1-2數列的極限00235ppt課件

1、6.(2)復合函數復合函數 1 ),(Duufy ,),(Dxxgu 1 )(DDg且 那那 么么 ( ),yf g xx D 設有函數鏈設有函數鏈 稱為由稱為由, 確定的復合函數確定的復合函數 , 復合映射的特例復合映射的特例 u 稱為中間變量稱為中間變量. 注意注意: 假設假設 1 )(DDg則則. 例如例如, 函數鏈函數鏈 :,arcsinuy ,12 2 xu 函數函數 ,12arcsin 2 xyDx,1 2 3 1, 2 3 但函數鏈但函數鏈 2 2,arcsinxuuy不能構成復合函數不能構成復合函數 . 可定義復合可定義復合 或 1 ()g DD 是此函數定義域的子集是此函數定

2、義域的子集 三、函數三、函數 兩個以上函數也可構成復合函數兩個以上函數也可構成復合函數. 例如例如, 0,uuy 可定義復合函數可定義復合函數: , 2 cot x y ,) 12( ,2(kkxZn 0 2 cot, 22 x k x k時 ),2, 1, 0(,cotkkvvu ),(, 2 x x v 函數函數 32 sin (1)yx可看作可看作 3, yusin ,uv 1 2 ,vw 2 1wx的復合函數的復合函數 . 初等函數初等函數 (1) 基本初等函數基本初等函數 冪函數、冪函數、 指數函數、指數函數、 對數函數、對數函數、 三角函數、三角函數、 反三角函數反三角函數 (2)

3、 初等函數初等函數 由常數及基本初等函數由常數及基本初等函數 否則稱為非初等函數否則稱為非初等函數 . 例如例如 , , 2 xy y 0,xx 0,xx 并可用一個式子表示的函數并可用一個式子表示的函數 , 經過有限次四則運算和復合步經過有限次四則運算和復合步 驟所構成驟所構成 ,稱為初等函數稱為初等函數 . 可表為可表為故為初等函數故為初等函數. 又如又如, 2 )( xx ee xfy 奇函數奇函數 xsh 雙曲正弦雙曲正弦 記記 x x y ch sh xx xx ee ee 奇函數奇函數xth雙曲正切雙曲正切 記記 2 )( xx ee xfy xch 偶函數偶函數雙曲余弦雙曲余弦

4、(關于雙曲函數的其他內容請自學關于雙曲函數的其他內容請自學) 記記 均為初等函數均為初等函數. 而符號函數而符號函數,取整函數取整函數,狄利克雷函數都不是初等函數狄利克雷函數都不是初等函數 是初等函數，是初等函數， 1 ( ) 21 xx f x xx 2 ( )1(1) .f xx 一般來說分段函數不是初等函數一般來說分段函數不是初等函數 這是因為這是因為f(x)可表示為可表示為 但但 例例7. 求求 y的反函數及其定義域的反函數及其定義域. 解解:01x當當時時, 2 xy 那那 么么 1,0(,yyx 10 x 當當 時時, xyln 那么那么0,(,yex y 21 x 當當 時時,

5、1 2 x ey 那那 么么 2,2(,ln1 2 eyx y 反函數反函數y1,0(,xx 0,(,xe x 2,2(,ln1 2 ex x 定義域為定義域為 2,2(1,(e 21,2 10 ,ln 01, 1 2 xe xx xx x , 1,0( , 0,( , 2,2(e 1 . 設函數設函數 ),(, )(xxfy的圖形關于的圖形關于 ,ax 均對稱均對稱, 求證：求證：)(xfy 是周期函數是周期函數.()xb ab 證證: 由由 )(xaf )(xf的對稱性知的對稱性知 ),(xaf )(xbf)(xbf 于是于是)(xf)(axaf )(axaf)2(xaf 2fbx 22f

6、bax() )(2abxf 故故)(xf是周期函數是周期函數 , 周期為周期為)(2abT 備用題備用題 1,1, ( ) 0,1, xx f x x ( ).f f x ( )1, ( ) 0, f x f f x 知知，求，求2. 解解: 2,0, 0,01, 1,1. xx x x ( )1, 0, f x ( )1, ( )1. f x f x 10, 01. xx x 或 且且 0)0(f,)()( 1 x c x fbxfa ,ba 證明證明)(xf 證證: 令令, 1 x t 那那 么么 , 1 t x t ctfbfa t )()(1 由由 x c x fbxfa)()( 1

7、xcxfbfa x )()( 1 消去消去),(1 x f得得 )0()( 22 x x a xb ab c xf ),()(xfxf顯然, 0)0(f又 )(xf故 0 x時時 其中其中 a, b, c 為常數為常數, 且且為奇函數為奇函數 . 為奇函數為奇函數 . 3. 設設 第一章 二二 、收斂數列的性質、收斂數列的性質 一、數列極限的定義一、數列極限的定義 1.2 數列的極限 數學語言描述數學語言描述: r 一一 、數列極限的定義、數列極限的定義 引例引例. 設有半徑為設有半徑為 r 的圓的圓 , n A逼近圓面積逼近圓面積 S . n如下圖如下圖 , 可知可知 n An 1 2 (2

8、 sin)( cos)rr nn ),5,4,3(n 當當 n 無限增大時無限增大時, n A無限逼近無限逼近 S (劉徽割圓術劉徽割圓術) , ,0 ,N + + N N:. n AS 用其內接正用其內接正 n 邊形的面積邊形的面積 ,nN 2 sincosnr nn 2 sr 定義定義(數列極限的分析定義數列極限的分析定義 , “-N定義定義) 若數列若數列 n x及常數及常數 a 有下列關系有下列關系 : ,0 ,NN 記作記作 此時也稱數列收斂此時也稱數列收斂 , 否則稱數列發(fā)散否則稱數列發(fā)散 . 幾何解釋幾何解釋 : a aa )( axa n )(Nn 即即),(axn )(Nn

9、axn n lim或或)(naxn 1N x 2N x : n xa 則稱該數列則稱該數列 n x的極限為的極限為 a , ,nN 例如例如, , 1 , 4 3 , 3 2 , 2 1 n n 1 n n x n )(1n , ) 1( , 4 3 , 3 4 , 2 1 ,2 1 n n n n n x n n 1 ) 1( )(1n ,2,8,4,2 n 2n n x )(n ,) 1( ,1,1,1 1 n 1 ) 1( n n x 趨勢不定趨勢不定 收收 斂斂 發(fā)發(fā) 散散 例例1. 知知 , ) 1( n n x n n 證明數列證明數列 n x的極限為的極限為1. 證證: 1 n

10、x 1 ) 1( n n n n 1 ,0取取N ,nN ( 1) :1. n n n 故故 ( 1) limlim1. n n nn n x n . 令 得 1 .n 1 , 例例2. 知知, ) 1( ) 1( 2 n x n n 證明證明.0lim n n x 證證: 0 n x 0 ) 1( ) 1( 2 n n 2 ) 1( 1 n1 1 n , ) 1 ,0(取取 N ,nN :0. n x 故故0 ) 1( ) 1( limlim 2 n x n n n n ,0 1 1 1 nn n x 故也可取故也可取 1 N 也可由也可由 2 ) 1( 1 0 n n x N 與與 有關有

11、關, 但不唯一但不唯一. 不一定取最小的不一定取最小的 N . 說明說明: 取取 1 1 N . 令 1 1.n 得得 1 ,1 例例3. 設設 ,1q證明等比數列證明等比數列,1 12n qqq 證證:0 n x0 1 n q , ) 1 ,0( 得得 取取 N , 1 :0. n q 故故 1 lim0. n n q 1log. q n 的極限為的極限為 0 . 1 n q . 令 注注:證明證明 n xa的格式及步驟：的格式及步驟： 證證: n xa 令令 解出解出 0, 取取N= 那么那么 , :. n xa 所以所以 . n xa ,nN ,nN 放大到合適程度放大到合適程度 如如P

12、30 3(3)提示如下提示如下: ln 1 ln q ln 1 ln |q 22 1 n na x n 二、收斂數列的性質二、收斂數列的性質 1. 收斂數列的極限唯一收斂數列的極限唯一.證證: 例例4. 證明數列證明數列),2, 1() 1( 1 nx n n 是發(fā)散的是發(fā)散的. 證證: 用反證法用反證法. 假設數列假設數列 n x收斂收斂 , 則有唯一極限則有唯一極限 a 存在存在 . 取取 , 2 1 則存在則存在 N , 2 1 2 1 axa n 但因但因 n x交替取值交替取值 1 與與1 , ),( 2 1 2 1 aa內內, 而此二數不可能同時落在而此二數不可能同時落在 2 1

13、a 2 1 aa 長度為長度為 1 的開區(qū)間的開區(qū)間 使當使當 n N 時時 , 有有 因此該數列發(fā)散因此該數列發(fā)散 . 2. 收斂數列一定有界收斂數列一定有界. 證證: 設設 ,limaxn n 取取 ,1,NN ,nN 從而有從而有 n xaaxna1 取取 ,max 21N xxxMa1 則有則有. ),2,1(nMxn 由此證明收斂數列必有界由此證明收斂數列必有界. 說明說明: 此性質反過來不一定成立此性質反過來不一定成立 . 例如例如, 1 )1( n 雖有界但不收斂雖有界但不收斂 . aaxn)( , 1axn 有有 數列數列 3. 收斂數列的保號性收斂數列的保號性. 假設假設,l

14、imaxn n 且且0a ,N N則Nn 當 時時, 有有0 n x , )0( . )0( 證證: 對對 a 0 , 取取, 2 a ,N N則,時當Nn axn 2 a n x0 2 a a ax 2 a 2 a 推論推論: 若數列從某項起若數列從某項起0 n x,limaxn n 且 0a則 )0( . )0(反證反證) （注：前邊去掉等號時，）（注：前邊去掉等號時，）但后邊并不能去掉但后邊并不能去掉 ,ax k n 4. 收斂數列的任一子數列收斂于同一極限收斂數列的任一子數列收斂于同一極限 . 證證: 設數列設數列 k n x是數列是數列 n x的任一子數列的任一子數列 . 假設假設,

15、limax n n 那么那么 ,0 ,N 當當 Nn 時時, 恒有恒有 . n xa 取取 K=N , 當當kK時此時）時此時）, k n K n N 有有 所以所以 .limax k n k ,0那么那么 N n 數列收斂的充要條件是任一子數列收斂于同一極限數列收斂的充要條件是任一子數列收斂于同一極限 . 1.由此性質可知由此性質可知 , 若數列有兩個子數列收斂于不同的極若數列有兩個子數列收斂于不同的極 限限 , 再證例再證例4. ),2, 1() 1( 1 nx n n ; 1lim 12 k k x1lim 2 k k x 發(fā)散發(fā)散 ! 則原數列一定發(fā)散則原數列一定發(fā)散 . 說明說明:

16、2. 212 limlim. nn nn xxa lim n n xa (P31 6題題) 任一子數列收斂于任一子數列收斂于a . 內容小結內容小結 1. 數列極限的數列極限的 “ N ” 定義及應定義及應 用用 2. 收斂數列的性質收斂數列的性質: 唯一性唯一性 ; 有界性有界性 ; 保號性保號性; 任一子數列收斂于同一極限任一子數列收斂于同一極限 212 limlim. nn nn xxa lim n n xa (P31 6題題) 任意子列以任意子列以a為極限為極限 作業(yè)作業(yè) P30 3 (2), 4 , 5, 6* 思考與練習思考與練習 1. 如何判斷極限不存在如何判斷極限不存在? 方法

17、方法1. 找一個趨于找一個趨于的子數列的子數列; 方法方法2. 找兩個收斂于不同極限的子數列找兩個收斂于不同極限的子數列. 2. 知知 11 2,2(1,2,) nn xxxn , 求求 n n x lim 時時, 下述作法是否正確下述作法是否正確? 說明理由說明理由. 設設,limaxn n 由遞推式兩邊取極限得由遞推式兩邊取極限得 2aa0a 不對不對!此處此處 limlim 2 n n nn x azy n n n n limlim)2( 1. (準則準則1)夾逼準則夾逼準則 (P49) ),2, 1() 1 (nzxy nnn axn n lim 證證: 由條件由條件 (2) ,0,

18、1 N 1, nN : n ya 2, nN : n za 取取,max 21 NNN nN , 恒有恒有 () n aya () n aza nnn zxya a那么那么,axn 故故 .limaxn n , 2 N ,0 那么那么 數列存在極限的兩個準則數列存在極限的兩個準則 例例5. 證明證明1 1 2 11 lim 222 nnnn n n 證證: 利用夾逼準則利用夾逼準則 . nnnn n 222 1 2 11 nn n 2 2 2 2 n n 且且 nn n n 2 2 lim n n 1 1 lim 1 2 2 lim n n n 2 1 1 lim n n 1 n n lim nnnn 222 1 2 11 1 由由 2. ( 準則準則2 )單調有界數列必有極限單調有界數列必有極限 ( P52 ) Mxxxx nn 121 mxxxx nn 121 )(limMaxn n )(limmbxn n n x 1n x M 1 x 2 x x m n x 1n x 1 x 2 x x ( 證明略證明略 ) a b 例例6. 設設, ),2, 1()1 ( 1 nx n n n 證明數列證明數列 n x 極限存在極限存在 . (證明見