高中數(shù)學(xué) 第一章 不等式的基本性質(zhì)和證明不等式的基本方法 1.2 基本不等式學(xué)案 -5

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精12 基本不等式 讀教材填要點(diǎn)1定理1設(shè)a,br，則a2b22ab,當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號成立2定理2（基本不等式或平均值不等式)如果a，b為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號成立即：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均不小于(即大于或等于）它們的幾何平均3定理3(三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均值不等式)如果a，b，c為正數(shù),則，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號成立4定理4（一般形式的算術(shù)-幾何平均值不等式)如果a1，a2，an為n個(gè)正數(shù),則 并且當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時(shí)，等號成立小問題大思維1在基本不等式中，為什么要求a，b（0,）？提示：對于不等式，如果a，b中有兩個(gè)或一個(gè)為0,雖然不等式仍成立，但是研究的

2、意義不大，而且a，b至少有一個(gè)為0時(shí)，不能稱為幾何平均(或等比中項(xiàng))，因此規(guī)定a，b（0，)2滿足不等式成立的a，b，c的范圍是什么?提示：a,b,c的范圍為a0，b0，c0.利用基本不等式證明不等式例1已知a，b，c為正實(shí)數(shù),且abc1求證：(ab）（bc)（ca)8.思路點(diǎn)撥本題考查基本不等式在證明不等式中的應(yīng)用，解答本題需要分析不等式的特點(diǎn)，先對ab，bc，ca分別使用基本不等式,再把它們相乘精解詳析a,b，c為正實(shí)數(shù),ab20，bc20，ca20，由上面三式相乘可得（ab）（bc）（ca）88abc。即(ab)（bc）（ca)8。（1）用基本不等式證明不等式時(shí)，應(yīng)首先依據(jù)不等式兩邊式子

3、的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行恒等變形，使之具備基本不等式的結(jié)構(gòu)和條件,然后合理地選擇基本不等式或其變形形式進(jìn)行證明（2）本題證明過程中多次用到基本不等式，然后利用同向不等式的可加性得出所證的不等式1已知a，b（0,），求證：（ab）4。證明:a0，b0，ab20，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號20，當(dāng)且僅當(dāng),即ab時(shí)取等號，得(ab）224,當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號（ab)4。利用算術(shù)幾何平均值不等式證明不等式例2(1）已知a，b，cr，求證：a2b2c226。（2)設(shè)a1，a2，a3均為正數(shù),且a1a2a3m，求證：。思路點(diǎn)撥本題考查平均不等式的應(yīng)用解答（1）題時(shí)可重復(fù)使用均值不等式，（2）題需要先觀察求證式子的結(jié)構(gòu),

4、然后通過變形轉(zhuǎn)化為用平均不等式證明精解詳析（1)a2b2c223926，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)等號成立(2）m（a1a2a3)33 99。當(dāng)且僅當(dāng)a1a2a3時(shí)等號成立又m0，.三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式定理，是根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)和比較法證出的，因此，凡是可以利用該定理證明的不等式，一般都可以直接應(yīng)用比較法證明，只是在具備條件時(shí)，直接應(yīng)用該定理會(huì)更簡便若不直接具備“一正二定三相等”的條件，要注意經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮愕茸冃魏笤偈褂枚ɡ碜C明連續(xù)多次使用平均值不等式定理時(shí)要注意前后等號成立的條件是否保持一致2已知a，b,cr，證明（abc)227。證明：a，b，cr，abc30.（abc)29又30，(a

5、bc)23927.當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號成立(abc）227.對應(yīng)學(xué)生用書p9一、選擇題1設(shè)x、y為正實(shí)數(shù)，且xy(xy）1，則()axy2（1）bxy2(1）cxy（1）2 dxy（1）2解析：x0,y0,xy（xy)1xy1(xy)1（xy)2xy2(1）答案：a2已知圓柱的軸截面周長為6，體積為v，則下列關(guān)系式總成立的是()av bvcv dv解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則由題意得:4r2h6，即2rh3，于是有vr2h33，當(dāng)且僅當(dāng)rh時(shí)取等號答案:b3設(shè)x，y，zr且xyz6，則lg xlg ylg z的取值范圍是（）a(，lg 6 b(，3lg 2clg 6,) d3lg

6、2,)解析:lg xlg ylg zlg(xyz），而xyz3，lg(xyz）lg 83lg 2（當(dāng)且僅當(dāng)xyz2時(shí)，等號成立）答案：b4設(shè)a,b,c（0，)且abc1，令x，則x的取值范圍為(）a。 b.c1，8) d8，)解析：x8，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號，x8。答案：d二、填空題5已知x,yr，且滿足1，則xy的最大值為_解析：因?yàn)閤0，y0，所以2 ，即 1,解得xy3，所以其最大值為3.答案：36設(shè)a1，t0，則logat與loga的大小關(guān)系為logat_loga（填“1,logaloga,故填“”答案：7函數(shù)y（x0）有最大值_，此時(shí)x_。解析：x0，x20。y，當(dāng)且僅當(dāng)x2，即x

7、49，x時(shí)取等號，即當(dāng)x時(shí),ymax。答案：8已知a0,b0，c0,且abc1,則abc的最大值是_解析：a，b,c（0,)，1abc3。0abc3，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號答案：三、解答題9求函數(shù)y2x2(x0）的最小值解:由x0知2x20,0，則y2x22x233。當(dāng)且僅當(dāng)2x2，即x時(shí)，ymin3.10已知a,b為正實(shí)數(shù)，ab1。求證：22。證明：a0，b0，ab1。1ab2，。4. ，2。2222.22.當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號成立11設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證:abc2.證明:因?yàn)閍,b,c為正實(shí)數(shù)，由算術(shù)-幾何平均不等式可得3,即（當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí),等號成立）所以abcabc.而abc22(當(dāng)且僅當(dāng)a2b2c23時(shí)，等號