第五講MATLAB的符號(hào)計(jì)算功能

1、MATLABMATLAB第五講第五講 MATLABMATLAB的符號(hào)計(jì)算功能的符號(hào)計(jì)算功能 一、符號(hào)表達(dá)式和符號(hào)矩陣的創(chuàng)建一、符號(hào)表達(dá)式和符號(hào)矩陣的創(chuàng)建 1、 符號(hào)變量的賦值符號(hào)變量的賦值 2、符號(hào)常量、符號(hào)常量 3、符號(hào)矩陣的創(chuàng)建、符號(hào)矩陣的創(chuàng)建 4、符號(hào)方程的創(chuàng)建、符號(hào)方程的創(chuàng)建 5、將數(shù)字矩陣轉(zhuǎn)化為符號(hào)矩陣、將數(shù)字矩陣轉(zhuǎn)化為符號(hào)矩陣 6、符號(hào)表達(dá)式的升冪、符號(hào)表達(dá)式的升冪 7、符號(hào)表達(dá)式的合并、符號(hào)表達(dá)式的合并 8、變量代換、變量代換 二、符號(hào)函數(shù)的微積分二、符號(hào)函數(shù)的微積分 1、求導(dǎo)數(shù)、求導(dǎo)數(shù) 2、求積分、求積分 3、 求泰勒級(jí)數(shù)求泰勒級(jí)數(shù)taylortool(f) 三、求符號(hào)方程的精

2、確解和近似解三、求符號(hào)方程的精確解和近似解 1、求解單個(gè)符號(hào)方程、求解單個(gè)符號(hào)方程 2 、對(duì)代數(shù)方程組求解、對(duì)代數(shù)方程組求解 四、符號(hào)矩陣的基本運(yùn)算四、符號(hào)矩陣的基本運(yùn)算 1、加、減、乘、加、減、乘 2、求逆運(yùn)算、求逆運(yùn)算 3、求符號(hào)矩陣的除法、求符號(hào)矩陣的除法 4、求矩陣的特征值和特征向量、求矩陣的特征值和特征向量 5、求符號(hào)矩陣的行列式、求符號(hào)矩陣的行列式 6、求符號(hào)矩陣的約當(dāng)矩陣、求符號(hào)矩陣的約當(dāng)矩陣 7、求符號(hào)矩陣的奇異值、求符號(hào)矩陣的奇異值 五、符號(hào)函數(shù)畫圖五、符號(hào)函數(shù)畫圖 六、求符號(hào)函數(shù)的零點(diǎn)六、求符號(hào)函數(shù)的零點(diǎn) 七、求微分方程的解七、求微分方程的解 一、入門 Symbolic工具

3、包 MATLAB有一個(gè)符號(hào)計(jì)算工具包叫作 Symbolic Math Toolbox 其中有60多個(gè)專用函數(shù)。包括微積分、線性代數(shù)、 方程求解、多項(xiàng)式的簡(jiǎn)約與展開、特殊數(shù)學(xué)函 數(shù)等。 sym的指令在C:MATLAB6p1toolboxsymbolic， 如果在搜索路境中沒(méi)有設(shè)定則要添加。 符號(hào)表達(dá)式和符號(hào)矩陣的創(chuàng)建符號(hào)表達(dá)式和符號(hào)矩陣的創(chuàng)建 符號(hào)表達(dá)式是數(shù)字、函數(shù)、變量的MATLAB字 符串，或字符串?dāng)?shù)組。 符號(hào)運(yùn)算是指使用已知的規(guī)則和給定的符號(hào)恆 等式求解符號(hào)方程。 生成符號(hào)表達(dá)式用引號(hào)或sym函數(shù) 例 M=a,b;c,d ? Undefined function or variable a

4、. M=sym(a,b;c,d) M=sym(a,b;c,d) M = a, b c, d 1、符號(hào)變量的賦值、符號(hào)變量的賦值 f1=sin(x)2；f2=exp(-x2/2)；f3=1/(1+x2)； f1 = sin(x)2 f2 = exp(-x2/2) f3 = 1/(1+x2) 符號(hào)常量符號(hào)常量 沒(méi)有變量的符號(hào)表達(dá)式叫作符號(hào)常量 a2=3 a2 = 3 a2+1 ans = 52 a2是一個(gè)符號(hào)常量，它是用ASCII碼來(lái)存儲(chǔ)的，3的 ASCII碼是51因此a2+1得到的是52而不是4 （1）sym命令命令 M1=sym(sin(x),cos(x);-cos(x),sin(x) M1

5、= sin(x), cos(x) -cos(x), sin(x) （2）直接輸入法直接輸入法 M2=1+x+x2,sin(x); cos(x), x2 M2 = 1+x+x2,sin(x) cos(x), x2 2、符號(hào)矩陣的創(chuàng)建、符號(hào)矩陣的創(chuàng)建 3、符號(hào)方程的創(chuàng)建、符號(hào)方程的創(chuàng)建 EQF=a*x2+b*x+c=0 EQF = a*x2+b*x+c=0 M=2/3,sqrt(3)/3,0.333;2.5,1/0.7,log(3) M = 0.6667 0.5774 0.3330 2.5000 1.4286 1.0986 fuhaoM=sym(M) fuhaoM = 2/3, sqrt(1/3)

6、, 333/1000 5/2, 10/7 , 4947709893870346*2(-52) 4、將數(shù)字矩陣轉(zhuǎn)化為符號(hào)矩陣、將數(shù)字矩陣轉(zhuǎn)化為符號(hào)矩陣 5、isstr( )用來(lái)檢測(cè)變量是否符號(hào)變量 例 a2=3 a2 = 3 isstr(a2) ans = 1 a3=3 a3 = 3 isstr(a3) ans = 0 用引號(hào)定義的a2是符號(hào) 變量 用普通的賦值定義的變量 不是符號(hào)變量 6、符號(hào)表達(dá)式的升冪、符號(hào)表達(dá)式的升冪 f=2*x2+3*x-5; sympow(f,3) ans = (2*x2+3*x-5)3 7、符號(hào)表達(dá)式的合并、符號(hào)表達(dá)式的合并 f1=sin(x); f2=sin(2*

7、x); f3=symop(f1,/,f2,+,3) f3 = sin(x)/sin(2*x)+3 8、變量代換、變量代換 f1=1/(1+x2); f2=sin(x); subs(f1,s,x) ans = 1/(1+(s)2) subs(f2,alpha,x) ans = sin(alpha) 例例1計(jì)算符號(hào)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算符號(hào)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) f=sin(x)2 %定義函數(shù)的符號(hào)表達(dá)式定義函數(shù)的符號(hào)表達(dá)式 f = sin(x)2 diff(f) ans = 2*sin(x)*cos(x) diff(f,2) ans = 2*cos(x)2-2*sin(x)2 二、符號(hào)函數(shù)的微積分 1、求導(dǎo) dif

8、f(f) f=sin(x)2 ； int(f,x) ans = -1/2*sin(x)*cos(x)+1/2*x int(1/(1+x2) ans = atan(x) 2、符號(hào)函數(shù)求積分 inf(f) 例例 f=sin(x)2; taylortool(f) 3、求泰勒級(jí)數(shù)taylortool(f) 在框中可以交互作用，給出所需的階 數(shù)，立即返回表達(dá)式和圖形。 幾個(gè)常用命令幾個(gè)常用命令 Solve(方程方程）%求精確解求精確解 vpa(S,n) %求求n位有效數(shù)字的近似解位有效數(shù)字的近似解 numeric(S) %將不含自由自變量的近似解轉(zhuǎn)將不含自由自變量的近似解轉(zhuǎn) 化為數(shù)值解化為數(shù)值解 dig

9、its(n) % 設(shè)定近似解的有效位數(shù)設(shè)定近似解的有效位數(shù) subs(S,Dsym,Fsym) %將數(shù)值將數(shù)值Fsym帶入自變帶入自變 量量Dsym 三、求符號(hào)方程的精確解和近似解三、求符號(hào)方程的精確解和近似解 R1=solve(x2-x-1=0) R1 = 1/2*5(1/2)+1/2 1/2-1/2*5(1/2) RV=vpa(R1) RV = 1.6180339887498948482045868343657 -.61803398874989484820458683436570 RV4=vpa(R1,4) RV4 = 1.618 -.6180 例例 對(duì)符號(hào)方程求解對(duì)符號(hào)方程求解 RV30

10、=vpa(R1,16) RV30 = 1.618033988749895 -.6180339887498950 numeric(R1) ans = 1.6180 -0.6180 1、求解單個(gè)符號(hào)方程、求解單個(gè)符號(hào)方程 solve(a*x2+b*x+c=0)%默認(rèn)對(duì)缺省變量默認(rèn)對(duì)缺省變量x求求 解解 ans = 1/2/a*(-b+(b2-4*a*c)(1/2) 1/2/a*(-b-(b2-4*a*c)(1/2) solve(a*x2+b*x+c,b)%對(duì)對(duì)b求解求解 ans = -(a*x2+c)/x 2、對(duì)代數(shù)方程組求解、對(duì)代數(shù)方程組求解 equ1=d+(n+p)/2=q; equ2=p=n

11、+d+q-10; equ3=q+d=p+n/4; equ4=q+p=n+8*d-1; r1,r2,r3,r3=solve(equ1,equ2,equ3,equ4,p,n,d,q) r1 = 3 r2 =8 r3 =15 r3 =15 1、 加、減、乘加、減、乘 symadd(A,B) %符號(hào)加符號(hào)加 symsub(A,B） %符號(hào)減符號(hào)減 symmul(A,B) %符號(hào)乘符號(hào)乘 四、符號(hào)矩陣的基本運(yùn)算 例例 format compact A=sym(a11,a12;a21,a22) B=sym(b11,b12;b21,b22) C=symadd(A,B) C = a11+b11, a12+b1

12、2 a21+b21, a22+b22 D=symsub(A,B) D = a11-b11, a12-b12 a21-b21, a22-b22 E=symmul(A,B) E = a11*b11+a12*b21, a11*b12+a12*b22 a21*b11+a22*b21, a21*b12+a22*b22 例例 求二階符號(hào)矩陣的逆求二階符號(hào)矩陣的逆 M=sym(a,b;c,d) M = a, b c, d inv(M) ans = d/(a*d-b*c), -b/(a*d-b*c) -c/(a*d-b*c), a/(a*d-b*c) 2、求逆運(yùn)算、求逆運(yùn)算 3、求符號(hào)矩陣的除法、求符號(hào)矩陣的

13、除法 symdiv(A,B) ans = -1/(-b11*b22+b12*b21)*(b22*a11-b21*a12), (- b11*a12+a11*b12)/(-b11*b22+b12*b21) -1/(-b11*b22+b12*b21)*(-b21*a22+b22*a21), (- b11*a22+a21*b12)/(-b11*b22+b12*b21) 4、求矩陣的特征值和特征向量 V,a=eigensys(A) V = -(1/2*a22-1/2*a11-1/2*(a222 -2*a11*a22+a112+4*a12*a21)(1/2)/a21, -(1/2*a22-1/2*a11+

14、1/2*(a222- 2*a11*a22+a112+4*a12*a21)(1/2)/a21 1, 1 a = 1/2*a11+1/2*a22+1/2*(a112-2*a11*a22+a222+4*a12*a21)(1/2), 0 0,1/2*a11+1/2*a22-1/2*(a112-2*a11*a22+a222+4*a12*a21)(1/2) 5、求符號(hào)矩陣的行列式 例例 A=sym(a11,a12;a21,a22)%定義符號(hào)矩陣定義符號(hào)矩陣 A = a11, a12 a21, a22 detA=determ(A) detA = a11*a22-a12*a21 f=sym(1/2,1/4;1

15、/4,1/2) f = 1/2, 1/4 1/4, 1/2 V,J=jordan(f) V = 1/2, 1/2 -1/2, 1/2 J = 1/4, 0 0, 3/4 6、求符號(hào)矩陣的約當(dāng)矩陣 inv(V)AV 7、求符號(hào)矩陣的奇異值 M=sym(magic(3) %構(gòu)造3階魔方陣 M = 8, 1, 6 3, 5, 7 4, 9, 2 singvals(M) %求奇異值 ans = 15 2*3(1/2) 4*3(1/2) fplot(function,a,b) %畫出函數(shù)f(x)在 a,b上的圖形 例 畫出函數(shù)在0，8上的圖形 f=2*exp(-x)*sin(x); %定義函數(shù) fplo

16、t(f,0,8) 五、符號(hào)函數(shù)畫圖 fzero(fun,a,b, ,options) 在求零點(diǎn)之前先要確定一個(gè)根的隔離區(qū)間，也在求零點(diǎn)之前先要確定一個(gè)根的隔離區(qū)間，也 就是說(shuō)，就是說(shuō)，a,b區(qū)間內(nèi)有且僅有函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，區(qū)間內(nèi)有且僅有函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)， 這里采用的是對(duì)分法求零點(diǎn)。這里采用的是對(duì)分法求零點(diǎn)。 fzero(fun,x0) %用牛頓法求零點(diǎn)。用牛頓法求零點(diǎn)。 例例 求函數(shù)的零點(diǎn)求函數(shù)的零點(diǎn) fx=x3-x+1; a=fzero(fx,-1) 六、求符號(hào)函數(shù)的零點(diǎn) 七、求微分方程的解 dsolve(Dy=1+y2) %求通解 ans = tan(t+C1) dsolve(Dy=1+y2,y(0)=1)%求特解 ans = tan(t+1/4*pi) 求二階微分方程的解 y=dsolve(D2y-2*Dy-3*y=0) y = C1*exp(3*t)+C2*exp(-t) y=dsolve(D2y-2*Dy-3*y=0,y(0)=0,y(1)=1) y = 1/(exp(3)-exp(-1)*exp(3*t)-1/(exp(3)-exp(-1)*exp(-t) y=simple(y) %化簡(jiǎn)表達(dá)式化簡(jiǎn)表達(dá)式 y = (exp(3*t)-exp(-t)/(exp(3)-exp(-1) ezplot(y,-6,2) 畫出二階微分