高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理（二）學(xué)案

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1。1。1正弦定理（二）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.熟記并能應(yīng)用正弦定理的有關(guān)變形公式解決三角形中的問題。2。能根據(jù)條件，判斷三角形解的個(gè)數(shù)。3.能利用正弦定理、三角變換、三角形面積公式解決較為復(fù)雜的三角形問題知識鏈接以下關(guān)于正弦定理的敘述或變形錯(cuò)誤的是 （1)在abc中，若，則a90。(2)在abc中，若sin 2asin 2b，則ab.（3)在abc中，若sin asin b，則ab；反之，若ab,則sin asin b.(4）在abc中，。答案(2)解析對于（1)，由正弦定理可知，sin bcos b，sin ccos c，bc45,故a90，故(1）正確對于（2），由sin

2、2asin 2b可得ab或2a2b，ab或a2b2c2,故（2)錯(cuò)誤對于(3），在abc中，sin asin babab，故（3）正確對于（4),因?yàn)?，所?故（4)正確預(yù)習(xí)導(dǎo)引1正弦定理的常見變形(1）sin asin bsin cabc.（2）2r.（3)a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c。(4)sin a，sin b,sin c.2三角變換公式(1)sin(）sin cos cos sin .（2）sin（）sin cos cos sin .(3)sin22sin cos .要點(diǎn)一利用正弦定理判斷三角形的形狀例1在abc中，若sin a2sin bcos c，且sin2

3、asin2bsin2c，試判斷abc的形狀解方法一在abc中，根據(jù)正弦定理：2r(r為abc外接圓的半徑）sin2asin2bsin2c，(）2()2（）2，即a2b2c2。a90，bc90.由sin a2sin bcos c，得sin 902sin bcos(90b），sin2b。b是銳角，sin b，b45，c45。abc是等腰直角三角形方法二在abc中，根據(jù)正弦定理，得sin a，sin b,sin c(r為abc外接圓的半徑)sin2asin2bsin2c，a2b2c2,abc是直角三角形且a90。a180(bc），sin a2sin bcos c，sin（bc）2sin bcos c

4、.sin bcos ccos bsin c0,即sin（bc)0.bc0，即bc.abc是等腰直角三角形規(guī)律方法依據(jù)條件中的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時(shí)，主要有以下兩種途徑:(1）利用正弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀；(2）利用正弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變形得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用abc這個(gè)結(jié)論在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解跟蹤演練1在abc中,已知a2tan bb2tan a,試判斷abc的形狀解在abc中，由正弦定理得，。

5、又a2tan bb2tan a,，sin acos asin bcos b，即sin 2asin 2b.2a2b或2a2b，即ab或ab。abc為等腰三角形或直角三角形要點(diǎn)二利用正弦定理求最值或范圍例2在銳角abc中,角a,b，c分別對應(yīng)邊a，b，c，且a2bsin a，求cos asin c的取值范圍解設(shè)r為abc外接圓的半徑a2bsin a，2rsin a4rsin bsin a，sin b.b為銳角，b.令ycos asin ccos asin（ba）cos asin(a）cos asin cos acos sin acos asin asin（a)由銳角abc知,ba，a.a,sin(

6、a)，sin（a)，即0，所以0b，所以cos b1。因?yàn)?cos b，所以12cos b2，故12.要點(diǎn)三正弦定理與三角變換的綜合應(yīng)用例3已知abc的三個(gè)內(nèi)角a、b、c的對邊分別為a、b、c,若ac2b,且2cos 2b8cos b50，求角b的大小，并判斷abc的形狀解2cos 2b8cos b50，2（2cos2b1)8cos b50。4cos2b8cos b30,即（2cos b1）（2cos b3）0.解得cos b或cos b(舍去)0b，b.ac2b.由正弦定理得sin asin c2sin b2sin.sin asin(a)，sin asincos acossin a.化簡得s

7、in acos a，sin(a）1.0a，a.a，c,即abc.abc是等邊三角形規(guī)律方法借助正弦定理可以實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化，在轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系后，常常利用三角變換公式進(jìn)行化簡，從而進(jìn)行三角形形狀的判斷、三角恒等式的證明跟蹤演練3已知方程x2(bcos a）xacos b0的兩根之積等于兩根之和，且a、b為abc的兩邊,a、b為兩內(nèi)角,試判斷這個(gè)三角形的形狀解設(shè)方程的兩根為x1、x2，由根與系數(shù)的關(guān)系得bcos aacos b.由正弦定理得2rsin bcos a2rsin acos b(r為abc外接圓的半徑），sin acos bcos asin b0，sin（ab)0.a、b為ab

8、c的內(nèi)角，0a，0b,ab,ab0，即ab。故abc為等腰三角形1在abc中，ac，bc2,b60，則角c的值為（)a. 45 b. 30 c75 d90答案c解析由正弦定理，得，sin a.bc2ac，a為銳角a45。c75。2在abc中，若，則abc是（)a直角三角形 b等邊三角形c鈍角三角形 d等腰直角三角形答案b解析由正弦定理知:，tan atan btan c，abc。3在abc中， 。答案0解析由于，所以()（）0.4在abc中，a2，b6，a30，判斷三角形是否有解，若有解，解該三角形解a2，b6，ab,a3090。又因?yàn)閎sin a6sin 303,absin a，所以本題有兩解，由正弦定理得:sin b，故b60或120。當(dāng)b60時(shí)，c90,c4；當(dāng)b120時(shí)，c30，ca2.所以b60，c90，c4或b120，c30，c2。1已知兩邊和其中一邊的對角，求第三邊和其他兩個(gè)角,這時(shí)三角形解的情況可能無解，也可能一解或兩解首先求出另一邊的對角的正弦值,當(dāng)正弦值大于1或小于0時(shí)，這時(shí)三角形解的情況為無解；當(dāng)正弦值大于0小于1時(shí)，再根據(jù)已知的兩邊的大小情況來確定該角有一個(gè)值或者兩個(gè)值. 2判斷三角形的形狀，最終目的是判斷三角形是