概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章習題解答

1、概率論與數(shù)量統(tǒng)計第一章習題解答1 、寫出下列隨機試驗的樣本空間：（ 1 ） 記錄一個班 一次數(shù)學考試的平均分數(shù)（設以百分制記分） 。（ 2 ）生產(chǎn)產(chǎn)品直到有 10 件正品為止，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。（ 3 ）對某工廠出廠的產(chǎn)品進行檢查，合格的產(chǎn)品記上“正品”，不合格的記上“次品”如，連續(xù)查出了 2 件次品就停止檢查， 或檢查了 4 件產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結果。（ 4 ）在單位圓內(nèi)任意取一點，記錄它的坐標。解：（1） 設該班有 n 人，則該班總成績的可能值是0 ，1 ，2 ，100n 。故隨機試驗的樣本空間S= i/n|i=0,1,2,100n 。（ 2）隨機試驗的樣本空間 S= 10,1

2、1,12, 。（ 3）以 0 表示檢查到一個次品， 1 表示檢查到一個正品，則隨機試驗的樣本空間 S= 00 ，0100 ， 0101 ，0110 ，0111 ，100 ，1010 ，1011 ，1100 ，1101 ，1110 ，1111 。（4）隨機試驗的樣本空間S= （x,y ）|x 2 +y 2 0 ，證明 P（AB|A ）P（AB|A B）。（ 2）若 P（A|B ）=1 ，證明 P（ B | A ）=1 。14（ 3）若設 C 也是事件，且有 P（A|C ）P（B|C ），P（A| C ）P（B| C ），證明 P（A）P（B）。28 、有兩種花籽，發(fā)芽率分別為0.8 ，0.9 ，

3、從中各取一顆，設各花籽是否發(fā)芽相互獨立。求（ 1）這兩顆花籽都能發(fā)芽的概率。（ 2）至少有一顆能發(fā)芽的概率。（ 3）恰有一顆能發(fā)芽的概率。29 、根據(jù)報道美國人血型的分布近似地為：A 型為 37% ，O 型為 44% ，B 型為 13% ，AB 型 0 6% 。夫妻擁有的血型是相互獨立的。（ 1）B 型的人只有輸入 B 、O 兩種血型才安全。若妻為 B 型，夫為何種血型未知，求夫是妻的安全輸血者的概率。（ 2）隨機地取一對夫婦，求妻為 B 型夫為 A 型的概率。（ 3）隨機地取一對夫婦，求其中一人為 A 型，另一人為 B 型的概率。（ 4）隨機地取一對夫婦，求其中至少有一人是 O 型的概率。3

4、0 、（1 ）給出事件 A、B 的例子，使得（ i）P（A|B ）P （A）。（2）設事件 A，B，C 相互獨立，證明（ i ）C 與 AB 相互獨立。（ii ）C與 AB 相互獨立。（3）設事件 A 的概率 P（A）=0 ，證明對于任意另一事件B，有 A，15B 相互獨立。（4）證明事件 A ，B 相互獨立的充要條件是P（A|B ）= P （A| B ）。31 、設事件 A，B 的概率均大于零，說明以下的敘述 （1 ）必然對。 （2 ）必然錯。（3 ）可能對。并說明理由。（ 1）若 A 與 B 互不相容，則它們相互獨立。（ 2）若 A 與 B 相互獨立，則它們互不相容。（ 3）P（A）=P

5、（B）=0.6 ，且它們互不相容。（ 4）P（A）=P （B）=0.6 ，且它們相互獨立。32 、有一種檢驗艾滋病毒的方法，其結果有概率0.005報導為假陽性（即不帶艾滋病毒的人被認為帶艾滋病毒）。今有 140 名不帶艾滋病毒的正常人全部接受此種檢驗， 被報道至少有一人帶艾滋病毒的概率為多少？33 、盒中有編號為1 ，2 ，3 ， 4 的 4 只球，隨機地自盒中取一只球，事件 A 為“取得的是1 號或 2 號球”，事件 B 為“取得的是1 號或 3 號球”，事件 C 為“取得的是1 號或 4 號球”。驗證：P（AB ）=P （A）P（B），P（AC）=P （A）P（C），P（BC）=P（ B）

6、P（C），但 P（ABC ）P（A）P（B）P（C），即事件 A，B ，C 兩兩獨立，但 A，B，C 不是相互獨立的。35 、如果一危險情況C 發(fā)生時，一電路閉合并發(fā)出警報，我們可以借16用兩個或多個開關并聯(lián)以改善可靠性。在C 發(fā)生時這些開關每一個都應完全，且若至少一個開關閉合了， 警報就發(fā)出， 如果兩個這樣的開關并聯(lián)連接，它們每個具有 0.96的可靠性（即在情況 C 發(fā)生時閉合的概率），問這時系統(tǒng)的可靠性（即電路閉合的概率）是多少如果需要有一個可靠性至少為0.9999的系統(tǒng)，則至少需要用多少開關并聯(lián)？設各開關閉合與否是相互獨立的。36 、三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為1

7、/5 ，1/3 ，1/4 。問三人中至少有一人能將此密碼譯出的概率是多少？設 Ai= 第 i 人能破譯 （ i=1,2,3），則3P(U Ai ) 1P(A1 A2 A3) 1P( A1)P( A2)P( A3)i 1423130.65437 、設第一只盒子中裝有3 只藍球， 2只綠球， 2 只白球；第二只盒子中裝有 2 只藍球， 3 只綠球， 4 只白球。獨立地分別在兩只盒子中各取一只球。（ 1）求至少有一只藍球的概率。（ 2）求有一只藍球一只白球的概率。（ 3）已知至少有一只藍球，求有一只藍球一只白球的概率。1738 、袋中裝有 m 枚正品硬幣、 n 枚次品硬幣（次品硬幣的兩面均印有國徽）

8、，在袋中任取一枚，將它投擲r 次，已知每次都得到國徽。問這枚硬幣是正品的概率為多少？【解】 設 A= 投擲硬幣 r 次都得到國徽 B= 這只硬幣為正品 由題知()m, ()nP BmP BmnnP(A |B)1r , P( A | B) 12則由貝葉斯公式知P(B | A)P(AB)P( B) P(A | B)P( A)P(B) P( A | B)P(B)P(A | B)mg1mmn 2rm1n1m2rnmgrmgn 2n39 、設根據(jù)以往記錄的數(shù)據(jù)分析，某船只運輸?shù)哪撤N物品損壞的情況18共有三種：損壞2% （這一事件記為A），損壞 10% （事件 B），損壞90% （事件 C），且知 P（A）=0.8 ，P（B）=0.15，P（C）=0.05?，F(xiàn)在從已被運輸?shù)奈锲分须S機地取3 件，發(fā)現(xiàn)這 3 件都是好的（這一事件記為 D）。試求 P（A|D ）, P（B|D ）, P（C|D ）（這里設物品件數(shù)很多，取出一件后不影響取后一件是否為好品的概率）。40 、將 A、B、C 三個字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為a，而輸出為其他一字母的概率都是 （1-