉(zhuǎn)置矩陣A同型的矩 陣B，使得： ABA=A BAB=B 此時(shí)稱矩陣B為矩陣A的偽逆，也稱為廣義逆矩陣。在 MATLAB中，求一個(gè)矩陣偽逆的函數(shù)是pinv(A)。 A=3 1 1 1;1 3 1 1;1 1 3 1; B=pinv(A) B = 在線性代數(shù)中，一個(gè)矩陣 A 的列秩列秩是 A 的線性無關(guān)的縱列縱列的極大數(shù)目。類似 地，行秩行秩是 A 的線性無關(guān)的橫行橫行的極大數(shù)目。注意：行秩=列秩。 通常，對(duì)于一組向量X1,X2,.Xp,若存在一組不全為0的ki(i=1,2,3.p)，使得: k1X1+k2X2+.+kpXp=0. 則該p個(gè)向量線性相關(guān)。 第3章MATLAB矩陣分析與處理 用矩陣

16、求逆方法求解線性方程組 在線性方程組Ax=b兩邊各左乘A-1，有 A-1Ax=A-1b 由于A-1A=I，故得 x=A-1b 例3.8 用求逆矩陣的方法解線性方程組。 命令如下： A=1,2,3;1,4,9;1,8,27; b=5,-2,6; x=inv(A)*b 也可以運(yùn)用左除運(yùn)算符“”求解線性代數(shù)方程組。 A=1,2,3;1,4,9;1,8,27; b=5,-2,6; x=Ab 第3章MATLAB矩陣分析與處理 矩陣求值 方陣的行列式 把一個(gè)方陣看作一個(gè)行列式，并對(duì)其按行列式 的規(guī)則求值，這個(gè)值就稱為所對(duì)應(yīng)的行列式的 值。在MATLAB中，求方陣A所對(duì)應(yīng)的行列式 的值的函數(shù)是det(A)。

17、 A=rand(5) B=det(A) 第3章MATLAB矩陣分析與處理 矩陣的秩與跡 矩陣的秩 矩陣線性無關(guān)的行數(shù)與列數(shù)稱為矩陣的秩。在 MATLAB中，求矩陣秩的函數(shù)是rank(A)。 矩陣的跡 矩陣的跡等于矩陣的對(duì)角線元素之和，也等于 矩陣的特征值之和。在MATLAB中，求矩陣的 跡的函數(shù)是trace(A)。 第3章MATLAB矩陣分析與處理 向量和矩陣的范數(shù) 矩陣或向量的范數(shù)用來度量矩陣或向量在某種 意義下的長度。范數(shù)有多種方法定義，其定義 不同，范數(shù)值也就不同。(V為n元素的列向量， A為m by n矩陣) max V V 1 2 2 1 1 i ni n i i n i i vV

18、v v 第3章MATLAB矩陣分析與處理 向量和矩陣的范數(shù) 向量的3種常用范數(shù)及其計(jì)算函數(shù) 在MATLAB中，求向量范數(shù)的函數(shù)為： (1) norm(V)或norm(V,2)：計(jì)算向量V的 2范數(shù)。 (2) norm(V,1)：計(jì)算向量V的1范數(shù)。 (3) norm(V,inf)：計(jì)算向量V的范數(shù)。 第3章MATLAB矩陣分析與處理 向量和矩陣的范數(shù) 矩陣的范數(shù)及其計(jì)算函數(shù) MATLAB提供了求3種矩陣范數(shù)的函數(shù)，其函 數(shù)調(diào)用格式與求向量的范數(shù)的函數(shù)完全相同。 maxmaxA ,maxA maxmaxA 1 1 1 11 2 1 2 1 11 1 1 n i ij mj V V m i ij nj V aVA AAVA aVA 的最大特征值為 第3章MATLAB矩陣分析與處理 矩陣的條件數(shù) 在MATLAB中，計(jì)算矩陣A的3種條件數(shù)的函 數(shù)是： (1) cond(A,1) 計(jì)算A的1范數(shù)下的條件數(shù)