高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語(yǔ) 1.2 充分條件與必要條件學(xué)案（含解析）1-1

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1。2 分條件與必要條件充分條件與必要條件提出問題在物理中，我們經(jīng)常遇到這樣的電路圖：?jiǎn)栴}1:圖中a開關(guān)閉合時(shí)b燈一定亮嗎？提示：一定亮問題2:b燈亮?xí)ra開關(guān)一定閉合嗎？提示：不一定,還可能是c開關(guān)閉合導(dǎo)入新知充分條件與必要條件命題真假“若p，則q”是真命題“若p，則q”是假命題推出關(guān)系pqpq條件關(guān)系p是q的充分條件q是p的必要條件p不是q的充分條件q不是p的必要條件化解疑難1p是q的充分條件是指“p成立可充分保證q成立，但是如果沒有p,q也可能成立”2q是p的必要條件是指“要使p成立必須要有q成立”，或者說“若q不成立，則p一定不成立”；但即使有q成立，p未必會(huì)成

2、立.充要條件提出問題如圖是一物理電路圖問題1:圖中開關(guān)a閉合，燈泡b亮；反之燈泡b亮,開關(guān)a一定閉合嗎？提示：一定閉合問題2:開關(guān)a閉合作為命題的條件p，燈泡b亮作為命題的結(jié)論q,你能判斷p，q之間的推出關(guān)系嗎？提示:pq.導(dǎo)入新知充要條件如果既有pq,又有qp，記作pq.則p是q的充分必要條件,簡(jiǎn)稱充要條件化解疑難p是q的充要條件時(shí)，q也是p的充要條件,即充要條件是相互的，我們也稱條件p和條件q是等價(jià)的，如果p和q是兩個(gè)命題，則這兩個(gè)命題是等價(jià)命題充分條件、必要條件、充要條件的判斷例1判斷下列各題中p是q的什么條件（1）在abc中，p：cos2acos2b，q:ab；（2)p：x1，q：x2

3、1；(3）p：(a2）（a3)0，q：a3；（4)p：ab，q：1.解（1）在abc中，a（0，)，b(0,），且abc.若cos2acos2b，則ab；反之，若ab，則cos2acos2b。因此，p是q的充要條件（2）由x1可以推出x21；由x21,得x1，或x1，不一定有x1.因此，p是q的充分不必要條件(3）由（a2）（a3)0可以推出a2，或a3，不一定有a3；由a3可以得出(a2）（a3）0.因此,p是q的必要不充分條件(4）由于ab，當(dāng)b0時(shí)，1;當(dāng)b0時(shí)，1，故若ab，不一定有1；當(dāng)a0,b0，1時(shí)，可以推出ab；當(dāng)a0，b0，1時(shí)，可以推出ab.因此p是q的既不充分也不必要條件

4、 類題通法充分、必要、充要條件的判斷方法判斷p是q的什么條件,其實(shí)質(zhì)是判斷“若p，則q”及其逆命題“若q，則p”是真是假，原命題為真而逆命題為假，p是q的充分不必要條件；原命題為假而逆命題為真，則p是q的必要不充分條件；原命題為真,逆命題為真，則p是q的充要條件;原命題為假，逆命題為假，則p是q的既不充分也不必要條件，同時(shí)要注意反證法的運(yùn)用活學(xué)活用指出下列各組命題中p是q的什么條件(1）p：四邊形的對(duì)角線相等，q：四邊形是平行四邊形；(2)p:(x1)2（y2）20，q:（x1）（y2）0。解：（1）四邊形的對(duì)角線相等四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形四邊形的對(duì)角線相等，p是q的既不充分也

5、不必要條件（2）（x1)2（y2）20x1且y2(x1）（y2）0，而(x1）（y2)0（x1)2(y2)20,p是q的充分不必要條件.充要條件的證明例2試證：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac0。解(1)必要性:因?yàn)榉匠蘟x2bxc0有一正根和一負(fù)根，所以b24ac0，x1x20（x1，x2為方程的兩根），所以ac0.(2）充分性：由ac0可推得b24ac0及x1x20（x1，x2為方程的兩根）所以方程ax2bxc0有兩個(gè)相異實(shí)根，且兩根異號(hào)， 即方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根綜上所述，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac0。類題通法充要條件

6、的證明思路（1)在證明有關(guān)充要條件的問題時(shí)，通常從“充分性和“必要性”兩個(gè)方面來證明在證明時(shí),要注意：若證明“p的充要條件是q”，那么“充分性”是qp，“必要性是pq;若證明“p是q的充要條件”，則與之相反（2）證明充要條件問題，其實(shí)質(zhì)就是證明一個(gè)命題的原命題和其逆命題都成立若不易直接證明，可根據(jù)命題之間的關(guān)系進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，然后加以證明活學(xué)活用已知x，y都是非零實(shí)數(shù)，且xy，求證：的充要條件是xy0。證明:（1)必要性：由，得0,即0，又由xy，得yx0，所以xy0。（2)充分性：由xy0及xy，得，即.綜上所述，的充要條件是xy0.充分、必要條件的應(yīng)用例3已知p：2x10，q：1mx1m,且

7、p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解因?yàn)閜是q的充分不必要條件，所以pq但q/ p，即是的真子集，所以或解得m9.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.類題通法應(yīng)用充分條件和必要條件求參數(shù)的取值范圍，主要是根據(jù)集合間的包含關(guān)系與充分條件和必要條件的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，建立關(guān)于參數(shù)的不等式或不等式組求解，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用活學(xué)活用已知px|a4xa4,qx|x24x30，若xp是xq的必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：由題意知，qx1x3，qp,所以解得1a5。故實(shí)數(shù)a的取值范圍是1,5有關(guān)充分條件與必要條件的判斷是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)的始終，與不等式、函數(shù)等重要知識(shí)點(diǎn)

8、聯(lián)系密切，下面介紹幾種常用的判斷充分、必要條件的方法1定義法定義法就是將充要條件的判斷轉(zhuǎn)化為兩個(gè)命題“若p，則q”與“若q，則p”的判斷，根據(jù)兩個(gè)命題是否正確，來確定p與q之間的充要關(guān)系其基本步驟是：例1（四川高考）設(shè)p：實(shí)數(shù)x，y滿足（x1）2(y1）22,q：實(shí)數(shù)x，y滿足則p是q的（)a必要不充分條件b充分不必要條件c充要條件 d既不充分也不必要條件解析p表示以點(diǎn)(1，1)為圓心，為半徑的圓面(含邊界），如圖所示q表示的平面區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分(含邊界）由圖可知,p是q的必要不充分條件答案a 活學(xué)活用1“sin ”是“cos 2”的(）a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分也

9、不必要條件解析:選a由cos 2可得sin2，即sin ，故sin 是cos 2的充分不必要條件2等價(jià)轉(zhuǎn)化法等價(jià)轉(zhuǎn)化法就是在判斷充要關(guān)系時(shí)，根據(jù)原命題與其逆否命題的等價(jià)性轉(zhuǎn)化為形式較為簡(jiǎn)單的兩個(gè)條件之間的關(guān)系進(jìn)行判斷其基本步驟為：例2已知x，y為兩個(gè)正整數(shù),p：x2或y3，q:xy5，則p是q的_條件解析綈p:x2且x3，綈q：xy5。可知綈p綈q，而綈q/ 綈p。所以綈q是綈p的必要不充分條件,故p是q的必要不充分條件答案必要不充分活學(xué)活用2“m3”是“|m|3”的_條件答案：必要不充分3集合法集合法就是利用滿足兩個(gè)條件的參數(shù)的取值集合之間的關(guān)系來判斷充要關(guān)系的方法主要解決兩個(gè)相似的條件難以

10、進(jìn)行區(qū)分或判斷的問題其解決的一般步驟是：例3指出下列命題中p是q的什么條件(1)p:（x1)（x2）0，q：x2；（2）p：x22x80，q：x2或x4。解(1）令ax（x1)(x2)0x2x1，集合bxx2顯然,ab，所以pq，但qp，即p是q的充分不必要條件(2）令axx22x80x|x2或x42,4，bx|x2或x42,4ab，pq，即p是q的充要條件活學(xué)活用3一元二次方程ax22x10(a0）有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充分不必要條件是(）aa0ba0ca1 da1解析：選c一元二次方程ax22x10（a0）有一正根和一負(fù)根即解得a0。由于a|a1aa0，故選c。隨堂即時(shí)演練1給定空間中的直

11、線l及平面,條件“直線l與平面內(nèi)無數(shù)條直線都垂直是“直線l與平面垂直”的（)a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件 d既不充分也不必要條件解析：選b直線l與平面內(nèi)無數(shù)直線都垂直，不能得到直線l，因?yàn)橛锌赡苁侵本€l在平面內(nèi)與一組平行直線垂直若l，則直線l垂直于內(nèi)的所有直線2已知非零向量a,b,c,則“abac”是“bc”的（）a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件解析：選bab,ac時(shí)，abac，但b與c不一定相等，abac/ bc；反之,bcabac。3.已知mx0x3，nx0x2，那么“am是“an的_條件解析：由am/ an，但anam，“am是“an”的必要

12、不充分條件答案：必要不充分4在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線x(m1)y2m與直線mx2y8互相垂直的充要條件是m_。解析:x（m1）y2m與mx2y8互相垂直1m(m1）20m。答案：5若p：x2x60是q:ax10的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)a的值解：p：x2x60，即x2或x3.q：ax10，當(dāng)a0時(shí)，方程無解；當(dāng)a0時(shí),x。由題意知p/ q，qp，故a0舍去；當(dāng)a0時(shí)，應(yīng)有2或3，解得a或a.課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)一、選擇題1“tan 1”是“”的（）a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件解析：選b若tan 1，則k(kz),不一定等于；而若，則tan 1，tan 1是的必要

13、不充分條件2設(shè)甲、乙、丙是三個(gè)命題,如果甲是乙的必要條件,丙是乙的充分條件但不是乙的必要條件，那么(）a丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件b丙是甲的必要條件，但不是甲的充分條件c丙是甲的充要條件d丙既不是甲的充分條件,也不是甲的必要條件解析：選a因?yàn)榧资且业谋匾獥l件，所以乙甲又因?yàn)楸且业某浞謼l件，但不是乙的必要條件,所以丙乙，但乙/ 丙，如圖綜上，有丙甲,但甲/ 丙，即丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件3（陜西高考）“sin cos ”是“cos 20”的（）a充分不必要條件b必要不充分條件c充分必要條件d既不充分也不必要條件解析：選acos 20等價(jià)于cos2sin20,即cos si

14、n .由cos sin 可得到cos 20，反之不成立，故選a.4(天津高考）設(shè)xr，則“1x2”是“x2|1的(）a充分而不必要條件b必要而不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件解析：選a|x211x3。由于x1x2是x1x3的真子集,所以“1x2”是“x2|1”的充分而不必要條件5使xx成立的一個(gè)必要不充分條件是（）ax0bx2xclog2(x1）0 d2x1解析：選bxxx0，選項(xiàng)a是充要條件，選項(xiàng)c、d均不符合題意對(duì)于選項(xiàng)b，由x2x，得x（x1)0，x0或x1。故選項(xiàng)b是使x|x成立的必要不充分條件二、填空題6如果命題“若a,則b”的否命題是真命題，而它的逆否命題是假命題，則a是

15、b的_（填“充分不必要“必要不充分”“既不充分也不必要”或“充要”)條件解析：因?yàn)槟娣衩}為假，所以原命題為假，即a/ b又因否命題為真,所以逆命題為真,即ba,所以a是b的必要不充分條件答案：必要不充分7條件p:1x0，條件q：xa，若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍是_解析:p:x1,若p是q的充分不必要條件,則pq，但,也就是說，p對(duì)應(yīng)集合是q對(duì)應(yīng)集合的真子集，所以a1.答案:(,1）8下列命題：“x2且y3是“xy5的充要條件；b24ac0是一元二次不等式ax2bxc0解集為r的充要條件；“a2”是“直線ax2y0平行于直線xy1”的充分不必要條件；“xy1是“l(fā)g xlg y0

16、”的必要不充分條件其中真命題的序號(hào)為_解析：x2且y3時(shí),xy5成立，反之不一定，如x0,y6。所以“x2且y3”是“xy5”的充分不必要條件;不等式解集為r的充要條件是a0且b24ac0，故為假命題；當(dāng)a2時(shí)，兩直線平行，反之，若兩直線平行,則,a2。因此,“a2”是“兩直線平行的充要條件；lg xlg ylg(xy)0，xy1且x0,y0。所以“l(fā)g xlg y0”成立，xy1必成立，反之不然因此“xy1”是“l(fā)g xlg y0”的必要不充分條件綜上可知,真命題是。答案：三、解答題9下列命題中,判斷條件p是條件q的什么條件（1)p:|xy|,q：xy；（2)p:abc是直角三角形，q：ab

17、c是等腰三角形；(3）p：四邊形的對(duì)角線互相平分，q：四邊形是矩形；(4）p：圓x2y2r2與直線axbyc0相切，q：c2（a2b2）r2。解：（1）|xy|/ xy，但xy|x|y|，p是q的必要條件，但不是充分條件(2）abc是直角三角形/ abc是等腰三角形，abc是等腰三角形/ abc是直角三角形，p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件（3）四邊形的對(duì)角線互相平分/ 四邊形是矩形，四邊形是矩形四邊形的對(duì)角線互相平分，p是q的必要條件，但不是充分條件(4）若圓x2y2r2與直線axbyc0相切，則圓心到直線axbyc0的距離等于r，即r，所以c2(a2b2)r2；反過來，若c2（a2b2)r2，則r成立，說明x2y2r2的圓心(0，0)到直線axbyc0的距離等于r，即圓x2y2r2與直線axbyc0相切，故p是q的充要條件10已知數(shù)列a