第4章點線面的投影

1、4 點、線、面的投影 p 4.1 點的投影 p 4.2 直線的投影 p 4.3 兩直線的相對位置 p 4.4 平面的投影 p 4.5 換面法 p 4.6 直線與平面、平面與平面的相對位置 4.1 點的投影 點的單面投影 .1. 點的三面投影及其特性 .1. 特殊點的三面投影 .1. 兩點的相對位置 .1. 重影點的可見性判別 P a A 點的單面投影 若點的位置確若點的位置確 定，點的投影是確定，點的投影是確 定的。定的。 P a(b) B 若點的一個投若點的一個投 影確定，點的位置影確定，點的位置 是不確定的。是不確定的。 A 點的單面投影 4.1.1 點的三面投影及其特性 V W H X

2、Z Y O A a a a aX aY aZ 空間點空間點A H面投影面投影a V面投影面投影a W面投影面投影a 4.1.1 點的三面投影及其特性 X Z YW O YH H WV a H a W a 移去空間點移去空間點 uV V面不動面不動 H H面連同水平投影繞面連同水平投影繞X X軸向下旋轉(zhuǎn)軸向下旋轉(zhuǎn) W W面連同側(cè)面投影繞面連同側(cè)面投影繞Z Z軸向右旋轉(zhuǎn)軸向右旋轉(zhuǎn) V W H X Z Y O A a a a ax ay az 4.1.1 點的三面投影及其特性 V W H X Z Y O A a a a aX aY aZ VW H X Z YW YH O a a a aX aZ aY

3、H aYW 點的投影連線垂直于相應(yīng)的投影軸點的投影連線垂直于相應(yīng)的投影軸 點的點的H面投影與面投影與V面投影的連線垂直于面投影的連線垂直于OX軸軸a a OX 點的點的V面投影與面投影與W面投影的連線垂直于面投影的連線垂直于OZ軸軸a a OZ 4.1.1 點的三面投影及其特性 V W H X Z Y O A a a a aX aY aZ X Z YW YH O a a a aX aZ aYH aYW 某一投影到投影軸的距離等于該點到相應(yīng)投影面的距離某一投影到投影軸的距離等于該點到相應(yīng)投影面的距離 a aZ = a aYH =Aa , ,點到點到W面的距離面的距離X坐標(biāo)坐標(biāo) aaX = a a

4、Z =Aa , ,點到點到V面的距離面的距離Y坐標(biāo)坐標(biāo) a aX = a aYW=Aa , ,點到點到H面的距離面的距離Z坐標(biāo)坐標(biāo) 【例例4-1】已知已知A點的點的H面投影面投影a和和V面投影面投影a ，求，求A點的點的W面投影面投影a 。 X Z YW YH O a a a YW b X Z b b O YH Z X Y O 4.1.2特殊點的三面投影 W V a BH A a a b bb C c c c a a a c c c 投影面上的點投影面上的點 在該投影面上的投影與空間點自身重合，在該投影面上的投影與空間點自身重合， 另外兩個面上投影在相應(yīng)的坐標(biāo)軸上。另外兩個面上投影在相應(yīng)的坐標(biāo)

5、軸上。 Y X H V W O 4.1.2特殊點的三面投影 f e d dD e E f F d e f Z 投影軸上的點投影軸上的點 在與該投影軸相關(guān)的兩個投影面上的投影與空間點自身重合，在與該投影軸相關(guān)的兩個投影面上的投影與空間點自身重合， 另一投影面上的投影與坐標(biāo)原點重合。另一投影面上的投影與坐標(biāo)原點重合。 d d d X O Z YH YW f f f e e e 4.1.3 兩點的相對位置 A O V W H Z Y X B 根據(jù)兩點的坐標(biāo)差，可以確定兩點的相對位置根據(jù)兩點的坐標(biāo)差，可以確定兩點的相對位置 兩點的左右關(guān)系，兩點的左右關(guān)系，X X坐標(biāo)大在左，小的在右；坐標(biāo)大在左，小的在

6、右； 兩點的前后關(guān)系，兩點的前后關(guān)系，Y Y坐標(biāo)大在前，小的在后；坐標(biāo)大在前，小的在后； 兩點的上下關(guān)系，兩點的上下關(guān)系，Z Z坐標(biāo)大在上，小的在下。坐標(biāo)大在上，小的在下。 b b b a a a YWX Z YH O a a a b b b 4.1.4 重影點的可見性判別 b( ) 當(dāng)空間兩點位于同一條投射線上時，則該兩點在對應(yīng)的投當(dāng)空間兩點位于同一條投射線上時，則該兩點在對應(yīng)的投 影面上的投影重合為一點，這兩點稱為對此投影面的影面上的投影重合為一點，這兩點稱為對此投影面的重影點重影點。 O V W H Z Y X B b b A a a a 4.1.4 重影點的可見性判別 b( ) O V

7、 W H Z Y X B b b A a a a YWX Z YH O a a a b b b( ) 不可見的投影字母加括號（不可見的投影字母加括號（ ）表示）表示 判斷的基本原則判斷的基本原則看第三坐標(biāo)，大者可見看第三坐標(biāo)，大者可見 4.1.4 重影點的可見性判別 X b ( c ) O V W H Z Y X B C b c c b YW Z YH O b b c c b ( c ) 前遮后前遮后 上遮下上遮下 左遮右左遮右 4.2 直線的投影 直線的傾角和分類 .2. 投影面垂直線 .2. 投影面平行線 .2. 一般位置直線 .2. 直線上的點 直線的傾角 O V W H Z Y X A

8、 傾角傾角: :空間直線對投影面的夾角空間直線對投影面的夾角 對對 H H 面的傾角面的傾角 對對 V V 面的傾角面的傾角 對對 W W 面的傾角面的傾角 B O YWX Z YH b b b a a a a a a b b b 直線的分類 直線直線 一般位置直線一般位置直線 特殊位置直線特殊位置直線 投影面垂直線投影面垂直線 投影面平行線投影面平行線 4.2.1 投影面垂直線 u 鉛垂線鉛垂線H，/V、W u 正垂線正垂線V，/H、W u 側(cè)垂線側(cè)垂線W，/H、V 垂直于一個投影面，平行于另外兩個投影面垂直于一個投影面，平行于另外兩個投影面 4.2.1 投影面垂直線鉛垂線鉛垂線 TL TL

9、 a(b) O YWX Z YH a a b b a(b) b O V W H Z Y X B A b a a a(b) 投影特性投影特性 H H 積聚為一點積聚為一點 V V、W W 反映實長，反映實長，/OZOZ 傾角傾角 9090 0 0 4.2.1 投影面垂直線正垂線正垂線 d O V W H Z Y X D C c (d ) c d c TL TL O YWX Z YH c d c d c (d ) 投影特性投影特性 V V 積聚為一點積聚為一點 H H、W W 反映實長，反映實長，/OYOY 傾角傾角 9090 0 0 4.2.1 投影面垂直線側(cè)垂線側(cè)垂線 O V W H Z Y

10、X FE e e (f ) fe f TL TL O YWX Z YH e f e f e (f ) 投影特性投影特性 W W 積聚為一點積聚為一點 V V、H H 反映實長，反映實長，/OXOX 傾角傾角 9090 0 0 4.2.1 投影面垂直線側(cè)垂線側(cè)垂線 O V W H Z Y X FE e e (f ) fe f TL TL O YWX Z YH e f e f e (f ) 投影面垂直線的投影特性：投影面垂直線的投影特性： 在所垂直的投影面上的投影積聚為一點在所垂直的投影面上的投影積聚為一點 在另外兩個投影面上的投影平行于相關(guān)的在另外兩個投影面上的投影平行于相關(guān)的 投影軸，并反映直

11、線實長投影軸，并反映直線實長TLTL 4.2.2 投影面平行線 u 水平線水平線/H，V、W u 正平線正平線/V，H、W u 側(cè)平線側(cè)平線/W，H、V 平行于一個投影面，傾斜于另外兩個投影面平行于一個投影面，傾斜于另外兩個投影面 4.2.2 投影面平行線水平線水平線 TL O V W H Z Y X B A b b b a a a O YWX Z YH a a a b b b 投影特性投影特性 H H 反映實長反映實長, ,反映反映、傾角傾角 V V、W W 長度小于實長長度小于實長, ,OZOZ 4.2.2 投影面平行線正平線正平線 O V W H Z Y X c c c d d d 投影

12、特性投影特性 V V 反映實長反映實長, ,反映反映、傾角傾角 H H、W W 長度小于實長長度小于實長, ,OYOY O YWX Z YH d d d c c c TL 4.2.2 投影面平行線側(cè)平線側(cè)平線 O V W H Z Y X F E f f e O YWX Z YH e e e f f f TL 投影特性投影特性 W W 反映實長反映實長, ,反映反映、傾角傾角 V V、H H 長度小于實長長度小于實長, ,OXOX 投影面平行線的投影特性：投影面平行線的投影特性： 在所平行的投影面上的投影反映實長，在所平行的投影面上的投影反映實長， 反映直線與另兩個相關(guān)的投影面的傾角反映直線與另

13、兩個相關(guān)的投影面的傾角 另外兩個投影垂直于相關(guān)的投影軸，投另外兩個投影垂直于相關(guān)的投影軸，投 影長度小于實長影長度小于實長 4.2.2 投影面平行線側(cè)平線側(cè)平線 O V W H Z Y X F E f f e O YWX Z YH e e e f f f TL 4.2.3 一般位置直線 與三個投影面均傾斜與三個投影面均傾斜 O YWX Z YH a a a b b b O V W H Z Y X B A b b b a a a 4.2.3 一般位置直線 O YWX Z YH b b b a a a O V W H Z Y X A B a a a b b b 投影特性：投影特性： 三個投影均傾斜

14、于投影軸三個投影均傾斜于投影軸 投影長度小于實長投影長度小于實長 b a b a Z Z TL Z B A b a b a A1 TL O V H Z Y X OX 4.2.3 一般位置直線直角三角形法求實長和直角三角形法求實長和 4.2.3 一般位置直線直角三角形法求實長和直角三角形法求實長和 B A b a a B1 Y TL O V H Z Y X b b a b a Y Y TL O X 2005-10-2揚州大學(xué) 孫懷林 例例 已知已知 線段的實長線段的實長ABAB以及以及abab和和aa，求它的正面投影，求它的正面投影abab。 a X a b A O B b0 bb0 bb0 b

15、 b O V H X a A B a b b Z Y 4.2.4 直線上的點 C c c c W 從屬性從屬性 若點在直線上，若點在直線上， 則點的投影必在該直則點的投影必在該直 線的同面投影上。線的同面投影上。 YW O X Z YH b b b a a a a b c c c 定比性定比性 若點將直線分為兩段，則兩段的實長若點將直線分為兩段，則兩段的實長 之比等于其投影長度之比。之比等于其投影長度之比。 AC:CB = ac:cb = a c : c b = a c : c b 【例例4-2】已知直線段已知直線段AB的兩面投影的兩面投影ab和和a b ， 在直線在直線AB上求作一點上求作一

16、點K,使使AK:KB=2:3。 k k X b a O a b 1 2 3 4 5 【例例4-3】已知側(cè)平線已知側(cè)平線AB和和M、N兩點的兩點的H面和面和V面投影，面投影， 判斷判斷M點和點和N點是否在點是否在AB上上。 b a a b a b m m m 從屬性從屬性 n n n O XYW Z YH 【例例4-3】已知側(cè)平線已知側(cè)平線AB和和M、N兩點的兩點的H面和面和V面投影，面投影， 判斷判斷M點和點和N點是否在點是否在AB上上。 b a a b m m 定比性定比性 n n O X 3 1 2 4.3 兩直線的相對位置 .3. 兩直線平行 .3. 兩直線相交 .3. 兩直線交叉 .3

17、. 兩直線垂直 4.3.1 兩直線平行 W a c Z V C a O A dDb c d b Y c b Bd a H X Z c d b a db c c d a b XYW a O YH 投影特性投影特性 兩直線的同面投影相互平行；兩直線的同面投影相互平行； 兩直線的長度之比和同面的投影長度之比相等。兩直線的長度之比和同面的投影長度之比相等。 4.3.1 兩直線平行 W a c Z V C a O A dDb c d b Y c b Bd a H X Z c d b a db c c d a b XYW a O YH 已知已知AB/CD，則則 ab/cd , a b / c d , a

18、b / c d AB:CD = ab:cd = a b : c d = a b : c d 4.3.1 兩直線平行 判斷兩直線是否平行判斷兩直線是否平行 對于兩一般位置直線，若有兩個同面投影均互相平行，對于兩一般位置直線，若有兩個同面投影均互相平行， 則空間兩直線平行；則空間兩直線平行； 對于平行于同一投影面的兩直線，若兩個同面投影均互對于平行于同一投影面的兩直線，若兩個同面投影均互 相平行，并且其中一投影反映直線實長，則兩直線平行。相平行，并且其中一投影反映直線實長，則兩直線平行。 b a a b d c d c XO b c b d a c a O X d b a c d a b d c

19、d c a b 【例例4-4】（a）已知兩側(cè)平線）已知兩側(cè)平線AB和和CD,判斷判斷AB和和CD是否平行是否平行。 【解一解一】 作出第三投影作出第三投影 【解二解二】 字母順序一樣字母順序一樣, 投影長度成比例投影長度成比例 Z XYW O YH f e g h e f h g g h e f 【例例4-4】（b）已知兩側(cè)平線）已知兩側(cè)平線EF和和GH,判斷判斷EF和和GH是否平行是否平行。 Z XYW O YH 【解一解一】 作出第三投影作出第三投影 【解二解二】 EF和和GH的的V、H投投 影字母順序不一樣，影字母順序不一樣， EF和和GH的指向不一的指向不一 致致 4.3.2 兩直線相

20、交 空間兩直線相交空間兩直線相交 三個同面投影均相交，三個同面投影均相交， 并且交點符合點的投影特性。并且交點符合點的投影特性。 X d bc a c b a d a b d c k k k YW YH O Z V H A Z Y B D C d a c b W c d b a d c a b k k k K O X c d d c d c b a b a a b k k k Z XYW O YH 【例例】已知兩直線已知兩直線AB和和CD,判斷判斷AB和和CD是否相交是否相交。 【解一解一】 作出第三投影作出第三投影 【解二解二】 a k : k b ak: kb 4.3.3 兩直線交叉 兩直

21、線既不平行又不相交，稱為交叉二直線兩直線既不平行又不相交，稱為交叉二直線 V H D B C A d d c c a a b b O X Y Z b a b a c d c d X O 4.3.3 兩直線交叉 n 可能存在一個或兩個同面投影相互平行，但可能存在一個或兩個同面投影相互平行，但 不存在三個同面投影都平行。不存在三個同面投影都平行。 和平行的區(qū)別和平行的區(qū)別 n 可能有一個、兩個或三個同面投影相交，但可能有一個、兩個或三個同面投影相交，但 交點不符合點的投影特性。交點不符合點的投影特性。 和相交的區(qū)別和相交的區(qū)別 兩直線交叉的投影特性： 4.3.3 兩直線交叉 V H 3 4 ( )

22、 D B C A d d c c a a b b 1 2 3 4 1 2 ( ) d c d c a b a b 3 4 3 4 1 2 1 2( ) ( ) O X Y Z 判斷重影點的可見性判斷重影點的可見性 4.3.4 兩直線垂直 直角投影定理：直角投影定理： 若空間兩直線若空間兩直線垂直，且有一條垂直，且有一條平行于平行于某某一投影面，一投影面， 那么在那么在該該投影面上的投影仍然反映直角。投影面上的投影仍然反映直角。 AB BC AB Bb AB 平面平面 BbcC 有有 AB bc 又又 AB ab 故故 ab bc H A C B a c b 4.3.4 兩直線垂直 直角投影定理

23、的逆定理：直角投影定理的逆定理： 若相交兩直線的同面投影反映直角，且有一條直線平若相交兩直線的同面投影反映直角，且有一條直線平 行于行于該該投影面，則兩直線必垂直。投影面，則兩直線必垂直。 H A C B a c b c O a b c a b X 【例例4-5】已知直線已知直線AB和點和點C的兩面投影的兩面投影, ,求求C點到點到AB的距離。的距離。 XO a a b b c c d d 距離距離 【例例4-6】求交叉直線求交叉直線AB和和CD的距離的距離MN實長及其投影。實長及其投影。 XO a b ab c c d d n n m m 距離距離 第第3 3章章 平面立體的投影平面立體的投

24、影及線面投影分析及線面投影分析 例例 如圖，矩形的一邊AB為水平線，試畫全矩形ABDC的二 投影。 解：解： 按對邊平行關(guān)系畫全abdc; 按鄰邊垂直關(guān)系畫出ac; 按對邊平行關(guān)系畫全abdc。 單擊開始自動演播 已知 作圖 2005-10-2揚州大學(xué) 孫懷林 例例 作三角形作三角形ABC， ABC為直角，使為直角，使BC在在MN上，且上，且BC AB=2 3。 b b c AB ab |yA-yB| bc=BC c n m a a X m n O 4.4 平面的投影 .4. 平面的表示法 .4. 各種位置平面 .4. 平面內(nèi)的點和直線 4.4.1 平面的表示法 用幾何元素表示平面有五種形式：

25、用幾何元素表示平面有五種形式： 不在一直線上的三個點；不在一直線上的三個點； 一直線和直線外一點；一直線和直線外一點； 相交兩直線；相交兩直線； 平行兩直線；平行兩直線； 任意平面圖形。任意平面圖形。 c a b b a c a b b c a c a b b c a c b b a c a c 幾何元素表示法 a b c a b c d d 4.4.1 平面的表示法跡線表示法 跡線：跡線：平面和投影面的交線。平面和投影面的交線。 V W H Z Y O X P PW PH PV X Z YW YH O PWPV PH 4.4.1 平面的表示法跡線表示法 跡線：跡線：平面和投影面的交線。平面和

26、投影面的交線。 V W H Z Y O X QW QH QV X Z YW YH O Q QV QW QH 4.4.2 各種位置平面 平面平面 一般位置平面一般位置平面 特殊位置平面特殊位置平面 投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面 4.4.2 各種位置平面 u 水平面水平面/H，V、W u 正平面正平面/V， H、W u 側(cè)平面?zhèn)绕矫?W， H、V 平行于某一投影面，并與另兩個投影面垂直平行于某一投影面，并與另兩個投影面垂直 投影面平行面 投影特性投影特性 H 反映實形反映實形 V、W 積聚成一直線，積聚成一直線，OZ 傾角傾角 0 0 9090 4.4.2 各種位置平面投影面

27、平行面水平面 V W H Z Y O X p p p P X Z YW YH O p p p（TS） 投影特性投影特性 V 反映實形反映實形 H、W 積聚成一直線，積聚成一直線，OY 傾角傾角 0 90 4.4.2 各種位置平面投影面平行面正平面 V W H Z Y O X q Q q q X Z YW YH O q q q （TS） 投影特性投影特性 W 反映實形反映實形 H、V 積聚成一直線，積聚成一直線，OX 傾角傾角 0 90 4.4.2 各種位置平面投影面平行面?zhèn)绕矫?V W H Z Y O X r r X Z YW YH O r r r （TS） r R 4.4.2 各種位置平面投

28、影面平行面?zhèn)绕矫?V W H Z Y O X r r X Z YW YH O r r r （TS） r R 投影面平行面的投影特性：投影面平行面的投影特性： 在所平行的投影面上的投影反映實形在所平行的投影面上的投影反映實形 在另外兩個投影面上積聚成直線，且垂在另外兩個投影面上積聚成直線，且垂 直于相關(guān)的投影軸直于相關(guān)的投影軸 4.4.2 各種位置平面 u 鉛垂面鉛垂面H，V、W u 正垂面正垂面V，H、W u 側(cè)垂面?zhèn)却姑鎃，H、V 垂直于某一投影面，并傾斜于另外兩個投影面垂直于某一投影面，并傾斜于另外兩個投影面 投影面垂直面 p p 投影特性投影特性 H積聚成一直線，積聚成一直線，反映反映、

29、傾角傾角 V、W反映類似形反映類似形 4.4.2 各種位置平面投影面垂直面鉛垂面 V W H Z Y O X X Z YW YH O p p c p P p P 4.4.2 各種位置平面投影面垂直面正垂面 投影特性投影特性 V積聚成一直線，積聚成一直線，反映反映、傾角傾角 H、W反映類似形反映類似形 V W H Z Y X q X Z YW YH O q q q O Q q q r r 4.4.2 各種位置平面投影面垂直面?zhèn)却姑?投影特性投影特性 W積聚成一直線，積聚成一直線，反映反映、傾角傾角 H、V反映類似形反映類似形 V W H Z Y O X R X Z YW YH O r r r r

30、 r r 4.4.2 各種位置平面投影面垂直面?zhèn)却姑?V W H Z Y O X R X Z YW YH O r r r r 投影面垂直面的投影特性：投影面垂直面的投影特性： 在所垂直的投影面上的投影積聚成直線，該直線在所垂直的投影面上的投影積聚成直線，該直線 與投影軸的夾角反映平面與相關(guān)的投影面的傾角與投影軸的夾角反映平面與相關(guān)的投影面的傾角 在另兩個投影面上的投影是類似圖形在另兩個投影面上的投影是類似圖形 4.4.2 各種位置平面一般位置平面 V W H Z Y O X 一般位置平面一般位置平面 對三個投影面都傾斜的平面對三個投影面都傾斜的平面 b a a c a c b b c X Z

31、YW YH O b b b a c a c a c A B C 4.4.2 各種位置平面一般位置平面 V W H Z Y O X b a a c a c b b c X Z YW YH O b b b a c a c a c A B C 一般位置平面的投影特性：一般位置平面的投影特性： 三個投影均與平面是類似圖形，且面積小于實形面積三個投影均與平面是類似圖形，且面積小于實形面積 不反映平面對投影面的傾角不反映平面對投影面的傾角 平面內(nèi)的點平面內(nèi)的點 點在平面內(nèi)的某一條直線上點在平面內(nèi)的某一條直線上 平面內(nèi)的直線平面內(nèi)的直線 u通過平面內(nèi)兩個點通過平面內(nèi)兩個點 u過平面內(nèi)一點，且平行于平面內(nèi)的某

32、一條直線過平面內(nèi)一點，且平行于平面內(nèi)的某一條直線 4.4.3 平面內(nèi)的點和直線 A b c H a C B M N mn A b c H a C B M m E e 存在條件存在條件 【例例4-7】判斷點判斷點D是否在平面是否在平面ABC內(nèi)內(nèi)。 X c a b b a c O e e d d 2005-10-2揚州大學(xué) 孫懷林 例例 已知 已知 ABC ABC 給定一平面，（給定一平面，（1 1）判斷點）判斷點K K是否屬于該平面。是否屬于該平面。 （2 2）已知平面上一點）已知平面上一點E E的正面投影的正面投影e e作出水平投影。作出水平投影。 k k a b c a b c d d e

33、e 1 1 XO 2005-10-2揚州大學(xué) 孫懷林 例例 已知點已知點E E 在在 ABCABC平面上，且點平面上，且點E E距離距離H H面面1515，距離，距離V V 面面1010， 試求點試求點E E的投影。的投影。 X a b c b a c m n mn r s r s 10 15 e e 4.4.3 平面內(nèi)的點和直線 V W H Z Y O X P PW PH PV C D 正平線正平線 A B 水平線水平線 E F 側(cè)平線側(cè)平線 平面內(nèi)的投影面平行線平面內(nèi)的投影面平行線 平面上的水平線平面上的水平線（ H ） 平面上的正平線平面上的正平線（ V ） 平面上的側(cè)平線平面上的側(cè)平線

34、（ W） 【例例】過過A、B、C分別作平面分別作平面ABC內(nèi)的水平線、正平線和側(cè)平線。內(nèi)的水平線、正平線和側(cè)平線。 a b c a b d d XO c 【例例】過過A、B、C分別作平面分別作平面ABC內(nèi)的水平線、正平線和側(cè)平線。內(nèi)的水平線、正平線和側(cè)平線。 a b c a b e e XO c 【例例】過過A、B、C分別作平面分別作平面ABC內(nèi)的水平線、正平線和側(cè)平線。內(nèi)的水平線、正平線和側(cè)平線。 a b c a b f f XO c 2005-10-2揚州大學(xué) 孫懷林 補充知識點： 平面上投影面的最大斜度線 (1)平面平面對投影面的最大斜度線必定垂直于平面上對該投影對投影面的最大斜度線必定

35、垂直于平面上對該投影 面的平行線；最大斜度線在該投影面上的投影必定垂直于平面面的平行線；最大斜度線在該投影面上的投影必定垂直于平面 上該投影面平行線的同面投影。上該投影面平行線的同面投影。 (2) 最大斜度線對投影面的角度最大。最大斜度線的幾何意最大斜度線對投影面的角度最大。最大斜度線的幾何意 義義: :用來測定平面對投影面的角度用來測定平面對投影面的角度 H P C D a S A E 2005-10-2揚州大學(xué) 孫懷林 例例15 15 求 求 ABC平面與水平投影面的夾角平面與水平投影面的夾角 。 be BE d d e e a b c a b c 4.5 換面法 .5. 基本概念 .5.

36、 六個基本問題 換面法指空間幾何元素位置不變，對投影面進行更換，換面法指空間幾何元素位置不變，對投影面進行更換， 使空間幾何元素對更換的新投影面處于有利于解題的特殊位置。使空間幾何元素對更換的新投影面處于有利于解題的特殊位置。 4.5.1 基本概念 一般位置直線變換為投影面平行線一般位置直線變換為投影面平行線投影面垂直面變換為投影面平行面投影面垂直面變換為投影面平行面 4.5.1 基本概念 一般位置直線變換為投影面平行線一般位置直線變換為投影面平行線投影面垂直面變換為投影面平行面投影面垂直面變換為投影面平行面 進行投影變換時，新投影面的位置必須符合下列兩個條件：進行投影變換時，新投影面的位置必

37、須符合下列兩個條件： 新投影面必須垂直于一個原有投影面，即新的投影體系仍是直角投影體系新投影面必須垂直于一個原有投影面，即新的投影體系仍是直角投影體系 新投影面必須和空間幾何元素處于便于解題的特殊位置新投影面必須和空間幾何元素處于便于解題的特殊位置 4.5.1 基本概念點的一次變換點的一次變換 a a a1 aX1 a1 a X1 X V H V H1 V H A a aX X1 H1 新的投影連線垂直于新的投影軸，新的投影連線垂直于新的投影軸，a1a O1X1 新投影到新投影軸的距離，等于被替換的舊投影新投影到新投影軸的距離，等于被替換的舊投影 到舊投影軸的距離，到舊投影軸的距離，a1aX1

38、=aaX 不變 舊 新 舊投影面舊投影面 新投影面新投影面 不變投影面不變投影面 【例例4-8】已知點已知點A的兩個投影的兩個投影a和和a ，舊投影軸，舊投影軸OX和新投影軸和新投影軸O1X1, 求點求點A的新投影的新投影a1 。 O1 O1 OX X H2 A H a V a a1 X1 ax1 ax X2 a2 V1 ax2 O O1 O2 4.5.1 基本概念點的二次變換點的二次變換 X V H X1 H V1 V1 H2 X2 a a a1 a2 舊舊 不變不變 新新 舊舊 不變不變 新新 舊投影面舊投影面 新投影面新投影面 不變投影面不變投影面 不變投影面不變投影面 新投影面新投影面

39、 舊投影面舊投影面 每次只能變換一個投影面，而且每次只能變換一個投影面，而且新投新投 影面影面和和不變投影面不變投影面構(gòu)成直角投影體系構(gòu)成直角投影體系 多次換面時，多次換面時，V和和H應(yīng)交替更換應(yīng)交替更換 O O1 O2 4.5.2 六個基本問題 1）一般位置直線變換成投影面平行線）一般位置直線變換成投影面平行線 b1 a1 a b a b X1 X 實長實長 一般位置線一般位置線 換換V面面 “正平線正平線 ”（實長實長，） 一一般位置線般位置線 換換H面面 “水平線水平線 ”（實長實長，） O O1 V H H V1 4.5.2 六個基本問題 2）投影面平行線變換成投影面垂直線）投影面平行

40、線變換成投影面垂直線 X V X1 a a Hb b A B a1(b1) a b a b a1(b1) X X1 水平線水平線“正垂線正垂線” 換換V面面 正平線正平線“鉛垂線鉛垂線” 換換H面面 H1 O O1 V H V H1 O O1 4.5.2 六個基本問題 3）一般位置直線變換成投影面垂直線）一般位置直線變換成投影面垂直線 a1 a2 b2 A H2 H a V a X1 X X2 V1 B b b1 b X V H H V1 V1 H2 X2 X1 b b b1 b2(a2) a a a1 O O O1 O2 O1 O2 4.5.2 六個基本問題 3）一般位置直線變換成投影面垂直

41、線）一般位置直線變換成投影面垂直線 X V H H V1 V1 H2 X2 X1 b b b1 b2(a2) a a a1 O O1 O2 一般位置線一般位置線“正平線正平線”（實長實長，） 換換V面面 換換H面面 “鉛垂線鉛垂線” 一般位置線一般位置線“水平線水平線”（實長實長，） 換換H面面 換換V面面 “正垂線正垂線” 2005-10-2揚州大學(xué) 孫懷林 X2 H2 V1 X1 H V1 a2b2 d2 c2 b1 a1 d1 c1 11 21 2 1 b a b d c a X V H d c 2 1 12 22 例例 求兩直線求兩直線AB與與CD的公垂線的公垂線 。 H2 4.5.2

42、 六個基本問題 4）一般位置平面變換成投影面垂直面）一般位置平面變換成投影面垂直面 a a b e b e c c X X1 b1 c1 一般位置面一般位置面 取水平線取水平線 “正垂面正垂面”（） 換換V面面 一般位置面一般位置面“鉛垂面鉛垂面”（） 取正平線取正平線 換換H面面 O V H a1 (e1 ) O1 H V1 2005-10-2揚州大學(xué) 孫懷林 a c b b a c e n k e n d d X1 V H1 b1 a1 c1 d1 k1 k e1 例例 已知已知E到平面到平面ABC的距離為的距離為N，求，求E點的正面投影點的正面投影e 。 4.5.2 六個基本問題 5）投

43、影面垂直面變換成投影面平行面）投影面垂直面變換成投影面平行面 b1 a1 X X1 a a b bc c c1 TSTS 正垂面正垂面“水平面水平面”（實形實形） 換換H面面 鉛垂面鉛垂面“正平面正平面”（實形實形） 換換V面面 O V H O1 H V1 4.5.2 六個基本問題 6）一般位置平面變換成投影面平行面）一般位置平面變換成投影面平行面 X a a1 a2 b b b1 c1 c2 b2 c c TSTS a 一般位置面一般位置面“正垂面正垂面”（） 取水平線取水平線 換換V面面 “水平面水平面”（實形實形） 換換H面面 X1 X2 O O1 V H H V1 O2 V1H2 一般

44、位置面一般位置面“鉛垂面鉛垂面”（） 取正平線取正平線 換換H面面 “正平面正平面”（實形實形） 換換V面面 2005-10-2揚州大學(xué) 孫懷林 例 已知點E在平面ABC上，距離A、B為15，求E點的投影。 a c X V H b b a c d d b1 a1 c1 d1 X1 H1 V a2 c2 b2 d2 X2 V2 H1 15 15 e e e1 e2 4.6 直線與平面、平面與平面的相對位置 .6. 平行問題 .6. 相交問題 .6. 垂直問題 4.6.1 平行問題直線和平面平行 若平面外一直線平行于平面內(nèi)任一直線，若平面外一直線平行于平面內(nèi)任一直線， 則該直線和平面互相平行。則該

45、直線和平面互相平行。 P C D A B 【例例4-9】已知已知ABC和和M點，作過點，作過M點的水平線點的水平線MN/ ABC。 n n m m a b c d a b c d X O 【例例4-10】判斷直線判斷直線MN與平面與平面ABCD是否平行。是否平行。 e f e f O n m X m a d b c c d a b n 2005-10-2揚州大學(xué) 孫懷林 例例3、過點、過點M作直線作直線MN平行于平行于V面和面和ABC。 解： 正平線 a b c m m a b c ABC為正為正 垂面，垂面，直線直線 MN的正面投影的正面投影 mn必定平行于必定平行于 abc。又。又MN 為

46、正平線，為正平線，mn 平行于平行于OX軸。軸。 n n 有唯一解 有多少 解？ 4.6.1 平行問題直線和平面平行 O b b X a p p a 當(dāng)平面的某一投當(dāng)平面的某一投 影具有積聚性時，則影具有積聚性時，則 該投影可反映平面和該投影可反映平面和 直線的平行關(guān)系。直線的平行關(guān)系。 4.6.1 平行問題平面和平面平行 若兩平面內(nèi)分別有一對若兩平面內(nèi)分別有一對相交相交直線直線對應(yīng)對應(yīng)平行，平行， 則兩平面互相平行。則兩平面互相平行。 B C A P Q E D F 【例例4-11】已知已知ABC和和M點點，過過M點作平面平行于點作平面平行于ABC 。 a b c a b c m m e e

47、 f f XO 【例例4-12】判斷判斷ABC和平面和平面DEFG是否平行。是否平行。 XO c b a a b c d g f f e d e m n n m g 2005-10-2揚州大學(xué) 孫懷林 例例 已知定平面由平行兩直線已知定平面由平行兩直線AB和和CD給定。試過點給定。試過點K作作 一平面平行于已知平面一平面平行于已知平面 。 e m n m n f e f s r s r d d c a a c b b k k XO 4.6.1 平行問題平面和平面平行 p q q p X O 當(dāng)兩平面均垂直當(dāng)兩平面均垂直 于某投影面時，它們于某投影面時，它們 有積聚性的投影可直有積聚性的投影可直

48、 接反映平行關(guān)系。接反映平行關(guān)系。 4.6.2 相交問題 P A B K A B C M N 交交 點點 直線和平面的直線和平面的共有點共有點 交交 線線 兩平面的兩平面的共有線共有線（兩個共有點）（兩個共有點） P 直線和平面相交直線和平面相交平面和平面相交平面和平面相交 4.6.2 相交問題直線和平面相交 （1 1）一般位置直線和特殊位置平面相交）一般位置直線和特殊位置平面相交 若平面處于特殊位置，其某若平面處于特殊位置，其某 一投影具有積聚性，則直線與平一投影具有積聚性，則直線與平 面的交點可利用直線與平面的積面的交點可利用直線與平面的積 聚性投影相交而直接求得。聚性投影相交而直接求得。

49、 A B K P H a b k a bp a b p k k 【例例4-13】一般位置直線一般位置直線AB與鉛垂面與鉛垂面P相交，求作交點相交，求作交點K。 直觀判別法 可見性判別可見性判別 OX 4.6.2 相交問題直線和平面相交 （2 2）投影面垂直線和一般位置平面相交）投影面垂直線和一般位置平面相交 直線與平面相交，當(dāng)直線直線與平面相交，當(dāng)直線 的投影有積聚性時，交點的一的投影有積聚性時，交點的一 個投影已知，另一投影用個投影已知，另一投影用面上面上 取點取點的方法求出。的方法求出。 K k d m(n) b A B H a C c D M N m(n) b a c d m a b c

50、 n d k k 1 2 1 2 ( ) e e 【例例4-14】鉛垂線鉛垂線MN與平面與平面ABCD相交，求作交點相交，求作交點K。 可見性判別可見性判別 重影點判別法 XO 4.6.2 相交問題直線和平面相交 （3 3）一般位置直線和一般位置平面相交）一般位置直線和一般位置平面相交 H M N P A C B E F K 輔助平面法輔助平面法 包含一般位置直線作一輔助平面，包含一般位置直線作一輔助平面， 通常作投影面的垂直面通常作投影面的垂直面 作輔助平面和一般位置平面的交線作輔助平面和一般位置平面的交線 求作此交線和一般位置直線的交點求作此交線和一般位置直線的交點 k 【例例4-15】一

51、般位置直線一般位置直線MN和一般位置平面和一般位置平面ABC相交，相交， 求交點求交點K，并判別可見性。，并判別可見性。 1 2 e f f e n m H M N P A B C E F K c a m n c a b b PH k 1 2 ( ) 3 3 4 ( ) 4 【解一解一】 【解二解二】換面法換面法 將將ABC變換成投影面垂直面變換成投影面垂直面 OX 4.6.2 相交問題平面和平面相交 （1 1）兩特殊位置平面相交）兩特殊位置平面相交 兩平面相交，且均垂直于某一投影面，其交線必垂直于兩平面相交，且均垂直于某一投影面，其交線必垂直于 該投影面。則兩平面的交線可利用平面的積聚性投影

52、求得。該投影面。則兩平面的交線可利用平面的積聚性投影求得。 【例例4-16】鉛垂面鉛垂面P和和Q相交，求作交線相交，求作交線KL，并判別可見性。，并判別可見性。 OX p p q q kl k l 4.6.2 相交問題平面和平面相交 （2 2）一般位置平面與特殊位置平面相交）一般位置平面與特殊位置平面相交 b A B P H a C c M N m n 兩平面的交線可利用特殊兩平面的交線可利用特殊 位置平面的積聚性投影求得。位置平面的積聚性投影求得。 【例例4-17】求一般位置平面求一般位置平面ABC與與鉛垂面鉛垂面Q的交線的交線KL。 a b q a b q c c k l k l OX 4.6.2 相交問題平面和平面相交 （3 3）兩一般位置平面相交）兩一般位置平面相交 可采用直線與平面求交點的方法求得。可采用直線與平面求交點的方法求得。 也可以用換面法。也可以用換面法。 2005-10-2揚州大學(xué) 孫懷林 1、用直線與、用直線與 平面求交點平面求交點 的方法求出的方法求出 兩平面的