研究生《固體力學(xué)中的數(shù)值方法》課程論文

1、學(xué)號(hào) 研究生課程論文課程名稱固體力學(xué)中的數(shù)值方法題 目溫度梯度板單元的熱模態(tài)理論分析學(xué) 院專業(yè)班級(jí)姓 名指導(dǎo)教師2015年6月日溫度梯度板單元的熱模態(tài)理論分析摘要：熱變形和熱模態(tài)分析是結(jié)構(gòu)分析的重要內(nèi)容。本文首先介紹了溫度和熱應(yīng)力場(chǎng)的有限元，通過板單元面內(nèi)溫度梯度等效成熱載荷，熱變形問題轉(zhuǎn)換成彈性問題；同時(shí)引入小變形條件下板單元的幾何剛度矩陣，熱剛度等于線性剛度和幾何剛度矩陣的疊加；假設(shè)板單元厚度方向的溫度呈線性分布，并拆分成對(duì)稱和反對(duì)稱兩部分，分別采用平面單元和彎曲單元將它們等效成面內(nèi)熱載荷以及彎曲熱載荷，將計(jì)算的結(jié)果疊加，得到溫度梯度下板單元的變形，建立了溫度梯度板單元的熱模態(tài)計(jì)算理論。關(guān)

2、鍵字：溫度梯度，幾何非線性，幾何剛度矩陣，熱模態(tài)Abstract：Thermal deformation and thermal modal analysis are important parts of structural analysis. Firstly, introduction of FEM of temperature and thermal stress field. Thermal deformation problems can be transformed into elastic ones once through-thickness temperature is eq

3、uivalent to thermal load. Then, introduction to geometric stiffness matrix of beam and plate under small deformation. Thermal matrix equals linear matrix and geometric stiffness matrix. Assume the linear distribution of temperature through thickness, and split it into symmetrical and anti-symmetrica

4、l parts. And then use plane stress and blending elements respectively to calculate relative in-plane and blending thermal loads. By addition of them, derives the deformation.Keywords: Thermal gradient, geometric nonlinearity, geometric stiffness matrix，thermal modes.1 緒論1.1 熱模態(tài)研究的背景和意義模態(tài)分析是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的重要內(nèi)

5、容，熱模態(tài)分析是模態(tài)分析中的重點(diǎn)。隨著現(xiàn)代高速、超高速航空航天器的飛速發(fā)展，熱模態(tài)分析的重要性更是得到加強(qiáng)。為了減輕結(jié)構(gòu)的質(zhì)量，增加內(nèi)部空間，提高結(jié)構(gòu)的效能，現(xiàn)代的航空航天器多采用薄壁結(jié)構(gòu)。當(dāng)飛行器高馬赫飛行時(shí)，外表面由于暴露在大氣下，不斷受到大氣摩擦，溫度急劇升高，在某些條件下飛行器局部外表面的溫度能夠上升至 600 到 2000。由于壁板不同位置受到的空氣摩擦的具體情況不同，所以壁板面內(nèi)會(huì)產(chǎn)生較大的溫度梯度，從而產(chǎn)生較大的溫度應(yīng)力，使得壁板局部發(fā)生收縮和伸長。同時(shí)由于壁板外表面溫度驟然升高，內(nèi)壁溫升明顯慢于外壁溫升，在這樣的條件下，壁板的厚度方向也會(huì)產(chǎn)生較大的溫度差，壁板的上下表面熱膨脹有

6、別，在此作用下，壁板會(huì)發(fā)生彎曲，并承受彎曲應(yīng)力。由于氣動(dòng)加熱的影響，不僅結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)發(fā)生變化，同時(shí)結(jié)構(gòu)內(nèi)部產(chǎn)生熱應(yīng)力，從而影響結(jié)構(gòu)的整體剛度，在這樣的高溫條件下的模態(tài)，稱之為熱模態(tài)。由于高超音速飛機(jī)和導(dǎo)彈反應(yīng)速度，突防能力和破壞力上的極大優(yōu)勢(shì)，縱觀當(dāng)代世界軍事強(qiáng)國，無論是美國，英國，法國還是俄羅斯對(duì)高超音速飛機(jī)和導(dǎo)彈均投入極大的熱情，中國也正加快研制步伐，在高超音速飛行器上加大研制進(jìn)度。高超音速飛行器已經(jīng)成為未來飛行器研制的重點(diǎn)。由于高超音速飛行器的飛行速度能夠達(dá)到 5 馬赫，如此高的馬赫數(shù)必然引起極大的氣動(dòng)熱效應(yīng)。飛行器在氣動(dòng)載荷和熱載荷的作用下，有可能導(dǎo)致飛行器的性能下降甚至破壞。作為制

7、約超音速飛行器發(fā)展和研制的關(guān)鍵因素之一,國內(nèi)外已經(jīng)對(duì)氣動(dòng)熱彈性問題進(jìn)行了廣泛而深入的研究，并且取得了大量的成果1。1.2 本文研究內(nèi)容 隨著現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，結(jié)構(gòu)的有限元計(jì)算精度與計(jì)算的資源消耗之間的矛盾已經(jīng)得到極大程度的緩解，在當(dāng)代的計(jì)算水平條件下，對(duì)合理的精度的要求比對(duì)資源消耗量的平衡顯得更重要。本文主要研究了溫度梯度板單元的熱變形以及熱模態(tài)問題，其主要分4析步驟可以表述為“熱邊界-熱分布-熱變形-熱應(yīng)力-幾何剛度矩陣-熱模態(tài)”，涉及到熱傳導(dǎo)，熱應(yīng)力，有限元，幾何非線性等多個(gè)方面的理論知識(shí)。本文首先闡述了熱傳導(dǎo)的相關(guān)理論，建立了熱傳導(dǎo)的基本平衡方程和三大類熱邊界條件，在建立平衡方程

8、和邊界條件的基礎(chǔ)上，由虛功原理推導(dǎo)出熱傳導(dǎo)的有限元計(jì)算公式，為熱應(yīng)力的計(jì)算做準(zhǔn)備。熱應(yīng)力的分析通?；诙虐⒚窢?諾依曼提出的線性熱應(yīng)力理論，同時(shí)對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的熱應(yīng)力分析計(jì)算通常基于有限元法，隨后通過基于最小勢(shì)能原理，通過勢(shì)能的變分推導(dǎo)出了結(jié)構(gòu)受熱情況下等效熱載荷，對(duì)于板的面內(nèi)溫度梯度，通過計(jì)算可以將其等效成面內(nèi)拉壓熱載荷，而對(duì)于板的厚度方向的溫度梯度，同樣通過有限元計(jì)算，最后可以將其等效成彎曲熱載荷。如果同時(shí)存在面內(nèi)和厚度方向溫度梯度的情況下，可以將溫度分布拆分成上下均勻分布和上下反對(duì)稱溫度分布，然后將計(jì)算結(jié)果線性疊加即可。接著根據(jù)第二節(jié)的內(nèi)容，在溫度梯度或者熱膨脹，熱收縮受到約束的情況下，在

9、結(jié)構(gòu)的內(nèi)部會(huì)產(chǎn)生熱應(yīng)力，在不考慮熱彈耦合的情況下，熱應(yīng)力和結(jié)構(gòu)受載荷作用等其他情況下產(chǎn)生的初應(yīng)力并沒有本質(zhì)區(qū)別。初始應(yīng)力或者應(yīng)變的存在影響了彈性體的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系以及應(yīng)變位移關(guān)系，為此一般通過格林應(yīng)變公式增加非線性應(yīng)變項(xiàng)來解決。格林應(yīng)變比微小變形下的應(yīng)變更精確，但是由于引入了非線性項(xiàng)，增加了計(jì)算的難度。為了提高計(jì)算效率，傳統(tǒng)的非線性板單元對(duì)板單元的格林應(yīng)變公式進(jìn)行了有針對(duì)性簡化，建立了在此基礎(chǔ)上的非線性應(yīng)變公式。本文中詳細(xì)推導(dǎo)了初位移剛度矩陣以及初應(yīng)力剛度矩陣的表達(dá)式，由于壁板在熱載荷下的初始位移相對(duì)影響較小，所以本文中并不考慮初始位移的影響。然后在此基礎(chǔ)上，從變分原理出發(fā)，較為詳細(xì)地推導(dǎo)了傳統(tǒng)

10、的非線性板單元的初始位移剛度矩陣和初始應(yīng)力剛度矩陣，從初應(yīng)力剛度矩陣的表達(dá)式可以發(fā)現(xiàn)，只有中面內(nèi)的初始應(yīng)力對(duì)彎曲剛度產(chǎn)生影響，并不能對(duì)拉彎耦合，或者面內(nèi)的剛度產(chǎn)生影響。最后則進(jìn)一步，以格林應(yīng)變等式為基礎(chǔ)，從哈密頓原理出發(fā)，推導(dǎo)了體單元在初始應(yīng)力下的初應(yīng)力剛度矩陣，由于精度的提高，體單元的初應(yīng)力剛度矩陣計(jì)算較復(fù)雜，從計(jì)算的結(jié)果可以看到，體單元的初應(yīng)力剛度矩陣較為完備，初始應(yīng)力之間相互產(chǎn)生著鋼化或者軟化作用。最后小節(jié)，從彈性力學(xué)的角度，推導(dǎo)了溫度梯度下板單元的熱彈性基本方程。從熱彈性基本方程可以看出，對(duì)于面內(nèi)的溫度梯度可以等效成為面內(nèi)的拉壓熱載荷來處理，而對(duì)于厚度方向的溫度梯度，則可以等效成彎曲熱

11、載荷進(jìn)行處理。為了計(jì)算溫度梯度對(duì)幾何剛度矩陣的影響，在第二小節(jié)中對(duì)普通板的幾何剛度矩陣進(jìn)行了修正，采用體單元和完整的格林應(yīng)變公式計(jì)算出修正板的幾何剛度矩陣，從而建立了溫度梯度板單元的熱模態(tài)理論。2 溫度場(chǎng)和熱應(yīng)力場(chǎng)的有限元對(duì)于簡單的工程結(jié)構(gòu)如板，圓筒，可以通過理論解析方法計(jì)算它們的溫度場(chǎng)，熱應(yīng)力場(chǎng)，甚至是他們的熱模態(tài)，但是對(duì)于那些形狀不規(guī)則，邊界條件復(fù)雜以及材料參數(shù)隨著溫度改變的熱傳導(dǎo)或者熱應(yīng)力問題，理論解答是不可能的，因此一般采用數(shù)值法解法求解。數(shù)值法以離散數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，雖然不如解析法嚴(yán)密，精度沒有解析法高，但是具有非常好的邊界適用性。溫度場(chǎng)的數(shù)值算法有多種，如差分法，有限元法和體積法等方法，

12、但是有限元法在描述復(fù)雜邊界時(shí)更具有明顯優(yōu)越性。本文通過有限元法計(jì)算結(jié)構(gòu)的溫度場(chǎng)和熱應(yīng)力場(chǎng)，然后以此為基礎(chǔ)計(jì)算結(jié)構(gòu)的熱模態(tài)。2.1 溫度場(chǎng)有限元法2.1.1 三維熱傳導(dǎo)微分方程的矩陣形式由熱力學(xué)第一定律可知，物體在單位時(shí)間內(nèi)獲得的能量等于物體在單位時(shí)間內(nèi)內(nèi)能的增加和對(duì)外界做功的總和。 （2.1）對(duì)于固體，發(fā)生熱膨脹的時(shí)候變性很小，所以由于體積膨脹或收縮對(duì)外界所做的功可以忽略。即物體單位時(shí)間獲得的能量全部用于內(nèi)能的增加。于是(2.1)可以表示為 （2.2）在熱傳導(dǎo)中可以表示為 （2.3）其中，Q1和 Q2分別表示單位時(shí)間物體通過表面和內(nèi)部熱源獲得的熱量，Q3則表示單位時(shí)間物體溫度升高所需要的能量2

13、。設(shè)有物體 V，表面為 S，在物體內(nèi)取任一子域 V1，表面積為 S1，對(duì)于這個(gè)子域有如下等式 （2.4）同時(shí)物體內(nèi)部體熱源強(qiáng)度為 W，則單位時(shí)間內(nèi)子域內(nèi)部產(chǎn)生的熱量為 （2.5）且子域溫度升高所需要的能量可以表示為 （2.6）由式2.3可得 （2.7）在直角坐標(biāo)中(2.7)的表達(dá)形式分別為 （2.8）設(shè)微元體V=xyz，內(nèi)部溫度分布為= ( x , y , z , t)，熱源強(qiáng)度為 g = g ( x , y , z , t)，則微元體內(nèi)任一點(diǎn) P 在 t 時(shí)間內(nèi)的熱流量平衡方程為 （2.9）式中 ， ， 分別是以 x, y, z 軸為發(fā)現(xiàn)的平面上的熱流分量。 p和 為介質(zhì)的密度和比熱容。等式

14、兩邊同時(shí)除以x y z t ，可得到 P 點(diǎn)的熱平衡偏微分方程： （2.10）對(duì)于正交各向異性材料， （2.11）如果介質(zhì)的主軸是沿著 x ， y 和 z 方向，而不是沿著 x，y 和 z 方向，則在兩個(gè)坐標(biāo)系中的溫度梯度或者熱流矢量的有如下的關(guān)系 （2.12） （2.13）式中，和分別表示 x ， y 和 z 坐標(biāo)軸的方向余弦。設(shè)沿著坐標(biāo)系 Ox y z 中坐標(biāo)軸的正交各向異性熱傳導(dǎo)率分別為，和，由此得出如下熱流關(guān)系式 （2.14）由（2.12）（2.13）和（2.14）可以得到 （2.15）因此得到任意坐標(biāo)系下人傳導(dǎo)率矩陣的表達(dá)式 （2.16）其中, 。2.1.2 穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題的有限元解

15、法設(shè)在子域 V 內(nèi)是任一連續(xù)函數(shù)，V 的表面由 S1，S2和 S3構(gòu)成。在 S1上有 （2.17）對(duì)于正交各向異性材料的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)，根據(jù)式(2.11)有如下表達(dá)式 （2.18）用乘以(2.18)兩端，在體元 V 上積分，可得到如下等式 （2.19）可以把看成實(shí)際溫度場(chǎng)的變分或者虛溫度，由于在s1 邊界上溫度固定，所以在s1 邊界為零，但是在S2和 S3 上不為零，有第二邊界條件和第三邊界條件，對(duì)于任意的單元e，有 （2.20）取形函數(shù) H，對(duì)于單元內(nèi)任一點(diǎn)的溫度和虛溫度，都可以表示為 （2.21） （2.22）所以得到單元的熱流量平衡方程 （2.23）式中和 分別成為單元 e 的等效傳遞矩陣和

16、等效節(jié)點(diǎn)熱流量向量。對(duì)和分別有 （2.24） （2.25）單元的熱流矢量表達(dá)式如下所示 （2.26）2.2 熱應(yīng)力有限元法2.2.1 平面熱應(yīng)力的有限元解法對(duì)于平面應(yīng)力問題，但是。應(yīng)變和位移關(guān)系有： （2.27）根據(jù)杜阿梅爾-諾依曼提出了線性熱應(yīng)力理論，有 （2.28）其中為彈性應(yīng)變，為熱應(yīng)變。彈性應(yīng)變能是結(jié)構(gòu)由于彈性變形而存儲(chǔ)的能量，只有彈性應(yīng)變對(duì)單元的應(yīng)變能有貢獻(xiàn)，所以單元 e 的彈性應(yīng)變能為3 （2.29）平面應(yīng)力單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移可以用形函數(shù)矩陣和節(jié)點(diǎn)位移表示為 （2.30）將上式帶入（2.27），可得 （2.31）其中B為平面應(yīng)力問題幾何矩陣。將式（2.31）代入（2.29），得到

17、（2.32）其中為單元?jiǎng)偠染仃?，與一般彈性問題相同。為單元熱載荷，是結(jié)構(gòu)受熱膨脹而形成的相當(dāng)載荷，C 與單元溫升有關(guān)，不含節(jié)點(diǎn)位移，與以后的變分計(jì)算無關(guān)，可以舍去不計(jì)4。平面結(jié)構(gòu)只受熱而不受外載作用，則勢(shì)能極小原理為 （2.33）其中為結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣，為全部節(jié)點(diǎn)等效熱載荷疊加列陣： （2.34）由（2.33）計(jì)算單元位移，根據(jù)（2.31）計(jì)算出單元應(yīng)變，最終得到熱應(yīng)力。 (2.35)2.2.2 熱應(yīng)力有限元解法的步驟熱應(yīng)力有限元的解法一共可以分為下面幾步1. 結(jié)構(gòu)的離散化。將連續(xù)體或結(jié)構(gòu)劃分為諸多有限大小的單元，單元之間又通過有限個(gè)節(jié)點(diǎn)相互連接，這就是有限元的離散化。在離散化的過程中，需要確

18、定選用單元的類型，單元的大小，單元的數(shù)量以及分布。2. 選擇適合的插值函數(shù)或者位移模式。由于連續(xù)體結(jié)構(gòu)被離散化為有限的單元和節(jié)點(diǎn)，連續(xù)體的自由度得到縮減，求解精度下降。通過選擇滿足一定收斂條件和精度的多項(xiàng)式插值函數(shù)，單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移可以通過單元節(jié)點(diǎn)位移插值而得出，由此得出的位移場(chǎng)既滿足了精度要求，又減少了工作量，提高了計(jì)算效率。設(shè)節(jié)點(diǎn)位移為，單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移為，位移插值矩陣為，則有 （2.36）3. 單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧獰彷d荷向量的推導(dǎo)?；诩僭O(shè)的位移模式，利用幾何關(guān)系，物理關(guān)系，平衡條件以及適當(dāng)?shù)淖兎衷砜梢酝茖?dǎo)出單元 e 的剛度矩陣和載荷列陣以及單元的平衡方程。 （2.37）4. 單元?jiǎng)?/p>

19、度矩陣組裝成總體剛度矩陣，單元熱載荷向量組裝成總體熱載荷列陣，得到結(jié)構(gòu)總體的平衡方程。對(duì)于整個(gè)結(jié)構(gòu)的有限元分析必須建立整體結(jié)構(gòu)的平衡方程，將單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧獰彷d荷向量按照一定的方式進(jìn)行組合，得到總體結(jié)構(gòu)的平衡方程如下 （2.38）5. 代入邊界條件求解未知節(jié)點(diǎn)位移。利用邊界條件修改總剛度矩陣和總節(jié)點(diǎn)熱載荷列陣。，使得結(jié)構(gòu)不可剛性移動(dòng)。根據(jù)線性代數(shù)理論求得未知節(jié)點(diǎn)位移。6. 計(jì)算熱應(yīng)變和熱應(yīng)力。求得任意節(jié)點(diǎn)位移，根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移求得總應(yīng)變，根據(jù)線性熱應(yīng)力（或者熱應(yīng)變）理論，減去由于熱變形而產(chǎn)生的線性應(yīng)變，得到結(jié)構(gòu)的彈性應(yīng)變，從而根據(jù)有關(guān)方程計(jì)算得到結(jié)構(gòu)內(nèi)每一個(gè)點(diǎn)的熱應(yīng)力。3 熱模態(tài)有限元理論及算法

20、熱模態(tài)有限元分析與普通模態(tài)有限元分析的不同在于，熱會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)的有限元?jiǎng)偠染仃嚠a(chǎn)生影響，其主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面7：一是熱會(huì)顯著降低結(jié)構(gòu)的材料性能，具體表現(xiàn)在降低材料的彈性模量。二是由于結(jié)構(gòu)內(nèi)部的溫度梯度導(dǎo)致結(jié)構(gòu)膨脹不均勻，從而在結(jié)構(gòu)內(nèi)部產(chǎn)生初始熱應(yīng)力以及初始熱位移?；趲缀畏蔷€性理論，初熱應(yīng)力和初熱位移形成初應(yīng)力矩陣和初位移矩陣。由于在熱載荷條件下的變形是微小的，所以初位移矩陣較初應(yīng)力矩陣對(duì)結(jié)構(gòu)剛度影響小。大溫度梯度下顯著的初始熱應(yīng)力的存在，使得結(jié)構(gòu)的彎曲剛度受到很大的影響，力學(xué)上稱之為應(yīng)力鋼化。3.1 小變形幾何非線性理論幾何線性理論8基于彈性力學(xué)小變形假設(shè)。它包含了兩方面內(nèi)容：一是假定在加載和變

21、形過程中的應(yīng)變可用一階微量的線性應(yīng)變進(jìn)行表示，即應(yīng)變與位移成一階線性關(guān)系。二是假定結(jié)構(gòu)的變形與結(jié)構(gòu)幾何尺度相比甚小，所以建立結(jié)構(gòu)平衡方程時(shí)不需要考慮物體位置和形狀的變化，故可以用變形前描述位形去表達(dá)變形后的平衡位形。但是小變形假設(shè)在實(shí)際工程中很難滿足，許多工程實(shí)例如壓桿失穩(wěn)后分析必須考慮變形后的位形對(duì)原始平衡條件的影響，即必須以變形后的位形為基礎(chǔ)建立平衡條件；又如板殼薄壁結(jié)構(gòu)在一定載荷作用下，雖然應(yīng)變很小，與彈性極限還相差很多，但是在板殼結(jié)構(gòu)位移很大的情況下，線元素會(huì)產(chǎn)生比較大的轉(zhuǎn)動(dòng)；又如考慮了中面內(nèi)薄膜力的影響的薄板大撓度問題的撓度分析結(jié)果與小撓度理論分析得到的撓度結(jié)果相比有很大程度的縮減5

22、。熱模態(tài)分析就是放棄小變形假設(shè)的幾何非線性問題，它分為小變形幾何非線性和大變形幾何非線性問題兩種，由于熱膨脹系數(shù)一般都為十的負(fù)五次方量級(jí)，而且加上結(jié)構(gòu)的邊界一般都是固支邊界，導(dǎo)致熱環(huán)境下結(jié)構(gòu)的變形較小，所以本文中的熱模態(tài)分析屬于小變形幾何非線性范疇。虛功原理對(duì)于任何幾何非線性問題都成立。由虛功原理，單元的虛功方程可以寫成如下的形式 （3.1）其中為單元的虛應(yīng)變，為單元節(jié)點(diǎn)力列陣，為節(jié)點(diǎn)虛位移列陣。幾何非線性問題的應(yīng)變位移關(guān)系可表示為 （3.2）由于結(jié)點(diǎn)虛位移的任意性，可將單元的平衡方程寫成 （3.3）應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系仍然認(rèn)為是線性彈性關(guān)系，則有 （3.4）其中，稱為彈性矩陣，為初應(yīng)變列陣，為初應(yīng)力

23、列陣，對(duì)于確定的結(jié)構(gòu)，他們都是常數(shù)矩陣。于是有 （3.5）其中是與單元節(jié)點(diǎn)位移無關(guān)，它就是一般線性分析時(shí)的單元?jiǎng)偠染仃?。稱為單元的初位移矩陣或大位移矩陣，表征單元位置變化對(duì)單元?jiǎng)偠染仃嚨挠绊?。由上式得到如下表達(dá)式 （3.6）表示通常的小位移線性剛度矩陣。表示大位移所引起的影響矩陣，一般稱為大位移矩陣或者初位移矩陣。稱為初應(yīng)力矩陣或幾何剛度矩陣。于是無阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程的矩陣形式可以表示為 （3.7）其中為單元質(zhì)量矩陣，稱為為單元切線剛度矩陣，按照單元的編號(hào)順序?qū)卧|(zhì)量矩陣和切線剛度矩陣經(jīng)過某種形式的組合可以得到總體結(jié)構(gòu)的總質(zhì)量陣和總剛度。從而求得整個(gè)結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。3.2 大撓度板單元的

24、幾何剛度矩陣根據(jù)板的大撓度理論，薄板振動(dòng)變形的應(yīng)變由三部分組成，中面內(nèi)的位移 u 和 v 產(chǎn)生的應(yīng)變，板的彎曲而產(chǎn)生的應(yīng)變，面內(nèi)力產(chǎn)生的撓度 w 在板內(nèi)產(chǎn)生的薄膜應(yīng)變。則板中面內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)變 ，和（p 表示中面內(nèi)分量）可以表示為 （3.1）廣義應(yīng)變和廣義應(yīng)力向量可以表示為 （3.2） （3.3）式中和分別表示面內(nèi)和彎曲的廣義應(yīng)變分量， 和 分別表示面內(nèi)和彎曲的廣義應(yīng)力分量6。根據(jù)薄板彎曲單元的形函數(shù)差值形式，撓度w的一階導(dǎo)數(shù)可以用彎曲節(jié)點(diǎn)位移表示成 （3.4）單元的切線剛度矩陣由三部分組成，即 （3.5）其中為線性小變形的剛度矩陣，可得到 （3.6）因?yàn)橛?（3.7）最后可將初應(yīng)力矩陣寫成 （

25、3.8）式中 （3.9）與大位移梁單元相同，得到大位移板單元，和的計(jì)算公式后就可以得到大位移板單元的修正后的剛度矩陣，即切線剛度矩陣。4 溫度梯度板單元的熱模態(tài)理論分析溫度梯度板單元同樣基于一般板的直法線假設(shè)，而且同時(shí)考慮了板的中面內(nèi)溫度梯度以及厚度方向溫度梯度對(duì)板的熱模態(tài)的影響。本章先從理論角度分析板在面內(nèi)和厚度方向溫度梯度下的基本方程，并得到修正后的板單元的幾何剛度矩陣。利用有限元法分三步，分別是面內(nèi)溫度梯度，厚度方向溫度梯度，面內(nèi)和厚度方向同時(shí)存在溫度梯度，構(gòu)造有限元模型，并與體單元的分析結(jié)構(gòu)進(jìn)行對(duì)比，經(jīng)過比較，發(fā)現(xiàn)本章構(gòu)造的板單元不但降低了自由度，而且精度高，適應(yīng)性好，與梁單元相比，具

26、有更高的精度7。4.1 板的熱彈性基本方程設(shè)薄板中性面內(nèi)任一點(diǎn)的面內(nèi)位移為 u，v，撓度為 w，根據(jù)小變形薄板理論，以中性面為參考平面，板內(nèi)距中面距離為 z 的任一點(diǎn)的位移 U，V，W 可以由 u，v，w 表示為 （4.1）根據(jù)薄板假設(shè)，所以根據(jù)杜阿梅爾-諾依曼線性熱應(yīng)力理論式，可以得到應(yīng)力分量關(guān)于變分量和溫升的表達(dá)式 （4.2）板的單位長度截面上的內(nèi)力和彎矩與應(yīng)力的關(guān)系通過以下公式計(jì)算得出 （4.3）對(duì)于中面，即平面應(yīng)力板有如下平衡方程 （4.4）引入艾里應(yīng)力函數(shù) ，使得 （4.5）則（5.4）得到滿足，同時(shí)中面內(nèi)的應(yīng)變分量還要滿足變形協(xié)調(diào)方程 （4.6）反解出，以及，可得到 （4.7）其中

27、上式即為平面應(yīng)力板熱變形的基本方程。4.2 板單元的修正幾何剛度矩陣對(duì)于滿足中性面假設(shè)和直法線假設(shè)的薄板來說，板單元中面內(nèi)點(diǎn)的位移如式(5.1)所示，將其代入格林公式，可以得到應(yīng)變的完整表達(dá)式8 （4.8）寫成矩陣形式如下 （4.9）其中 （4.10） （4.11）的表達(dá)式為 （4.12）的表達(dá)式為 （4.13）又 （4.14） （4.14）根據(jù)三維幾何剛度矩陣的計(jì)算公式，得到板單元修正后的幾何剛度矩陣 （4.15）其中 （4.16）通過式（4.7）可以計(jì)算出面內(nèi)溫度梯度變形的理論解，有限元計(jì)算步驟如下：1. 采用平面應(yīng)力板單元并通過式(2.32)計(jì)算等效面內(nèi)熱載荷并計(jì)算熱變形；2. 通過步驟 1 計(jì)算的熱變形和公式(2.35)計(jì)算熱應(yīng)力；3. 在已經(jīng)計(jì)算出熱應(yīng)力的條件下，運(yùn)用公式(4.15)計(jì)算出幾何剛度矩陣；4. 將平面應(yīng)力板單元和薄板彎曲單元的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣進(jìn)行簡單疊加，并運(yùn)用步驟 3的幾何剛度矩陣對(duì)剛度矩陣進(jìn)行修正，得到修正后的溫度梯度板單元?jiǎng)偠染仃?，通過質(zhì)量矩陣和修正后的剛度矩陣，計(jì)算出溫度梯度板單元的熱模態(tài)。5 總結(jié)與展望5.1 本文總結(jié)本文主要內(nèi)容是對(duì)溫度梯度板單元的熱模態(tài)分析理論研究，第一部分詳盡地推導(dǎo)了熱傳導(dǎo)的三維平衡方程，并以此為基礎(chǔ)通過虛位移原理推導(dǎo)了熱傳導(dǎo)的有限元平衡方程。第二部分在分析出熱分布的基礎(chǔ)之上，基于線性熱應(yīng)變（熱應(yīng)力）理論，通