數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文關(guān)于一類矩陣秩的恒等式猜想的注記

1、莆田學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文 編號(hào) 莆田學(xué)院畢 業(yè) 論 文課題名稱：關(guān)于一類矩陣秩的恒等式猜想的注記系 別 數(shù)學(xué)系 學(xué)生姓名 學(xué) 號(hào) 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級(jí) 03級(jí) 指導(dǎo)教師 2007 年 6 月13目 錄摘 要iiabstractiii原創(chuàng)性聲明（學(xué)生）iv原創(chuàng)性聲明（指導(dǎo)老師）v0引言10.1 記號(hào)說明10.2 研究現(xiàn)狀11 預(yù)備知識(shí)22 主要定理及證明23 猜想1與猜想2的解決84 猜想的應(yīng)用9參考文獻(xiàn)12致 謝13關(guān)于一類矩陣秩的恒等式猜想的注記摘 要采用分塊矩陣，初等變換以及數(shù)學(xué)歸納法，證明了文獻(xiàn)1中提出的猜想并對(duì)這個(gè)猜想進(jìn)行推廣。探討sylvester不等式的等號(hào)成立問題，從而得到

2、矩陣秩的和與矩陣乘積的秩兩者之間的關(guān)系。【關(guān)鍵詞】分塊矩陣 初等變換 矩陣秩the remark to the speculation of a class of matrix rank identitiesabstractby using the block matrix, the elementary transformation as well as the mathematical induction, we had proven the speculation in the literature 1 and generalized the it .we discussed the q

3、uestion that made the sylvester inequality be equal, thus obtained the rela- tionship between the sum of the rank of matrix and the rank of the product of matrix.【key words】 block matrix; elementary transformation; matrix rank莆田學(xué)院學(xué)士學(xué)位畢業(yè)論文原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn)行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本

4、論文不含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的作品成果。對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本人完全意識(shí)到本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。學(xué)位畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）作者簽名：日期： 年 月 日 莆田學(xué)院學(xué)士學(xué)位畢業(yè)論文原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是在本人的指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn)行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的作品成果。對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。指導(dǎo)教師簽名：日期： 年 月 日莆田學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文0 引言0.1 記號(hào)說明本文使用以下記號(hào)：表示矩陣的秩；表示矩陣是數(shù)域上的階

5、矩陣；表示矩陣是復(fù)數(shù)域上的階矩陣；表示數(shù)域上多項(xiàng)式環(huán)；表示相應(yīng)階數(shù)的單位矩陣.0.2 研究現(xiàn)狀本文所研究是矩陣秩的恒等式問題。眾所周知，sylvester不等式是矩陣秩的一個(gè)著名的結(jié)果，在求矩陣秩的相關(guān)問題中處于重要的地位，我們感興趣的是其不等式何時(shí)取等號(hào)。如果sylvester不等式能取等號(hào)，這將是一個(gè)很好的公式。文獻(xiàn)1將sylvester不等式中的矩陣限定為的形式，給出矩陣秩的一些恒等式結(jié)果并提出下列猜想：猜想1 設(shè)，當(dāng)滿足適當(dāng)條件時(shí)，則猜想2 設(shè)且，當(dāng)滿足適當(dāng)條件時(shí)，則其中是關(guān)于的多項(xiàng)式。2007年文獻(xiàn)2將討論的數(shù)域限制在復(fù)數(shù)域上，然后利用矩陣的jordan標(biāo)準(zhǔn)形的性質(zhì)證明了猜想1是正確

6、的。jordan標(biāo)準(zhǔn)形是個(gè)很好的研究工具，但是它也存在局限性即jordan標(biāo)準(zhǔn)形僅在復(fù)數(shù)域中有效。本文討論的數(shù)域?qū)⒉蛔飨拗疲捎梅謮K矩陣的性質(zhì)及初等變換證明猜想1成立，進(jìn)而證明猜想2亦成立，并對(duì)相關(guān)的矩陣的恒等式作進(jìn)一步推廣。1 預(yù)備知識(shí)引理13（著名的sylvester不等式） 設(shè)則引理23 初等方陣從左邊乘以矩陣a相當(dāng)于對(duì)a作初等行變換. 初等方陣從右邊乘以矩陣a相當(dāng)于對(duì)a作初等列變換. 初等變換不改變矩陣的秩.引理34 設(shè)則 則引理42 設(shè) 兩兩可交換,那么當(dāng)可逆時(shí),引理55 設(shè) ，若且矩陣的特征值全不為，則。2 主要定理及證明定理1 設(shè)，,當(dāng)兩兩互異時(shí),那么等價(jià)于證明 （采用數(shù)學(xué)歸納法

7、） 當(dāng)t=2時(shí)所以等價(jià)于故當(dāng)t=2時(shí)結(jié)論成立. 當(dāng)t=3時(shí)， 所以等價(jià)于故當(dāng)t=3結(jié)論成立. 假設(shè)對(duì)所有結(jié)論成立，則有等價(jià)于于是存在可逆矩陣使得=那么當(dāng) 時(shí)， 由于互不相同，那么多頂式為兩兩互素。根據(jù)帶余除法定理6知其中且.（若，則，這與兩兩互素矛盾）因此，矩陣多項(xiàng)式,. 等價(jià)于故所以當(dāng) 時(shí)結(jié)論成立。即定理1得證。定理2 設(shè) 兩兩可交換。那么當(dāng)可逆時(shí), 等價(jià)于。其中 證明 證明過程同定理1。3 猜想1與猜想2的解決猜想1 設(shè)，,當(dāng)兩兩不相同時(shí),則有證明 由定理1可知 由引理3可得，即猜想1得證。注 由此可知猜想1正確性。對(duì)猜想1文獻(xiàn)2也給出的證明，但文獻(xiàn)2討論的數(shù)域僅僅限制在復(fù)數(shù)域內(nèi)，而本文對(duì)

8、猜想1的討論可以不受數(shù)域限制。猜想2 設(shè)且 且為兩兩, 則有，其中是關(guān)于的多項(xiàng)式。證明 由猜想1可知，當(dāng)為兩兩互異時(shí)，不妨設(shè)其中因?yàn)?所以故其中都是關(guān)于的多項(xiàng)式。 所以，猜想2是正確的。4 猜想的應(yīng)用命題1設(shè)， ，若時(shí)，必滿足的特征值全不為，那么證明不妨設(shè)兩兩互異,而且的特征值全不為。于是矩陣多項(xiàng)式皆為可逆矩陣。由猜想1及引理5可知 由 兩式相加得則故有即命題1得證。命題2 設(shè),兩兩可交換且當(dāng)可逆時(shí), 證明 由引理3可知由定理2及引理2可知故結(jié)論得證。注明 猜想1將不等式中的矩陣限定為的形式, 命題2把不等式中的矩陣推廣為的形式。命題3 設(shè),，且互不相同，則證明 令，則由于且互不相同，所以，是

9、兩兩互素，根據(jù)猜想1可知故命題成立。參考文獻(xiàn)1 李書超等.一類矩陣秩的恒等式及其推廣j.武漢科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2004.3,27(1):9698 2 王廷明等.一類矩陣秩恒等式的證明j.山東大學(xué)學(xué)報(bào)(理工版)j. 2007.2，42（3）:43453 張賢科等.高等代數(shù)學(xué)m.北京：清華大學(xué)出版社,19974 樊惲,錢吉林等.代數(shù)學(xué)辭典m.武漢：華中師范大學(xué)出版社，1994.12 5 姚慕生.高等代數(shù)m.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2002.86 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室數(shù)學(xué)組編.高等代數(shù)(第二版)(m).北京:高等教育出版社,1988.37 李師正.高等代數(shù)解題方法與技巧m.北京：高等教育出版社，2004.28 方煒.關(guān)于矩陣秩的一個(gè)不等式的注記j.黃山學(xué)院學(xué)報(bào)，2005.7 ,7（3）：789 蔣永泉.互素多項(xiàng)式在矩陣秩中的應(yīng)用j.徐州師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2004.9,22(3):7173致 謝本文是在楊忠鵬教授悉心指導(dǎo)下完成的。楊教授以其嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的教學(xué)態(tài)度、高度的敬業(yè)精神和孜孜以求的工作作