第5章 梁的應(yīng)力

1、 m m M 當(dāng)梁上有橫向外力作用時(shí)，一般情況下，當(dāng)梁上有橫向外力作用時(shí)，一般情況下， 梁的橫截面上既又彎矩梁的橫截面上既又彎矩M，又有剪力又有剪力FS. . m m m m M 彎矩彎矩M是由正應(yīng)力是由正應(yīng)力 合成的合成的. 剪力剪力FS有由切應(yīng)力有由切應(yīng)力 合成合成的；的； 所以，在梁的橫截面上一般既有正應(yīng)力所以，在梁的橫截面上一般既有正應(yīng)力 ，又有切應(yīng)力又有切應(yīng)力 。這種梁段的彎曲稱為。這種梁段的彎曲稱為橫力橫力 彎曲。彎曲。 簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)支梁CD段任一橫截面上，段任一橫截面上， 剪力等于零，而彎矩為常量，所剪力等于零，而彎矩為常量，所 以該段梁的彎曲就是以該段梁的彎曲就是純彎曲純彎曲. .

2、 若梁在某段內(nèi)各橫截面的彎若梁在某段內(nèi)各橫截面的彎 矩為常量，剪力為零，則該段梁矩為常量，剪力為零，則該段梁 的彎曲就稱為的彎曲就稱為純彎曲純彎曲. aa FS M x x + F CD AB F + 5.1 梁橫截面上的正應(yīng)力 彎 曲 試 驗(yàn) 5.1 梁橫截面上的正應(yīng)力 試驗(yàn)現(xiàn)象試驗(yàn)現(xiàn)象 橫線為直線橫線為直線, , 仍與縱線正交仍與縱線正交 靠頂部縱線縮短靠頂部縱線縮短, , 靠底部縱靠底部縱 線伸長(zhǎng)線伸長(zhǎng) 縱線伸長(zhǎng)區(qū)縱線伸長(zhǎng)區(qū), ,截面寬度截面寬度減小減小 縱線縮短區(qū)縱線縮短區(qū), , 截面寬度截面寬度增大增大 彎曲假設(shè)彎曲假設(shè) 橫截面橫截面變形后變形后保持平面，仍與縱線正交彎曲平面保持平面

3、，仍與縱線正交彎曲平面 假設(shè)假設(shè) 各縱向各縱向“纖維纖維”處于單向受力狀態(tài)單向受力假設(shè)處于單向受力狀態(tài)單向受力假設(shè) （純彎與正彎矩作用）（純彎與正彎矩作用） 5.1 梁橫截面上的正應(yīng)力 推 論 梁內(nèi)梁內(nèi)存在一長(zhǎng)度不變的過渡層存在一長(zhǎng)度不變的過渡層中性層中性層 中性層與橫截面得交線中性層與橫截面得交線中性軸中性軸 橫截面間繞中性軸相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)橫截面間繞中性軸相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng) 中性軸中性軸截面縱向?qū)ΨQ軸截面縱向?qū)ΨQ軸 5.1 梁橫截面上的正應(yīng)力 幾何方面幾何方面: d d)d( )( y y 物理方面物理方面: )()(yEy y 靜力學(xué)方面靜力學(xué)方面: (b) 0d , 0 A x AF (c) d , 0

4、MAyM A z (a) )( y Ey 5.1 梁橫截面上的正應(yīng)力 MAy E A d 2 (a)(b) 0d A Ay0 d A Ay y A C 中性軸通過橫截面形心 (a)(c) A z AyI d 2 z I My y )( z EI M 1 (d)(a) z I Mymax max z W M max 抗彎截面系數(shù)抗彎截面系數(shù) max y I W z z (a) y E (b) 0d A A (c) dMAy A (d) 慣性矩慣性矩 5.1 梁橫截面上的正應(yīng)力 結(jié)論結(jié)論 中性軸過截面形心中性軸過截面形心 z EI M 1 z I My y )( 中性軸位置：中性軸位置： 截面彎曲

5、剛度）截面彎曲剛度）（ z EI z W M max 抗彎截面系數(shù)）抗彎截面系數(shù)）（ z W 正正應(yīng)力公式：應(yīng)力公式： 中性層曲率：中性層曲率： )()(yEy 0d A A MAy A d pmax , 對(duì)稱彎曲對(duì)稱彎曲, 純彎與非純彎純彎與非純彎 慣性矩）慣性矩）（ z I 應(yīng)用條件：應(yīng)用條件： 總總 結(jié)結(jié) 假設(shè)假設(shè)平面假設(shè)，單向受力假設(shè)平面假設(shè)，單向受力假設(shè) 綜合考慮三方面綜合考慮三方面 y y )( 5.1 梁橫截面上的正應(yīng)力 一些易混淆的概念 對(duì)稱彎曲對(duì)稱截面梁，在縱向?qū)ΨQ面承受橫向外對(duì)稱彎曲對(duì)稱截面梁，在縱向?qū)ΨQ面承受橫向外 力時(shí)的受力與變形形式力時(shí)的受力與變形形式 純純 彎彎 曲

6、梁或梁段各橫截面的剪力為零彎矩為常曲梁或梁段各橫截面的剪力為零彎矩為常 數(shù)的受力狀態(tài)數(shù)的受力狀態(tài) 中性軸橫截面受拉與受壓區(qū)的分界線中性軸橫截面受拉與受壓區(qū)的分界線 形心軸通過橫截面形心的坐標(biāo)軸形心軸通過橫截面形心的坐標(biāo)軸 彎曲剛度彎曲剛度EI代表梁截面抵抗彎曲變形的能力代表梁截面抵抗彎曲變形的能力 抗彎截面系數(shù)抗彎截面系數(shù)Wz代表梁截面幾何性質(zhì)對(duì)彎曲強(qiáng)度代表梁截面幾何性質(zhì)對(duì)彎曲強(qiáng)度 的影響的影響 中性軸與形心軸中性軸與形心軸 對(duì)稱彎曲與純彎曲對(duì)稱彎曲與純彎曲 截面彎曲剛度與抗彎截面系數(shù)截面彎曲剛度與抗彎截面系數(shù) 5.1 梁橫截面上的正應(yīng)力 b h z y z d y z D d y D d D

7、 Wz )1( 32 4 3 6 , 12 23 bh W bh I zz 32 , 64 34 d W d I zz 64 )( 44 dD Iz 5.1 梁橫截面上的正應(yīng)力 z y 四、于中性軸不是對(duì)稱軸的橫截面四、于中性軸不是對(duì)稱軸的橫截面 y maxc y maxt M 應(yīng)分別以橫截面上應(yīng)分別以橫截面上受拉受拉和和受壓受壓部分距中性軸最遠(yuǎn)的距離部分距中性軸最遠(yuǎn)的距離 ytmax和和ycmax直接代入公式直接代入公式 z I My I My z maxc maxc I My z maxt maxt 5.1 梁橫截面上的正應(yīng)力 maxc tmax 5.1 梁橫截面上的正應(yīng)力 橫力彎曲時(shí)，梁

8、的橫截面上既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力橫力彎曲時(shí)，梁的橫截面上既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力. 切應(yīng)力使橫截面發(fā)生翹曲，切應(yīng)力使橫截面發(fā)生翹曲， 橫向力引起與中性層平行的橫向力引起與中性層平行的 縱截面的擠壓應(yīng)力，純彎曲時(shí)所作的平面假設(shè)和單向受縱截面的擠壓應(yīng)力，純彎曲時(shí)所作的平面假設(shè)和單向受 力假設(shè)都不成立力假設(shè)都不成立. 雖然橫力彎曲與純彎曲存在這些差異，但進(jìn)一步的分雖然橫力彎曲與純彎曲存在這些差異，但進(jìn)一步的分 析表明，析表明，對(duì)于跨度與橫截面高度之比對(duì)于跨度與橫截面高度之比l/h大于大于5的梁的梁，橫，橫 截面上的正應(yīng)力變化規(guī)律與純彎曲時(shí)幾乎相同，因此，截面上的正應(yīng)力變化規(guī)律與純彎曲時(shí)幾乎相同，因此， 純

9、彎曲時(shí)的正應(yīng)力計(jì)算公式，也可以應(yīng)用于橫力彎曲的純彎曲時(shí)的正應(yīng)力計(jì)算公式，也可以應(yīng)用于橫力彎曲的 梁梁. 例 已知：已知：F=15 kN, l=400 mm, b=120mm, d d=20mm 試計(jì)算：截面試計(jì)算：截面 B-B 的最大拉應(yīng)力的最大拉應(yīng)力 t,max與壓應(yīng)力與壓應(yīng)力 c,max 解：1. 彎矩計(jì)算彎矩計(jì)算mN 6000 FlM B 2. 形心位置計(jì)算形心位置計(jì)算由矩形由矩形 1 與矩形與矩形 2 組成的組合截面組成的組合截面 C Ay Ci n i iz yAS 1 A yA y Ci n i i C 1 5.1 梁橫截面上的正應(yīng)力 3. 慣性矩計(jì)算慣性矩計(jì)算 m 045. 0

10、22 bb b bb d dd d d dd d d d d d 46- 2 3 1 m 103.02 212 d d d d d d Cz yb b I 46- 2 3 2 m 105.82 212 Cz y b b b Id dd d d d 46 21 m 1084. 8 zzz III 4. 最大彎曲正應(yīng)力最大彎曲正應(yīng)力 MPa 5 .30 maxt, z CB I yM MPa 5 .64 )( maxc, z CB I ybMd d 21 2211 AA yAyA y CC C 21zzz III 5.1 梁橫截面上的正應(yīng)力 假設(shè) (y) / 截面?zhèn)冗叄⒀亟孛鎸挾染鶆蚍植冀孛鎮(zhèn)冗?/p>

11、，并沿截面寬度均勻分布 狹窄矩形截面梁狹窄矩形截面梁 (hb) x F b y d d1 )( Sz(w w)面積面積 w w 對(duì)中性軸對(duì)中性軸 z 的靜矩的靜矩 FxbFxdd , 0 w w AFd w w Ay I M z d* z z I MS)(w w bI SF y z z )( )( S w w x M bI S y z z d d )( )( w w x F b y d d1 )( z z I MS F )(w w y h y h bSz 22 1 2 )(w w 2 2 S 4 1 2 3 )( h y bh F y A FS max 2 3 12 3 bh Iz 2 2 4

12、2 y hb 5.2 梁橫截面上的剪應(yīng)力 5.2 梁橫截面上的剪應(yīng)力 d d w w z z I SF y )( )( S 假設(shè)假設(shè) : : / 腹板側(cè)邊腹板側(cè)邊, 并沿其厚度均勻分布并沿其厚度均勻分布 )4()( 8 )( 2222 0 S yhhhb I F y z d d d d w w y 下側(cè)部分截面下側(cè)部分截面 對(duì)中性軸對(duì)中性軸 z 的靜矩的靜矩 (0) max ) 2 ( min h 5.2 梁橫截面上的剪應(yīng)力 dI SF z z max,S max 123 2 8 32 max, ddd Sz A F 3 4 S max 分析表明，最大彎曲切應(yīng)力仍發(fā)生在中性分析表明，最大彎曲切

13、應(yīng)力仍發(fā)生在中性 軸上，并可近似認(rèn)為沿中性軸均勻分布軸上，并可近似認(rèn)為沿中性軸均勻分布 5.2 梁橫截面上的剪應(yīng)力 d y z 0 t A F ttd tdF bI SF S S z zS 2 2 8 2 1 3 0 2 0 * max t d S z 2 2 0* max tdI z 3 0 8 tb2 tdA 0 xma 當(dāng)中性軸為截面對(duì)稱軸時(shí)的強(qiáng)度條件為當(dāng)中性軸為截面對(duì)稱軸時(shí)的強(qiáng)度條件為： max z xma W M t z t xtma W M max c z c xcma W M max 5.3 梁的強(qiáng)度條件 例題例題5.2 圖5.12（a）所示的樓板主梁欲用二個(gè)工字型鋼制成。 已知

14、鋼的許用彎曲正應(yīng)力MPa160，試選擇工字鋼的型號(hào)。 mkNM xma 480 36 6 max 103 160 10480 mm M Wz 336 1500105 . 1 2 1 cmmmWW zz 3 1500cmWz 解解 先作簡(jiǎn)支梁的彎矩圖（如圖5.12（b）,可知 ，發(fā)生在梁的跨中截面處。 每一個(gè)工字鋼的抗彎截面模量 由型鋼規(guī)格表可查得45b工字鋼為 故所選工字形截面型號(hào)為45b。 5.3 梁的強(qiáng)度條件 ,30MPa t ,60MPa c 試校核該梁的強(qiáng)度試校核該梁的強(qiáng)度。 例題例題5.3 某某T形截面鑄鐵梁尺寸如圖所示。已知形截面鑄鐵梁尺寸如圖所示。已知 解解 （1）作出梁的彎矩圖

15、。）作出梁的彎矩圖。 這時(shí)可能出現(xiàn)的危險(xiǎn)截面應(yīng)這時(shí)可能出現(xiàn)的危險(xiǎn)截面應(yīng) 為為B、C兩截面，且有兩截面，且有 mkNM B 4 mkNM C 5 . 3 5.3 梁的強(qiáng)度條件 mmyc42 201202080 7020120 46 333 10637. 7 88 3 20 32 3 60 52 3 80 mm I z 5.3 梁的強(qiáng)度條件 MPaMPa I yM t z B B t 302 .27 10637. 7 1052104 6 33 1 max MPaMPa I yM c z B B c 602 .46 10637. 7 1088104 6 33 2 max B截面上的最大拉應(yīng)力截面上的

16、最大拉應(yīng)力 5.3 梁的強(qiáng)度條件 MPaMPa I yM t z C C t 308 .41 10637. 7 1088105 . 3 6 33 2 max C截面上的最大拉應(yīng)力為截面上的最大拉應(yīng)力為 5.3 梁的強(qiáng)度條件 需滿足的剪應(yīng)力強(qiáng)度條件為：需滿足的剪應(yīng)力強(qiáng)度條件為： * maxmax max bI SF z S * max S 式中 表示橫截面在中性軸以上(或以下)部分面積 對(duì)中性軸z的面積矩， 為材料在橫力彎曲時(shí)的許用剪應(yīng)力。 b 表示橫截面在中性軸處的寬度， 5.3 梁的強(qiáng)度條件 但對(duì)以下三種特殊情況，就必須注意校核梁內(nèi)的剪應(yīng)力強(qiáng)度： （1）梁的跨度較短，或在支座附近作用有較大的

17、荷載，梁內(nèi) 出現(xiàn)彎矩較小而剪力很大； （2）在鉚接或焊接的組合截面（例如工字形）鋼梁中，其橫 截面的腹板厚度與高度之比小于一般型鋼截面的相應(yīng)比值； 5.3 梁的強(qiáng)度條件 mkNPaM402 . 0200 max kNPF S 200 max 解解 （1）作梁的彎矩圖與剪力圖，如圖（）作梁的彎矩圖與剪力圖，如圖（b）、（）、（c）。）。 5.3 梁的強(qiáng)度條件 33 6 max 10250 160 1040 mm M Wz 選工字形鋼選工字形鋼20b，,250 3 mmWz,9mmb mmcmSI z 1699 .16/ * max （3）剪應(yīng)力強(qiáng)度校核）剪應(yīng)力強(qiáng)度校核 MPaMPa bI SF

18、z S 1005 .131 1699 10200 3* maxmax max 不滿足剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。不滿足剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。 (2) 由正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇型鋼號(hào)碼由正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇型鋼號(hào)碼 5.3 梁的強(qiáng)度條件 （a）選選22b：,5 . 9 mmb ,187/ * max mmSI z 6 .112 1875 . 9 10200 3 max MPa （b）選選25b：,10mmb mmSI z 7 .212/ * max 94 7 .21210 10200 3 max MPa 故選故選25b可以滿足要求?？梢詽M足要求。 5.3 梁的強(qiáng)度條件 選取原因：選取原因： 2. 截面面積愈小，自重也小，引起的附加自重應(yīng)截面面積愈小，自重也小，引起的附加自重應(yīng) 力也小，還有利于安裝和現(xiàn)場(chǎng)施工。力也小，還有利于安裝和現(xiàn)場(chǎng)施工。 1. 在選擇材料相同及外力不變的條件下，由正應(yīng)在選擇材料相同及外力不變的條件下，由正應(yīng) 力強(qiáng)度條件可知，若截面面積不變，抗彎截面力強(qiáng)度條件可知，若截面面積不變，抗彎截面 模量較大者梁的承載能力高。模量較大者梁的承載能力高。 一、梁的合理截面形狀一、梁的合理截面形狀 請(qǐng)問哪種擺放形式合理請(qǐng)問哪種擺放形式合理