橢圓方程迭代法介紹

1、第三章橢圓型問題地差分法 3- 1流體力學(xué)中地橢圓型問題無旋流場中 速度勢 兀丨Laplace Eq.）二維不可壓定常流動，利用渦-流函數(shù)表示：不可壓分離流問題中,擾動壓力場： I定常地N S方程求解問題在網(wǎng)格自動生成中，求解橢圓型方程地網(wǎng)格生成方法由于橢圓型方程地數(shù)學(xué)性質(zhì)：求解域內(nèi)部任何一點地解函數(shù)依賴于所有邊界上地邊界 條件，因此從數(shù)值計算方法來看，就不能從一部分邊界起步進(jìn)行推進(jìn)計算到另外地邊界，這與發(fā)展方程地求解方法有很大地差別，橢圓型方程地數(shù)值求解方法，只能是在整個流場中進(jìn)行迭代計算來求解 b5E2RGbCAP 32橢圓型問題地迭代法求解 一）迭代法地基本概念例：方程其中一般地，對于線

2、性方程組有| q1若 為非奇異矩陣，即:-,則1由于是個階數(shù)甚大地矩陣 地解.地迭代關(guān)系.通常為計算方便迭代法設(shè)法給出迭代法采取 F，使之簡單）若耳 若迭代是有效地,則 1即 1 （3或研究迭代地收斂性:引入誤差:而由（2-（3得:即或有遞推關(guān)系式:由于 I是初始解與精確解地誤差，應(yīng)是一個有界地任意函數(shù)，故迭代矩陣 H應(yīng)具有:當(dāng) 一 時,|,Z為任意地有界向量函數(shù).DXDiTa9E3d可以證明： 參閱“偏微分方程地有限差分方法”P239)對于任意地向量乙地充分必要條件是 H地所有地特征值地絕對值 由方程 將矩陣分解為：A=L+D+UL :主對角線以下地元素3 j時等于A,其余為零）D :主對角

3、線元素U :主對角線以上地元素3 ij時等于A,其余為零）H,M可以驗證滿足迭代有效性條件 ，即 亠2、Gauss-Seidel 點迭代類似1 但是:在實際計算中中j）只要遵循已有新值時，用新值，沒有新值時用舊值，即為G-S.*往返掃描地Gauss-Seidel迭代，即stepl:step2:3、SORv逐點松弛迭代）step1.用G S迭代法求中間值，即step2.(b消去中間結(jié)果I即將（a代入其中為松弛因此， L n為亞松弛,士時為超松弛4、線迭代和線松弛迭代保留主對角元素在 D中丄,U則仍為余下元素地上三角與下三角矩陣則:導(dǎo)出線迭代而1導(dǎo)出線D S迭代*往返掃描地GS線迭代 線松弛迭代）

4、廠|導(dǎo)出松弛迭代、迭代法地收斂性及松弛因子地選擇1. 迭代法收斂地幾個充分條件對于方程1 若矩陣A滿足強(qiáng)對角優(yōu)勢條件，則Jacobi迭代和G S迭代均收斂 若矩陣A滿足對角占優(yōu)條件，且矩陣A為不可約矩陣,則Jacobi迭代 和G S迭代均收斂 若矩陣A是對稱正定矩陣，則G S迭代收斂. 若丨且有Jacobi迭代收斂地，則匚丄地松弛迭代也總是則Jacobi,G -S迭代收斂 若對于 1收斂地只證明 余略）a為強(qiáng)對角占優(yōu)，及將A地每一行元素均用該行地主對角線元素去除，可得到主對角元素為 1,且不改變將對角占優(yōu)地性質(zhì)，二J，然后將口分解為二J,RTCrpUDGiT對于Jacobi迭代,J即 I 利用

5、矩陣地特征值分布定理（Gerschgorin圓盤定理 ,可知匕地所有特征值均在單位圓內(nèi),證畢！2、對于Poisson方程Jacobi迭代矩陣地特征分析結(jié)論：1、Jacobi迭代矩陣地特征值為：為邊界y方向總網(wǎng)格數(shù)為1+1（0,12；Ql為邊界2、逐點松弛迭代法中迭代矩陣地特征值G S或SOR）設(shè)地特征值為則結(jié)論為:3、SOR方法中松弛因子地最優(yōu)化迭代由-I結(jié)論:，使：匚|地充要條件是:2)|Jacobi迭代矩陣地譜半徑并有但是由于實際過程中I,未知，所以不能預(yù)先知曉4、優(yōu)選松弛因子地兩個近似方法方法1:利用地關(guān)系仍為上面之 1） 2）兩式步驟取 用SOR迭代計算若干步，然后用下面地計算近似地一

6、HJ代入1)式求根據(jù)2)I即為地第一次近似值可以類似求出一，一I，直至一，一之差小于 為止.方法2、令由I開始，近似認(rèn)為5、幾種主要地迭代算法地收斂速度比較設(shè)而為問題求解域為zi a 內(nèi)點共有個a. Jacobi 迭代:所以收斂速度b. G S迭代由_1 當(dāng)亠時，即為G S，I所以c. SORI 3-3定常問題地迭代法求解與 偽不定常）時間推進(jìn)法 計算地一致性討論-、 概述例1,定常方程* |（*采用Jacobi迭代，差分格式用中心差分其中可以視為虛擬地時間步長即從方程出發(fā)地FTCS格式,與從方程* ）出發(fā)地Jacobia迭代得到相同地差分或穩(wěn)定條件:為簡單起見令將k,k+1視為相鄰兩個迭代步地解，則上式是原方程廠7 地Jacobi迭代,即日可視為一個虛擬