初三 解直角三角形 復習課件

1、 三邊之間的關系三邊之間的關系a a2 2b b2 2c c2 2（勾股定理）；（勾股定理）； 銳角之間的關系銳角之間的關系 A A B B 90 90 邊角之間的關系（銳角三角函數）邊角之間的關系（銳角三角函數） tanAtanA a a b b sinA sinA a c 1、 cosAcosA b b c c a b c 解直角三角形的依據解直角三角形的依據 2、30，45，60的三角函數值的三角函數值 2 2 3 2 3 3 3 1 2 3 2 2 2 1 2 1 450 450 300 600 在解直角三角形及應用時經常接觸到的一些概念在解直角三角形及應用時經常接觸到的一些概念 l

2、l h （2 2）坡度）坡度tan tan h h l l 概念反饋概念反饋 （1 1）仰角和俯角）仰角和俯角 視線視線 鉛鉛 垂垂 線線 水平線水平線 視線視線 仰角仰角 俯角俯角 （3 3）方位角）方位角 3030 4545 B B O O A A 東東西西 北北 南南 為坡角為坡角 解直角三角形解直角三角形：(如圖如圖) 1.已知已知a,b.解直角三角形解直角三角形(即求：即求：AA，BB及及C C邊邊) ) 2. 已知已知A，a.解直角三角形解直角三角形 3.已知已知A，b. 解直角三角形解直角三角形 4. 已知已知A，c. 解直角三角形解直角三角形 bA B C a c 只有下面兩種

3、情況：只有下面兩種情況： 】 題型題型1 三角函數三角函數 1. 在在RtABC中，中，C=90，AB=5，AC=4， 則則sinA的值為的值為_ 2. 在在RtABC中，中，C =90，BC=4，AC=3， 則則cosA的值為的值為_ 3. 如圖如圖1，在，在ABC中，中，C =90，BC=5， AC=12，則，則cosA等于（等于（ ） 13 12 ., 5 12 ., 13 5 ., 12 2 .DCBA 3 5 3 5 D 4. 如圖如圖2，在，在RtABC中，中，ACB =90， CDAB于點于點D，已知，已知AC=5 BC=2，那么，那么sinACD=（ ） ， A 522 55

4、. 3352 BCD 5計算：計算： |- 2 8|+（cos60-tan30）+ A 題型題型2 解直角三角形解直角三角形 如圖，在矩形如圖，在矩形ABCD中中DEAC于于E， 設設 ADE=a， 且且cos= 3 5 AB=4，則，則AD的長為（的長為（ ） ， 162016 . 335 CD A3 B B 題型題型3 解斜三角形解斜三角形 1.如圖如圖6所示，已知：在所示，已知：在ABC中，中，A=60， B=45，AB=8， 求求ABC的面積（結果的面積（結果 可保留根號）可保留根號） 2.如圖，海上有一燈塔如圖，海上有一燈塔P，在它周圍，在它周圍 3海里處有暗礁，海里處有暗礁， 一艘

5、客輪以一艘客輪以9海海 里里/時的速度由西向東航行，行至時的速度由西向東航行，行至A點點 處測得處測得P在它的北偏東在它的北偏東60的方向，的方向， 繼續(xù)行駛繼續(xù)行駛20分鐘后，到達分鐘后，到達B處又測得處又測得 燈塔燈塔P在它的北偏東在它的北偏東45方向，問客方向，問客 輪不改變方向繼續(xù)前進有無觸礁的危輪不改變方向繼續(xù)前進有無觸礁的危 險？險？ 解：過C作CDAB于D， 設CD=x在RtACD中，cot60= AD CD 3 在RtBCD中，BD=CD=x 3 3 x+x=8 解得x=4（3-） 3 3 =16（3-）=48-16 ， 3 3 AD=x 1 2 1 2 3 ABCD=84（3

6、-SABC= ） 2解：過P作PCAB于C點，據題意知： AB=9 2 6 =3，PAB=90-60=30， PBC=90-45=45，PCB=90 PC=BC 在RtAPC中， PC3 客輪不改變方向繼續(xù)前進無觸礁危險 3 PCPCPC ACABBCPC tan30=， 3 3 3 33 , 32 PC PC PC 即=， 4.如圖，某校九年級如圖，某校九年級3班的一個學生小組進行測班的一個學生小組進行測 量小山高度的實踐活動部分同學在山腳點量小山高度的實踐活動部分同學在山腳點A測測 得山腰上一點得山腰上一點D的仰角為的仰角為30，并測得，并測得AD 的長的長 度為度為180米；另一部分同學

7、在山頂點米；另一部分同學在山頂點B測得山腳測得山腳 點點A的俯角為的俯角為45，山腰點，山腰點D的俯角為的俯角為60請請 你幫助他們計算出小山的高度你幫助他們計算出小山的高度BC（計算過程和（計算過程和 結果都不取近似值）結果都不取近似值） 在RtADF中，AD=180，DAF=30， DF=90，AF=903 4解：如圖設BC=x， 3 解得x=90+90 （x-90） FC=AC-AF=x-90 BAC=ABC=45， AC=BC=x BE=BC-EC=x-90 在RtBDE中，BDE=60， DE= 3 3 3 3 3 BE= （x-90）=x-90 3 3 3 DE=FC， 3.如圖，

8、在觀測點如圖，在觀測點E測得小山上鐵塔頂測得小山上鐵塔頂A的仰角的仰角 為為60，鐵塔底部，鐵塔底部B的仰角為的仰角為45已知塔高已知塔高 AB=20m，觀察點，觀察點E到地面的距離到地面的距離EF=35m，求，求 小山小山BD的高（精確到的高（精確到0.1m，3 1.732） 3解：如圖，過C點作CEAD于C x-x 解得x=10 AB=AC-BC， 即20=3 3 BD=BC+CD=BC+EF 3 設BC=x，則EC=BC=x 在RtACE中，AC=x， +10 3+10+3545+101.73262.3（m） 所以小山BD的高為623m =10 4已知：如圖，在山腳的已知：如圖，在山腳的

9、C處測得山頂處測得山頂A的仰的仰 角為角為45，沿著坡度為，沿著坡度為30的斜坡前進的斜坡前進400米到米到 D處（即處（即DCB=30，CD=400米），測得米），測得A的的 仰角為仰角為60，求山的高度，求山的高度AB 題型題型4 應用舉例應用舉例 1有人說，數學家就是不用爬樹或把樹砍倒就有人說，數學家就是不用爬樹或把樹砍倒就 能夠知道樹高的人小敏想知道校園內一棵大樹能夠知道樹高的人小敏想知道校園內一棵大樹 的高（如圖的高（如圖1），她測得），她測得CB=10米，米， ACB=50，請你幫助她算出樹高，請你幫助她算出樹高AB約為約為 _米（注：米（注：樹垂直于地面；樹垂直于地面；供選供選

10、用數據：用數據：sin500.77，cos500.64， tan501.2） 12 2.如圖如圖2，小華為了測量所住樓房的高度，他請，小華為了測量所住樓房的高度，他請 來同學幫忙，測量了同一時刻他自己的影長和來同學幫忙，測量了同一時刻他自己的影長和 樓房的影長分別是樓房的影長分別是0.5米和米和15米，已知小華的身米，已知小華的身 高為高為1.6米，米， 那么分所住樓房的高度那么分所住樓房的高度 為為_米米 3如圖如圖3，兩建筑物，兩建筑物AB和和CD 的水平距離為的水平距離為30米，從米，從A點測點測 得得D 點的俯角為點的俯角為30，測得，測得 C點的俯角為點的俯角為60，則建筑物，則建筑

11、物 CD的高為的高為_米米 48 4.如圖，花叢中有一路燈桿如圖，花叢中有一路燈桿AB在燈光下，小明在燈光下，小明 在在D 點處的影長點處的影長DE=3米，沿米，沿BD方向行走到達方向行走到達 G點，點，DG=5米，這時小明的影長米，這時小明的影長GH=5米米 如如 果小明的身高為果小明的身高為1.7米，求路燈桿米，求路燈桿AB的高度（精的高度（精 確到確到0.1米）米） 1.73 , 3 CDDE ABBExy 即 1.75 , 10 FGGH ABBExy 即 4解：設AB=x米，BD=y米 由CDEABE得 由FGHABH得 由，得y=7.5，x=5.956.0米 所以路燈桿AB的高度約

12、為6.0米 4.如圖，在兩面墻之間有一個底端在如圖，在兩面墻之間有一個底端在A點的梯點的梯 子，當它靠在一側墻上時，梯子的頂端在子，當它靠在一側墻上時，梯子的頂端在B點；點； 當它靠在另一側墻上時，梯子的頂端在當它靠在另一側墻上時，梯子的頂端在D 點已知點已知BAC= 65，DAE=45，點，點D 到地面的垂直距離到地面的垂直距離 DE=3 ，求點求點B到地到地 面的垂直距離面的垂直距離BC 2 6.如圖，我市某廣場一燈柱如圖，我市某廣場一燈柱AB被一鋼纜被一鋼纜CD固固 定，定，CD 與地面成與地面成40夾角，且夾角，且DB=5m，現要，現要 在在C點上方點上方2m處加固另一條鋼纜處加固另一

13、條鋼纜ED，那么，那么EB 的高為多少米？（的高為多少米？（ 結果保留三個有效數字）結果保留三個有效數字） 6解：在RtBCD中， BDC=40，DB=5m， tanBDC= BC DB BC=DBtanBDC =5tan404.195 EB=BC+CE=4.195+26.20 答：略 ， 5.如圖，在電線桿上的如圖，在電線桿上的C處引位線處引位線CE、CF固定固定 電線桿，拉線電線桿，拉線CE和地面成和地面成60角，在離電線桿角，在離電線桿6 米的米的B處安置測角儀，在處安置測角儀，在A處測得電線桿處測得電線桿C處的仰處的仰 角為角為30，已知測角儀，已知測角儀AB高為高為1.5米，求拉線米

14、，求拉線CE 的長（結果保留根號）的長（結果保留根號） 5解：過點A作AHCD，垂足為H 由題意可知四邊形ABDH為矩形， CAH=30， AB=DH=1.5，BD=AH=6 在RtACH中，tanCAH= CH AH 3 3 3 ， CH=AHtanCAH=6tan30=6=2 CD CE 在RtCDE中 ， CED=60，sinCED= 2 31.5 sin603 2 CD CE=3=（4+）（米） 3 DH=1.5，CD=2+1.5 答：拉線CE的長為（4+3）米 8已知：如圖，在山腳的已知：如圖，在山腳的C處測得山頂處測得山頂A的仰的仰 角為角為45，沿著坡度為，沿著坡度為30的斜坡前

15、進的斜坡前進400米到米到 D處（即處（即DCB=30，CD=400米），測得米），測得A的的 仰角為仰角為60，求山的高度，求山的高度AB 9.如圖，在一個坡角為如圖，在一個坡角為15的斜的斜 坡上有一棵樹，高為坡上有一棵樹，高為AB當太當太 陽光與水平線成陽光與水平線成50時，測得該時，測得該 樹在斜坡的樹影樹在斜坡的樹影BC的長為的長為7m， 求樹高（精確到求樹高（精確到0.1m） 在矩形DEBF中，BE=DF=200米， 在RtACB中，ACB=45， AB=BC， 即 8解：如圖，作DEAB于E，作DFBC 于F，在RtCDF中DCF=30，CD=400米， DF=CDsin30=

16、400=200（米） 1 2 3 2 CF=CDcos30= 400=200 （米） 3 +xx+200=2003 3 x=200， AB=AE+BE=（200 +200）米 在RtADE中，ADE=60，設DE=x米， AE=tan60 x= 3x（米） 3 u這節(jié)課你有哪些收獲? u你能否用所學的知識去解決一些 實際問題嗎? BCD=15， ACD=50， 在RtCDB中， CD=7cos15， BD=7sin15 在RtCDA中， AD=CDtan50=7cos15tan50 AB=AD-BD =（7cos15tan50-7sin15） =7（cos15tan50-sin15）6.2（m

17、） 答：樹高約為6.2m 9解：如圖，過點C作水平線與AB的延長線 交于點D，則ADCD 題型題型5 綜合與創(chuàng)新綜合與創(chuàng)新 1.小明騎自行車以小明騎自行車以15千米千米/小時的速度在公路上向小時的速度在公路上向 正北方向勻速行進，如圖正北方向勻速行進，如圖1，出發(fā)時，在，出發(fā)時，在B點他點他 觀察到倉庫觀察到倉庫A在他的北偏東在他的北偏東30處，騎行處，騎行20分鐘分鐘 后到達后到達C點，發(fā)現此時這座倉庫正好在他的東南點，發(fā)現此時這座倉庫正好在他的東南 方向，則這座倉庫到公路的距離為方向，則這座倉庫到公路的距離為_千千 米（參考數據：米（參考數據：31.732，結果，結果 保留兩位有效數字）保

18、留兩位有效數字） 1.8 2.先將一矩形先將一矩形ABCD置于直角坐標系中，使點置于直角坐標系中，使點 A 與坐標系的原點重合，邊與坐標系的原點重合，邊AB、AD分別落在分別落在 x軸、軸、y軸上（如圖軸上（如圖2），）， 再將此矩形在坐標平再將此矩形在坐標平 面內按逆時針方向繞原點旋轉面內按逆時針方向繞原點旋轉30（如圖（如圖3），）， 若若AB=4，BC=3，則圖（，則圖（2）和圖（）和圖（3）中點）中點B 的坐標為的坐標為_，點，點C的坐標為的坐標為_ 3 答案：圖（2）中：B（4，0），圖（3）中：B（2 ，2）； 4 33 3 34 , 22 圖（2）中：C（4，3），圖（3）中：C

19、（） 3.數學活動課上，小敏、小穎分別畫了數學活動課上，小敏、小穎分別畫了ABC 和和DEF， 數據如圖，如果把小敏畫的三角數據如圖，如果把小敏畫的三角 形面積記作形面積記作S ABC，小穎畫的三角形面積記作 ，小穎畫的三角形面積記作 S DEF，那么你認為（ ，那么你認為（ ） AS ABC SDEF B S ABC SDEF CS ABC =SDEF D不能確定 不能確定 小敏畫的三角形 小穎畫的三角形 C 4.已知：如圖，在已知：如圖，在ABC中，中，AD是邊是邊BC上的高，上的高， E 為邊為邊AC 的中點，的中點，BC= 14，AD=12，sinB= ，求：（，求：（1）線段）線段D

20、C的長；的長； 4 5 （2）tanEDC的值的值 12 5 AD CD CD=BC-BD=14-9=5 （2）E是RtADC斜邊AC的中點， DE=EC，EDC=C tanEDC=tanC= 12 4 sin 5 AD B 4解：（1）在RtABD中，AB=15 22 ABAD BD=9 5.某校教學樓后面緊鄰著一個土坡，坡上面是一某校教學樓后面緊鄰著一個土坡，坡上面是一 塊平地，塊平地， 如圖所示，如圖所示，BCAD，斜坡，斜坡AB長長22m， 坡角坡角BAD=68，為了防止山體滑坡，保障安全，為了防止山體滑坡，保障安全， 學校決定對該土坡進行改造經地質人員勘測，學校決定對該土坡進行改造經

21、地質人員勘測， 當坡角不超過當坡角不超過50時，時， 可確保山體不滑坡可確保山體不滑坡（1） 求改造前坡頂與地面的距離求改造前坡頂與地面的距離BE的長（精確到的長（精確到 0.1m）；（）；（2）為確保安全，學校計劃改造時保持）為確保安全，學校計劃改造時保持 坡腳坡腳A不動，坡頂不動，坡頂B沿沿BC削進到削進到F點處，點處， 問問BF至至 少少 是多少米（精確到是多少米（精確到0.1m）？）？ （參考數據：參考數據：sin680.927 2， cos680.374 6，tan682.475 1， tan500.766 0，cos500.642 8， tan501.191 8） 5解：如圖，（1

22、）作BEAD，E為垂足 AE=ABcos68=22cos68 8.24， BF=AG-AE=8.888.9 （ m） 即BF至少是8.9m 則BE=ABsin68=22sin6820.40=20.4（m）（2） 作FGAD，G為垂足， 連結FA，則FG=BE AG= tan50 FG =17.12， 1.73） 6.如圖，小島如圖，小島A在港口在港口P的南偏西的南偏西45方向，距方向，距 離港口離港口81海里處甲船從海里處甲船從A出發(fā)，沿出發(fā)，沿AP方向以方向以9 海里海里/時的速度駛向港口，乙船從港口時的速度駛向港口，乙船從港口P 出發(fā)，出發(fā)， 沿南偏東沿南偏東60方向，以方向，以18海里海

23、里/時的速度駛離時的速度駛離 港口，現兩船同時出發(fā)，港口，現兩船同時出發(fā)， （1）出發(fā)后幾小時兩船與港口）出發(fā)后幾小時兩船與港口P的距離相等？的距離相等？ （2）出發(fā)后幾小時乙船在甲船的正東方向？）出發(fā)后幾小時乙船在甲船的正東方向？ （結果精確到（結果精確到0.1小時）小時） （參考數據：（參考數據：2 3 1.41， 6解：（1）設出發(fā)后x小時時兩船與港口P 的距離相等 根據題意，得81-9x=18x， 解這個方程，得x=3 出發(fā)后3小時兩船與港口P的距離相等 在RtCEP中，CPE=45， PE=PCcos45 在RtPED中，EPD=60， PE=PDcos60 （81-9x）cos45

24、=18xcos60 解這個方程，得x3.7 出發(fā)后約3.7小時乙船在甲船的正東方向 （2）如圖，設出發(fā)后x小時 乙船在甲船的正東方向，此 時甲、乙兩船的位置分別在 點C、D處，連結CD過點 P作PECD，垂足為E則 點E在點P的正南方向 1.如圖如圖，一架長，一架長4米的梯子米的梯子AB斜靠在與地面斜靠在與地面 OM 垂直的墻垂直的墻ON上，梯子與地面的傾斜角上，梯子與地面的傾斜角為為 60（1）求）求AO與與BO的長；（的長；（2）若梯子頂端）若梯子頂端A 沿沿NO下滑，同時底端下滑，同時底端B沿沿OM向右滑行向右滑行如圖如圖， 設設A點下滑到點下滑到C點，點，B點向右滑行到點向右滑行到D點，并且點，并且AC： BD=2：3， 試計算梯子頂端試計算梯子頂端A沿沿NO下滑多少米；下滑多少米； 如圖如圖，當，當A點下滑到點下滑到A點，點，B點向右滑行到點向右滑