高中數(shù)學(xué) 第一章 不等式的基本性質(zhì)和證明不等式的基本方法 1.3 絕對值不等式的解法學(xué)案 -5

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精13 絕對值不等式的解法讀教材填要點(diǎn)1含絕對值的不等式|x|a與|x|a的解集不等式a0a0|x|aa，a|xa（，aa，r2axbc（c0)和axbc（c0）型不等式的解法(1）axbccaxbc;（2）axb|caxbc或axbc.3|xa|xb|c和xaxb|c型不等式的解法（1)分區(qū)間討論法：以絕對值的零點(diǎn)為分界點(diǎn),將數(shù)軸分為幾個區(qū)間，利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)分類討論的思想確定各個絕對值符號內(nèi)多項式的正、負(fù)進(jìn)而去掉絕對值符號是解題關(guān)鍵(2)圖象法：構(gòu)造函數(shù),結(jié)合函數(shù)的圖象求解（3)幾何法：利用絕對值不等式的幾何意義求解小問題大思維1|x|以及|xa|xb|

2、表示的幾何意義是什么？提示:x的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)到原點(diǎn)o的距離；xa|xb|的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)與表示數(shù)a,b的點(diǎn)的距離之和（差)2如何解xa|xb|、|xa|xb|(ab）型的不等式的解集？提示：可通過兩邊平方去絕對值符號的方法求解含一個絕對值不等式的解法例1解下列不等式:（1)1x2|3；（2)2x5|7x;(3)。思路點(diǎn)撥本題考查較簡單的絕對值不等式的解法解答本題（1)可利用公式轉(zhuǎn)化為axb|c（c0）或|axbc(c0）型不等式后逐一求解，也可利用絕對值的定義分兩種情況去掉絕對值符號，還可用平方法轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式（2)可利用公式法轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式（

3、3）可分類討論去掉分母和絕對值精解詳析(1）法一：原不等式等價于不等式組即解得1x1或3x5，所以原不等式的解集為x|1x1或3x5法二:原不等式可轉(zhuǎn)化為：或由得3x5，由得1x1,所以原不等式的解集是x|1x1或3x5(2）由不等式|2x57x，可得2x57x或2x5(7x)，整理得x2或x4。原不等式的解集是x|x4或x2(3）當(dāng)x220且x0,即當(dāng)x，且x0時，原不等式顯然成立當(dāng)x220時，原不等式與不等式組等價，x22x即x2x20，x|2，不等式組的解為x2,即x2或x2。原不等式的解集為（，2(，0）（0,）2，）含一個絕對值不等式的常見類型及其解法:（1)形如f(x)|a，|f（

4、x）|a(ar)型不等式此類不等式的簡單解法是等價命題法，即當(dāng)a0時，|f（x）aaf(x)a.f（x)af（x)a或f（x）a.當(dāng)a0時，|f(x）|a無解f(x)af（x)0.當(dāng)a0時,|f（x)a無解|f(x）|af（x)有意義（2)形如f（x)g(x），|f（x）g(x)型不等式此類不等式的簡單解法是等價命題法,即f(x）g（x)g(x）f(x)g(x），f(x)g（x）f(x）g（x）或f（x）g(x)(其中g(shù)（x）可正也可負(fù)）若此類問題用分類討論法來解決，就顯得較復(fù)雜(3）形如af(x）b(ba0)型不等式此類問題的簡單解法是利用等價命題法，即af（x)|b（0ab）af(x）b或

5、bf（x）a.(4)形如f（x)f（x)，|f(x)f(x)型不等式此類題的簡單解法是利用絕對值的定義，即|f（x）|f（x）f(x)0，f（x)|f（x）x。1設(shè)函數(shù)f（x）2xa5x，其中a0。(1）當(dāng)a3時,求不等式f（x)5x1的解集；(2）若不等式f(x)0的解集為xx1，求a的值解：(1)當(dāng)a3時,不等式f(x)5x1可化為2x31,由此可得x2或x1.故不等式f（x）5x1的解集為xx1或x2（2)由f（x）0得|2xa5x0，此不等式可化為不等式組或即或因為a0，所以不等式組的解集為。由題設(shè)可得1，故a3。含兩個絕對值不等式的解法例2解不等式x73x4|0.思路點(diǎn)撥先求出零點(diǎn)即

6、x7,，再分段討論精解詳析原不等式化為x7|3x410，當(dāng)x時，原不等式為x7（3x4)10，得x5，即x5；當(dāng)7x時，原不等式為x7（3x4）10，得x，即x；當(dāng)x7時，原不等式為(x7）（3x4）10，得x6,與x3時，f（x）x4，所以f（x）在(3，)上單調(diào)遞增故當(dāng)x時，yf(x）取得最小值，此時f（x)min.含參數(shù)的絕對值不等式的解法例3設(shè)函數(shù)f(x)|x1|xa。如果xr，f（x）2,求a的取值范圍思路點(diǎn)撥本題考查絕對值不等式的解法解答本題應(yīng)先對a進(jìn)行分類討論，求出函數(shù)f（x)的最小值,然后求a的取值范圍精解詳析若a1，f（x）2x1，不滿足題設(shè)條件若a1，f(x）f（x)的最小

7、值為1a。若a1，f(x)f(x)的最小值為a1.所以xr，f(x)2的充要條件是a1|2，從而a的取值范圍為(,13，)含有參數(shù)的不等式的求解問題分兩類，一類不需要對參數(shù)進(jìn)行討論，另一類如本例，對參數(shù)a進(jìn)行討論，得到關(guān)于參數(shù)a的不等式(組），進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍3（遼寧高考）已知函數(shù)f(x）xa,其中a1.（1)當(dāng)a2時，求不等式f（x）4x4|的解集；（2)已知關(guān)于x的不等式|f（2xa）2f(x)2的解集為x1x2,求a的值解:(1)當(dāng)a2時，f(x)|x4當(dāng)x2時，由f（x）4|x4，得2x64,解得x1；當(dāng)2x4時，f（x）4|x4|無解；當(dāng)x4時，由f（x)4|x4|，得2x64

8、,解得x5.所以f（x)4|x4|的解集為x|x1或x5（2）記h（x)f（2xa)2f(x），則h（x）由h（x）2，解得x。又已知|h（x)2的解集為x1x2，所以于是a3.對應(yīng)學(xué)生用書p12 一、選擇題1若不等式ax2|6的解集為(1,2）,則實數(shù)a的取值為()a8b2c4 d8解析:原不等式化為6ax26，即8ax4.又1x2，驗證選項易知a4適合答案：c2如果2和x|同時成立，那么x的取值范圍是()a. b。c. d.解析：解不等式2得x0或x；解不等式|x得x或x0時,要使|x1|kx恒成立，只需k1.綜上可知k0,1答案：c二、填空題5不等式|2x12x10的解集為_解析：原不等

9、式即|2x12|x1，兩端平方后解得12x3，即x。答案：6不等式1的實數(shù)解集為_解析：1|x1x2，x20（x1)2（x2)2，x2x，x2。答案：(，2)7若不等式x|a2|1對于一切非零實數(shù)x均成立，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：|x2，a212,即a21,解得1a3。答案：1a38若關(guān)于x的不等式x1|xa|a的解集為r（其中r是實數(shù)集），則實數(shù)a的取值范圍是_解析:不等式|x1|xa|a恒成立，a不大于x1|xa|的最小值,|x1|xa1a|,1aa，1aa或1aa，解得a.答案:三、解答題9解不等式|2x4|3x91。解：（1)當(dāng)x2時,原不等式可化為解得x2.(2）當(dāng)3x2時,原不等式可化為解得x2.（3)當(dāng)x3時,原不等式可化為解得x12。綜上所述，原不等式的解集為.10已知函數(shù)f（x)|2x1|x2a|.（1)當(dāng)a1時，求f（x)3的解集；(2)當(dāng)x1,2時，f（x)3恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)當(dāng)a1時,原不等式可化為|2x1x2|3，當(dāng)x2時，得3x33，則x2，無解；當(dāng)x2時,得x13,則x2，所以x2；當(dāng)x0）（1)當(dāng)a4時，已知f（x)7，求x的取值范圍；(2）若f（x）6的解集為xx4或x2，求a的值解:（1）因為|x3|x4|x3x47,當(dāng)且僅當(dāng)(x3)(x4)0時等號成立所以f（x）7時，3x4，故x3，4(2)由題知f（x）