材料第二章匯交力系

1、1 2 平面匯交力系平面匯交力系： 各力的作用線都在同一平面內(nèi)且 匯交于一點(diǎn)的力系。 引引 言言 平面匯交力系平面匯交力系 平面力系平面力系 平面平行力系平面平行力系(平面力偶系是其中的特殊情況平面力偶系是其中的特殊情況 ) 平面一般力系平面一般力系(平面任意力系平面任意力系) 研究方法：幾何法，解析法。研究方法：幾何法，解析法。 例：起重機(jī)的掛鉤。 力系分為：平面力系、空間力系力系分為：平面力系、空間力系 平面特殊力系：指的是平面匯交力系、平面力偶系和平面平平面特殊力系：指的是平面匯交力系、平面力偶系和平面平 行力系。行力系。 3 作用于剛體上的兩個(gè)力，使剛體平衡的必要與充分條件是： 這兩個(gè)

2、力大小相等大小相等 | F1 | = | F2 | 方向相反方向相反 F1 = F2 作用線共線作用線共線， 作用于同一個(gè)物體上作用于同一個(gè)物體上。 2-1 2-1 匯交力系合成匯交力系合成 公理公理1 1 二力平衡公理二力平衡公理 4 一、力的可傳性。一、力的可傳性。 作用于剛體上的力可沿其作用線移到同一剛體內(nèi)的任一 點(diǎn)，而不改變?cè)摿?duì)剛體的效應(yīng)。 因此，對(duì)剛體來說，力作用三要素為：大小，方向，作用線大小，方向，作用線 作用在剛體上的力是滑移矢量作用在剛體上的力是滑移矢量 在已知力系上加上或減去任意一個(gè)平衡力系，并不改變?cè)?力系對(duì)剛體的作用。 公理公理2 2 加減平衡力系原理加減平衡力系原理

3、 5 二、匯交力系合成的幾何法二、匯交力系合成的幾何法 cos2 21 2 2 2 1 FFFFR )180sin(sin 1 R F 2. 任意個(gè)共點(diǎn)力的合成任意個(gè)共點(diǎn)力的合成 為力多邊形 1.1.兩個(gè)共點(diǎn)力的合成兩個(gè)共點(diǎn)力的合成 ( (公理公理3 3平行四邊形法則平行四邊形法則) ) 合力方向由正弦定理： 由余弦定理： cos)180cos( 由力的平行四邊形法則作， 也可用力的三角形來作。 6 即： 即：平面匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用即：平面匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用 線通過各力的匯交點(diǎn)。線通過各力的匯交點(diǎn)。 FR 4321 FFFFR 各個(gè)力依次首尾

4、相連，合力矢則為力的各個(gè)力依次首尾相連，合力矢則為力的 多邊形的閉合邊，即：合力矢量從第一多邊形的閉合邊，即：合力矢量從第一 個(gè)力的起點(diǎn)指向最后一個(gè)力的末端。個(gè)力的起點(diǎn)指向最后一個(gè)力的末端。 改變個(gè)力的順序，力的多邊形形狀也將改變個(gè)力的順序，力的多邊形形狀也將 改變，但封閉邊不變改變，但封閉邊不變 平面匯交力系合成的幾何法：平面匯交力系合成的幾何法： 力的多邊形法則力的多邊形法則 7 例例1 F1F2 F3 F4 3 1 1 1 1 2 F1=60N，F(xiàn)3F4 =40N，求合力。，求合力。F2=80N， =100N， F1 F2 F3F4 R 040 R=140kN,=430 8 F1 F2

5、F4 F3 0100N 習(xí)題習(xí)題1 F1=150N，F(xiàn)3F4 =180N，求合力。，求合力。F2=200N， =120N， 300300 600 450 y x F1 F2 F3 F4 量得R=61N，與X軸夾角670 R 9 F F F X x cos F F F Yy cos 22 yx FFF 1、力在坐標(biāo)軸上的投影、力在坐標(biāo)軸上的投影 X=Fx=Fcos ： Y=Fy=Fsin=F cos 三、匯交力系合成的解析法三、匯交力系合成的解析法 10 F 2 2、力在平面上的投影、力在平面上的投影 M F cos M FF 力在平面上的投影是矢量，又稱投影矢量力在平面上的投影是矢量，又稱投影

6、矢量 11 二、合力投影定理二、合力投影定理 由圖可看出，各分力在x軸和在y 軸投影的和分別為： XXXXR x421 YYYYYRy 4321 YR y XR x 即： 12 合力的大?。汉狭Φ拇笮。?方向：方向： 作用點(diǎn)：作用點(diǎn)： x y R R tg X Y R R x y 11 tgtg 為該力系的匯交點(diǎn)為該力系的匯交點(diǎn) 22 22 YXRRR yx 13 習(xí)題習(xí)題2 求平面共點(diǎn)力系的合力 N FF FFXF i i Rx 3 .129 45cos25045cos100 60cos30030cos200 45cos45cos 60cos30cos 00 00 0 4 0 3 0 2 0

7、 1 4 1 450 x O F4 F3 y F1 F2 200N 250N100N 300N 300 450 600 14 N FFFFYF i i Ry 3 .112 45cos25045cos10060cos30060cos200 45cos45cos30cos60cos 0000 0 4 0 3 0 2 0 1 4 1 6556. 0 3 .171 3 .112 cos ,7548. 0 3 .171 3 .129 cos 3 .1713 .1123 .129 22 22 R Ry R Rx RyRxR F F F F NFFF 則合力FR與x、y軸夾角分別為：=40.990,=49.

8、010 合力FR的作用線通過匯交點(diǎn)O。 450 x O F4 F3 y F 1 F2 200N 250N 100N 300N 300 450 600 15 3 3、力在直角坐標(biāo)軸上的投影、力在直角坐標(biāo)軸上的投影 1.1.力在空間的表示力在空間的表示： 力的三要素： 大小、方向、作用點(diǎn)(線) 大?。捍笮。?方向方向： 由、g三個(gè)方向角確定 由仰角與俯角來確定。 g Fxy O FF 16 2、一次投影法（直接投影法）、一次投影法（直接投影法） 由圖可知： g cos , cos , cos FF FF FF z y x coscoscosFFF xyx sincossinFFF xyy sin

9、FFz 3、二次投影法（間接投影法）、二次投影法（間接投影法） 當(dāng)力與各軸正向夾角不易 確定時(shí)，可先將 F 投影到xy 面上，然后再投影到x、y軸上， 即 17 4、力的解析表達(dá)式、力的解析表達(dá)式： 若以 表示力沿直角 坐標(biāo)軸的正交分量，則： zyx FFF, zyx FFFF 222 ZYXF F Z F Y F X gcos,cos,cos kZFjYFiXF zyx , 而： kZjYiXF所以： Fx Fy Fz i j k 18 xRx FF yRy FF zRz FF 5、匯交力系合成的解析法、匯交力系合成的解析法： in FFFFFR 321 合力投影定理：合力在任一軸上的投影，

10、等于各分力在同一合力投影定理：合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一 軸上投影的代數(shù)和。軸上投影的代數(shù)和。 222 222 )()()( zyx zRyRxRR FFF FFFF R F R F R F zR yR xR gcos,cos,cos 19 2-2 2-2 匯交力系的平衡條件匯交力系的平衡條件 剛體受三力剛體受三力(互不平行互不平行)作用而平衡，若其中兩力作用線匯作用而平衡，若其中兩力作用線匯 交于一點(diǎn)，則另一力的作用線必匯交于同一點(diǎn)，且三力的作交于一點(diǎn)，則另一力的作用線必匯交于同一點(diǎn)，且三力的作 用線共面。用線共面。 一、三力平衡匯交定理一、三力平衡匯交定理 剛體受三力(互不平行

11、)作用而平衡，若其 中兩力作用線匯交于一點(diǎn)，則另一力的作用 線必匯交于同一點(diǎn)，且三力的作用線共面。 推論推論2：三力平衡匯交定理三力平衡匯交定理 20 在上面幾何法求力系的合力中，合力為 零意味著力多邊形自行封閉。所以平面 匯交力系平衡的必要與充分的幾何條件 是： 平面匯交力系平衡的充要條件是： 0FR 力多邊形自行封閉力多邊形自行封閉 或 力系中各力的矢量和等于零力系中各力的矢量和等于零 二、平面匯交力系平衡的幾何條件：二、平面匯交力系平衡的幾何條件： 證證 為平衡力系， 也為平衡力系。 又 二力平衡必等值、反向、共線， 三力 必匯交，且共面。 321 , , FFF 321 , , FFF

12、 3 , FR 21 例例2圓柱重圓柱重500N，板與墻夾角，板與墻夾角600，接，接 觸光滑，求圓柱給墻和板的壓力。觸光滑，求圓柱給墻和板的壓力。 1、比例尺 2、力的多邊形 O W NE ND 300 NtgNGtgFA7 .2883050030 00 N G FB4 .577 30cos 0 22 匯交力系幾何法解題的主要步驟解題的主要步驟如下： 1選取研究對(duì)象選取研究對(duì)象。根據(jù)題意，選取適當(dāng)?shù)钠胶馕矬w作為研究 對(duì)象，并畫出簡(jiǎn)圖。 2分析受力，畫受力圖分析受力，畫受力圖。在研究對(duì)象上，畫出它所受的全部 已知力和未知力(包括約束反力)。若某個(gè)約束反力的作用線不 能根據(jù)約束特性直接確定(如鉸

13、鏈)，而物體又只受三個(gè)力作用 ，則可根據(jù)三力平衡必須匯交的條件確定該力的作用線。 3作力多邊形或力三角形作力多邊形或力三角形。選擇適當(dāng)?shù)谋壤撸鞒鲈摿ο?的封閉力多邊形或封閉力三角形。必須注意，作圖時(shí)總是從已 知力開始。根據(jù)矢序規(guī)則矢序規(guī)則和封閉特點(diǎn)封閉特點(diǎn)，就可以確定未知力的指 向。 4求出未知量求出未知量。用比例尺和量角器在圖中量出未知量，或者 用三角公式計(jì)算出來。 23 習(xí)題習(xí)題2 壓路碾子，自重P20kN，半徑R=0.6m，障礙物 高h(yuǎn)=0.08m。碾子中心O處作用一水平拉力F。試求：水平 拉力F=5kN時(shí)，碾子對(duì)地面及障礙物的壓力？ FA O P F FB P FB FA 按比例量

14、得： FA=11.4KN, FB=10KN O RR F B A h F 0 10 20 比例尺（KN） 24 習(xí)題習(xí)題3 支架的橫梁AB與斜桿DC彼此以鉸鏈C聯(lián)接，并各以 鉸鏈A、D連接于鉛直墻上。已知AC=CB；F=10KN。設(shè)梁和 桿的自重不計(jì)，求鉸鏈A的約束反力和桿DC所受的力。 A D C F B 450 FC FD D C FC/ A C B FAy F FAx 450 F FA FD 0 5 10 比例尺（KN） FD=28.3KN FA=22.4KN 量取或計(jì)算: FA 25 幾何法解題不足：幾何法解題不足： 精度不夠，誤差大精度不夠，誤差大 作圖要求精度高；作圖要求精度高；

15、不能表達(dá)各個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系。不能表達(dá)各個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系。 下面我們研究平面匯交力系合成與平衡的另一種方法： 解析法解析法。 26 三、平面匯交力系平衡的解析法三、平面匯交力系平衡的解析法 從前述可知：平面匯交力系平衡的必要與充分條件是該力系 的合力為零。 0 0 YR XR y x 為平衡的充要條件，也叫平衡方程為平衡的充要條件，也叫平衡方程 即： 00 22 yx RRR 27 a a A B C D 例例5已知已知F=60N,求求A,C兩點(diǎn)的兩點(diǎn)的 約束反力約束反力. FC FA x/ y/ 450 600 060cos45sin, 0 00 CAx FFFF 045cos60sin,

16、 0 00 ACy FFF 79.53,92.43 AC FNF x y 075cos45sin, 0 00 / CA x FFFF 045cos75sin, 0 00 FFF Cy 750 F B a a A C F 28 習(xí)題習(xí)題4 重物重量G，桿AB與AC鉸接 ，并以鉸鏈與墻連接。如兩桿和滑輪 的自重不計(jì)并忽略摩擦，試求平衡 時(shí)桿AB和AC所受的力。 FAC FAB G一、圖解法： 1、選適當(dāng)比例尺； 2、畫已知力； 3、分別做AB、AC平行線； 4、由多邊形自行閉合量出或通過三角 函數(shù)計(jì)算出未知力大小、方向； 300 600 B C A D B A FBA FAB A C FAC FC

17、A F/AB F/AC G A 29 為使每個(gè)未知力只在一個(gè)軸為使每個(gè)未知力只在一個(gè)軸 上有投影，在另一軸上的投上有投影，在另一軸上的投 影為零，影為零，坐標(biāo)軸應(yīng)盡量取在坐標(biāo)軸應(yīng)盡量取在 與未知力作用線相垂直的方與未知力作用線相垂直的方 向向。這樣在。這樣在個(gè)平衡力程中個(gè)平衡力程中 只有一個(gè)未知數(shù)，不必解聯(lián)只有一個(gè)未知數(shù)，不必解聯(lián) 立力程立力程. GGF G GF GFY GFX AC AB AC AB 2 3 30cos 2 30sin 030cos, 0 030sin, 0 0 0 0 0 FAC FAB 600 300 A y x G 二、解析法二、解析法 F/AB F/AC G 30

18、1、一般地，對(duì)于只受三個(gè)力作用的物體，且角度、一般地，對(duì)于只受三個(gè)力作用的物體，且角度 特殊時(shí)用特殊時(shí)用 幾幾 何法（解力三角形）比較簡(jiǎn)便。何法（解力三角形）比較簡(jiǎn)便。 解題技巧及說明：解題技巧及說明： 3、投影軸常選擇與未知力垂直，最好使每個(gè)方程中、投影軸常選擇與未知力垂直，最好使每個(gè)方程中 只有一個(gè)未知數(shù)。只有一個(gè)未知數(shù)。 2、一般對(duì)于受多個(gè)力作用的物體，且角度不特殊或、一般對(duì)于受多個(gè)力作用的物體，且角度不特殊或 特殊，都用解析法。特殊，都用解析法。 31 5、解析法解題時(shí)，力的方向可以任意設(shè)，如果求出、解析法解題時(shí)，力的方向可以任意設(shè)，如果求出 負(fù)值，說明力方向與假設(shè)相反。對(duì)于二力構(gòu)件，負(fù)值，說明力方向與假設(shè)相反。對(duì)于二力構(gòu)件， 一般先設(shè)為拉力，如果求出負(fù)值，說明物體受壓一般先設(shè)為拉力，如果求出負(fù)值，說明物體受壓 力。力。 4、對(duì)力的方向判定不準(zhǔn)的，一般用解析法。、對(duì)力的方向判定不準(zhǔn)的，一般用解析法。 作業(yè)：作業(yè)：2-4、2-6 32 三、空間匯交力系的平衡：三、空間匯交力系的平衡： 0X 0Y 0Z 稱為平衡方程稱為平衡方程 空間匯交力系的平衡方程空間匯交力系的平衡方程 解析法解析法平衡充要條件為： 0 i FR 空間匯交力系平衡的充要條件是：空間匯交力系平衡的充要