第八章彎曲強度

1、第八章第八章 彎曲強度彎曲強度 一、梁彎曲有關基本概念一、梁彎曲有關基本概念 二、截面圖形的幾何量二、截面圖形的幾何量 三、平面彎曲時梁橫截面上的正應力三、平面彎曲時梁橫截面上的正應力 四、梁的強度計算四、梁的強度計算 梁彎曲時截面上有彎矩和剪力兩個內(nèi)力分梁彎曲時截面上有彎矩和剪力兩個內(nèi)力分 量，一般，梁的各個截面上內(nèi)力分布各不相等，量，一般，梁的各個截面上內(nèi)力分布各不相等， 內(nèi)力最大的截面處將可能最先失效；內(nèi)力最大的截面處將可能最先失效； 彎曲變形是工程構(gòu)件最常見的基本變形；彎曲變形是工程構(gòu)件最常見的基本變形； 梁彎曲是材料力學部分最重要的內(nèi)容。梁彎曲是材料力學部分最重要的內(nèi)容。 與與彎矩和

2、剪力兩個內(nèi)力分量相對應，橫截彎矩和剪力兩個內(nèi)力分量相對應，橫截 面上有連續(xù)分布的正應力和剪應力面上有連續(xù)分布的正應力和剪應力； 一、梁彎曲有關基本概念一、梁彎曲有關基本概念 P q M RA RB 受到與其軸線垂直的橫向力作用產(chǎn)生彎曲變形，受到與其軸線垂直的橫向力作用產(chǎn)生彎曲變形， 產(chǎn)生彎曲變形的桿稱為梁。產(chǎn)生彎曲變形的桿稱為梁。 1、平面彎曲、平面彎曲 只研究矩形截面梁的彎曲只研究矩形截面梁的彎曲 矩形截面梁有一個縱向?qū)ΨQ面，當外力都作矩形截面梁有一個縱向?qū)ΨQ面，當外力都作 用在該縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，彎曲也發(fā)生在該對稱面內(nèi)，用在該縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，彎曲也發(fā)生在該對稱面內(nèi)， 稱為平面彎曲。稱為平面彎曲。

3、 可以用梁軸線的變形代表梁的彎曲?？梢杂昧狠S線的變形代表梁的彎曲。 2 2、梁的類型、梁的類型 根據(jù)梁的支撐情況可以將梁分為根據(jù)梁的支撐情況可以將梁分為3 3種類型：種類型： 一端固定鉸支座，一一端固定鉸支座，一 端活動鉸支座端活動鉸支座 一端固定、一端一端固定、一端 自由自由 一端固定鉸支座，一端固定鉸支座， 活動鉸支座位于梁中活動鉸支座位于梁中 某個位置某個位置 3 3、剪力和彎矩、剪力和彎矩 與前面三種基本變形不同的是，彎曲內(nèi)與前面三種基本變形不同的是，彎曲內(nèi) 力有兩類：剪力和彎矩力有兩類：剪力和彎矩 考察彎曲梁的某個橫截考察彎曲梁的某個橫截 面，面， x y z 剪力與截面平行，用剪力

4、與截面平行，用Q 表示；表示； Q 彎矩作用面在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，方向沿彎矩作用面在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，方向沿z軸方向，軸方向， 用用M 表示。表示。 M 剪力和彎矩正負規(guī)定剪力和彎矩正負規(guī)定 剪力正負號：剪力正負號： 對所截截面上任一點的力矩順時針為正，逆時針為負對所截截面上任一點的力矩順時針為正，逆時針為負 彎矩正負號：彎矩正負號： QQ M MM M 正正 負 正正負負 彎矩使梁使梁彎矩使梁使梁 x y P1 P2 RAy AB RAx RB x P1 RAy a a MQ 0 i M0 xRaxPM Ay1 axPxRM Ay 1 m m 0 i Y0 1 QPRAy 1 PRQ Ay RAx

5、6 6、剪力圖和彎矩圖、剪力圖和彎矩圖 將彎曲內(nèi)力、即剪力和彎矩沿桿截面的分布規(guī)將彎曲內(nèi)力、即剪力和彎矩沿桿截面的分布規(guī) 律用圖形表示。律用圖形表示。 剪力圖和彎矩圖通常根據(jù)剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖通常根據(jù)剪力方程和彎矩方程 繪制。繪制。 若剪力方程和彎矩方程為梁長度方向上的分段若剪力方程和彎矩方程為梁長度方向上的分段 函數(shù)，分別建立函數(shù)，分別建立FQ-x和和M-x坐標系，分別分段繪制坐標系，分別分段繪制 剪力圖和彎矩圖。剪力圖和彎矩圖。 例：求圖示簡支梁例：求圖示簡支梁 x 截面截面 的彎矩和剪力，并畫彎矩的彎矩和剪力，并畫彎矩 圖和剪力圖。圖和剪力圖。 x y l q x q RA

6、y M A B 在在x 處截開，取左半處截開，取左半 部分，平衡方程：部分，平衡方程： 0 i M 0 xR 2 x qxM Ay qx 2 2 1 qxxRM Ay Q 0 i Y0QqxRAy qxRQ Ay 解：解： qlRR ByAy 2 1 )( 2 1 2 1 2 1 2 1 22 xlqxqxqlxqxxRM Ay qxqlqxRQ Ay 2 1 可見剪力在該簡支梁內(nèi)的分布為一條斜直線，彎可見剪力在該簡支梁內(nèi)的分布為一條斜直線，彎 矩為一條曲線矩為一條曲線拋物線拋物線 彎矩最大值在梁的中點，此處剪力為零，有彎矩最大值在梁的中點，此處剪力為零，有: 2 l x 2 ql 8 1 M

7、 x y l q x A B x x Q M 2 l x 2 max 8 1 qlM )( 2 1 xlqxM qxqlQ 2 1 7 7、分布載荷分布載荷、剪力剪力 和彎矩和彎矩 之間的微分關系之間的微分關系 分布載荷分布載荷q剪力剪力Q 和彎矩和彎矩 M y x )(xq dxx dx M dMM Q dQQ 0 2 0 00 dMM dx qdxQdxMM dQQqdxQY i i ： ：qdxdQ QdxdM q dx Md Q dx dM q dx dQ 2 2 , 二、截面圖形的幾何量二、截面圖形的幾何量 不同受力形式下桿件的受力和應變與下面幾方面不同受力形式下桿件的受力和應變與下

8、面幾方面 因素有關：因素有關： 1）內(nèi)力分量的類型和大小；）內(nèi)力分量的類型和大??； 2）桿件的尺寸；）桿件的尺寸； 3）桿件截面圖形的幾何量。）桿件截面圖形的幾何量。 這些幾何量包括：這些幾何量包括： 形心、靜矩、慣性矩、慣性半徑、極慣性矩、慣形心、靜矩、慣性矩、慣性半徑、極慣性矩、慣 性積、主軸性積、主軸 12 1、靜矩和形心、靜矩和形心 A y z A z A y ydAS zdAS z o y 對于圖示圖形，定義下面積分：對于圖示圖形，定義下面積分： 分別稱為圖形對分別稱為圖形對 y 軸和軸和 z 軸的軸的截面一次矩截面一次矩，也，也 稱稱靜矩靜矩。單位為。單位為m3。 如果把圖形視為均

9、勻薄板，重力方向垂直于如果把圖形視為均勻薄板，重力方向垂直于 yoz平面，則平面，則ydA和和zdA為為dA分別對分別對z軸和軸和y軸的力矩。軸的力矩。 由合力矩定理，有：由合力矩定理，有： cz cy AyS AzS A ydA A S z A zdA A S y A y c Az c 式中，（式中，（ yc，zc ）稱為圖形幾何形狀的中心，）稱為圖形幾何形狀的中心， 也稱為圖形的也稱為圖形的形心形心。 對于組合圖形，有：對于組合圖形，有： n i ciicnnccy n i ciicnnccz zAzAzAzAS yAyAyAyAS 1 2211 1 2211 . . 2、慣性矩、極慣性矩

10、、慣性積和慣性半徑、慣性矩、極慣性矩、慣性積和慣性半徑 A y z A z A y dAyI dAzI 2 2 z o y 對于圖示圖形，定義下面積分：對于圖示圖形，定義下面積分： 分別稱為圖形對分別稱為圖形對 y 軸和軸和 z 軸的軸的截面二次軸矩截面二次軸矩， 也稱也稱慣性矩慣性矩。單位為。單位為m4。 定義積分：定義積分： A p dAI 2 為圖形對坐標原點的為圖形對坐標原點的截面二次極矩截面二次極矩，或，或極慣性矩極慣性矩。 A yz yzdAI 為圖形對于通過坐標原點的一對坐標軸為圖形對于通過坐標原點的一對坐標軸y、z的的慣性積慣性積。 定義：定義： A I i A I i z z

11、 y y 分別為圖形對分別為圖形對y軸和軸和z軸的軸的慣性慣性 半徑。半徑。 如坐標軸中有一軸為圖形對稱軸，如坐標軸中有一軸為圖形對稱軸， 則圖形對該對軸的慣性積為零。則圖形對該對軸的慣性積為零。 由這些幾何量的定義：由這些幾何量的定義： 慣性矩和極慣性矩恒為正；慣性積由于坐標軸慣性矩和極慣性矩恒為正；慣性積由于坐標軸 的位置不同，可能為正也可能為負。單位均為的位置不同，可能為正也可能為負。單位均為m4 由由: 222 zy zyp III D dD I p );1 ( 32 4 4 有：有： 對于通過圓形截面圓心任意軸的慣性矩：對于通過圓形截面圓心任意軸的慣性矩： 對于圓環(huán)截面：對于圓環(huán)截面

12、： 極慣性矩：極慣性矩： 64 4 d I 慣性矩：慣性矩： D dD I );1 ( 64 4 4 dA y dA z dy dzz y o b h 如圖：如圖： 1283 1 83 1 | 3 1 333 2 2 3 2 2 22 hbb h b hhz hdzzdAzI b b b b A y 1283 1 83 1 333 2 2 2 2 2 2 2 222 bhh b h bdyby dydzydydzydAyI h h h h b b AA z 3、慣性矩、慣性積的移軸定理和轉(zhuǎn)軸定理、慣性矩、慣性積的移軸定理和轉(zhuǎn)軸定理 A y z z o y o z a b y abAaSbSId

13、AabayzbzydAbyazI AbbSIdAbybydAbyI AaaSIdAazazdAazI yzyz AA zy zz AA z yy AA y )()( 2)2()( 2)2()( 2222 2222 移軸定理：移軸定理： 原坐標系原坐標系yoz平移至平移至yoz ，y軸軸 移動距離為移動距離為a，z軸移動距離為軸移動距離為b。 圖形對原坐標系圖形對原坐標系y、z軸的慣性軸的慣性 矩分別為矩分別為Iy和和Iz，慣性積為，慣性積為Iyz。 圖形對新坐標系的慣性矩和慣圖形對新坐標系的慣性矩和慣 性積，有：性積，有： 當原當原y、z軸通過圖形形心，軸通過圖形形心，Sy=Sz=0 abAI

14、I AbII AaII yzzy zz yy 2 2 有：有： 上式中，上式中，a2A和和b2A恒為正，因此自形心軸移至恒為正，因此自形心軸移至 與之平行的任意軸時，慣性矩總是增大。與之平行的任意軸時，慣性矩總是增大。 若若ab同號，移軸后同號，移軸后abA為正，反之為負；移軸后為正，反之為負；移軸后 慣性積有可能增大，也有可能減小。慣性積有可能增大，也有可能減小。 轉(zhuǎn)軸定理：轉(zhuǎn)軸定理： 原坐標系原坐標系yoz繞原點轉(zhuǎn)動繞原點轉(zhuǎn)動角至角至 yoz 。 圖形對原坐標系圖形對原坐標系y、z軸的慣性矩軸的慣性矩 分別為分別為Iy和和Iz，慣性積為，慣性積為Iyz；對新坐標；對新坐標 系的慣性矩和慣性

15、積為：系的慣性矩和慣性積為： A y z z o y o z y 2cos2sin 2 2sin2cos 22 2sin2cos 22 yz zy zy yz zyzy z yz zyzy y I II I I IIII I I IIII I 2sin2cos 22 2sin2cos 22 yz zyzy z yz zyzy y I IIII I I IIII I zyzy IIII 上面兩式相加：上面兩式相加： 圖形對一對垂直軸的慣性矩之和與轉(zhuǎn)軸角度無圖形對一對垂直軸的慣性矩之和與轉(zhuǎn)軸角度無 關，即任意轉(zhuǎn)動時，其和不變。關，即任意轉(zhuǎn)動時，其和不變。 4、主軸、形心主軸、主慣性矩、形心主慣性矩

16、、主軸、形心主軸、主慣性矩、形心主慣性矩 yzzy zy Minz Maxy III II II II 4)( 2 1 2 2 當當變化，慣性積也變化，變化，慣性積也變化， 當當= 0，有：有：02cos2sin 2 00 yz zy zy I II I 圖形對于過該點的一對坐標軸的圖形對于過該點的一對坐標軸的慣性積為零慣性積為零，稱，稱 為過該點的為過該點的主軸主軸。圖形對主軸的慣性矩稱為。圖形對主軸的慣性矩稱為主慣性矩主慣性矩。 主慣性矩分別是極大值和極小值。主慣性矩分別是極大值和極小值。 圖形對于任意一點（圖形內(nèi)或圖形外）均有主軸，圖形對于任意一點（圖形內(nèi)或圖形外）均有主軸， 過形心的主

17、軸稱為過形心的主軸稱為形心主軸形心主軸；圖形對形心主軸的慣性；圖形對形心主軸的慣性 矩稱為形心主慣性矩，簡稱矩稱為形心主慣性矩，簡稱形心主矩形心主矩。 當圖形有一根對稱軸時，對稱軸及與之垂直的任當圖形有一根對稱軸時，對稱軸及與之垂直的任 意軸即為過二者交點的主軸。意軸即為過二者交點的主軸。工程中關心的是形心主工程中關心的是形心主 軸和形心主矩。軸和形心主矩。 幾個結(jié)論：幾個結(jié)論： 1. 若截面有一根對稱軸，則此軸為形心主軸，另若截面有一根對稱軸，則此軸為形心主軸，另 一形心主軸為通過形心并與該軸垂直的軸。一形心主軸為通過形心并與該軸垂直的軸。 2. 若截面有兩根對稱軸，則該兩軸為形心主軸。若截

18、面有兩根對稱軸，則該兩軸為形心主軸。 3. 若截面有兩根以上的對稱軸，則任意根對稱軸若截面有兩根以上的對稱軸，則任意根對稱軸 都是形心主軸，截面對任意根主軸的慣性矩都相等。都是形心主軸，截面對任意根主軸的慣性矩都相等。 三、平面彎曲時梁橫截面上的正應力三、平面彎曲時梁橫截面上的正應力 1、基本概念、基本概念 對稱面：對稱面：由梁橫截面上所有相同對稱軸組成的平面稱由梁橫截面上所有相同對稱軸組成的平面稱 為梁的對稱面。為梁的對稱面。 主軸平面：主軸平面：梁橫截面上所有相同的形心主軸組成的平梁橫截面上所有相同的形心主軸組成的平 面，稱為主軸平面。面，稱為主軸平面。 平面彎曲：平面彎曲：所有外力都作用

19、在梁的同一主軸平面內(nèi)時，所有外力都作用在梁的同一主軸平面內(nèi)時， 梁的軸線彎曲后為一平面曲線，并且位于外力作用面內(nèi)，梁的軸線彎曲后為一平面曲線，并且位于外力作用面內(nèi)， 這種彎曲稱為平面彎曲。這種彎曲稱為平面彎曲。 當梁的橫截面上只有彎矩一個內(nèi)力分量，這種平面彎當梁的橫截面上只有彎矩一個內(nèi)力分量，這種平面彎 曲稱為曲稱為純彎曲純彎曲。 橫向彎曲：橫向彎曲：在垂直于軸線的橫向力作用下，梁的橫截在垂直于軸線的橫向力作用下，梁的橫截 面上會同時產(chǎn)生剪力和彎矩，梁的橫截面上既有正應力也面上會同時產(chǎn)生剪力和彎矩，梁的橫截面上既有正應力也 有剪應力。有剪應力。 2、純彎曲時橫截面上的正應力、純彎曲時橫截面上的

20、正應力 x PP P aa x x M Q Pa P A DC B 如圖：梁如圖：梁AB受力受力 情況，其剪力圖和彎情況，其剪力圖和彎 矩圖如下。矩圖如下。 梁在梁在AC和和BD段橫段橫 截面上同時存在彎矩和截面上同時存在彎矩和 剪力，為橫向彎曲剪力，為橫向彎曲 梁在梁在CD段橫截面段橫截面 只有彎矩，為純彎曲只有彎矩，為純彎曲 分析純彎曲時梁截面的正分析純彎曲時梁截面的正 應力分布，要從三方面考慮：應力分布，要從三方面考慮： dA 變形幾何關系變形幾何關系 物理關系物理關系 靜力學平衡靜力學平衡 平面假設：平面假設： 梁的各個橫截面面在變形后仍為平面，仍垂直梁的各個橫截面面在變形后仍為平面，

21、仍垂直 于變形后的軸線，只是橫截面繞某一軸旋轉(zhuǎn)了一個于變形后的軸線，只是橫截面繞某一軸旋轉(zhuǎn)了一個 角度。角度。 1）變形幾何關系）變形幾何關系 中性層：梁中纖中性層：梁中纖 維既不伸長也不縮短維既不伸長也不縮短 的一層。的一層。 中性軸：中性層中性軸：中性層 與橫截面的交線。與橫截面的交線。 為中性層的曲率半徑為中性層的曲率半徑 距離中性層為距離中性層為y處纖處纖 維維bb的線應變：的線應變： d ddy )( y 2）物理關系）物理關系 單向受力假設單向受力假設:縱向纖維之間互不擠壓?？v向纖維之間互不擠壓。 y EE 3）靜力學平衡關系）靜力學平衡關系 dA dA z x y M 0 A N

22、 dAF 0 A y dAzM MdAyM A z 0 AA dA y EdA 0 A N dAF0 A ydA 0 A Z ydAS即：即： 中性軸過形心中性軸過形心 0 A y dA y zEM 0 A y dAzM 0 yz I 0 A z dAyM MdAy E dA y yEM AA z 2 z EI M 1 z EI M 1 z EI抗彎剛度抗彎剛度 z I Myy E 橫截面上正應力分布橫截面上正應力分布 結(jié)論：結(jié)論： 1）中性軸過橫截面的形心）中性軸過橫截面的形心 2）中性層曲率公式）中性層曲率公式 3）正應力計算公式）正應力計算公式 4）應用條件）應用條件 0 Z S z E

23、I M 1 z I Myy E max 3、橫向彎曲正應力、橫向彎曲正應力 z I Myy E 上式是在平面假設和單向受力假設條件下導出，上式是在平面假設和單向受力假設條件下導出， 實驗證明在純彎曲的情況下是正確的。實驗證明在純彎曲的情況下是正確的。 在橫向彎曲的情況下，由于剪力的存在，橫截在橫向彎曲的情況下，由于剪力的存在，橫截 面會產(chǎn)生剪切變形，使橫截面發(fā)生翹曲，不再保持面會產(chǎn)生剪切變形，使橫截面發(fā)生翹曲，不再保持 為平面。但根據(jù)彈性力學精確分析，當梁的跨度大為平面。但根據(jù)彈性力學精確分析，當梁的跨度大 于梁的橫截面高度于梁的橫截面高度5倍以上時，剪應力和擠壓應力對倍以上時，剪應力和擠壓應

24、力對 彎曲正應力的影響可以忽略不計。彎曲正應力的影響可以忽略不計。 因此，由純彎曲推導出的正應力計算公式仍可因此，由純彎曲推導出的正應力計算公式仍可 適用于橫向彎曲正應力計算。適用于橫向彎曲正應力計算。 z I Myy E 由彎曲正應力計算公式，距離中性軸越遠，應力由彎曲正應力計算公式，距離中性軸越遠，應力 也越大。記最大應力處應力為也越大。記最大應力處應力為 。 max 有：有： max max max y I W W M I My z z 其中，抗彎截面系數(shù)抗彎截面系數(shù) z h b 62 / 12 23 bhhbh W d 322 / 64 34 ddd W 四、梁的強度計算四、梁的強度計算 強度條件：強度條件： max max W M 對于脆性材料，其抗拉和抗壓強度不等，應分對于脆性材料，其抗拉和抗壓強度不等，應分 別校核。別校核。 max max W