結(jié)構(gòu)力學(xué)第四章(2)-彎曲應(yīng)力

1、1 引言引言 2 平面平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力 3 梁橫截面上的剪應(yīng)力梁橫截面上的剪應(yīng)力 4 梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件 梁的合理截面梁的合理截面 5、 梁的彎曲應(yīng)力梁的彎曲應(yīng)力 引言引言 1、彎曲構(gòu)件橫截面上的（內(nèi)力）應(yīng)力、彎曲構(gòu)件橫截面上的（內(nèi)力）應(yīng)力 內(nèi)力 剪力F 剪應(yīng)力t t 彎矩M 正應(yīng)力s s 平面彎曲時(shí)橫截面s 純彎曲梁(橫截面上只有M而無(wú)F的情況) 平面彎曲時(shí)橫截面t 剪切彎曲(橫截面上既有F又有M的情況) 2、研究方法、研究方法 縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面 P1 P2 例如： 某段梁的內(nèi)力只有彎矩某段梁的內(nèi)力只有彎矩 沒(méi)有剪力時(shí)

2、，該段梁的變沒(méi)有剪力時(shí)，該段梁的變 形稱為純彎曲。如形稱為純彎曲。如AB段。段。 PP aa AB Q M x x 純彎曲純彎曲(Pure Bending): 2 2 平面平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力 1.梁的純彎曲實(shí)驗(yàn) 橫向線(a b、c d）變 形后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動(dòng)； 縱向線變?yōu)榍€，且上縮 下伸；橫向線與縱向線變 形后仍正交。 （一）變形幾何規(guī)律：（一）變形幾何規(guī)律： 一、一、 純彎曲時(shí)梁橫截面純彎曲時(shí)梁橫截面 上的正應(yīng)力上的正應(yīng)力 中性層中性層 縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面 中性軸中性軸 bd ac a b c d MM 橫截面上只有正應(yīng)力。橫截面上只有正應(yīng)力。 平面

3、假設(shè)：平面假設(shè)：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生 轉(zhuǎn)動(dòng)，距中性軸等高處，變形相等。轉(zhuǎn)動(dòng)，距中性軸等高處，變形相等。 3. .推論推論 2. .兩個(gè)概念兩個(gè)概念 中性層：中性層：梁內(nèi)一層纖維既不伸長(zhǎng)也不縮短，因而纖維不梁內(nèi)一層纖維既不伸長(zhǎng)也不縮短，因而纖維不 受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力，此層纖維稱中性層。受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力，此層纖維稱中性層。 中性軸：中性軸：中性層與橫截面的交線。中性層與橫截面的交線。 4. 4. 幾何方程：幾何方程： OO1 ab O O1 A1 B1 dq q r r x y ab AB r y x AB ABBA x 11 1 111 OO

4、 OOBA qr qrqr d ddy )( r y （二）物理關(guān)系：（二）物理關(guān)系： 假設(shè)：縱向纖維互不擠壓。于是，任意一點(diǎn)均處于單向應(yīng) 力狀態(tài)。 (2) . r s Ey E xx s sx s sx （三）靜力學(xué)關(guān)系：（三）靜力學(xué)關(guān)系： 0ddd rrr s z AAA x ES Ay E A Ey AF 軸過(guò)形心中性)( 0zS z 0dd)d( rrr s yz AAA y EI Ayz E A Eyz zAM （對(duì)稱面永遠(yuǎn)滿足）（對(duì)稱面永遠(yuǎn)滿足） M EI Ay E A Ey yAM z AAA z rrr sdd)d( 2 2 z z EI M r 1 (3) EIz 桿的桿的抗

5、彎剛度抗彎剛度 （彎曲剛度彎曲剛度） (4) . z x I M y s s （四）最大正應(yīng)力：（四）最大正應(yīng)力： z W M max s (5) D d D d a )1 ( 32 4 3 max a D y I W z z 圓環(huán) b B h H )1 ( 6 3 32 max BH bhBH y I W z z 回字框 max y I W z z 抗抗彎彎截截面面模模量量。 ( 彎曲截面系數(shù)彎曲截面系數(shù) ) 例例1 受均布載荷作用的簡(jiǎn)支梁如 圖所示，試求： （1）11截面上1、2兩點(diǎn)的正 應(yīng)力； （2）此截面上的最大正應(yīng)力； （3）全梁的最大正應(yīng)力； （4）已知E=200GPa，求11截

6、面的曲率半徑。 q=60kN/m A B 1m2m 1 1 x M + 8 2 qL M1Mmax 12 120 180 z y 解：畫(huà)M圖求截面彎矩 kNm60) 22 ( 1 2 1 x qxqLx M 30 q=60kN/m A B 1m2m 1 1 x M + 8 2 qL M1Mmax 12 120 z y kNm5 .678/3608/ 22 max qLM 33 12 54 120 180 10 1212 5.832 10 m z bh I MPa7 .6110 832. 5 6060 5 1 21 z I yM ss 求應(yīng)力 180 30 ( (壓應(yīng)力壓應(yīng)力) ) MPa6 .

7、92 10 832. 5 10901060 5 33 max1 max1 z I yM s m 4 .194 1060 10832. 510200 3 59 1 1 M EIz r MPa2 .104 maxmax max z I yM s 求曲率半徑求曲率半徑 q=60kN/m A B 1m2m 1 1 x M + 8 2 qL M1Mmax 12 120 180 30 y1 y2 G A1 A2 A3 A4 解：解：畫(huà)彎矩圖畫(huà)彎矩圖 例例2 T 字形截面的鑄鐵梁受力如 圖，鑄鐵的sL=30MPa，sy=60 MPa，其截面形心位于C點(diǎn)， y1=52mm， y2=88mm， Iz=763cm

8、4 ，試校核此梁的強(qiáng)度。 并說(shuō)明T字梁怎樣放置更合理？ kN5 .10;kN5 . 2 BA RR )(kNm5 . 2下拉、上壓 C M （上拉、下壓）kNm4 B M 畫(huà)危面應(yīng)力分布圖，找危險(xiǎn)點(diǎn)畫(huà)危面應(yīng)力分布圖，找危險(xiǎn)點(diǎn) P1=9kN 1m1m1m P2=4kN ABCD x 2.5kNm -4kNm M 校核強(qiáng)度校核強(qiáng)度 MPa2 .28 10763 885 . 2 8 2 2 z C LA I yM s MPa2 .27 10763 524 8 1 3 z B LA I yM s MPa2 .46 10763 884 8 2 4 z B yA I yM s LL ss2 .28 max

9、 yy ss2 .46 max T T字頭在上面合理，反之失效。字頭在上面合理，反之失效。 y1 y2 G A1 A2 A3 A4 x 2.5kNm -4kNm M y1 y2 G A3 A4 MPa0 .17 10763 525 . 2 8 1 1 z C yA I yM s 3 3 梁橫截面上的剪應(yīng)力梁橫截面上的剪應(yīng)力 一、一、 矩形截面矩形截面梁橫截面上的剪應(yīng)力梁橫截面上的剪應(yīng)力 1、兩點(diǎn)假設(shè)： 剪應(yīng)力與剪力平行； 距中性軸等距離處，剪應(yīng)力 相等。 2、研究方法：分離體平衡。 在梁上取微段； dx x b dx y x z O B A 1 B 1 A m m mn n mn t t dA

10、s y x z O 1N F 2N F sF d z z A z A z A N S I M Ay I M A I My AFddd 1 1 11 s z z A z A N S I dMM Ay I dMM AFd )( d 122 s 0 12 SNN FdFF bdxFd S t bI S dx dM Z Z t bI SF Z ZS tt 1 y tt5 . 1 2 3 max A FF t t 方向：與橫截面上剪力方向相同； t t 大?。貉亟孛鎸挾染鶆蚍植?，沿高度h分布為拋物線。 最大剪應(yīng)力為平均剪應(yīng)力的1.5倍。 二、其它截面梁二、其它截面梁橫截面上的剪應(yīng)力橫截面上的剪應(yīng)力 1、

11、研究方法與矩形截面同;剪應(yīng)力的計(jì)算公式亦為： 其中F為截面剪力；Sz 為y點(diǎn)以下的面積對(duì)中性軸之靜矩； z Z bI SF 1 t Iz為整個(gè)截面對(duì)z軸之慣性矩；b 為y點(diǎn)處截面寬度。 2、幾種常見(jiàn)截面的最大彎曲剪應(yīng)力 工字鋼截面：工字鋼截面： max t min t ; max A Q t t f 結(jié)論：結(jié)論： 翼緣部分tmax腹板上的tmax，只計(jì)算腹板上的tmax。 鉛垂剪應(yīng)力主要腹板承受（9597%），且tmax tmin 故工字鋼最大剪應(yīng)力 Af 腹板的面積。 ; max A F t t f 圓截面： tt 3 4 3 4 max A F 薄壁圓環(huán)： tt22 max A F z D

12、 z D d 4 梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件 梁的合理截面梁的合理截面 1 1、危險(xiǎn)面與危險(xiǎn)點(diǎn)分析：、危險(xiǎn)面與危險(xiǎn)點(diǎn)分析： 一般截面，最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩絕對(duì)值最大的截面的上下邊一般截面，最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩絕對(duì)值最大的截面的上下邊 緣上；最大剪應(yīng)力發(fā)生在剪力絕對(duì)值最大的截面的中性軸。緣上；最大剪應(yīng)力發(fā)生在剪力絕對(duì)值最大的截面的中性軸。 Q t t s ss s s s M t t 一、梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件一、梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件 2 2、正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件：、正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件： t tt t z z Ib SQ maxmax max s ss

13、s z W Mmax max 3 3、強(qiáng)度條件應(yīng)用：、強(qiáng)度條件應(yīng)用：依此強(qiáng)度準(zhǔn)則可進(jìn)行三種強(qiáng)度計(jì)算：依此強(qiáng)度準(zhǔn)則可進(jìn)行三種強(qiáng)度計(jì)算： 校核強(qiáng)度校核強(qiáng)度： ; maxmax ttss 設(shè)計(jì)截面尺寸：設(shè)計(jì)截面尺寸： max s M Wz 設(shè)計(jì)載荷：設(shè)計(jì)載荷：)( ; maxmax MfPWM z s 4 4、需要校核剪應(yīng)力的幾種特殊情況：、需要校核剪應(yīng)力的幾種特殊情況： 鉚接或焊接的組合截面，其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相 應(yīng)比值時(shí)，要校核剪應(yīng)力。 梁的跨度較短，M 較小，而 F 較大時(shí)，要校核剪應(yīng)力。 各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，要校核剪應(yīng)力。 解：解： 畫(huà)內(nèi)力圖求危面內(nèi)力畫(huà)內(nèi)力圖求

14、危面內(nèi)力 例例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截面 木梁如圖，s=7MPa，t=0. 9 M Pa，試求最大正應(yīng)力和最大剪應(yīng)力, 并校核梁的強(qiáng)度。 N5400 2 33600 2 max qL Q Nm4050 8 33600 8 22 max qL M q=3.6kN/m x M + 8 2 qL A B L=3m Q 2 qL 2 qL + x 求最大應(yīng)力并校核強(qiáng)度求最大應(yīng)力并校核強(qiáng)度 q=3.6kN/m x M + 8 2 qL Q 2 qL 2 qL + x maxmax max3 4050 0.09 12 6.25MPa7MPa z My bhI s s 0.9MPa0.375

15、MPa 18. 012. 0 54005 . 1 5 . 1 max max t t A Q 二、梁的合理設(shè)計(jì)二、梁的合理設(shè)計(jì) （一）矩形木梁的合理高寬比（一）矩形木梁的合理高寬比 R 北宋李誡于1100年著營(yíng)造法式 一書(shū)中指出: 矩形木梁的合理高寬比 ( h/b = ) 1.5 英(T.Young)于1807年著自然哲學(xué)與機(jī)械技術(shù)講義 一書(shū)中指出: 矩形木梁的合理高寬比為 剛度最大。時(shí)強(qiáng)度最大時(shí), 3 ;, 2 b h b h b h A Q 3 4 33. 1 mmax tt 32 3 1 D W z 1 32 2 1.18 6 )( 6 zz W Rbh W mmax 5 . 1tt )

16、2/( ;, 4 1 2 2 1 DRaa D 時(shí)當(dāng) 強(qiáng)度：正應(yīng)力：剪應(yīng)力： 1 1、在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面、在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面 ss z I yM tt z z bI QS * 其它材料與其它截面形狀梁的合理截面 z D z a a m tt2 max 1 4 3 3 75. 2 )0.8-(1 32 zz W D W 1 222 1 67. 1, 4 )8 . 0( 4 DD DDD 時(shí)當(dāng) 11 2 1 2 1 2,2 4 Daa D 時(shí)當(dāng) 1 3 1 2 4 67. 1 6 4 6 zz W abh W m tt5 . 1 max z D 0.8D a1 2a1 z )(= 3 . 2 mmax f A Q tt 工字形截面與框形截面類似。 15 57. 4 zz WW 12 2 2 2 2 2 1 05. 1,6 . 18 . 02 4 Daaa D 時(shí)當(dāng) 0.8a2 a2 1.6a2 2a2 z 對(duì)于鑄鐵