切線的判定與性質(zhì)

1、分享分享 一一切優(yōu)秀的品質(zhì)都源于自制，不管是切優(yōu)秀的品質(zhì)都源于自制，不管是 勤奮還是奮進(jìn)，都必須以自制為前提，勤奮還是奮進(jìn)，都必須以自制為前提， 奮進(jìn)必為落后所占據(jù)。只有管得住自奮進(jìn)必為落后所占據(jù)。只有管得住自 己的人，才能管得住別人，管好別人己的人，才能管得住別人，管好別人 的人不一定管好自己。但管得住自己的人不一定管好自己。但管得住自己 的人一定能管好別人。世界上的名臣的人一定能管好別人。世界上的名臣 良將都是首先從自己做起，做三軍之良將都是首先從自己做起，做三軍之 表才能服人，希望同學(xué)們加強(qiáng)自制力，表才能服人，希望同學(xué)們加強(qiáng)自制力， 萬事首先從自己想起，管住心靈的羈萬事首先從自己想起，管

2、住心靈的羈 蕩，才能管住蒼穹。蕩，才能管住蒼穹。 24.2.224.2.2 圓的切線的圓的切線的性質(zhì)性質(zhì)和和 判定判定定理定理 .O l BA O r r M l 2 2個個 交點交點 割線割線 1 1個個 切點切點 切線切線 d r 沒有沒有 l r d O l r d BA O l r d A O 本節(jié)專門討論直線與圓相切的情形. . O 相交相交 相切相切 相離相離 l 圖中直線圖中直線l滿足什么條件時是滿足什么條件時是O O的切的切 線？線？ O l 方法方法1 1：直線與圓有直線與圓有唯一公共點唯一公共點 方法方法2 2：直線到圓心的距離直線到圓心的距離等于半徑等于半徑 注意：注意：

3、實際證明過程中，通常不采用第一實際證明過程中，通常不采用第一 種方法種方法; ;方法方法2 2從從“量化量化”的角度說明的角度說明圓的切線圓的切線 的判定方法的判定方法。 （1 1） 圓心圓心O到直線到直線l的距離和的距離和 圓的半徑有什么數(shù)量關(guān)系圓的半徑有什么數(shù)量關(guān)系? ? （2 2） 二者位置有什么關(guān)系？二者位置有什么關(guān)系？ 為什么？為什么？ （3 3） 由此你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你發(fā)現(xiàn)了什么？ O 請在請在O上任意取一點上任意取一點A A，連接，連接OAOA， 過點過點A A作直線作直線lOAOA。思考：。思考： l A (1)(1)直線直線l經(jīng)過半徑經(jīng)過半徑OAOA的外端點的外端點A A；

4、 (2)(2)直線直線l垂直于半徑垂直于半徑0A0A 則則: :直線直線l與與O相切相切 這樣我們就得到了從這樣我們就得到了從“位置位置”的角度的角度圓圓 的切線的判定方法的切線的判定方法切線的判定定理切線的判定定理 A O l 切線的判定定理：切線的判定定理： 經(jīng)過半徑的經(jīng)過半徑的外端外端并且并且垂直垂直這這 條半徑的直線是圓的切線。條半徑的直線是圓的切線。 對定理的理解：對定理的理解： 切線切線必須同時滿足必須同時滿足兩條：兩條： 經(jīng)過半徑外端；經(jīng)過半徑外端； 垂直于這條半徑垂直于這條半徑 數(shù)學(xué)語言表達(dá)：數(shù)學(xué)語言表達(dá)： OA OA是半徑，是半徑， l OAOA于于A A l是是O O的切線

5、的切線 A O l 判斷：判斷： (1)(1)過半徑的外端的直線是圓的切線（過半徑的外端的直線是圓的切線（ ） (2)(2)與半徑垂直的的直線是圓的切線（與半徑垂直的的直線是圓的切線（ ） (3)(3)過半徑的端點與半徑垂直的直線是圓的過半徑的端點與半徑垂直的直線是圓的 切線（切線（ ） 切線的判定方法有三種：切線的判定方法有三種： 直線與圓有唯一公共點；直線與圓有唯一公共點； 直線到圓心的距離等于該圓的半徑；直線到圓心的距離等于該圓的半徑； 切線的判定定理即切線的判定定理即 經(jīng)過半徑的經(jīng)過半徑的外端外端并且并且垂直垂直這條半徑的這條半徑的 直線是圓的切線直線是圓的切線. 判定直線與圓相切有哪

6、些方法？判定直線與圓相切有哪些方法？ 例例1 1 如圖，已知：直線如圖，已知：直線ABAB經(jīng)過經(jīng)過O O上的點上的點C C， 并且并且OA=OBOA=OB，CA=CBCA=CB。 求證：直線求證：直線ABAB是是O O的切線。的切線。 O BA C 分析：分析：由于由于ABAB過過O O上的點上的點C C，所以連接，所以連接OCOC， 只要證明只要證明ABOCABOC即可。即可。 規(guī)范板書 已知：直線已知：直線AB經(jīng)過經(jīng)過 O上的點上的點C，并且，并且OA=OB，CA=CB。 求證：直線求證：直線AB是是 O的切線。的切線。 證明：證明：連結(jié)連結(jié)OC(OC(如圖如圖) )。 OA OAOB,C

7、AOB,CACB, CB, ABOC( ABOC(三線合一三線合一) ) OC OC是是O O的半徑的半徑 AB AB是是O O的切線。的切線。 例例2 2 如圖，已知：如圖，已知：O O為為BACBAC平分線上一平分線上一 點，點，ODABODAB于于D,D,以以O(shè) O為圓心，為圓心，ODOD為半徑作為半徑作 O O。 求證：求證：O O與與ACAC相切。相切。 O A B C E D 規(guī)范板書 證明：過證明：過O O作作OEACOEAC于于E E。 AO AO平分平分BACBAC， ODAB ODAB于點于點D D OE OEODOD OD OD是是O O的半徑的半徑 OE OE也是半徑也

8、是半徑 AC AC是是O O的切線。的切線。 O BA C O A B C E D 例例1 1與例與例2 2的證法有何不同的證法有何不同? ? (1)(1)如果已知直線經(jīng)過圓上一點如果已知直線經(jīng)過圓上一點, ,則連結(jié)這點和圓則連結(jié)這點和圓 心心, ,得到輔助半徑得到輔助半徑, ,再證所作半徑與這直線垂直再證所作半徑與這直線垂直. . 簡記為：簡記為：有交點，連半徑有交點，連半徑, ,證垂直證垂直. . (2)(2)如果已知條件中不知直線與圓是否有公共點如果已知條件中不知直線與圓是否有公共點, , 則過圓心作直線的垂線段則過圓心作直線的垂線段, ,再證垂線段長等于半再證垂線段長等于半 徑長徑長.

9、 .簡記為：簡記為：無交點無交點, ,作垂直作垂直, ,證半徑證半徑. . 符號語言：符號語言： l是是 O的切線的切線 ， 切點為切點為A l OA O l M 反證法反證法 這與這與“直線直線l是圓是圓O的切線的切線”矛盾矛盾. 切線的性質(zhì)定切線的性質(zhì)定 ：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑 證明：證明：假設(shè)假設(shè)l與與OA不垂直不垂直, 作作OM l于于M 因因“垂線段最短垂線段最短”, 故故OAOM, 即圓心到直線的距離小于半徑即圓心到直線的距離小于半徑. A 故直線故直線l與圓與圓O一定垂直一定垂直. 【切線的性質(zhì)定理切線的性質(zhì)定理】 切線的性質(zhì)定理：切線的性質(zhì)定

10、理： 圓的切線垂直于過切點的半圓的切線垂直于過切點的半 徑。徑。 O A l 因為因為經(jīng)過一點只有一條直線與已知直線垂直經(jīng)過一點只有一條直線與已知直線垂直， 所以所以經(jīng)過圓心垂直于切線的直線一定過切點；經(jīng)過圓心垂直于切線的直線一定過切點； 反之反之,過切點且垂直于切線的直線也一定過圓心過切點且垂直于切線的直線也一定過圓心. 由此得到：由此得到： 1 切線的性質(zhì)定理切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑 切線的性質(zhì)定切線的性質(zhì)定 理的推論理的推論: 經(jīng)過圓心且垂經(jīng)過圓心且垂 直于切線的直直于切線的直 線必經(jīng)過切線必經(jīng)過切 點點 切線的性質(zhì)定切線的性質(zhì)定 理的推論

11、理的推論:經(jīng)經(jīng) 過切點且垂直過切點且垂直 于切線的直線于切線的直線 必經(jīng)過圓心必經(jīng)過圓心 O. l A 、切線和圓只有一個公共點。、切線和圓只有一個公共點。 、切線和圓心的距離等于半徑、切線和圓心的距離等于半徑。 、切線垂直于過切點的半徑。、切線垂直于過切點的半徑。 、經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點。、經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點。 、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必過圓心。、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必過圓心。 切線的性質(zhì)定理：切線的性質(zhì)定理：圓的圓的 切線垂直于過切點的半徑。切線垂直于過切點的半徑。 O A l 過半徑外端過半徑外端; ; 垂直于這條半徑垂直于這條半徑. . 切線切線 圓的切

12、線圓的切線; ; 過切點的半徑過切點的半徑. . 切線垂直于半徑切線垂直于半徑 切線判定定理：切線判定定理： 切線性質(zhì)定理：切線性質(zhì)定理： O A l 1 1、如圖、如圖, , O O切切PBPB于點于點B,PB=4,PA=2,B,PB=4,PA=2,則則 OO的半徑多少？的半徑多少？ AO B P 注：注：已知切線、切已知切線、切 點，則連接半徑，應(yīng)用點，則連接半徑，應(yīng)用 切線的性質(zhì)定理得到垂切線的性質(zhì)定理得到垂 直關(guān)系直關(guān)系，從而應(yīng)用勾股，從而應(yīng)用勾股 定理計算。定理計算。 2 2、如圖如圖. AB. AB為為OO的直徑的直徑,C,C為為OO上一上一 點點,AD,AD和和 過過C C點的切

13、線互相垂直點的切線互相垂直, ,垂足為垂足為 D, D, 求證求證:AC:AC平分平分DAB.DAB. A B O C D 證明證明: :連接連接OC, OCCD. 又又ADCD, OC/AD. OC=OA. CAO=ACO. CAD=CAO. 故故AC平分平分DAB. CD是是 O的切線的切線, 由此得由此得 ACO=CAD. 過半徑外端過半徑外端; ; 垂直于這條半徑垂直于這條半徑. . 切線切線 圓的切線圓的切線; ; 過切點的半徑過切點的半徑. . 切線垂直于半徑切線垂直于半徑 切線判定定理：切線判定定理： 切線性質(zhì)定理：切線性質(zhì)定理： O A l 1. 1. 判定一條直線是圓的切線的

14、三種方法：判定一條直線是圓的切線的三種方法： 直線直線l 與圓有唯一公共點與圓有唯一公共點 與圓心的距離等于圓的半徑與圓心的距離等于圓的半徑 經(jīng)過半徑外端且垂直這條半徑經(jīng)過半徑外端且垂直這條半徑 l是圓的切線是圓的切線 2. 2. 常用的添輔助線方法？常用的添輔助線方法？ 直線與圓的公共點已知時，作出過公共點直線與圓的公共點已知時，作出過公共點 的半徑，再證半徑垂直于該直線。的半徑，再證半徑垂直于該直線。 （連半徑，證垂直連半徑，證垂直） 直線與圓的公共點不確定時，過圓心作直直線與圓的公共點不確定時，過圓心作直 線的垂線段，再證明這條垂線段等于圓的半徑。線的垂線段，再證明這條垂線段等于圓的半徑。 （作垂直，證半徑作垂直，證半徑） l是圓的切線是圓的切線 l是圓的切線是圓的切線 1 1、知識：、知識：切線的判定定理切線的判定定理著重分析著重分析 了定理成立的條件，在應(yīng)用定理時，了定理成立的條件，在應(yīng)用定理時， 注重注重兩個條件缺一不可兩個條件缺一不可 2 2、判定一條直線是圓的切線的三種方、判定一條直線是圓的切線的三種方 法說明：其中法說明：其中(2)(2)和和(3)(3)本質(zhì)相同，只是本質(zhì)相同，