第二章 有限差分法理論基礎

1、第二章 有限差分法理論基礎有限差分方法是計算流體力學中應用最多的離散化數(shù)值方法；作爲計算技術它是歷史最悠久，理論上相對成熟的數(shù)值方法。$ 2.1有限差分離散化方法l 一個定解的流體動力學問題的數(shù)學描述； 解法:理論（解析）解差分數(shù)值解；方程的離散，求解域（時+空）的離散，代數(shù)方程的求解，求解域的離散化差分分割。l 分割尺寸（空間網(wǎng)格步長，時間步長）l （網(wǎng)格）結（節(jié)）點，（網(wǎng)格）單元l （邊界外）虛網(wǎng)格點網(wǎng)格沿拓。微商（偏導數(shù)）的差商近似1）。差商近似；一階，二階導數(shù)的偏心差，中心差格式l 一階微商的定義； 若取消取極限過程，用，代替就是一種差商近似。稱爲差分格式， 2）。差分格式的導出方法a

2、). taylors公式； t.e=truncation error 採用差分格式中的記法； 其中 由於t.e.是 爲一階小量，故上述差商近似（差分格式）稱爲一階（精度）格式類似地可得； (後差) （中心差）；（二階導數(shù)中心差；等網(wǎng)格步長）3差分運算元l 定義以下差分運算元； 移位運算元： （當移位爲+1時可省略）算術平均運算元： 前差運算元； 後差運算元； 一倍步長中心運算元： 兩倍變長中心差運算元； 討論：l 定義的上述差分運算元，可建立彼此間的轉換關係，例； l 所有的差分運算元均可用taylor展開來估算截斷誤差項(余項)的量階例; *微分運算元與差分運算元的聯(lián)繫 記微分運算元: 由t

3、aylor公式: 或類似地或 或以作爲步長 由此，再根據(jù)差分運算元之間的轉換關係，可以建立微分運算元與其他差分運算元的聯(lián)繫例1；例2；緊致格式的引入由微分運算元與差分運算元的關係有； 另一方面； 由於運算元最多都是只用到三個節(jié)點上的函數(shù)值，所以是僅用三點構造出了4階精度格式，而一般地三節(jié)點格式的精度只有二階。故稱緊致格式作業(yè) 例3；類似由可導出二階偏導數(shù)的緊致格式爲； 例4；緊致格式應用； 令 實際計算中分兩步上述例4實際上已經(jīng)涉及微分方程的差分離散化了；或者說是直接採用差商逼近代入相應的微分方程後直接得到離散化後的微分方程。三，偏微分方程的差分離散化差分方程1. 直接用差商逼近代入;微分方程

4、中的所有各階偏導數(shù)分別選擇適當?shù)牟钌瘫平?並考慮逼近的截斷誤差精度,從而將微分方程改寫爲代數(shù)的差分方程;同時得到整個差分方程對微分方程的逼近的精度.2. 由微分方程出發(fā)直接建立差分方程的幾個方法, 待定系學數(shù)離散化方法;對於,若設是採用三節(jié)點格式,即採用而l(u)(二階偏導數(shù)以下)採用三節(jié)點格式,即採用 即令;爲了確定 ，可用tayloy展開,並與對比,使相應的偏導數(shù)項的係數(shù)相等;若爲二階運算元,則偏導數(shù)有0階,一階和二階三項,可建立三個方程式,正好確定 三個係數(shù)，而三階以上的偏導數(shù)項則歸到誤差項中；而如果有三階（或更高階的）導數(shù)，則三節(jié)點格式不夠，應增加節(jié)點數(shù)，才能將待定係數(shù)確定。多項式擬合

5、法例方程該方程具爲特徵性質(zhì)，特徵線爲、在計算求解域中、 斜率爲d d點值 按特徵關係應與p點的值相等cbapn+1n （pd爲特徵線，斜率爲）j-1j+1jj 但在差分計算中，求解域的離散形成的網(wǎng)格點 是a、b、c等p點可能並不是網(wǎng)格點） 點的值，也就是p點的值必須由a、b、c等各點的值來獲得。i) 採用a.b兩點線性擬合,得到p點（即d點的值）線性插值的值; 記 上式爲： 或 (ftbs格式)，當時迎.風仍然採用線性擬合,但採用a.c兩點進行插值 整理; 或 lax格式.線性擬合，採用b.c兩點外插: (思考)拋物線擬合，用a.b.c.三點的值進行二次曲線擬合：設：過 a、b、c三點的值，爲

6、二次拋物線 a、b、c三點的x座標可以簡單地給爲， 有 整理得； lax-wendroff格式其出發(fā)方程可認爲： 分裂差分運算元的離散化方法l 若微分方程中的微分運算元可作 “和”分裂, 即 則微分方程的差分方程可由依序離散構成.即分裂式(2)應由(1)式得到的差分解”續(xù)接”計算 (反之亦可)例: “和“式分裂爲可按下列格式計算（例取ftcs格式） step 1: step 2; 其中： 這種處理的理論依據(jù)是：由以上兩步,可消去中間步結果 即 最後一項容易驗證 對於時間前差格式： 上述格式與源方程的誤差項同階，可並入t.e. 考慮,而不影響差分的最後精度。證畢。積分控制元中的離散化方法對於守恒

7、型(散度型)方程,除了可以在網(wǎng)格點上考慮網(wǎng)格點函數(shù)值之間的差商關係（代替微分）,從而建立差分方程外;還可以在積分控制體的有限體積內(nèi)建立相應的離散積分關係,從而得到積分型的離散方程.例,對於守恒型方程令由此，在任何有限域內(nèi)：xyt若求解域離散爲； 上式中最後一項是四個側面的相關積分，四個側面上的積分值可以分別計算。側面面積與網(wǎng)格步長相關（，而每一個側面上的值（在有限體積方法中，變數(shù)的值一般定義在體積單元的幾何中心，而不在單元的側面上）可以考慮各種不同的逼近方式，從而形成不同的格式，（類似地，的取值也可以考慮不同的逼近方式）四).邊界條件（定解條件）的離散化處理第一類邊界條件 第二，三類邊界條件例

8、；一階精度處理 二階精度處理： 網(wǎng)格點 2.2差分格式的基本性質(zhì)，基本定理一， 差分格式的相容性（consistency） 相容性表述的是：差分問題的提法與定解的微分問題在提法上的近似與否。即差分方程以及相應的定解條件的數(shù)值處理與微分方程及其定解條件是否逼近的問題。.定義; 若微分源方程與相應的差分方程之間的截斷誤差項爲, 當 時,則稱差分方程與微分源方程相容.若 僅在在滿足某種條件下趨於零時才成立,則稱爲條件相容.二.差分格式的穩(wěn)定性(stability)1,差分計算的穩(wěn)定性概念初值問題的穩(wěn)定性,(橢圓問題疊代計算的穩(wěn)定性問題也可以此類比)對同一個微分物理問題可以形成各種不同的差分計算格式;

9、差分計算格式包含；差分方程、初邊值條件的數(shù)值處理、（離散處理）網(wǎng)格劃分的形成，所有這些因素的綜合形成一個差分計算格式，對應這一格式的解稱之差分數(shù)值解；差分計算格式對有界的初值條件，其數(shù)值解可能仍保持有界的；但也可能是無界的；有界的數(shù)值解是穩(wěn)定的，無界則是不穩(wěn)定的；誤差傳播方程這一問題也可以解釋爲：某些格式對誤差的傳播是有界的，而另一些對誤差的傳播是無界的。例: 採用ftcs格式 ,當 時，其計算結果截然不同。三， 差分格式的收斂性（convergence）有限差分的數(shù)值解在網(wǎng)格步長趨於零時,數(shù)值解是否收斂於微分方程的真解。定義：源方程的解爲,其相容差分格式的離散近似解爲 若：時，使 並有： 則

10、該差分格式具有收斂性。 在實際計算中當足夠小時，若則稱之爲離散化誤差，分別稱爲（空間或時間座標的）收斂率四， lax等階性定理(laxs equivalence theorem) 對於一個適定的線性偏微分方程的初值問題,其相容的差分格式的收斂性的充分必要條件是差分格式的穩(wěn)定性。 穩(wěn)定性 五,雙曲型方程的cfl條件 courant friedrichs lewy定理: 對於雙曲型方程建立的差分格式,其收斂的必要條件是差分格式的依賴域包含了相應的微分方程的依賴域依賴域p1/a-1/axtl 依賴域 六，差分格式的修正方程式 概念：一個物理過程的嚴格描述是由微分方程（組）來實現(xiàn)的；差分數(shù)值解的出發(fā)方

11、程是一個代數(shù)方程組；差分（代數(shù)）方程（嚴格地說）描述了什麼樣的一個物理問題呢？（即使這個物理問題實際上可能並不存在?。⑦@樣一個設想中的物理問題，進行解析延拓後，如果改是用微分方程（組）來描述的話，那麼這一個微分方程是什麼樣子呢？修正方程（modified equations） 意義：嚴格的含義下，差分方程和修正方程描述的是同一個物理問題（儘管該物理問題只是虛擬的），因此通過對修正方程各種性質(zhì)的討論將得到差分方程的基本性質(zhì)； 例： 微分方程 （一維波傳播方程）差分格式（ftcb）: 上式也可以認爲就是修正方程式。但是由於上式包含對時間的任意階偏導數(shù)，其微分方程的各種性質(zhì)不易討論，從數(shù)學上希望將

12、上式改造成除了包含源方程的原有的各項外，只留有對空間座標的各階偏導數(shù)項。即：源方程爲：將差分方程的修正方程寫：成 其中r只包含u對空間座標的各階偏導數(shù)項。例如一維波傳播方程的各種差分格式其共同的修正方程具有如下形式：具體的數(shù)學方法是用自迴圈消元法，上式重新寫成：利用列表法來實現(xiàn)自迴圈消去過程； （*）式 1 a 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0(*) 0(*) l a 0 0 0 0 0 修正方程式(標準形式); 作業(yè)；（1） ； ftcs格式的修正方程式。（保留2項） （2） 格式的修正方程式.l 修正方程式的應用; 可用於分析穩(wěn)定性 (詳見後面對格式耗散性質(zhì)的討論) 創(chuàng)立新格式 (提高精度, 改善性能等)例1：拋物方程格式 上式格式的修正方程式是 討論;由修正方程式; t。e。令： 則 即 其中： 時 若在的條件下, 將值代入的係數(shù)中，得： 令上式等於0： 在 時 例2；lax-wendroff 格式的建立; ftcs格式; meq. : 格式是不穩(wěn)定。 ？ 要使修正方程式中不出現(xiàn) 項， 有何辦法?設想從改型的源方程出發(fā)：差分方程爲： 這裏源方程的前2項仍採用ftcs格式，其修正方程式仍同（）式；而第三項採用空間二階精度的中心差分格式離散，則該項對應的修正方程式，左邊應爲源方程中的項，右邊是高階截斷誤差項。其修正方程的一般式可寫成爲： 從改型的方程（*）出