二階常微分方程解的穩(wěn)定性研究畢業(yè)論文

1、更多論文二階常微分方程解的穩(wěn)定性研究摘要 通過(guò)函數(shù)方法討論形如的二階微分方程零解的穩(wěn)定性、漸近穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性.關(guān)鍵詞 二階微分方程 函數(shù)法 零解的穩(wěn)定性1.形如的二階微分方程零解的穩(wěn)定性定理、漸近穩(wěn)定性定理和不穩(wěn)定性定理對(duì)于微分方程組 (1)假設(shè),且在的某領(lǐng)域(為正常數(shù))內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),因而方程組(1)的由初值條件所確定的解在域內(nèi)存在且唯一.其中的范數(shù)定義為,滿足在域的局部利普希茨條件.顯然是其零解.將方程組的特解通過(guò)變換化為零解再進(jìn)行零解穩(wěn)定性態(tài)的討論,可不必就各種特解討論其穩(wěn)定性態(tài).駐定微分方程常用的特解是常數(shù)解,即方程右端函數(shù)等于零時(shí)的解.定義1 如果對(duì)任意給定的,存在（一般與和有關(guān)

2、）,使當(dāng)任一滿足時(shí),方程組(1)的由初值條件確定的解,對(duì)一切均有，則稱方程組(1)的零解為穩(wěn)定的.如果方程組(1)的零解穩(wěn)定，且存在這樣的使得當(dāng)時(shí),滿足初始條件的解均有,則稱零解為漸近穩(wěn)定的.當(dāng)零解不是穩(wěn)定時(shí),稱它是不穩(wěn)定的.即是說(shuō):如果對(duì)給定的某個(gè)給定的不管怎樣小,總有一個(gè)滿足,使由初值條件所確定的的解,至少存在某個(gè)使得,則稱方程組(1)的零解為不穩(wěn)定的.定義2 設(shè)函數(shù)在中原點(diǎn)的某領(lǐng)域中有定義, 在連續(xù)可微,且滿足.若除原點(diǎn)外即對(duì)所有有,則稱為正定函數(shù)(負(fù)定函數(shù));若對(duì)所有恒有,則稱為半正定函數(shù)或常正函數(shù)(半負(fù)定函數(shù)或常負(fù)函數(shù));若在中原點(diǎn)的任一領(lǐng)域內(nèi)即可取正值,也可取負(fù)值,則稱為變號(hào)函數(shù).

3、引理 如果一階線性微分方程組 (2)的特征根均不滿足關(guān)系,則對(duì)任何負(fù)定(或正定)的對(duì)稱矩陣,均有唯一的二次型使其通過(guò)方程組(2)的全導(dǎo)數(shù)有,且稱對(duì)稱矩陣滿足關(guān)系式,這里分別表示的轉(zhuǎn)置.定義3 假設(shè)函數(shù)關(guān)于所有變?cè)钠珜?dǎo)數(shù)存在且連續(xù),以方程組, (1)的解代入,然后對(duì)求導(dǎo)數(shù), (3)這樣求得的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)通過(guò)方程組(1)的全導(dǎo)數(shù).定理1 若有原點(diǎn)的領(lǐng)域和一個(gè)正定(負(fù)定) 函數(shù),使得通過(guò)其方程組的全導(dǎo)數(shù)是半負(fù)定(半正定)或恒等于零的,則方程組(1)的零解是穩(wěn)定的;若使得是負(fù)定(正定)時(shí),方程組(1)的零解時(shí)漸近穩(wěn)定的.證 設(shè)函數(shù)正定,對(duì)任意給定的(不妨假設(shè)閉球在中),取,則當(dāng)時(shí),的點(diǎn)必全部位于原點(diǎn)

4、的領(lǐng)域內(nèi).由的連續(xù)性可知,必有,使得當(dāng)時(shí), .由于,當(dāng)時(shí),對(duì)一切有,所以當(dāng)時(shí), .這就說(shuō)明了半負(fù)定時(shí)方程組(1)的零解是穩(wěn)定的.當(dāng)負(fù)定時(shí), 方程組(1)的零解穩(wěn)定,只要,即可證明方程組(1)的零解漸進(jìn)穩(wěn)定.利用反證法,設(shè)方程組(1)的零解不是漸進(jìn)穩(wěn)定的,則至少有一個(gè)從上述院的的領(lǐng)域內(nèi)某點(diǎn)出發(fā)的解,使得.由于負(fù)定,故單調(diào)下降,從而由的正定性知必有,且時(shí).由的連續(xù)性知,必存在,使得時(shí).又由于是負(fù)定的,必有,在區(qū)域內(nèi), ,由(3)式得.對(duì)上式兩邊積分得.這表明,這與矛盾.故方程組(1)的零解漸進(jìn)穩(wěn)定.例1 討論二階線性微分方程零解的穩(wěn)定性.解 經(jīng)過(guò)變換,化為平面線性微分方程組其特征根為.滿足條件.又

5、因?yàn)槠湎禂?shù)矩陣,任一負(fù)定對(duì)稱矩陣和,可構(gòu)造二次型,并得三元線性代數(shù)方程組解此方程組得到,從而得二次型函數(shù).顯然此二次型函數(shù)是正定的,且其通過(guò)線性方程組的全導(dǎo)數(shù)為,它是負(fù)定函數(shù),由定理1可知二階線性微分方程的零解是漸近穩(wěn)定的.例2 討論二階線性微分方程零解的穩(wěn)定性.解 令,將該方程化為等價(jià)的微分方程組其特征根為.滿足條件.又因?yàn)槠湎禂?shù)矩陣,任一正定對(duì)稱矩陣和,可構(gòu)造二次型,并得三元線性代數(shù)方程組解此方程組得到,從而得二次型函數(shù).顯然此二次型函數(shù)是負(fù)定的,且其通過(guò)線性方程組的全導(dǎo)數(shù)為,它是正定函數(shù),由定理1可知二階線性微分方程的零解是漸近穩(wěn)定的.定理2 設(shè)在原點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)存在正定函數(shù),它沿著方程組(

6、1)軌線的全導(dǎo)數(shù)是半負(fù)定的,如果集合內(nèi)除原點(diǎn)外,不再包含方程組的其他軌線,則方程組(1)的零解漸進(jìn)穩(wěn)定.證 由定理1可知,在定理2的條件下的零解是漸近穩(wěn)定的.于是對(duì)給定的(不妨假定閉球含在內(nèi)),可以找到,使得當(dāng)時(shí),方程組(1)滿足的解;當(dāng)時(shí)滿足,且由易見是的單調(diào)非增有界函數(shù),故必有極限,令.由于的正半軌有界,故它的極限集非空,若,則有.這表明,從而有.由于是由方程組(1)的整條軌線組成,而在中除外不再包含方程組(1)的其它軌線,故有.于是有.零解的漸近穩(wěn)定性得證.例3 討論二階非線性微分方程零解的穩(wěn)定性.其中都是連續(xù)函數(shù),且滿足下列條件(1) (2) .解 選取,由條件(1)知,是正定函數(shù).計(jì)

7、算沿著該方程組軌線的全導(dǎo)數(shù)得.由條件(2)知是半負(fù)定的.又因?yàn)榧?由該方程組可知時(shí),滿足方程組的解必有,從而集合內(nèi)除外不再包含該方程組的其它軌線,所以該方程組零解是漸近穩(wěn)定的.例4 給定二階微分方程,其中,而當(dāng)時(shí).是將其化為平面微分方程組,并用形如的李雅普諾夫函數(shù)討論方程組零解的穩(wěn)定性.解 令,將該方程化為等價(jià)的平面微分方程組由條件,而當(dāng)時(shí)可知, 是正定函數(shù). 計(jì)算沿著該方程組軌線的全導(dǎo)數(shù)得.由定理1可知該方程組的零解是穩(wěn)定的.定理3 設(shè)在原點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)有函數(shù),它沿著方程組(1)軌線的全導(dǎo)數(shù)是正定(負(fù)定)的,而本身不是半負(fù)定(半正定)的,則方程組(1)的零解是不穩(wěn)定的.證 該定理的直觀含義是沿

8、著方程組(1)的任一條解曲線, 必定增加,而在原點(diǎn)的任一領(lǐng)域內(nèi)必有使的點(diǎn),所以從出發(fā)的解曲線隨著增加必向增加的方向跑,故導(dǎo)致了零解的不穩(wěn)定性.證明時(shí)用反證法.設(shè)方程組(1)的零解是穩(wěn)定的,則,使當(dāng)時(shí)，。由于正定，所以隨著單調(diào)遞增，又因不是半負(fù)定，故可以找到，使，于是有.由于連續(xù),故必有,使得.再由的正定性可知,存在,在區(qū)域中.利用這一不等式對(duì)積分得.由上式可知, ,這與和的連續(xù)性矛盾.所以方程組(1)的零解是不穩(wěn)定的.例5 討論二階微分方程零解的穩(wěn)定性.解 令,將該方程化為等價(jià)的平面微分方程組.取,計(jì)算得.顯然可以看出,在原點(diǎn)足夠小的領(lǐng)域內(nèi)都是正定函數(shù),所以由定理3可知該方程組的零解是不穩(wěn)定的

9、.2.二階微分方程零解穩(wěn)定性的應(yīng)用將下列二階微分方程(1).(2).化成微分方程組,然后對(duì)方程組求二次型函數(shù),使其通過(guò)方程組的全導(dǎo)數(shù),并討論該方程組零解的穩(wěn)定性.(1)解 令,將該方程化為等價(jià)的平面微分方程組.其特征根為.滿足條件.又因?yàn)槠湎禂?shù)矩陣,任一正定對(duì)稱矩陣和,可構(gòu)造二次型,并得三元線性代數(shù)方程組解此方程組得到,從而得二次型函數(shù).顯然此二次型函數(shù)是負(fù)定的,且其通過(guò)線性方程組的全導(dǎo)數(shù)為,它是正定函數(shù),由定理1可知二階線性微分方程的零解是漸近穩(wěn)定的.(2)解 令,將該方程化為等價(jià)的平面微分方程組.取正定二次型函數(shù).計(jì)算其全導(dǎo)數(shù)為,它是正定函數(shù),由定理3可知二階線性微分方程的零解是不穩(wěn)定的.參考文獻(xiàn)1 馬知恩 周義倉(cāng),常微分方程定性和穩(wěn)定性方法,第三章第一節(jié)穩(wěn)定性的定義和例子j.北京:科學(xué)出版社,2001.82 馬知恩 周義倉(cāng),常微分方程定性和穩(wěn)定性方法,第三章第二節(jié)自治系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性j.北京:科學(xué)出版社,2001.83 王高雄 周之銘等,常微分方程