第六章 空間幾何和失量代數(shù)1-2

1、本學期內(nèi)容本學期內(nèi)容 第六章第六章 空間解析幾何與矢量代數(shù)空間解析幾何與矢量代數(shù) 第七章第七章 多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學 第八、九章第八、九章 多元函數(shù)積分學多元函數(shù)積分學 第十章第十章 級數(shù)級數(shù) 第六章第六章 空間解析幾何和矢量代數(shù)空間解析幾何和矢量代數(shù) 0本章的地位本章的地位: : 學習多元函數(shù)微積分的基礎(chǔ)學習多元函數(shù)微積分的基礎(chǔ). . 0研究特點研究特點: : 通過代數(shù)運算解決幾何問題通過代數(shù)運算解決幾何問題. . 0采用的方法采用的方法: : 坐標法和矢量法坐標法和矢量法. . 給出了幾何問題的統(tǒng)一給出了幾何問題的統(tǒng)一 笛卡兒笛卡兒(1596 1650) 法國哲學家法國哲學家, 數(shù)

2、學家數(shù)學家, 物理學家物理學家, 他他 是解析幾何奠基人之一是解析幾何奠基人之一 . 1637年他發(fā)年他發(fā) 表的表的幾何學幾何學論文分析了幾何學與論文分析了幾何學與 代數(shù)學的優(yōu)缺點代數(shù)學的優(yōu)缺點, 進而提出了進而提出了 “ 另外另外 一種包含這兩門科學的優(yōu)點而避免其缺點的方法一種包含這兩門科學的優(yōu)點而避免其缺點的方法”, 從而提出了解析幾何學的主要思想和方法從而提出了解析幾何學的主要思想和方法, 恩格斯把它稱為數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點恩格斯把它稱為數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點. 把幾何問題化成代數(shù)問題把幾何問題化成代數(shù)問題 , 作圖法作圖法, 在平面解析幾何中，通過坐標把平面在平面解析幾何中，通過坐標把平面 上的上的

3、與與對應起來，把平面對應起來，把平面 上的上的形形和和對應起來，從而可以用代對應起來，從而可以用代 數(shù)方法研究幾何問題，空間解析幾何也是數(shù)方法研究幾何問題，空間解析幾何也是 按照類似的方法建立起來的。按照類似的方法建立起來的。 第六章第六章 空間解析幾何和矢量代數(shù)空間解析幾何和矢量代數(shù) 數(shù)量關(guān)系數(shù)量關(guān)系 坐標坐標, ,方程（組）方程（組） 第一部分第一部分 矢量代數(shù)矢量代數(shù) 第二部分第二部分 空間解析幾何空間解析幾何 在三維空間中在三維空間中: : 空間形式空間形式 點點, , 線線, , 面面 基本方法基本方法 坐標法坐標法; ; 矢量法矢量法 第六章第六章 空間解析幾何和矢量代數(shù)空間解析幾

4、何和矢量代數(shù) 6.1 6.1 空間直角坐標系空間直角坐標系 x橫軸橫軸 y縱軸 縱軸 z豎軸豎軸 定點定點o 空間直角坐標系空間直角坐標系 三個坐標軸的正方向三個坐標軸的正方向 符合符合. 一、空間直角坐標系與點的坐標一、空間直角坐標系與點的坐標 x yo z xoy面面 yoz面面 zox面面 空間直角坐標系共有八個卦限空間直角坐標系共有八個卦限 三個坐標平面將整個空間分成八個部分空間三個坐標平面將整個空間分成八個部分空間 空間的點空間的點有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx 11 特殊點的表示特殊點的表示: )0 , 0 , 0(O M x y z o P Q R A B C 坐標軸上的點坐標軸上

5、的點 ,P ,Q,R 坐標面上的點坐標面上的點 ,A,B,C 設設M M是空間的一點是空間的一點, , 過點過點M M做平行于坐標面的三個平面做平行于坐標面的三個平面, , 該三個平面與坐標軸的三個截距值該三個平面與坐標軸的三個截距值x,y,zx,y,z就是點就是點M M的坐標的坐標. . ）（z ,y,x ）（0 ,y,x ）（z ,y,0 ）（z ,x 0 ）（00,x ）（00,y, ）（z ,00 過點過點M1 , M2 分別作平行于坐標面的平面分別作平行于坐標面的平面, 形成一個形成一個 六面體六面體. 設設),( 1111 zyxM、),( 2222 zyxM為為空空間間兩兩點點

6、x y z o 1 M PN Q R 2 M ? 21 MMd 在在直直角角 21NM M 及及 直直 角角PNM 1 中中，使使用用勾勾股股定定 理理知知 , 2 2 22 1 2 NMPNPMd 二、空間兩點間的距離二、空間兩點間的距離 1 P 1 R 1 Q 2 P 2 R 2 Q , 121 xxPM , 12 yyPN , 122 zzNM 2 2 22 1 NMPNPMd . 2 12 2 12 2 1221 zzyyxxMM 空間兩點間距離公式空間兩點間距離公式 特殊地：若兩點分別為特殊地：若兩點分別為 ,),(zyxM)0 , 0 , 0(O OMd . 222 zyx x y

7、 z o 1 M PN Q R 2 M 解解 設設P點坐標為點坐標為),0 , 0 ,(x因為因為P在在x軸上，軸上， 1 PP 2 2 2 32 x ,11 2 x 2 PP 2 2 2 11 x, 2 2 x 1 PP,2 2 PP 11 2 x22 2 x , 1 x所求點為所求點為).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( 6.26.2 矢量代數(shù)矢量代數(shù) 矢量：矢量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. . 矢量表示：矢量表示： 以以 1 M為起點，為起點， 2 M為終點的有向線段為終點的有向線段. 1 M 2 M a 21M M 模長為模長為1 1的矢量的矢量. . 21

8、M M 00 a 零矢量：零矢量：模長為模長為0 0的矢量的矢量. .0 |a 21M M | | 矢量的模：矢量的模：矢量的大小矢量的大小. . 單位矢量：單位矢量： 一、矢量的概念一、矢量的概念 或或 或或 或或 自由矢量：自由矢量： 不考慮起點位置的矢量不考慮起點位置的矢量. . 相等矢量：相等矢量： 大小相等且方向相同的矢量大小相等且方向相同的矢量. . 反矢量：反矢量： 大小相等但方向相反的矢量大小相等但方向相反的矢量. . a 矢徑：矢徑： a b a a 空間直角坐標系中任一點空間直角坐標系中任一點 與原點與原點 構(gòu)成的矢量構(gòu)成的矢量. . OM M 1 加法：加法：cba a

9、b c （平行四邊形法則）（平行四邊形法則） （平行四邊形法則有時也稱為三角形法則）（平行四邊形法則有時也稱為三角形法則） 二、矢量的運算二、矢量的運算 1 a 2 a n a n aaa 21 特殊地：若特殊地：若a b a b c |bac 分為同向和反向分為同向和反向 b a c |bac 矢量的加法符合下列運算規(guī)律：矢量的加法符合下列運算規(guī)律： （1 1）交換律：）交換律：.abba （2 2）結(jié)合律：）結(jié)合律：cbacba )().(cba （3）. 0)( aa a b c ba cb cba )( )(cba 2 減法減法)( baba a b b b c ba bac )( b

10、a ba a b 例例2 2 試用矢量方法證明：對角線互相平分的試用矢量方法證明：對角線互相平分的 四邊形必是平行四邊形四邊形必是平行四邊形. 證證 AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC AD 與與 平行且相等平行且相等, BC 結(jié)論得證結(jié)論得證. A B C D M a b , 0)1( a 與與a 同同向向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 與與a 反反向向，|aa a a 2 a 2 1 3 矢量與數(shù)的乘法矢量與數(shù)的乘法 同同方方向向的的單單位位矢矢量量，表表示示與與非非零零矢矢量量設設aa 0 按照矢量與數(shù)量的乘積的規(guī)定，按照矢量與數(shù)量的乘積的規(guī)定， 0 |

11、aaa . | 0 a a a 上式表明：一個非零矢量除以它的模的結(jié)果是上式表明：一個非零矢量除以它的模的結(jié)果是 一個與原矢量同方向的一個與原矢量同方向的單位矢量單位矢量. 數(shù)量與矢量的乘積符合下列運算規(guī)律：數(shù)量與矢量的乘積符合下列運算規(guī)律： （1 1）結(jié)合律：）結(jié)合律：)()(aa a )( （2 2）分配律：）分配律：aaa )( baba )( .ab aba ，使使一一的的實實數(shù)數(shù)分分必必要要條條件件是是：存存在在唯唯 的的充充平平行行于于，那那么么矢矢量量設設矢矢量量定定理理0 兩個矢量的平行關(guān)系兩個矢量的平行關(guān)系 證證必要性必要性 0, ,)1 000 00 a b a a b a

12、a a b abbbb abba 因因此此則則同同向向與與如如果果 0,)( ,)2 000 00 a b aaa a b abbbb abba 因因此此則則反反向向與與如如果果 .ab aba ，使使一一的的實實數(shù)數(shù)分分必必要要條條件件是是：存存在在唯唯 的的充充平平行行于于，那那么么矢矢量量設設矢矢量量定定理理0 兩個矢量的平行關(guān)系兩個矢量的平行關(guān)系 .的唯一性的唯一性 ，設設ab ，又又設設ab 兩式相減，得兩式相減，得，0)( a ，即即0 a ，0 a ，故故0 . 即即 充分性充分性: ,)( , )(:),0(0 倍倍的的長長度度的的長長度度是是 反反向向同同向向與與由由定定義義

13、知知如如果果 ab ba a b 故故知知 例例3 3 試用矢量方法證明：空間四邊形相鄰各試用矢量方法證明：空間四邊形相鄰各 邊中點的連線構(gòu)成平行四邊形邊中點的連線構(gòu)成平行四邊形. 證證: 只要證只要證 HGEF 結(jié)論得證結(jié)論得證. ACDCADDGHDHG 2 1 2 1 2 1 ACBCABBFEBEF 2 1 2 1 2 1 HGEF A B C D E F G H 三、三、 矢量的坐標矢量的坐標 1 空間兩矢量的夾角的概念：空間兩矢量的夾角的概念： , 0 a, 0 b a b ),(ba ),(ab 類似地，可定義類似地，可定義矢量與一軸矢量與一軸或或空間兩軸空間兩軸的夾角的夾角.

14、特殊地，當兩個矢量中有一個零矢量時，規(guī)定特殊地，當兩個矢量中有一個零矢量時，規(guī)定 它們的夾角可在它們的夾角可在0與與 之間任意取值之間任意取值. 0() 1 矢量的投影矢量的投影 空間一點在軸上的投影空間一點在軸上的投影 l A A 2 空間點與矢量在軸上的投影：空間點與矢量在軸上的投影： 空間一矢量在軸上的投影空間一矢量在軸上的投影 l A A B B 2 空間點與矢量在軸上的投影：空間點與矢量在軸上的投影： ABjuPr .BA 向量向量AB在軸在軸u上的投影記為上的投影記為 關(guān)于向量的關(guān)于向量的投影定理投影定理 ABjuPr cos| AB 證證 u A B A B B ABjuPrAB

15、j u Pr cos| AB u 定理定理1 1 定理定理1 1的說明：的說明： 投影為正；投影為正； 投影為負；投影為負； 投影為零；投影為零； u a b c (4) 相等矢量在同一軸上投影相等；相等矢量在同一軸上投影相等； 0)1(, 2 2 )2(, )3(, 2 關(guān)于矢量的關(guān)于矢量的投影定理投影定理 .ajPrajPr)aa(jPr uuu2121 A A B B C C （可推廣到有限多個）（可推廣到有限多個） u 1 a 2 a 定理定理2 2 在空間直角坐標系下在空間直角坐標系下, 設點設點 M , ),(zyxM則則 沿三個坐標軸方向的沿三個坐標軸方向的分矢量分矢量. kzj

16、yixr ),(zyx x o y z M N B C i j k A ,z ,y,xk,j ,i軸軸上上的的單單位位矢矢量量分分別別表表示示以以 的坐標為的坐標為 此式稱為矢量 r 的坐標分解式坐標分解式 , rkz ,jy,ix 稱為矢量稱為矢量 r 任意矢量任意矢量 r 可用矢徑可用矢徑 OM 表示表示. NMONOMOCOBOA , ixOA , jyOB kzOC 2 矢量的分解與矢量的坐矢量的分解與矢量的坐 標標 矢量的矢量的坐標分解式坐標分解式： 在三個坐標軸上的在三個坐標軸上的分矢量分矢量： ,kz, j y, i x 矢量的矢量的坐標表達式坐標表達式： )z, y,x(r 矢

17、量的矢量的坐標坐標：, z, y,x )z ,y,x( kzjyixr 矢量的矢量的投影投影：, z, y,x M1 M2 o x y z .,: 2121 如如圖圖作作三三個個向向量量解解MMOMOM .MM),z ,y,x(M),z ,y,x(M的坐標表達式的坐標表達式求求設已知設已知例例 2122221111 4 .),zz ,yy,xx(OMOMMM ),z ,y,x(OM),z ,y,x(OM 1212121221 22221111 設 ),( zyx aaaa , ),( zyx bbbb 則 ba ),( zzyyxx bababa a ),( zyx aaa ab ,0 時當

18、a ab xx ab yy ab zz ab x x a b y y a b z z a b 平行矢量對應坐標成比例平行矢量對應坐標成比例: ，為實數(shù) 矢量的加減法、矢量與數(shù)的乘法運算的坐標表達式矢量的加減法、矢量與數(shù)的乘法運算的坐標表達式 .B,AB AB),(a,A 點點的的坐坐標標求求使使 的的方方向向取取線線段段沿沿矢矢量量從從點點例例 34 ,21987125 ）（則則設點設點解解712 z ,y,xAB),z ,y,x(B .17,17,18, 2 ,171298,34, 222 Bk aakABakAB 而而 3 矢量的模與方向余弦的坐標表示式矢量的模與方向余弦的坐標表示式 22

19、2 zyx ),(zyxr 設則有 OMr 222 OROQOP x o y z M N Q R P 由勾股定理得 ),( 111 zyxA因 A B 得兩點間的距離公式得兩點間的距離公式: ),( 121212 zzyyxx 2 12 2 12 2 12 )()()(zzyyxx 對兩點與, ),( 222 zyxB , rOM 作 OMr OROQOP BABA OAOBBA 矢量模長的坐標表示式矢量模長的坐標表示式 o y z x ,)z , y,x(r0給定 r 方向角的余弦稱為其方向角的余弦稱為其方向余弦方向余弦. . 非零矢量與三條坐標軸的正向的夾角非零矢量與三條坐標軸的正向的夾角

20、 , , 稱為稱為 方向角方向角. . 3 矢量的模與方向余弦的坐標表示式矢量的模與方向余弦的坐標表示式 ,0 ,0 .0 o y z x r cos r y 222 zyx y cos r z 222 zyx z 1coscoscos 222 方向余弦的性質(zhì)方向余弦的性質(zhì): :r 的單位矢量的單位矢量矢量矢量 r r r )cos,cos,(cos 方向余弦通常用來表示矢量的方向方向余弦通常用來表示矢量的方向. . 矢量方向余弦的坐標表示式矢量方向余弦的坐標表示式 cos r x 222 zyx x M Q P R 解解所求矢量有兩個，一個與所求矢量有兩個，一個與 同向，一個反向同向，一個反向 a 222 )6(76| a ,11 |a a 0 a, 11 6 11 7 11 6 kji 或或 0 a |a a . 11 6 11 7 11 6 kji 例例7. 已知兩點)2,2,2( 1 M和 , )0,3, 1( 2 M 的模 、方向余弦和方向角 . 解解: ,21,23)