液體的平衡微分方程式

1、 水靜力學(xué)水靜力學(xué) 2.1 2.1 靜水壓強(qiáng)及其特性靜水壓強(qiáng)及其特性 2.2 2.2 液體的平衡微分方程式液體的平衡微分方程式 2.3 2.3 重力作用下的液體平衡重力作用下的液體平衡 2.4 2.4 壓強(qiáng)的度量與量測(cè)壓強(qiáng)的度量與量測(cè) 2.5 2.5 作用于平面上的靜水總壓力作用于平面上的靜水總壓力 2.6 2.6 作用于曲面上的靜水總壓力作用于曲面上的靜水總壓力 2.2.1 2.2.1 液體平衡微分方程液體平衡微分方程 2.2 2.2 液體的平衡微分方程液體的平衡微分方程 2.2.2 2.2.2 質(zhì)量力性質(zhì)質(zhì)量力性質(zhì) 2.2.3 2.2.3 等壓面等壓面 2.2.1 2.2.1 液體平衡微分

2、方程液體平衡微分方程 2.2 2.2 液體的平衡方程液體的平衡方程 2.2.2 2.2.2 質(zhì)量力性質(zhì)質(zhì)量力性質(zhì) 液體處于平衡狀態(tài)時(shí)，作用于微元液體上液體處于平衡狀態(tài)時(shí)，作用于微元液體上 的各種力與空間坐標(biāo)之間的微分關(guān)系。的各種力與空間坐標(biāo)之間的微分關(guān)系。 x x0 x0+ x0- O 0 2 00000 2 1 xx.)xx)(x( f)xx)(x( f)x( f)x( f ! 泰勒展開(kāi)式泰勒展開(kāi)式 圖圖2.2.1 泰勒展開(kāi)式示意泰勒展開(kāi)式示意 在平衡液體中取一塊平在平衡液體中取一塊平 行六面微元體，其他形狀行六面微元體，其他形狀 也可以，但六面體方便。也可以，但六面體方便。 圖圖2.2.2

3、 平衡液體示意平衡液體示意 在平衡液體中取一在平衡液體中取一 塊平行六面微元體。塊平行六面微元體。 圖圖2.2.3 平衡液體中的微元體平衡液體中的微元體 x yO A dy dx dz 2 dy y p p 2 dy y p p z 平衡液體中取一塊平行六面微元體，并放大平衡液體中取一塊平行六面微元體，并放大 圖圖2.2.4 平衡液體中的微元體放大示意平衡液體中的微元體放大示意 該六面體在質(zhì)量力和表面力的作用下處于平衡。該六面體在質(zhì)量力和表面力的作用下處于平衡。 設(shè)形心點(diǎn)坐標(biāo)：設(shè)形心點(diǎn)坐標(biāo)： A = A(x,y,z) ，邊長(zhǎng)：，邊長(zhǎng)：dx,dy,dz x yO A dy dx dz 2 dy

4、y p p 2 dy y p p z 圖圖2.2.4 平衡液體中的微元體放大示意平衡液體中的微元體放大示意 表面力表面力 設(shè)形心點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)形心點(diǎn)坐標(biāo)為 A=A(x,y,z) ，邊長(zhǎng)為，邊長(zhǎng)為dx,dy,dz x yO A dy dx dz 2 dy y p p 2 dy y p p z ), 2 dy ,zyx （ ) 2 d y y p p （zxdd ), 2 dy ,zyx （) 2 dy y p p （ zxdd 圖圖2.2.4 平衡液體中的微元體放大示意平衡液體中的微元體放大示意 x yO A dy dx dz 2 dy y p p 2 dy y p p z 質(zhì)量力質(zhì)量力 zyxZz

5、 zyxYy zyxXx ddd: ddd: ddd: X Y Z 圖圖2.2.4 平衡液體中的微元體放大示意平衡液體中的微元體放大示意 x yO A dy dx dz 2 dy y p p 2 dy y p p z 考慮考慮y方向微元體的受力平衡，則方向微元體的受力平衡，則 0 22 0 22 0 22 zyxZyx z z p pyx z z p p zyxYzx y y p pzx y y p p zyxZzy x x p pzy x x p p ddddd) d dd) d ddddd) d dd) d ddddd) d dd) d （ （ （ 圖圖2.2.4 平衡液體中的微元體放大示

6、意平衡液體中的微元體放大示意 x yO A dy dx dz 2 dy y p p 2 dy y p p z 0 22 0 22 0 22 zyxZyx z z p pyx z z p p zyxYzx y y p pzx y y p p zyxXzy x x p pzy x x p p ddddd) d dd) d ddddd) d dd) d ddddd) d dd) d （ （ （ 右側(cè)面右側(cè)面 前側(cè)面前側(cè)面 上側(cè)面上側(cè)面 左側(cè)面左側(cè)面 后側(cè)面后側(cè)面 底側(cè)面底側(cè)面 圖圖2.2.4 平衡液體中的微元體放大示意平衡液體中的微元體放大示意 以以dxdydz 除上式、并化簡(jiǎn)，則除上式、并化簡(jiǎn)，則

7、 0 22 0 22 0 22 zyxZyx z z p pyx z z p p zyxYzx y y p pzx y y p p zyxXzy x x p pzy x x p p ddddd) d dd) d ddddd) d dd) d ddddd) d dd) d （ （ （ Z z p Y y p X x p 瑞士學(xué)者（瑞士學(xué)者（Euler） 1775年首先提出的年首先提出的 l 液體平衡微分方程形式液體平衡微分方程形式 1 1 物理意義物理意義 靜水壓強(qiáng)沿某方向的變化率靜水壓強(qiáng)沿某方向的變化率 與該方向與該方向單位體積單位體積的質(zhì)量力相等的質(zhì)量力相等 Z z p Y y p X x

8、p 歐拉平衡微分方程歐拉平衡微分方程 l 液體平衡微分方程形式液體平衡微分方程形式 2 2 ）（zZyYxXz z p y y p x x p pddddddd Z z p Y y p X x p +) dx dy dz 2.2.1 2.2.1 液體平衡微分方程液體平衡微分方程 2.2 2.2 液體的平衡方程液體的平衡方程 2.2.2 2.2.2 質(zhì)量力性質(zhì)質(zhì)量力性質(zhì) 2.2.3 2.2.3 等壓面等壓面 z U Z y U Y x U X 若存在一個(gè)與坐標(biāo)有關(guān)若存在一個(gè)與坐標(biāo)有關(guān) 的函數(shù)的函數(shù)U(x,y,z)，使質(zhì)量力，使質(zhì)量力 的分量等于這個(gè)函數(shù)的偏的分量等于這個(gè)函數(shù)的偏 導(dǎo)數(shù)，即導(dǎo)數(shù)，即

9、 ）（zZyYxXz z p y y p x x p pddddddd 則則U(x,y,z)稱為力勢(shì)函數(shù)，稱為力勢(shì)函數(shù)，滿足上式關(guān)系的力稱滿足上式關(guān)系的力稱 為為有勢(shì)力，如重力和慣性力都是有勢(shì)力。有勢(shì)力，如重力和慣性力都是有勢(shì)力。 ddpU 積分上式，則積分上式，則 pUC d ( , , )dddddd UUU U x y zxyzX x Y yZ z xyz ddddpX xY yZ zdU則（）= 等壓面等壓面 液體中壓強(qiáng)相等的點(diǎn)連成的面（液體中壓強(qiáng)相等的點(diǎn)連成的面（曲面，或平面曲面，或平面） 2.2.3 2.2.3 等壓面等壓面 l 平衡液體中等壓面就是等勢(shì)面平衡液體中等壓面就是等勢(shì)面

10、 0d0dconstantUpp 對(duì)于不可壓縮液體，對(duì)于不可壓縮液體，= 常數(shù)，故在常數(shù)，故在 等壓面上等壓面上 p = constant，即，即 dU =0 , U = constant 。 l 等壓面和質(zhì)量力正交等壓面和質(zhì)量力正交 dddd= ddd =0 pX xY yZ z X xY yZ z （）0 例例 1 液體絕對(duì)靜止問(wèn)題液體絕對(duì)靜止問(wèn)題 在靜止?fàn)顟B(tài)下，作用于液體上的質(zhì)量力在靜止?fàn)顟B(tài)下，作用于液體上的質(zhì)量力 只有重力，那么就局部范圍，等壓面一定是只有重力，那么就局部范圍，等壓面一定是 一個(gè)水平面；就大范圍講，等壓面是一個(gè)處一個(gè)水平面；就大范圍講，等壓面是一個(gè)處 處與地心正交的曲面。處與地心正交的曲面。 z 例例2 等加速運(yùn)動(dòng)容器中液體的相對(duì)平衡等加速運(yùn)動(dòng)容