2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題三立體幾何第3講立體幾何中的向量方法練習(xí)理

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第3講立體幾何中的向量方法a組夯基保分專練1（2019重慶市七校聯(lián)合考試）如圖，三棱柱abc.a1b1c1的所有棱長都是2,aa1平面abc，d,e分別是ac，cc1的中點(diǎn)（1）求證：ae平面a1bd；(2）求二面角d.beb1的余弦值解:(1)證明：因?yàn)閍bbcca，d是ac的中點(diǎn)，所以bdac，因?yàn)閍a1平面abc，所以平面aa1c1c平面abc，所以bd平面aa1c1c，所以bdae。又在正方形aa1c1c中，d,e分別是ac,cc1的中點(diǎn)，所以a1dae。又a1dbdd，所以ae平面a1bd。(2）以da所在直線為x軸，過d作ac的垂線,以該垂線為y軸,db所

2、在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則d(0，0，0），e(1，1，0)，b（0，0，）,b1(0,2，)，（0，0,)，（1,1，0)，（0，2,0)，（1，1，）,設(shè)平面dbe的法向量為m（x，y，z)，則，即，令x1，則m(1，1,0），設(shè)平面bb1e的法向量為n（a，b，c），則，即，令c,則n(3，0，),設(shè)二面角d.be。b1的平面角為，觀察可知為鈍角，因?yàn)閏os.所以直線am與平面pbc所成角的正弦值為。3。 （2019高考天津卷)如圖，ae平面abcd，cfae，adbc，adab，abad1，aebc2.（1)求證:bf平面ade;(2)求直線ce與平面bde所成角的

3、正弦值；（3)若二面角ebd。f的余弦值為,求線段cf的長解：依題意,可以建立以a為原點(diǎn),分別以，,的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系(如圖），可得a（0，0，0）,b(1，0,0），c（1，2，0），d（0，1,0),e(0，0，2)設(shè)cfh（h0）,則f(1，2,h)(1）證明：依題意,（1，0，0)是平面ade的法向量,又（0，2，h），可得0，又因?yàn)橹本€bf平面ade，所以bf平面ade。(2）依題意，（1,1,0），(1，0，2）,（1，2，2）設(shè)n（x，y，z)為平面bde的法向量，則即不妨令z1，可得n(2,2，1)因此有cos。由圖知所求二面角ape。c為鈍角，所以

4、二面角a.pe。c的余弦值為。b組大題增分專練1(2019高考浙江卷）如圖，已知三棱柱abc.a1b1c1，平面a1acc1平面abc,abc90,bac30,a1aa1cac，e，f分別是ac，a1b1的中點(diǎn)（1)證明：efbc；（2）求直線ef與平面a1bc所成角的余弦值解：法一：(1)證明:如圖，連接a1e，因?yàn)閍1aa1c，e是ac的中點(diǎn)，所以a1eac。又平面a1acc1平面abc，a1e平面a1acc1，平面a1acc1平面abcac,所以，a1e平面abc,則a1ebc。又因?yàn)閍1fab，abc90，故bca1f。所以bc平面a1ef。因此efbc。（2）取bc的中點(diǎn)g，連接eg

5、，gf，則egfa1是平行四邊形由于a1e平面abc，故a1eeg，所以平行四邊形egfa1為矩形連接a1g交ef于o,由（1)得bc平面egfa1，則平面a1bc平面egfa1，所以ef在平面a1bc上的射影在直線a1g上則eog是直線ef與平面a1bc所成的角（或其補(bǔ)角）不妨設(shè)ac4，則在rta1eg中，a1e2，eg.由于o為a1g的中點(diǎn)，故eoog，所以coseog.因此，直線ef與平面a1bc所成角的余弦值是。法二：（1）證明：連接a1e，因?yàn)閍1aa1c，e是ac的中點(diǎn)，所以a1eac.又平面a1acc1平面abc，a1e平面a1acc1,平面a1acc1平面abcac，所以，a1

6、e平面abc.如圖，以點(diǎn)e為原點(diǎn)，分別以射線ec,ea1為y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系exyz。不妨設(shè)ac4，則a1（0，0，2）,b（，1，0）,b1(，3，2），f（，2），c（0，2，0)因此，,（，1，0)由0得efbc.(2)設(shè)直線ef與平面a1bc所成角為。由（1)可得（,1，0），（0,2，2）設(shè)平面a1bc的法向量為n(x,y，z）由得取n(1，1）故sin cos,n|.因此，直線ef與平面a1bc所成角的余弦值為。2(2019長沙市統(tǒng)一模擬考試）如圖,矩形abcd和梯形befc所在平面互相垂直，becf，bcf90,ad，be3，cf4，ef2.(1)求證：ae平面

7、dcf；(2)當(dāng)ab的長為何值時(shí)，二面角aef.c的大小為60？解：因?yàn)槠矫鎍bcd平面befc，平面abcd平面befcbc，dc平面abcd，且dcbc，所以dc平面befc.以點(diǎn)c為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以cb，cf,cd所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系c.xyz。設(shè)aba，則c(0，0，0)，a（,0，a）,b（,0，0)，e(，3，0)，f(0，4，0)，d(0，0，a)(1）證明：因?yàn)椋?，3，a)，（,0，0)，（0，4，0)，（0，0，a)，所以0，0，又cdcfc，所以cb平面cdf，即為平面cdf的一個(gè)法向量又0，所以cbae，又ae平面cdf，所以ae平面

8、dcf。（2)設(shè)n(x，y，z）與平面aef垂直，（0，3，a），(,1，0)，由，得，取x1，則n。ba平面befc,（0,0，a）,由cos0），則f(0,0,a），所以（1,0，a)設(shè)平面bdef的法向量為n1(x，y，z），由,得，令xa，得n1（a,a，)易得平面abcd的一個(gè)法向量為n2（0,0，1)因?yàn)槎娼莊。bdc的大小為,所以|cosn1，n2|，解得a.設(shè)直線ae與平面bdef所成的角為，因?yàn)?2，0，0），且n1，所以sin cos，n1|。故直線ae與平面bdef所成角的正弦值為。4（2019湖南省湘東六校聯(lián)考）如圖，abedfc為多面體，平面abed與平面acfd垂

9、直,點(diǎn)o在線段ad上，oa1，od2,oab，oac,ode，odf都是正三角形（1)證明:直線bc平面oef。(2)在線段df上是否存在一點(diǎn)m,使得二面角m.oe。d的余弦值是？若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在,請(qǐng)求出m點(diǎn)所在的位置解：（1)證明：依題意，在平面adfc中，caofod60,所以acof，又of平面oef，所以ac平面oef。在平面abed中，baoeod60，所以aboe，又oe平面oef，所以ab平面oef。因?yàn)閍baca，ab平面oef,ac平面oef，ab平面abc,ac平面abc，所以平面abc平面oef.又bc平面abc，所以直線bc平面oef。（2)設(shè)od的中點(diǎn)為g，如圖，連接ge，gf，由題意可得ge，gd,gf兩兩垂直,以g為坐標(biāo)原點(diǎn),ge，gd,gf所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，易知，o(0，1,0)，e（，0,0），f(0，0，）,d（0，1，0）假設(shè)在線段df上存在一點(diǎn)m，使得