材料力學(xué)(I)第3章

1、材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)1 第第 3 章章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 3-1 概述概述 3-2 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn) 3-3 傳動軸的外力偶矩傳動軸的外力偶矩 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖 3-4 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力 強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件 3-5 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形 剛度條件剛度條件 3-6 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能 3-7 等直非圓桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形等直非圓桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)2 3-1 概概 述述 變形特點(diǎn)變形特點(diǎn): : . . 相鄰橫截面繞桿的軸線相對轉(zhuǎn)動；相

2、鄰橫截面繞桿的軸線相對轉(zhuǎn)動； . . 桿表面的縱向線變成螺旋線；桿表面的縱向線變成螺旋線； . . 實(shí)際構(gòu)件在工作時(shí)除發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形實(shí)際構(gòu)件在工作時(shí)除發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形 外，還伴隨有彎曲或拉、壓等變形。外，還伴隨有彎曲或拉、壓等變形。 受力特點(diǎn)受力特點(diǎn)： 圓截面直桿在與桿的軸線垂直平面內(nèi)圓截面直桿在與桿的軸線垂直平面內(nèi) 的外力偶的外力偶Me作用下發(fā)生扭轉(zhuǎn)。作用下發(fā)生扭轉(zhuǎn)。 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)3 圓軸扭轉(zhuǎn)變形動畫圓軸扭轉(zhuǎn)變形動畫 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)4 本章研究桿件發(fā)生除本章研究桿件發(fā)生除扭轉(zhuǎn)變形扭轉(zhuǎn)變形外，其它變形可忽略的情況，外，其它變形可忽略的

3、情況， 并且以并且以圓截面圓截面( (實(shí)心或空心圓截面實(shí)心或空心圓截面) )桿桿為主要研究對象。為主要研究對象。 此外，所研究的問題限于桿在線彈性范圍內(nèi)工作的情況。此外，所研究的問題限于桿在線彈性范圍內(nèi)工作的情況。 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)5 3-2 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn) 薄壁圓筒薄壁圓筒通常指通常指 的圓筒的圓筒 10 0 r 當(dāng)其兩端面上作用有外力當(dāng)其兩端面上作用有外力 偶矩時(shí)，任一橫截面上的偶矩時(shí)，任一橫截面上的 內(nèi)力偶矩內(nèi)力偶矩扭矩。扭矩。 （T=Me） 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)6 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)動畫薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)動畫 材料力學(xué)材料力

4、學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)7 . . 薄壁圓筒橫截面上各點(diǎn)處切應(yīng)力的變化規(guī)律薄壁圓筒橫截面上各點(diǎn)處切應(yīng)力的變化規(guī)律 表面變形情況表面變形情況： (1) (1) 圓周線只是繞圓筒軸線轉(zhuǎn)動圓周線只是繞圓筒軸線轉(zhuǎn)動, ,形狀及尺寸不變；形狀及尺寸不變； (2) (2) 縱向直線在小變形情況下保持為直線縱向直線在小變形情況下保持為直線, ,但發(fā)生傾斜但發(fā)生傾斜; ; (3) (3) 圓周線之間的距離保持不變。圓周線之間的距離保持不變。 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)8 推論：推論： (1) (1) 橫截面保持為形狀、大小未改變的平面，即橫截面橫截面保持為形狀、大小未改變的平面，即

5、橫截面 如同剛性平面一樣；如同剛性平面一樣； (2) (2) 相鄰橫截面只是繞圓筒軸線相對轉(zhuǎn)動，橫截面之間相鄰橫截面只是繞圓筒軸線相對轉(zhuǎn)動，橫截面之間 的距離未變。的距離未變。 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)9 橫截面上的應(yīng)力橫截面上的應(yīng)力： (1) (1) 只有與圓周相切的切應(yīng)力，且圓周上所有點(diǎn)處只有與圓周相切的切應(yīng)力，且圓周上所有點(diǎn)處 的切應(yīng)力相同；的切應(yīng)力相同； (2) (2) 對于薄壁圓筒，可認(rèn)為切應(yīng)力沿壁厚均勻分布；對于薄壁圓筒，可認(rèn)為切應(yīng)力沿壁厚均勻分布； (3) (3) 橫截面上無正應(yīng)力。橫截面上無正應(yīng)力。 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)10 引進(jìn)

6、引進(jìn)，上式亦可寫作上式亦可寫作 2 00 rA . . 薄壁圓筒橫截面上切應(yīng)力的計(jì)算公式：薄壁圓筒橫截面上切應(yīng)力的計(jì)算公式： 由由 ，根據(jù)應(yīng)力分布可知，根據(jù)應(yīng)力分布可知，TrA A d 0 2A T 2 000 0 2)2(dr T rr T Ar T A 根據(jù)條件根據(jù)條件 ，有，有 A TArd 0 (3-1) 其中其中r0為薄壁圓筒的平均半徑為薄壁圓筒的平均半徑 A rA 0 2d 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)11 . . 剪切胡克定律剪切胡克定律( (Hookes law in shear) (1)(1)上述上述薄壁圓筒表面上每個(gè)格子的直角均改變了薄壁圓筒表面上每個(gè)格子

7、的直角均改變了g g， 這種直角改變量稱為這種直角改變量稱為切應(yīng)變切應(yīng)變。 (2)(2)該圓筒兩個(gè)端面之間繞圓筒軸線相對轉(zhuǎn)動了該圓筒兩個(gè)端面之間繞圓筒軸線相對轉(zhuǎn)動了j j 角角， 這種角位移稱為這種角位移稱為相對扭轉(zhuǎn)角相對扭轉(zhuǎn)角。 (3)(3)在認(rèn)為切應(yīng)力沿壁厚均勻分布的情況下在認(rèn)為切應(yīng)力沿壁厚均勻分布的情況下, ,有有tg= *r0/l , 由于由于 很小很小, ,故可近似為故可近似為 tg= , 即即g g =j j r0/l。 l 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)12 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)表明：當(dāng)橫截面上切應(yīng)力薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)表明：當(dāng)橫截面上切應(yīng)力 不不 超過材料的剪切比例

8、極限超過材料的剪切比例極限 p 時(shí)，時(shí)，外力偶矩外力偶矩 Me ( (數(shù)值數(shù)值 上等于扭矩上等于扭矩T ) )與相對扭轉(zhuǎn)角與相對扭轉(zhuǎn)角 j j 成線性正比例關(guān)系成線性正比例關(guān)系， 從而可知從而可知 與與 g g 亦成線性關(guān)系亦成線性關(guān)系：=G (3-3) 材料的剪切胡克定律材料的剪切胡克定律 式中的比例系數(shù)式中的比例系數(shù) G 稱為材料的稱為材料的切變模量切變模量 0 2A T l r0j j g g 鋼材的切變模量的約值為鋼材的切變模量的約值為：G =80GPa 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)13 3-3 傳動軸的外力偶矩傳動軸的外力偶矩 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖 . . 傳動

9、軸的外力偶矩傳動軸的外力偶矩 當(dāng)傳動軸穩(wěn)定轉(zhuǎn)動時(shí)，作用于某一輪上的外力偶在當(dāng)傳動軸穩(wěn)定轉(zhuǎn)動時(shí)，作用于某一輪上的外力偶在 t 秒鐘內(nèi)所作功等于外力偶矩秒鐘內(nèi)所作功等于外力偶矩 Me 乘以輪在乘以輪在 t 秒鐘內(nèi)的秒鐘內(nèi)的 轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角a a 。 a a e MW 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)14 因此，外力偶因此，外力偶Me每秒鐘所作功，每秒鐘所作功， 即即該輪所傳遞的功率該輪所傳遞的功率為為 3 minr mNe 3 sradmNe 3 s rad mNekw 10 60 2 10 10 n M M t MP a a 若已知傳動軸的若已知傳動軸的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速n( (亦即傳動軸上每個(gè)輪

10、的轉(zhuǎn)速亦即傳動軸上每個(gè)輪的轉(zhuǎn)速) )和和 主動輪或從動輪主動輪或從動輪所傳遞的功率所傳遞的功率P，即可由下式，即可由下式計(jì)算作用計(jì)算作用 于每一輪上的外力偶矩于每一輪上的外力偶矩： minr kw3 minr 3 kw mNe 1055. 9 2 6010 n P n P M (3-4) 60 2 n t a a 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)15 主動輪上的外力偶其轉(zhuǎn)向與傳動軸的轉(zhuǎn)動方向相同主動輪上的外力偶其轉(zhuǎn)向與傳動軸的轉(zhuǎn)動方向相同， 而而從動輪上的外力偶則轉(zhuǎn)向與傳動軸的轉(zhuǎn)動方向相反從動輪上的外力偶則轉(zhuǎn)向與傳動軸的轉(zhuǎn)動方向相反。 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)

11、轉(zhuǎn)16 . . 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖 傳動軸橫截面上的扭矩傳動軸橫截面上的扭矩T 可利用可利用截面法截面法來計(jì)算。來計(jì)算。 M0 e TM0 可仿照軸力圖的方法繪制扭矩圖可仿照軸力圖的方法繪制扭矩圖 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)17 扭矩圖中扭矩圖中扭矩的正負(fù)扭矩的正負(fù)規(guī)定可按其轉(zhuǎn)向的右手螺旋規(guī)定可按其轉(zhuǎn)向的右手螺旋 法則表示：法則表示：扭矩矢量離開截面扭矩矢量離開截面在扭矩圖中的取值在扭矩圖中的取值 為正為正，畫在橫軸的上方，畫在橫軸的上方; ;扭矩矢量指向截面為負(fù)扭矩矢量指向截面為負(fù), , 畫在橫軸的下方。畫在橫軸的下方。 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)

12、轉(zhuǎn)18 一傳動軸如圖，轉(zhuǎn)速一傳動軸如圖，轉(zhuǎn)速n=300 r/min，轉(zhuǎn)向如圖所示。，轉(zhuǎn)向如圖所示。 主動輪主動輪A輸入的功率輸入的功率P1= 500 kW，三個(gè)從動，三個(gè)從動B、C、 D輪輸出的功率分別為：輪輸出的功率分別為：P2= 150 kW，P3= 150 kW， P4= 200 kW。試作軸的扭矩圖。試作軸的扭矩圖。 例題例題 3-1 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)19 1. 1. 計(jì)算作用在各輪上的外力偶矩計(jì)算作用在各輪上的外力偶矩 mkN9 .15mN) 300 500 1055. 9( 3 1 M mkN78. 4mN) 300 150 1055. 9( 3 32

13、 MM mkN37. 6mN) 300 200 1055. 9( 3 4 M 主動輪上主動輪上M1的轉(zhuǎn)向和軸的轉(zhuǎn)向相同，從動輪上的的轉(zhuǎn)向和軸的轉(zhuǎn)向相同，從動輪上的 M2、M3、M4的轉(zhuǎn)向和軸的轉(zhuǎn)向相反。的轉(zhuǎn)向和軸的轉(zhuǎn)向相反。 例題例題 3-1 由由(3-4)式可列得式可列得 minr kw3 mNe 1055. 9 n P M (3-4) 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)20 2. 2. 計(jì)算各段的扭矩計(jì)算各段的扭矩 BC段內(nèi)段內(nèi), 假設(shè)扭矩為正，如圖所測假設(shè)扭矩為正，如圖所測： TM 12 -4.78kN m CA段內(nèi)，假設(shè)負(fù)扭矩段內(nèi)，假設(shè)負(fù)扭矩： 223 ()9.56kN m

14、TMM AD段內(nèi)，假設(shè)正扭矩段內(nèi)，假設(shè)正扭矩： mkN37. 6 43 MT 例題例題 3-1 M0 TM 12 0 得負(fù)值表明所設(shè)方向與實(shí)際相反得負(fù)值表明所設(shè)方向與實(shí)際相反, ,其轉(zhuǎn)向其轉(zhuǎn)向 的右手螺旋應(yīng)指向截面的右手螺旋應(yīng)指向截面 M0 223 0TMM 34 0TM 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)21 3.3.作扭矩圖作扭矩圖: :根據(jù)扭矩的正負(fù)規(guī)定根據(jù)扭矩的正負(fù)規(guī)定( (離開離開例題例題 3-1 2 T1 T 3 T 截面為正，指向截面為負(fù)）截面為正，指向截面為負(fù)）, ,畫出扭矩圖如下畫出扭矩圖如下， 由扭矩圖可見，傳動軸的最大扭矩由扭矩圖可見，傳動軸的最大扭矩Tmax

15、在在CA段內(nèi)，段內(nèi)， 其值為其值為9.56 kNm。 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)22 3-4 3-4 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件 . . 橫截面上的應(yīng)力橫截面上的應(yīng)力 表面表面 變形變形 情況情況 推斷推斷 橫截面橫截面 的變形的變形 情況情況 ( (問題的問題的幾何方面幾何方面) ) 橫截面橫截面 上應(yīng)變上應(yīng)變 的變化的變化 規(guī)律規(guī)律 應(yīng)力應(yīng)力- -應(yīng)變關(guān)系應(yīng)變關(guān)系 橫截面上橫截面上 應(yīng)力變化應(yīng)力變化 規(guī)律規(guī)律 ( (問題的問題的物理方面物理方面) ) 內(nèi)力與應(yīng)力的關(guān)系內(nèi)力與應(yīng)力的關(guān)系 橫截面上應(yīng)力橫截面上應(yīng)力 的計(jì)算公式的計(jì)算公式 ( (問

16、題的問題的靜力學(xué)方面靜力學(xué)方面) ) 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)23 1. 表面變形情況：表面變形情況： (a) (a) 相鄰圓周線繞桿的軸線相對轉(zhuǎn)動，但它們的大小和相鄰圓周線繞桿的軸線相對轉(zhuǎn)動，但它們的大小和 形狀未變，小變形情況下它們的間距也未變；形狀未變，小變形情況下它們的間距也未變； (b) (b) 縱向線傾斜了一個(gè)角度縱向線傾斜了一個(gè)角度g g 。 (1) (1) 幾何方面幾何方面 平面假設(shè)平面假設(shè)等直圓桿受扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面如同剛性平面繞等直圓桿受扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面如同剛性平面繞 桿的軸線轉(zhuǎn)動，小變形情況下相鄰橫截面的間距不變。桿的軸線轉(zhuǎn)動，小變形情況下相鄰橫截面的間距不變

17、。 推知：推知：桿的橫截面上只有切應(yīng)力，且垂直于半徑桿的橫截面上只有切應(yīng)力，且垂直于半徑。 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)24 x EG GG d d tan j j g gg g 即即 x d dj j g g E A O1 D dj j D G G O2 d/2 dx g g g g 2. 橫截面上一點(diǎn)處橫截面上一點(diǎn)處( r= )的切應(yīng)變隨點(diǎn)的位置而變化的切應(yīng)變隨點(diǎn)的位置而變化 的規(guī)律的規(guī)律 b b TT O1 O2 dj j G G D D a adx A E g g g g 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)25 x d dj j g g 式中式中 - -相

18、對扭轉(zhuǎn)角相對扭轉(zhuǎn)角 j j 沿桿長的變化率，沿桿長的變化率， 常用常用j j 來表示，對于來表示，對于 給定的橫截面為常量。給定的橫截面為常量。 xd dj j 可見，可見，在橫截面的同一半徑在橫截面的同一半徑 的圓周上各點(diǎn)處的切的圓周上各點(diǎn)處的切 應(yīng)變應(yīng)變 g g 均相同均相同； g g 與 與 成正比，且發(fā)生在與半徑成正比，且發(fā)生在與半徑 垂直的平面內(nèi)垂直的平面內(nèi)。 b b TT O1 O2 dj j G G D D a adx A E g g g g 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)26 x GG d dj j g g (2) (2) 物理方面物理方面 由剪切胡克定律由剪切

19、胡克定律 = Gg g 知知 可見，可見，在橫截面的同一半徑在橫截面的同一半徑 的圓周上各點(diǎn)處的切的圓周上各點(diǎn)處的切 應(yīng)力應(yīng)力 均相同，其值 均相同，其值 與與 成正比，其方向垂直于半徑成正比，其方向垂直于半徑。 x d dj j g g 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)27 其中其中 稱為橫截面的稱為橫截面的極慣性矩極慣性矩 Ip(單位單位:m4)，它是橫截面的幾何性質(zhì)。，它是橫截面的幾何性質(zhì)。 A Ad 2 (3) 靜力學(xué)方面靜力學(xué)方面 2 d d d A GAT x 即即 x GG d dj j g g (3-6) pp I T GI T G 等直圓桿在線彈性范圍內(nèi)扭轉(zhuǎn)時(shí)，

20、等直圓桿在線彈性范圍內(nèi)扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面上任一點(diǎn)橫截面上任一點(diǎn) (r=)處處 切應(yīng)力切應(yīng)力計(jì)算公式計(jì)算公式 p d d GI T x j j 以以 代入上式得：代入上式得： 2 p d A IA (3-5) x d dj j g g dTA A 合力矩原理合力矩原理 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)28 p p p max W T r I T I Tr p I T 橫截面圓周邊上各點(diǎn)處橫截面圓周邊上各點(diǎn)處( = r) 的最大切應(yīng)力為的最大切應(yīng)力為 (3-6) 式中定義式中定義 Wp=Ip/r 稱為稱為扭轉(zhuǎn)截面扭轉(zhuǎn)截面 系數(shù)系數(shù)，其單位為，其單位為 m3。 ）（ A AId 2 p (

21、3-7) 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)29 (1) (1) 實(shí)心圓截面實(shí)心圓截面 .圓截面的極慣性矩圓截面的極慣性矩 Ip 和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù) Wp 16 2/ 3 p p d d I W 32 d2 d 4 2 0 3 2 d AI d A p ddA2 (3-8) (3-9) 圓截面的圓截面的扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)扭轉(zhuǎn)截面系數(shù) 極慣性矩極慣性矩 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)30 (2)(2)空心圓截面空心圓截面 4 4 44 2 2 3 2 p 1 32 32 d2 d a a D dD AI D d A 4 344 p p 1 16 16 2/ a a

22、 D D dD D I W (3-10) (3-11) ddA2 ）（其其中中 D d a a 扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)扭轉(zhuǎn)截面系數(shù) 極慣性矩極慣性矩 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)31 以橫截面、徑向截面以及與表面平行的面以橫截面、徑向截面以及與表面平行的面(切向截面切向截面)從受扭從受扭 的薄壁圓筒或等直圓桿內(nèi)任一點(diǎn)處截取一微小的正六面體的薄壁圓筒或等直圓桿內(nèi)任一點(diǎn)處截取一微小的正六面體 單元體。單元體。 . 單元體單元體 切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理 在桿橫截面內(nèi)只有切應(yīng)力在桿橫截面內(nèi)只有切應(yīng)力 ，其方向與其方向與y軸軸 平行；與桿表面相切的面內(nèi)無任何應(yīng)力。平行；與桿表面相切的面內(nèi)無

23、任何應(yīng)力。 根據(jù)單元體受力平衡，根據(jù)單元體受力平衡， Fx=0，單元體在單元體在 左右兩側(cè)面上的內(nèi)力為左右兩側(cè)面上的內(nèi)力為 dydz，其矩為，其矩為 ( dydz)dx 力偶；力偶； 由由Mz=0 可知，單元體的上、下兩個(gè)平面可知，單元體的上、下兩個(gè)平面 ( (即桿的徑向截面上即桿的徑向截面上) )必有大小相等、指向必有大小相等、指向 相反的一對力相反的一對力 dxdz，并組成其矩為，并組成其矩為 ( dxdz)dy 力偶力偶。 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)32 即單元體的兩個(gè)相互垂直的面上，與該兩個(gè)面的交線即單元體的兩個(gè)相互垂直的面上，與該兩個(gè)面的交線 垂直的切應(yīng)力垂直的切

24、應(yīng)力 和和 數(shù)值相等，且均指向數(shù)值相等，且均指向( (或背離或背離) ) 該兩個(gè)面的交線該兩個(gè)面的交線切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理 可得可得(3.12) 0 z M由由 yzxxzydddddd 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)33 現(xiàn)分析單元體內(nèi)垂直于正六面體前、后兩平面的任一現(xiàn)分析單元體內(nèi)垂直于正六面體前、后兩平面的任一 斜截面斜截面 ef ( (如圖如圖) )上的應(yīng)力。上的應(yīng)力。 . 斜截面上的應(yīng)力斜截面上的應(yīng)力 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)34 分離體上作用力的平衡方程為分離體上作用力的平衡方程為 0sinsind coscosdd , 0 0cossi

25、nd sincosdd , 0 a aa a a aa a a aa a a aa a a a a a A AA F A AA F 利用利用 = ，經(jīng)整理得經(jīng)整理得 a a a a a aa a 2cos,2sin dA 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)35 由此可知：由此可知： (1) (1) 單元體的四個(gè)側(cè)面單元體的四個(gè)側(cè)面(a a = 0 和和 a a = 90)上切應(yīng)力的絕對值上切應(yīng)力的絕對值 最大最大, ,正應(yīng)力為零；正應(yīng)力為零； (2) a a =-45和和a a =+45截面上截面上 切應(yīng)力為零，而正應(yīng)力的絕對切應(yīng)力為零，而正應(yīng)力的絕對 值最大；值最大； min 4

26、5 max 45 ， a a a a 2sin a a a a2cos (1) (2) 即代入即代入(1)(1)式得式得 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)36 至于上圖所示單元體內(nèi)不垂直于前、后兩平面的任意斜截至于上圖所示單元體內(nèi)不垂直于前、后兩平面的任意斜截 面上的應(yīng)力，經(jīng)類似上面所作的分析可知，也只與單元體面上的應(yīng)力，經(jīng)類似上面所作的分析可知，也只與單元體 四個(gè)側(cè)面上的切應(yīng)力相關(guān)。因此這種應(yīng)力狀態(tài)稱為四個(gè)側(cè)面上的切應(yīng)力相關(guān)。因此這種應(yīng)力狀態(tài)稱為純剪切純剪切 應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)。 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)37 低碳鋼扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)演示低碳鋼扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)演示 材料力學(xué)材

27、料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)38 低碳鋼扭轉(zhuǎn)破壞斷口低碳鋼扭轉(zhuǎn)破壞斷口 對于對于剪切強(qiáng)度低于剪切強(qiáng)度低于 拉伸強(qiáng)度拉伸強(qiáng)度的材料，的材料， 其破壞是其破壞是由橫截面由橫截面 上的最大切應(yīng)力引上的最大切應(yīng)力引 起的，破壞從桿的起的，破壞從桿的 最外層沿橫截面發(fā)最外層沿橫截面發(fā) 生剪切而產(chǎn)生的生剪切而產(chǎn)生的。 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)39 鑄鐵扭轉(zhuǎn)破壞試驗(yàn)演示鑄鐵扭轉(zhuǎn)破壞試驗(yàn)演示 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)40 鑄鐵扭轉(zhuǎn)破壞斷口鑄鐵扭轉(zhuǎn)破壞斷口 對于對于拉伸強(qiáng)度低于拉伸強(qiáng)度低于 剪切強(qiáng)度剪切強(qiáng)度的材料，的材料， 其破壞是其破壞是由由-45 -45

28、斜截面上的最大切斜截面上的最大切 應(yīng)力引起的，破壞應(yīng)力引起的，破壞 從桿的最外層沿與從桿的最外層沿與 桿軸線成桿軸線成4545的螺的螺 旋形曲面發(fā)生拉斷旋形曲面發(fā)生拉斷 而產(chǎn)生而產(chǎn)生。 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)41 直徑為直徑為d1的的實(shí)心圓軸實(shí)心圓軸(圖圖a)和內(nèi)、外直徑分別為和內(nèi)、外直徑分別為d2和和 D2，ad2/D2=0.8的的空心圓軸空心圓軸(圖圖b)，兩軸的材料、，兩軸的材料、 長度長度l，扭矩，扭矩Me分別相同。試求在兩種圓軸分別相同。試求在兩種圓軸在橫截面在橫截面 上最大切應(yīng)力相等上最大切應(yīng)力相等的情況下，的情況下，D2與與d1之比以及兩軸之比以及兩軸 的

29、重量比。的重量比。 例題例題 3-2 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)42 3 1 e 1p e 1p 1 max, 1 16 d M W M W T 43 2 e 2p e 2p 2 max, 2 1 16 a a D M W M W T 4 3 2 2p 3 1 1p 1 16 , 16 a a D W d W 1. 1. 分別求兩軸的最大切應(yīng)力分別求兩軸的最大切應(yīng)力例題例題 3-2 )( p max W T 代入代入(3-7)(3-7)得得 (1) (2) 兩軸橫截面的扭轉(zhuǎn)兩軸橫截面的扭轉(zhuǎn) 截面系數(shù)分別為：截面系數(shù)分別為： 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)43

30、 194. 1 8 . 01 1 3 4 1 2 d D 由由 1,max= 2,max，比較比較(1)(1)、(2)(2)式并將式并將a a 0.8代入得代入得 因?yàn)閮奢S的長度因?yàn)閮奢S的長度 l 和材料密度和材料密度 相同，所以相同，所以兩軸的兩軸的 重量比即為其橫截面面積之比重量比即為其橫截面面積之比 512. 08 . 01194. 1 1 4 4 22 2 1 22 2 2 1 2 2 2 2 1 2 d D d dD A Aa a 例題例題 3-2 2. 求求D2/d1和二軸重量之比。和二軸重量之比。 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)44 切應(yīng)力的分布規(guī)律如圖切應(yīng)力的分

31、布規(guī)律如圖c、d所示：所示： 當(dāng)當(dāng) max max 時(shí)，實(shí)心軸圓心附近的切應(yīng)力還很小，這部分時(shí)，實(shí)心軸圓心附近的切應(yīng)力還很小，這部分 材料沒有充分發(fā)揮作用，空心軸可以提高材料的利用率。材料沒有充分發(fā)揮作用，空心軸可以提高材料的利用率。 但應(yīng)注意但應(yīng)注意過薄的圓筒受扭時(shí)容易發(fā)生皺折過薄的圓筒受扭時(shí)容易發(fā)生皺折，還要注意，還要注意 加上成本和構(gòu)造上的要求等因素。加上成本和構(gòu)造上的要求等因素。 zmax d1 (c) max D2 d2 (d) 例題例題 3-2 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)45 . 強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件 max 此處此處 為材料的為材料的許用切應(yīng)力許用切應(yīng)力。對于等直

32、圓軸代入。對于等直圓軸代入(3-7)(3-7) 式亦即式亦即 p max W T 鑄鐵等脆性材料制成的等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)，雖沿斜截面鑄鐵等脆性材料制成的等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)，雖沿斜截面 而發(fā)生脆性斷裂，但由本節(jié)的而發(fā)生脆性斷裂，但由本節(jié)的“斜截面上的應(yīng)力斜截面上的應(yīng)力”知，知， 斜截面上的拉應(yīng)力與橫截面上的切應(yīng)力有固定關(guān)系，斜截面上的拉應(yīng)力與橫截面上的切應(yīng)力有固定關(guān)系， 故仍可以切應(yīng)力和許用切應(yīng)力來表達(dá)強(qiáng)度條件。故仍可以切應(yīng)力和許用切應(yīng)力來表達(dá)強(qiáng)度條件。 p max W T (3.13) (3.14) a a a a a aa a 2cos,2sin 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)46

33、圖示階梯狀圓軸，圖示階梯狀圓軸，AB段直徑段直徑d1=120 mm，BC段段 直徑直徑d2=100 mm。扭轉(zhuǎn)力偶矩。扭轉(zhuǎn)力偶矩MA =22 kNm，MB =36 kNm，MC =14 kNm，材料的許用切應(yīng)力，材料的許用切應(yīng)力 =80 MPa。試校核該軸的強(qiáng)度。試校核該軸的強(qiáng)度。 例題例題 3-4 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)47 1. 1. 繪扭矩圖繪扭矩圖 例題例題 3-4解：解： 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)48 AB段內(nèi)段內(nèi) MPa8 .64Pa108 .64 m10120 16 mN1022 6 3 3 3 1p 1 max, 1 W T 2.

34、2. 分別求每段軸橫截面上的最大切應(yīng)力分別求每段軸橫截面上的最大切應(yīng)力 例題例題 3-4 p max W T 16 2/ 3 p p d d I W 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)49 BC段內(nèi)段內(nèi) MPa3 .71Pa103 .71 m10100 16 mN1014 6 3 3 3 2p 2 max,2 W T 2. 求每段軸的橫截面上的最大切應(yīng)力求每段軸的橫截面上的最大切應(yīng)力 例題例題 3-4 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)50 3. 3. 校核強(qiáng)度校核強(qiáng)度 例題例題 3-4 階梯狀圓軸，其階梯狀圓軸，其 ，必須綜合考慮必須綜合考慮 扭矩扭矩T和和Wp兩個(gè)因

35、素，兩個(gè)因素，AB段的扭矩大，直徑段的扭矩大，直徑d1也大，也大， BC段的扭矩小，直徑也小，必須分別段的扭矩小，直徑也小，必須分別計(jì)算兩段軸的計(jì)算兩段軸的 max，經(jīng)比較后才能確定經(jīng)比較后才能確定 max。 max p max )(W T 2,m =71.3MPa 1,m=64.8MPa 且有且有 2,max0 j jAC0 j jBA、j jAC的轉(zhuǎn)向如圖所示的轉(zhuǎn)向如圖所示。 (a) j jBA 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)58 . 剛度條件剛度條件 此時(shí)，等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度條件表示為此時(shí)，等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度條件表示為(即將即將 (3-5)式代入上式式代入上式)：

36、 對于精密機(jī)器的軸對于精密機(jī)器的軸j j0.150.30 ()/m； 對于一般的傳動軸對于一般的傳動軸j j2 ()/m。 max j jj j 180 p max j j GI T () () )( d d p rad GI T x j j j j (3.17) (3.18) 式中的許可單位長度扭轉(zhuǎn)角式中的許可單位長度扭轉(zhuǎn)角j j的常用單位是的常用單位是( )/m。 。 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)59 由由45號鋼制成的某空心圓截面軸，內(nèi)、外直徑號鋼制成的某空心圓截面軸，內(nèi)、外直徑 之比之比a a = 0.5 。已知材料的許用切應(yīng)力已知材料的許用切應(yīng)力 = 40 MPa，

37、切變模量切變模量G=80GPa。軸的最大扭矩軸的最大扭矩 Tmax=9.56 kNm，許可單位長度扭轉(zhuǎn)角許可單位長度扭轉(zhuǎn)角j j=0.3 ( )/m。 。試選擇軸的直徑。試選擇軸的直徑。 例題例題 3-6 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)60 1. 按強(qiáng)度條件求所需外直徑按強(qiáng)度條件求所需外直徑D ，因因 16 15 16 1 16 3 4 3 p DD Wa a 109mm m10109 Pa1040 16 15 mN1056. 916 16 15 16 3 6 3 max 3 3 T D 例題例題 3-6解：解： ，有，有由由 p max max W T p max W T 材

38、料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)61 2. 按剛度條件求所需外直徑按剛度條件求所需外直徑D 有有由由因因 180 , 16 15 32 1 32 p max 4 4 4 p j ja a GI TDD I 125.5mm m105 .125 m/ )(3 . 0 1 180 16 15 Pa1080 mN1056. 932 1 180 16 15 32 3 9 3 max 4 4 j j G T D 例題例題 3-6 109mm D強(qiáng)度條件要求強(qiáng)度條件要求 180 p max GI T 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)62 mm75.62 d 3. 空心圓截面軸所需外

39、直徑為空心圓截面軸所需外直徑為D125.5 mm(由剛度由剛度 條件控制條件控制)，內(nèi)直徑則根據(jù)，內(nèi)直徑則根據(jù)a = d/D = 0.5知知 例題例題 3-6 109mm D強(qiáng)度條件要求強(qiáng)度條件要求 125.5mm D剛度條件要求剛度條件要求 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)63 3-6 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能 純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度 對處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)的單元體對處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)的單元體(圖圖a)，為計(jì)算其上的，為計(jì)算其上的 外力所作功外力所作功dW，可使左側(cè)面不動，此時(shí)的切應(yīng)力可使左側(cè)面不動，此時(shí)的切應(yīng)力 僅發(fā)僅發(fā) 生

40、在豎直平面內(nèi)，且只有右側(cè)面上的生在豎直平面內(nèi)，且只有右側(cè)面上的外力外力 dydz在相應(yīng)在相應(yīng) 的的位移位移g g dx上作功。上作功。 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)64 zyxxzyWddd 2 1 ddd 2 1 d g gg g 于是，當(dāng)材料在線彈性范圍內(nèi)于是，當(dāng)材料在線彈性范圍內(nèi)工作工作時(shí)時(shí)( p，圖，圖b)，有，有 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)65 由剪切胡克定律由剪切胡克定律 =Gg g，該應(yīng)變能密度的表達(dá)式可寫為該應(yīng)變能密度的表達(dá)式可寫為 gg gg 2 1 ddd ddd 2 1 d d d d zyx zyx V W V V v 2 2 22

41、 g g G v G v 或或 單元體內(nèi)蓄積的應(yīng)變能單元體內(nèi)蓄積的應(yīng)變能dVe e數(shù)值上等于單元體上外力數(shù)值上等于單元體上外力 所作功所作功dW，即即dVe e=dW 。 (3-19) zyxxzyWddd 2 1 ddd 2 1 d g gg g ee 2 1 v 單元體單位體積內(nèi)的應(yīng)變能，亦即純剪切應(yīng)力狀態(tài)單元體單位體積內(nèi)的應(yīng)變能，亦即純剪切應(yīng)力狀態(tài) 下的下的應(yīng)變能密度應(yīng)變能密度為為 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)66 等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)積蓄的應(yīng)變能等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)積蓄的應(yīng)變能 lAV xAvVvVddd G v 2 2 p I T (3-20) 在扭矩在扭矩T為常量時(shí)，長度

42、為為常量時(shí)，長度為 l 的等直圓桿所蓄積的應(yīng)變能為的等直圓桿所蓄積的應(yīng)變能為 p 2 2 2 p 2 2 p 2 2 d 2 dd 2 1 dd 2 GI lT A I T G l A I T x G xA G V A AlAl 由由 可知，亦有可知，亦有 p GI Tl j j 2 p 2 j j l GI V (3-21a) (3-21c) 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)67 當(dāng)?shù)戎眻A桿各段橫截面上的扭矩不同時(shí)當(dāng)?shù)戎眻A桿各段橫截面上的扭矩不同時(shí)，整個(gè)桿內(nèi)蓄積的，整個(gè)桿內(nèi)蓄積的 應(yīng)變能為應(yīng)變能為 n i i i n i ii l GI V GI lT V 1 2p 1p 2

43、2 , 2 j j亦即亦即 p 2 2 1 2 1 GI lT TWV j j 在線彈性范圍內(nèi)工作的等直圓桿，在扭矩在線彈性范圍內(nèi)工作的等直圓桿，在扭矩T為常量，其長度為常量，其長度 為為 l 范圍內(nèi)的應(yīng)變能亦可如下求得：范圍內(nèi)的應(yīng)變能亦可如下求得： 結(jié)果與前頁用應(yīng)變能結(jié)果與前頁用應(yīng)變能 密度積分得的密度積分得的(3-21a) 結(jié)果相同結(jié)果相同. 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)68 試推導(dǎo)密圈圓柱螺旋彈簧試推導(dǎo)密圈圓柱螺旋彈簧(螺旋線螺旋線 升角升角a 5)受軸向壓力受軸向壓力(拉力拉力)F 作作 用時(shí)，簧桿橫截面上應(yīng)力和彈簧用時(shí)，簧桿橫截面上應(yīng)力和彈簧 縮短縮短(伸長伸長)變

44、形的近似計(jì)算公式。變形的近似計(jì)算公式。 已知：簧圈平均半徑已知：簧圈平均半徑R，簧桿直徑，簧桿直徑 d，彈簧的有效圈數(shù)，彈簧的有效圈數(shù)n，簧桿材料，簧桿材料 的切變模量的切變模量G。設(shè)。設(shè)d(2R)。 例題例題 3-7 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)69 1. 用截面法求簧桿橫截面上的內(nèi)力用截面法求簧桿橫截面上的內(nèi)力 對于密圈螺旋彈簧可近似對于密圈螺旋彈簧可近似 認(rèn)為螺旋線升角認(rèn)為螺旋線升角a0o，簧，簧 桿的橫截面就在外力桿的橫截面就在外力F作用作用 的彈簧軸線所在縱向平面的彈簧軸線所在縱向平面 內(nèi)，由圖內(nèi)，由圖b所示的分離體的所示的分離體的 平衡方程得平衡方程得 剪力剪力

45、FS =F 扭矩扭矩 T =FR (b) 例題例題 3-7 解：解： R 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)70 2. 求簧桿橫截面上的應(yīng)力求簧桿橫截面上的應(yīng)力 3 3 p max 16 16 d FR d FR W T 簧桿橫截面上與剪力簧桿橫截面上與剪力FS相應(yīng)的切應(yīng)力通常遠(yuǎn)小于與扭矩相應(yīng)的切應(yīng)力通常遠(yuǎn)小于與扭矩 T 相應(yīng)的切應(yīng)力相應(yīng)的切應(yīng)力，故在求近似解時(shí)將前者略去。，故在求近似解時(shí)將前者略去。 例題例題 3-7 R d 因?yàn)橐驗(yàn)閐(2R)，故在求簧桿橫截面上扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力時(shí)，故在求簧桿橫截面上扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力時(shí)，略去略去 簧圈的曲率影響，按直桿公式計(jì)算簧圈的曲率影響，按直桿公式計(jì)算。

46、于是有。于是有 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)71 3. 求彈簧的縮短求彈簧的縮短(伸長伸長)變形變形D D FW 2 1 當(dāng)彈簧所受外力當(dāng)彈簧所受外力F不超過不超過 一定限度時(shí)，變形一定限度時(shí)，變形D D與與外力外力F 成線性關(guān)系成線性關(guān)系(如圖如圖c)。 (c) 例題例題 3-7 于是外力所作的功為于是外力所作的功為 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)72 不計(jì)不計(jì)FS的影響，并忽略簧桿的曲率，的影響，并忽略簧桿的曲率，簧桿內(nèi)的應(yīng)變能簧桿內(nèi)的應(yīng)變能Ve e 為為(用用(3-21a)的直桿公式的直桿公式): p 2 p 2 p 2 2 2 2GI RnFR GI RnFR GI lT V 式中式中l(wèi) =2 Rn，表示簧桿軸線的全長，表示簧桿軸線的全長，Ip為簧桿橫截面的極慣性矩。為簧桿橫截面的極慣性矩。 4 3 p 2 p 2 642 , )( 2 1 Gd nFR GI RnFR GI RnFR F 得得D D 如令如