橢圓常見題型與典型方法歸納

1、【MeiWei_81重點(diǎn)借鑒文檔】橢圓常見題型與典型方法歸納考點(diǎn)一橢圓的定義橢圓的第一定義：我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)Fi,F2的距離的和等于常數(shù) 2a(2a a|Fi.F2)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓這兩定點(diǎn)Fi, F2叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩定點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距橢圓的第二定義：我們把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)e=-(0e不能確定2 2(-c,0),( c,0)(0, -c),(0, c)XV22222 =1 (其中b二ac ,a b 0).焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為a b2 2y x22222 =1 (其中b = a c ,a b 0).焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為a b223焦點(diǎn)位置判斷哪項(xiàng)分

2、母大焦點(diǎn)就在相應(yīng)的軸上如求X 1=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)79(其中 m 0, n 0)4橢圓過兩定點(diǎn)，焦點(diǎn)位置不確定時(shí)可設(shè)橢圓方程為mx2 ny2 =1例已知橢圓過兩點(diǎn)，),B(-彳,2)，求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程2 25與-y 1 (a b0)共焦點(diǎn)的橢圓為 a2b2x22k b2 k二重難點(diǎn)問題探析1. 要有用定義的意識2 2x y例已知F1, F2為橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過259則AB =。2.標(biāo)準(zhǔn)方程要注意焦點(diǎn)的定位F1的直線交橢圓于 A B兩點(diǎn)若F?A F2B =12x2 v21-例橢圓1的離心率為一，m 一4 m2練習(xí).1如果方程x2 ky2 =k表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù) k的取值范圍為 2點(diǎn)P在橢

3、圓2x_+x259=1上，它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)距離的兩倍，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)考點(diǎn)三橢圓的簡單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程2 2x 丄y+ z=1 (aAb0)a b2 2y 丄x=1 (abA0)a b圖形1M亠F2-JMzqXU1F1 F2 范圍a蘭x蘭w1, -b 蘭 y_a 蘭 y 蘭 a, -b)蘭x蘭b【MeiWei_81重點(diǎn)借鑒文檔】對稱性關(guān)于原點(diǎn)對稱x軸和y軸是橢圓的對稱軸頂點(diǎn)(a,0),( ,0),(0, b),(0, -b)(b,0),( -b,0),(0, a),(0, a)離心率e 厶(0,1)a焦占八 、八、(c,0),( -c,0)(0,c),(0, -c)焦距F1F2I =

4、2c (其中 c2 = a2 -b2)長軸長2a短軸長2b準(zhǔn)線方程2ax =c2 a y 士c通徑2b2d =a.典型練習(xí)2 21.橢圓 11的長軸位于軸，長軸長等于；短軸位于軸，短軸長等于 ；焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)43分別是 _和_；離心率e=；左頂點(diǎn)坐標(biāo)是 _;下頂點(diǎn)坐標(biāo)是 _；橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍是，縱坐標(biāo)的范圍是 ； x0 y0的取值范圍是 。2. (1)若橢圓短軸一端點(diǎn)到橢圓 一焦點(diǎn)的距離是該點(diǎn)到同側(cè)長軸一端點(diǎn)距離的3倍，則橢圓的離心率(2) 若橢圓的長軸長不大于短軸長的2倍,則橢圓的離心率e (3) 若橢圓短軸長的兩個(gè)三等分點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形，則橢圓的離心率e =?？键c(diǎn)四點(diǎn)

5、、線與橢圓的位置關(guān)系2 2一點(diǎn)p(xo, yo)和橢圓 與 占=1 (a b 0)的位置關(guān)系a b2 2 2 2(點(diǎn)p(x0, y0)在橢圓外=智馬 1(2)點(diǎn)p(x0,y0)在橢圓上二篤耳=1a ba bx 2 y 2(3)點(diǎn)p(X0,y)在橢圓內(nèi)與 ”：1a b二.直線與橢圓的位置關(guān)系：1判斷直線與橢圓相交 =s 0;直線與橢圓相切 =0;直線與橢圓相離 =s : 02 弦長問題(1) 步驟：由橢圓方程與直線 I方程聯(lián)立方程組； 消元得一元二次方程；用韋達(dá)定理寫成兩根和積(2) 弦長公式直線 R= kR+ b(k豐0)與橢圓相交于 A(X1 , %) , B( X2 , y?)兩點(diǎn)，貝U當(dāng)

6、直線的斜率存在時(shí)，弦長公式：I = 11 + k2|為一 x2 =$(1 + k2) + x2)2 -4x1x2當(dāng) k 存在且不為零時(shí) I+2|y1 y2 = J+2*；卜4 + y2)2 -4yi y2。V kV k三常用方法2 21設(shè)而不求法例經(jīng)過橢圓11的右焦點(diǎn)作一條斜率為-1的直線，與橢圓相交于A,B;43(I )求線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)；(II )求線段AB的長【MeiWei_81重點(diǎn)借鑒文檔】2點(diǎn)差法例求橢圓x2 2y2 =1中斜率為2的平行弦的中點(diǎn)的軌跡方程 2 2【小結(jié)】設(shè) A(xy2) , B(x2, y2)是橢圓=1上不同的兩點(diǎn)，且 x1豐x2, x1 + x2豐0, M(x

7、),y0)為AB的中 點(diǎn)，則兩式相減可得空竺.口 一三即Xi -X2 Xi 加2a2 23中點(diǎn)弦問題：例若橢圓 二=1的弦被點(diǎn)(4, 2)平分，則此弦所在直線的斜率為3692 2X y練習(xí)：設(shè)Fi、F2分別是橢圓+= 1的左、右焦點(diǎn)54(1) 若P是該橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)，求PFi PF2的最大值和最小值；(2) 是否存在過點(diǎn) A (5, 0)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn) C D,使得| F2C |=| F2D | ?若存在，求直線l的方 程；若不存在，請說明理由考點(diǎn)五焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)及應(yīng)用一定義：橢圓上任意一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形設(shè) P( xo，yo)為橢圓上一點(diǎn),|PF1| =

8、 r1, |PF2| =2,卩吐8)2 2 21 方法 定義：+ r2= 2a (2)余弦定理：(2c) =口 + Zhdcosv面積S pF1F2Jrs inr22性質(zhì)已知橢圓方程為=1(a b 0),左右兩焦點(diǎn)分別為F1, F2,在焦點(diǎn) PF1F2中，則2 日 2S雋PF2二b tan 若.F1PF2最大，則點(diǎn)P為橢圓短軸的端點(diǎn) COST _ 1 - 2e .22例已知橢圓 務(wù)與=1(a b 0)的兩焦點(diǎn)分別為F1, F2,若橢圓上存在一點(diǎn)P,使得.F1PF2=12O0,求橢圓的 a b離心率e的取值范圍。練習(xí)已知橢圓的焦點(diǎn)是Fm 1,0)、F2(1,0),P為橢圓上一點(diǎn)，且|F1F2|是

9、|PF1|和| PF2 |的等差中項(xiàng)求橢圓的方程； 若點(diǎn)P在第三象限，且/ PF1F2 = 120求tanF2PF .考點(diǎn)六橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法一常用方法：1定義法，2待定系數(shù)法 步驟定位：確定橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上；設(shè)方程：根據(jù)焦點(diǎn)位置設(shè)出相應(yīng)方程；定值：根據(jù)題目條件確定相關(guān)的系數(shù)。2 23當(dāng)橢圓過兩定點(diǎn)時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為mx ny =1(m0, n0),二應(yīng)用示例1 .定義法例1已知 ABC的頂點(diǎn)B, C的坐標(biāo)分別為(-3,0,(3 0), AB邊上的中線 CE與AC邊上的中線 BF 交于點(diǎn)G，且GF| -|GE -5，求點(diǎn)G的軌跡方程.例2求到兩定點(diǎn) 片(-3,0), F2(3,0)的

10、距離和等于10的點(diǎn)的軌跡方程.練習(xí)1已知B,C是兩個(gè)定點(diǎn)BC長等于8,且厶ABC的周長等于20,求頂點(diǎn)A的軌跡方程2已知 ABC三邊AB,BC,CA的長成等差數(shù)列，且 AB長大于CA長，點(diǎn)B,C的坐標(biāo)為(-2 , 0), (2, 0),求頂 點(diǎn)A的軌跡方程，并說明它是什么曲線x2 y23已知橢圓 飛+匚=15)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2,I且F1F2 =8，弦AB過點(diǎn)F1，則 ABF?的周長a 254橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是(-J6,0), (J6,0)，過點(diǎn)(J6,1 ),求橢圓的方程?！綧eiWei_81重點(diǎn)借鑒文檔】2待定系數(shù)法 例已知橢圓的焦距離為 2 6且過點(diǎn)(.3, . 2)，求焦點(diǎn)在x軸上時(shí)

11、的標(biāo)準(zhǔn)方程.3. 軌跡法9例厶ABC的頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-4,0 ), (4,0 )邊AC,BC所在直線的斜率之積等于一，求頂點(diǎn)C的軌跡方程,16并說明其軌跡是什么曲線；.三典型練習(xí)練習(xí)1.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1) 兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(一 4, 0), ( 4, 0),橢圓上一點(diǎn) P到兩焦點(diǎn)距離之和等于 10;3 5(2) 兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0,- 2)、( 0, 2),并且橢圓經(jīng)過點(diǎn)(-3,上)；2 2(3) 長軸長是短軸長的 3倍，并且橢圓經(jīng)過點(diǎn) A (-3 , ,3 ) 2 2練習(xí)2.已知點(diǎn)P(3,4)是橢圓 篤篤=1(ab0)上的一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2是它的兩焦點(diǎn)，

12、若 PR丄PF?，求 a2 b2(1)橢圓的方程 F2PF1的面積.3根據(jù)下列條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)和橢圓X y 1共準(zhǔn)線，且離心率為丄. 已知P點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對稱軸的24202橢圓上，點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離分別為 4 ,5和2 v5，過P作長軸的垂線恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)33考點(diǎn)七橢圓定義與性質(zhì)的應(yīng)用一定義的運(yùn)用 二橢圓的幾何性質(zhì)應(yīng)用2 21、基礎(chǔ)知識例對橢圓-y 1，求(1)畫出草圖(2)焦點(diǎn)，焦距(3)頂點(diǎn)，長軸的長，短軸的長，(4)離259心率，(5)左右準(zhǔn)線方程，(6) P是橢圓上動點(diǎn)，則 P到左焦點(diǎn)的距離最值.練習(xí)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)長軸是短軸的2倍，經(jīng)過點(diǎn)(4,0)(2)一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0),經(jīng)過點(diǎn)(-3 ,0)( 3)J5個(gè)焦點(diǎn)為(2,0)，一條準(zhǔn)線方程為x=-4 (4)長軸在R軸上，一條準(zhǔn)線方程是X = 3，離心率為 32離心率方法：求橢圓離心率2 2例若橢圓+ =12 m22若A B是橢圓X2a2練習(xí)1設(shè)已知橢圓務(wù) a求此橢圓的離心率e時(shí)，只要求出的離心率是a,b,c的一個(gè)齊次方程，再結(jié)合 ab2 c2就可求得e(0e b 0)的右焦點(diǎn)為F,右準(zhǔn)線為I .若過F且垂直于R軸的弦長等于點(diǎn)F到I的距離, b20)上的兩個(gè)頂