數(shù)學(xué)建模重慶工商大學(xué)2010(王文姣,白洋,吳靜)講解

1、2010年 全 國 大 學(xué) 生數(shù) 學(xué) 建 模 競 賽儲油罐的變位識別與罐容表標(biāo)定參賽隊員：王文姣白 洋吳 靜指導(dǎo)教師： 袁德美參賽學(xué)校：重慶工商大學(xué)2010年09月13日2010高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的， 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，

2、以保證競賽的公正、公平性如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）： A 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報名號的話）： 所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜?重慶工商大學(xué) 參賽隊員 (打印并簽名) ：1 王文姣 2 白 洋 3 吳 靜 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 袁德美 日期： 2010 年 9 月 13日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：2010高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交

3、全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進(jìn)行編）：儲油罐的變位識別與罐容表標(biāo)定摘要油品的數(shù)量管理在油品的經(jīng)營過程中占有很重要的地位,其中儲油罐罐容表的標(biāo)定是加油站中油品管理的關(guān)鍵.但由于儲油罐的長時間使用會導(dǎo)致地基變形,罐體的位置會發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化（以下稱為變位）, 從而需要定期對罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定.因此能夠正確地解決好罐容表的標(biāo)定問題,將會給現(xiàn)實生活中加油站等儲油行業(yè)的操作帶來方便.本文主要解決儲油罐的變位識別及罐容表的標(biāo)定問題.我們根據(jù)積分“無限細(xì)分,無限求和”的思想,通過建立積分模型,將儲油罐劃分為無數(shù)個連續(xù)的橢圓形截面.在進(jìn)行儲油量的計算時,由于油液面將這無數(shù)個橢圓截

4、成了無數(shù)個弓形,故計算儲油量的過程即轉(zhuǎn)化為了對這無數(shù)個弓形在一定范圍內(nèi)求積分的問題.問題一,在準(zhǔn)確的模型假設(shè)的前提下,根據(jù)油位高度與各弓形面積的關(guān)系和弓形面積與油罐體體積的關(guān)系,分別對罐體無變位和變位的情況建立積分模型,然后利用附件的實測數(shù)據(jù),對模型進(jìn)行誤差分析與擬合修正,最后給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值（結(jié)果請見表1）.問題二,在問題一的基礎(chǔ)上,首先我們同樣采用積分的思想求得罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度b ）之間的一般關(guān)系.然后根據(jù)對問題二的模型所求得的數(shù)據(jù)與附件所給的實際檢測數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算可以得到理想的a、b值，我們求解得出，.進(jìn)而利用，得

5、到油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值（結(jié)果請見表2）. 另外在去掉溫度對儲油量不會產(chǎn)生影響的假設(shè)條件下,我們對模型進(jìn)行了進(jìn)一步的改進(jìn). 為了消除溫度的影響,我們考慮了油品的體積隨溫度變化的關(guān)系.利用經(jīng)驗公式.將油品體積全部轉(zhuǎn)化為固定溫度下的數(shù)據(jù),然后再進(jìn)行比較分析.關(guān)鍵詞：優(yōu)化處理；擬合；罐容表標(biāo)定；微積分模型；最小二乘法.一、問題重述通常加油站都有若干個儲存燃油的地下儲油罐，并且一般都有與之配套的油位計量管理系統(tǒng)，采用流量計和油位計來測量進(jìn)/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過預(yù)先標(biāo)定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲油量的對應(yīng)關(guān)系）進(jìn)行實時計算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲油量的變化情況許多儲油罐在使用

6、一段時間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化（以下稱為變位），從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變按照有關(guān)規(guī)定，需要定期對罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定在不考慮外界環(huán)境的影響下，現(xiàn)解決如下問題：1為了掌握罐體變位后對罐容表的影響，利用小橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對罐體無變位和傾斜角為的縱向變位兩種情況做了實驗，得出實驗數(shù)據(jù)并在所得數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，研究罐體變位后對罐容表的影響，并算出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值2在實際情況下，罐體變位后標(biāo)定罐容表的標(biāo)定值與理論上是有偏差的，但也存在著一定的聯(lián)系，因此問題二需要找出罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜

7、角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度b ）之間的一般關(guān)系在對實際情況下罐體變位后進(jìn)/出油過程中的實際檢測數(shù)據(jù)進(jìn)行分析與運(yùn)算后，我們建立一數(shù)學(xué)模型，并通過其確定變位參數(shù)，同時求得罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定二、問題分析儲油罐罐體的變位識別是油位計量管理系統(tǒng)中的重要環(huán)節(jié)之一，而油品的數(shù)量管理是加油站等經(jīng)營部門的基礎(chǔ)工作，同時它又在其經(jīng)營過程中占有重要地位目前，由于地基變形等原因，出現(xiàn)了一些不規(guī)范的問題故對罐體變位識別是確定一個規(guī)范的、科學(xué)的、精確的油位計量管理系統(tǒng)的必要前提問題一要解決的是小橢圓形罐體縱向傾斜變位后對罐容表的影響問題對于此類問題，我們通常利用高等數(shù)學(xué)中的定積分方法來求解其一般思想為

8、“求和、取極限” 我們根據(jù)附件1所給出的小橢圓形罐體在無變位和變位時的進(jìn)/出油量與油位高度的實驗數(shù)據(jù)最后來修正模型綜上所述，先討論小橢圓形罐體無變位時，儲油量與油位高度之間的關(guān)系，建立積分模型一并且根據(jù)模型求出無變位時的罐容表然后再討論當(dāng)儲油罐發(fā)生縱向傾斜后的情況，建立積分模型二模型二涉及二重積分的知識對模型二分盲區(qū)和非盲區(qū)兩種情況進(jìn)行討論其中盲區(qū)包含兩個部分：一、油面剛好接觸油位探測裝置底部，此油位探針的讀數(shù)為0但實際油量不為0；二、油位探針剛好接觸儲油罐頂部，油位探針的讀數(shù)為12，但此時儲油罐并沒有裝滿對于非盲區(qū)情況也需要進(jìn)行分類討論最后將模型數(shù)據(jù)和實測數(shù)據(jù)通過MATLAB軟件進(jìn)行擬合，我

9、們可以得出兩種情況下模型數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)間的關(guān)系，通過該關(guān)系進(jìn)一步對原來的模型進(jìn)行修正最后確定變位后的罐容表，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值問題二要解決罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度）之間的一般關(guān)系，且與未知，通過對題意的理解和對圖形的分析，我們決定在問題一的基礎(chǔ)上運(yùn)用積分的知識建立數(shù)學(xué)模型三首先，我們將油罐體橫向分為五個部分，并依次求得各部分截面面積；其次，我們又將油罐體縱向分為三個部分，依據(jù)之前求得的截面面積，縱向依次對其進(jìn)行積分運(yùn)算，從而得到各部分的體積，而油量的總體積即為各部分體積之和，該和式即為罐內(nèi)油量與油位高度及變位參數(shù)與的關(guān)系式根據(jù)附

10、件2所給出的數(shù)據(jù)確定與，然后通過對模型數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)之差（即離差）的平方和求出離差最小時,與的取值，進(jìn)而確定罐體在變位后油位高度間隔為罐容表標(biāo)定值最后，再用附件2給定的數(shù)據(jù),利用最小二乘法對我們所建立的“罐體縱、橫向變位后模型”進(jìn)行檢驗.下面為該問題的解法流程圖：不變位變位問題一盲區(qū)非盲區(qū)變位問題二橫向縱向特殊一般三、模型假設(shè)1 累計進(jìn)/出油量與罐內(nèi)油位高度為連續(xù)型變量；2 空氣對油品的氧化情況不存在，注入油料時沒有氣泡的存在；3 地下儲油罐的外界環(huán)境適宜如氣壓為常壓，溫度在19200，考慮到數(shù)據(jù)為8月份的數(shù)據(jù)，設(shè)溫度為固定溫度30；4 忽略儲油罐壁厚和油浮子所占用的體積和罐底污泥厚度；5 系

11、統(tǒng)穩(wěn)定，不存在信號、噪聲等外界因素帶來的隨機(jī)誤差，也不考慮觀測誤差、連續(xù)問題離散化所產(chǎn)生的誤差，附錄所給的數(shù)據(jù)真實、準(zhǔn)確、可靠；6 該儲油罐為兩端平頭且為橢圓的柱體；7 忽略溫度對儲油罐儲油量的影響，儲油罐儲油量不隨溫度的變化而變化；8 儲油罐密封性好，沒有泄露和蒸發(fā)損失的情況；9 不考慮液體靜壓力對罐壁的作用而對油罐容積產(chǎn)生的影響；10儲油罐罐壁平滑，不存在變形；11當(dāng)高度達(dá)到1.2時，不再向儲油罐內(nèi)注油， 這是從單位經(jīng)濟(jì)效益方面考慮的12忽略油罐內(nèi)部氣體壓強(qiáng)對注油這一過程的影響四、符號說明：儲油罐截面圓圓心， ； ：變位與無變位罐容表標(biāo)定值的相似度；：儲油罐縱向傾斜的角度，單位為度；：儲油

12、罐橫向偏轉(zhuǎn)角度，單位為度；：建立三維坐標(biāo)軸，單位為；：建立三維坐標(biāo)軸，單位為；：小橢圓型油罐橢圓截面長半軸長，單位為；：小橢圓型油罐橢圓截面短半軸長，單位為；：小橢圓型油罐連續(xù)橢圓截面到儲油罐罐底的距離，單位為；：以橢圓截面的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立的橫坐標(biāo)，單位為； ：第種情況下油位探針測得儲油器的油位的高度， ，單位為；：在第問中第種情況下油罐在點(diǎn)處弓形截面高度，單位為；：第問中第種情況下油罐在階段形成弓形截面面積與的關(guān)系， ，單位為；：在第問中第種情況下儲油罐在第部分內(nèi)的儲油量關(guān)于的函數(shù)， ，單位為；：第種情況下求得的儲油量，單位為；：第種情況下給出的儲油量，單位為；：第種情況下求得的儲油量

13、的絕對誤差，單位為；：第種情況下誤差調(diào)節(jié)函數(shù)，單位為；：替換變量，單位為m；：儲油罐截面圓的半徑，單位為；：球冠體球心到的距離，單位為；：儲油器的油位的實際高度，單位為；：包含球冠體的球體的半徑，單位為；：點(diǎn)縱坐標(biāo)，單位為；：點(diǎn)的縱坐標(biāo)，單位為；：儲油罐各分段截面的面積，單位為；,:圖形上相應(yīng)的點(diǎn);:圖中相應(yīng)圓的周長.五、問題一模型的建立與求解5.1 模型一的建立5.1.1 油罐無變位時模型的建立小橢圓型油罐無變位時，油位探針?biāo)鶞y得的油位高度與橢圓截面的弓形高度始終是相等的，即此時，小橢圓型平頭油罐橢圓截面的弓形面積如圖1-1-1中陰影所示： 圖1-1-1該橢圓的方程為： ，對陰影部分積分得弓

14、形面積：，由圖中弓形所形成的體的體積為： 5.1.2 罐體無變位時模型的求解利用牛頓萊布尼茨公式求解得： （1.1）將給定的無變位時進(jìn)油量的實驗采集的數(shù)據(jù)和題中已知的數(shù)據(jù)代入式(11)中，用MATLAB編程求出模型一的結(jié)果，將其與給定的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較分析（程序見附錄一）可得誤差結(jié)果（見附錄表1-1）5.1.3 誤差分析及修正從附錄表1-1中可以看出，絕對誤差值隨著儲油量的增大而增大經(jīng)分析產(chǎn)生誤差的因素有：1油品中的氣泡當(dāng)油品中混有氣泡時，由于氣泡具有體積，從而使油位探針的讀數(shù)比實際的讀數(shù)大，且隨著油量的增大氣泡的所占的體積也增大；2油品儲油罐罐壁的厚度由于儲油罐罐壁包括內(nèi)壁和外壁，我們計算的體積

15、包括壁的厚度所占的體積所以隨著油容量的增加，壁厚所占的體積就增大，我們所測量的體積與實際油量的容積差就增大3儲油罐的變形儲油罐的變形是指罐體壁的凹凸變形，無論是凹還是凸都會使油位探針的讀數(shù)與實際值不符，當(dāng)罐壁凹進(jìn)去時，實際容量比油位探針的讀數(shù)小；當(dāng)罐壁凸出來時，實際容量比油位探針的讀數(shù)大在本題中，由于誤差隨儲油量的增大而增大，因此可以猜測為罐壁凸時的情況；4外界溫度油品的性質(zhì)與外界溫度有必然的聯(lián)系，當(dāng)外界的溫度越高時，油的體積就相對越大為較正誤差，我們在MATLAB軟件中對附錄表1-1中所得出的絕對誤差值與油量高度進(jìn)行了擬合（程序見附錄二），得出了校正誤差的調(diào)節(jié)函數(shù)關(guān)系式如下：，所以得到較正后

16、的函數(shù)為：.下圖為對理論數(shù)據(jù)調(diào)節(jié)前、后的曲線與實際曲線的擬合圖，圖1-1-2所示：圖1-1-2從圖中可以看出，修正后的理論數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)能很好的吻合用MATLAB編程(程序見附錄三)求出無變位情況下油位高度間隔為1cm時罐容表標(biāo)定值（見表一）5.2.1 罐體變位后模型的建立在上面模型的基礎(chǔ)上小橢圓型油罐在地基變形的情況下，發(fā)生了縱向傾斜角的傾斜，我們建立三維坐標(biāo)系以油罐身長的延長線作軸，以油罐左底面的縱向?qū)ΨQ軸為軸，以垂直于平面過點(diǎn)作軸，如圖1-1-4所示：圖1-1-31考慮盲部分：由于儲油罐發(fā)生縱向傾斜，導(dǎo)致儲油罐存在有部分油料體積無法準(zhǔn)確測得的情況這就是所謂的盲區(qū)情況進(jìn)一步說：所謂的盲區(qū)是

17、指由于液位計的選型和安裝位置不同形成的無法測量的區(qū)域出現(xiàn)盲區(qū)的情況又分為兩種：(1)第一種盲區(qū)情況如圖1-1-5（盲區(qū)一）所示： 此時，由不變位時模型中橢圓截面弓形面積公式易得： ，積分得陰影部分體積（即盲區(qū)一的體積）得：，(2)同理，可得如圖1-1-6中陰影部分體積（盲區(qū)二）：綜上所述：即當(dāng)滿足或者時，測量出油位的高度是有誤差的，為了減小誤差我們有必要將盲區(qū)考慮到模型中去2接下來研究非盲區(qū)情況：根據(jù)圖1-1-4進(jìn)行分析，可以將非盲區(qū)在分為三個部分，這三個部分在圖中之間(1)當(dāng)時，即在之間的區(qū)域內(nèi)：此時的橢圓截面弓形面積公式為： ，求得儲油量的公式為 ： ，(2)當(dāng)時，即在之間的區(qū)域內(nèi)：此時的

18、橢圓截面弓形面積公式為： ，求得儲油量的公式為：(3)當(dāng)時，即在之間的區(qū)域內(nèi)：總之，綜合盲區(qū)和非盲區(qū)情況，可以將整個儲油罐的儲油量分為五個階段，得到如下結(jié)果： 5.2.2 罐體變位后模型的求解(1)盲區(qū)兩種情況儲油量的計算，利用MATLAB編程求解（程序見附錄四），得到結(jié)果,.此模型的求解利用MATLAB編程（程序見附錄五）將附件1中的變位進(jìn)油量的實驗采集的數(shù)據(jù)導(dǎo)入，將得出的結(jié)果與實際結(jié)果進(jìn)行比較分析可得誤差結(jié)果（見附錄表1-2）MATLAB編程進(jìn)行誤差擬合，得到此模型的誤差擬合曲線，即調(diào)節(jié)函數(shù)：對此模型同樣用MATLAB編程(程序見附錄三)求出變位情況下油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值如下

19、表一表一：無變位和變位時罐容表標(biāo)定值高度h/cm無變位時的標(biāo)定結(jié)果(L)傾斜變位時的標(biāo)定結(jié)果(L)高度h/cm無變位時的標(biāo)定結(jié)果(L)傾斜變位時的標(biāo)定結(jié)果(L)高度h/cm無變位時的標(biāo)定結(jié)果(L)傾斜變位時的標(biāo)定結(jié)果(L)01.7111.854412027.8961843.298822891.5472746.86616.4085.358422070.0111886.612832930.6222788.600215.4258.112432112.1021929.996842969.4072830.084327.20511.786442154.1581973.411853007.8872871.3

20、88441.18416.610452196.1682016.835863046.0462912.412557.03222.515462238.1202060.289873083.8692953.186674.52529.699472280.0012103.743883121.3402993.671793.49438.123482321.8022147.167893158.4413033.8758113.80847.937492363.5082190.591903195.1563073.7599135.36059.211502405.1092233.946913231.4663113.34310

21、158.06171.925512446.5922277.260923267.3533152.54711181.83386.170522487.9452320.524933302.7983191.42212206.609102.014532529.1562363.688943337.7823229.92613232.331119.498542570.2132406.802953372.2823268.02014258.946138.692552611.1022449.786963406.2783305.69415286.406159.546562651.8112492.671973439.748

22、3342.96816314.668181.990572692.3272535.405983472.6663379.79217343.692205.755582732.6372578.039993505.0093416.14718373.442230.649592772.7282620.5031003536.7503451.99119403.883256.623602812.5862662.8271013567.8613487.33520434.985283.597611198.8571006.5751023598.3123522.11921466.716311.481621238.943104

23、6.1891033628.0723556.38322499.050340.245631279.2491086.1331043657.1073590.00723531.959369.840641319.7611126.4071053685.3803623.04224565.420400.234651360.4671166.9311063712.8513655.42625599.407431.358661401.3521207.7451073739.4773687.15026633.899463.192671442.4051248.8101083765.2103718.15427668.87549

24、5.686681483.6131290.1141093789.9993748.37828704.312528.850691524.9641331.6781103813.7823777.84229740.192562.575701566.4441373.4421113836.4953806.47730776.494596.929711608.0431415.4061123858.0603834.24131813.202631.823721649.7471457.5701133878.3873860.99532850.296667.247731691.5461499.8951143897.3693

25、886.78933887.760703.181741733.4261542.3791153914.8753911.50334925.577739.605751775.3761585.0231163930.7363935.05835963.730776.490761817.3851627.8071173944.7293957.222361002.204813.834771859.4411670.7011183956.5233977.816371040.983851.628781901.5311713.7251193965.5533996.680381080.053889.802791943.64

26、51756.8301203970.2654013.904391119.398928.346801985.7711800.024401159.004967.270812852.1972704.9415.2.3 結(jié)果檢驗：用MATLAB編程（程序見附錄六）原模型加入了調(diào)節(jié)函數(shù)前后與實際數(shù)據(jù)擬合的結(jié)果如圖1-1-7所示，可以看出在加入了調(diào)節(jié)函數(shù)后，模型數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)能吻合的很好 圖1-1-7 變位前后罐容表標(biāo)定值的相似度，用MATLAB編程求解（程序見附錄七）相似度：RR=0998901855248828說明角度小的情況下，這兩個模型有很大程度的相似度，同時由于角度很小,兩模型得到的結(jié)果有很高有相似

27、度,也從實際生活中說明了本模型的正確性；六、問題二模型的建立與求解6.1 罐體縱、橫向變位后模型的建立問題二的實物模型是主體為圓柱體，兩端為球冠體的儲油罐這就比問題一中兩端為平頭的儲油罐模型更具有實際意義模型二的儲油罐的傾斜情況分為兩種，罐體縱向傾斜變位和罐體橫向偏轉(zhuǎn)變位縱向傾斜角度為，橫向偏轉(zhuǎn)角度為 其中罐體橫向偏轉(zhuǎn)變位的截面示意圖如圖1-1-8和圖1-1-9所示： 圖1-1-8 圖1-1-9圖1-1-8為罐體沒有發(fā)生偏轉(zhuǎn)時的截面示意圖，這時油位探針測量的油位高度為實際高度圖1-1-9為罐體發(fā)生橫向偏轉(zhuǎn)，偏轉(zhuǎn)角度為時的截面示意圖此時油位探針?biāo)鶞y得的高度記作，而實際高度：罐體發(fā)生縱向傾斜變位的

28、示意圖如圖所示，建立三維坐標(biāo)系以油罐身長的延長線作軸，以過油罐左球冠表面球心的切線為軸，以垂直于平面過點(diǎn)作軸如圖1-1-10所示：圖1-1-10半徑為15m的圓形截面與軸的切點(diǎn)分別記為點(diǎn)與點(diǎn)油面上有一動點(diǎn)油面與左邊球冠體表面的交點(diǎn)記作點(diǎn)，油面與右邊球罐體表面的交點(diǎn)記點(diǎn)在平面中點(diǎn)的坐標(biāo)記為，點(diǎn)的坐標(biāo)記為油面延伸出去交軸于點(diǎn)，油位探針交軸于點(diǎn)易知，截面弓形為：又因為油罐的高度為，球缺截面形成的弓形的高為，所以有：，得到：由圖易得過點(diǎn)、切點(diǎn)、球心的圓球體的圓的方程和過點(diǎn)直線方程，聯(lián)立：解之，求出點(diǎn)在平面上的橫坐標(biāo)：，同理有：，解之，求出點(diǎn)在平面上的橫坐標(biāo)：經(jīng)計算得弓形的面積公式為： （3）當(dāng)出現(xiàn)臨界

29、狀態(tài)時，此時油面與右邊球罐體表面的交點(diǎn)記點(diǎn)聯(lián)立：解之，求出點(diǎn)在平面上的橫坐標(biāo)：6.1.1該模型分為兩種情況討論：一、從橫向來看，可以將儲油罐劃分為五個部分，下面就分別對其進(jìn)行討論如圖11所示： 圖1-1-11 圖1-1-12利用圖1-1-12，可幫助求解半徑和面積（1）當(dāng)時，所截圖形的剖面為一個圓，設(shè)圓心為，且與在同一條直線上，求得，因此的半徑，所以，的面積：.（2）當(dāng)，此時油面截罐體所得圖形的剖為一個弓形，記半徑的截面圓心為，球缺表面到y(tǒng)軸的距離為，弓高為，取與為區(qū)間上的極限值，因此，在間任取一個圓，記圓心為，易知、位于同一條直線上，所以依據(jù)同樣的辦法可以求得的半徑： ， 所以該弓形的弓高：

30、 （4）將式（4）代入公式（3）中得：，（3）當(dāng)時，由于此時油罐體為一個底面半徑的圓柱體，此時所截得的弓形剖面的半徑為15，將其代入式（3）得出區(qū)間上弓形的面積：（4）當(dāng)時，此與上述過程相似，油面所截得的圖形的剖面仍為一個弓形同樣，記半徑為15的截面圓心為，球缺表面到y(tǒng)軸的距離為，弓高為采用2過程的方法可以求出：，代入式（3）得到弓形的面積：（5）當(dāng)時，油面所截得的圖形的剖面為一個以為半徑的圓，所以該圓的面積為：（6）當(dāng)，此與上述過程相似，油面所截得的圖形的剖面為一個以為半徑的圓，所以該圓的面積為：.二、從縱向來看，可以把油罐中的儲油量分為四個階段來研究：當(dāng)時，依據(jù)前面的計算結(jié)果得出該區(qū)間內(nèi)油

31、罐中的儲油量為：.當(dāng)時，該時段是以點(diǎn)為臨界點(diǎn)，此時的儲油量是在的基礎(chǔ)上加上范圍內(nèi)的體積，即為：當(dāng)時，此時即在的基礎(chǔ)上加上范圍內(nèi)的體積，即為：當(dāng)時，此時即在的基礎(chǔ)上加上范圍內(nèi)的體積，為：6.1.2 分析液面沒有漫過左邊球心的情況 由于上述模型對液面沒有漫過左邊球心時的情況不適應(yīng)，下面對上述模型進(jìn)行修正，即當(dāng)液面未漫過左邊球心時，進(jìn)行如下處理：一、從橫向上看，重新將模型橫向分為三部分，如上圖所示，將模型分為左球缺部分、圓柱體部分、右球缺部分二、從縱向上看，同理可以把油罐中的儲油量縱向分為四個階段來研究：當(dāng)時， 儲油量體積公式為：當(dāng)（臨界狀態(tài)值）時，體積為：當(dāng)（臨界狀態(tài)值）時，體積為當(dāng)時，體積，即為

32、：6.2 罐體縱、橫向變位后模型的求解：(1) 、的求解.求得了各個階段的體積公式后，要得到儲油罐的罐容表標(biāo)定值，首先要得到最理想的和的值由于縱向傾斜角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度未知，所以附件2中的顯示油量容積數(shù)據(jù)根據(jù)的是以前的標(biāo)定值，我們運(yùn)用這個數(shù)據(jù)所求得的和就顯得不準(zhǔn)確而就如題目所說的，加油站都有與之配套的“油位計量管理系統(tǒng)”，所以附件2中實際測算的顯示出油量是準(zhǔn)確的，這時計算模型時刻的高度所對應(yīng)的容積與模型時刻的高度所對應(yīng)的容積之差，作為模型的出油量數(shù)據(jù)，記運(yùn)用離差平方和最小的思想，得到目標(biāo)函數(shù)為，用MATLAB編程（程序見附錄八）從而得到和(2)罐容表標(biāo)定值的求解知道縱向傾斜角度與橫向偏轉(zhuǎn)角度以

33、后，得到油位間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值，如表2所示表2:發(fā)生縱、橫向變位時給出的標(biāo)定值高度h(cm)標(biāo)定值(L)高度h(cm)標(biāo)定值(L)高度h(cm)標(biāo)定值(L)10361.45711019240.19021046578.200201094.38712021899.00022049120.600302267.84713024615.46023051562.810403751.22714027373.88024053885.800505479.08215030158.92025056068.670607411.60916032955.43026058087.740709518.7821703

34、5748.35027059915.0008011775.81018038522.55028061514.8309014161.12019041262.7502906283524020043953.33030063764.0506.3 模型正確性分析附件2所給出的實驗數(shù)據(jù)中以容積為指標(biāo).我們用這個模型所求得一組相應(yīng)的數(shù)據(jù)，將這兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析(程序見附錄九)，可以得出這兩組數(shù)據(jù)很相似,能很好的擬合(圖見附錄圖1).因此,說明了我們的模型是正確的.另外,我們再次從原始數(shù)據(jù)中取50組排出量數(shù)據(jù),用Excel進(jìn)行修正,得到的修正后的模型數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)與實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析，

35、得到使得離差平方和最小的目標(biāo)函數(shù).在MATLAB中用lsqcurvefit進(jìn)行最小二乘擬合結(jié)果,程序返回的結(jié)果為 , ,誤差大約為(程序見附錄八).此時顯示出油量為無變位時的數(shù)據(jù)，而我們對原始數(shù)據(jù)修正后得到的數(shù)據(jù)也相當(dāng)于是無變位時的數(shù)據(jù).因此,這有力的說明模型對于無變位和變位時的情況都實用.綜上所述:首先,我們的模型是正確的;其次,又通過最小二乘擬合,程序返回 , ,說明我們模型廣泛實用性.七、模型評價7.1 模型優(yōu)點(diǎn):通過對模型的分析，驗證了其的可靠性，該模型計算過程清晰簡單，并且可以通過MATLAB快速求解，為加油站等儲油行業(yè)提供了方便可行的測定標(biāo)定值的方法具有重要的實際意義和較高的應(yīng)用價

36、值.模型一研究的是無變位情況下的儲油罐.我們考慮到儲油量與油位高度是連續(xù)變量，將模型一建立為積分模型.利用模型數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)得出模型一的調(diào)節(jié)函數(shù).對模型一進(jìn)行了準(zhǔn)確的誤差分析與修正,考慮到了變量的連續(xù)性，研究和的極限值等因素，這比一般非積分模型的計算更為精確、連貫.模型二研究的是變位情況下的儲油罐.變位涉及的情況有很多種，我們考慮到了各種儲油情況下儲油量的計算.模型二建立的是相當(dāng)完善的.模型三的研究對現(xiàn)實生活更具有意義.我們建立了更符合客觀情況的積分模型.利用軟件編程得到、的最優(yōu)值.并且利用修正后的模型數(shù)據(jù)和實測數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，再次驗證了我們模型的準(zhǔn)確性,可靠性,最后,用我們的模型得到合適的罐定

37、表標(biāo)定值.7.2.模型缺點(diǎn)：基本上模型數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)的差異來源于外界環(huán)境的影響，如：溫度對儲油量的影響，還有其他很多因素對模型結(jié)果的正確性都有影響.為了模型的簡潔性,我們忽略了一些次要的因素.八、模型改進(jìn)與推廣8.1 模型改進(jìn)8.1.1問題一中對油罐變位情況的進(jìn)一步討論上述模型我們只考慮了油罐向左下方傾斜時的情況，下面我們簡單說明油罐向右下方傾斜的狀況.如圖1-1-13所示,當(dāng)儲油罐向右下方傾斜時，我們看到所謂的時盲區(qū)區(qū)域比向左下方傾斜的盲區(qū)區(qū)域大，.但是從加油站的效益角度出發(fā)，這種向右下方傾斜情況我們應(yīng)該盡量去避免.圖1-1-138.1.2 問題一模型考慮溫度后改進(jìn)由誤差分析的數(shù)據(jù)結(jié)果可知，

38、溫度對儲油量的影響是不能夠忽略的，可以說大量的油品的體積隨著溫度的變化是明顯的.為了消除溫度的影響，我們還考慮了油品的體積隨溫度變化的關(guān)系.一般來說，由經(jīng)驗公式： 這樣，我們就可以把油品體積全部轉(zhuǎn)化為固定溫度下的數(shù)據(jù)，然后再進(jìn)行計算.可得到相對準(zhǔn)確的儲油量體積.8.2 模型推廣本題所建立的三種模型都是應(yīng)用的微積分的思想，所以，首先從微積分本身的角度來講，其應(yīng)用是非常廣泛的，目前，人們借助微積分的知識在力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域已取得了重要的成就；其次，本題中的三個模型都是解決儲油量的問題，其思想在現(xiàn)實生活中具有廣泛的應(yīng)用，例如該模型還可以應(yīng)用到水電站對供水儲水問題的研究，只需改變相應(yīng)的參數(shù)即可

39、完全替換從而解決問題；另外，模型三中在對參數(shù)進(jìn)行確定的過程也可以應(yīng)用到零件設(shè)計等方面.參考文獻(xiàn)1 周品，何正風(fēng)等主編，MATLAB數(shù)值分析，北京：機(jī)械工業(yè)出版社.2009.90-91,242-245.2 龔德恩，范培華編，微積分，北京：高等教育出版社.2008.183-194,261-271.3 周義倉，赫孝良編，數(shù)學(xué)建模實驗，西安:西安交通大學(xué)出版社.1999.91-107.4 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編，高等數(shù)學(xué)，北京：高等教育出版社.2008.117-145.5 王庚，數(shù)學(xué)建模融入微積分教學(xué)單元，大學(xué)數(shù)學(xué)，2006-04期.6 王世杰，曲面積分在數(shù)學(xué)建模上的應(yīng)用研究，河北建筑工程學(xué)院學(xué)報， 2

40、008-01期.7 孫宏達(dá)，用逼近法計算橫截面為橢圓形（圓形）儲油罐儲油體積，管件與設(shè)備，2009-03期8 杜英坤，儲油罐實時監(jiān)測與管理系統(tǒng)的設(shè)計與實現(xiàn)，信息化縱橫，2009-12期9 孫金發(fā)，臥式油罐容積檢定計算疑難點(diǎn)探討，石油商城，第18卷15期.附錄附錄一：用MATLAB編程得出無變位進(jìn)油的理論的結(jié)果與給定的結(jié)果分析format long esyms x yb=0.89；c=0.6；m=xlsread(f：問題A附件1：實驗采集數(shù)據(jù)表.xls，無變位進(jìn)油，D2：D79)/1000； %讀入高度數(shù)據(jù)并統(tǒng)一單位；VV=(b*(m-c)/c.*sqrt(2*c*m-m.2)+b*c*asin

41、(m-c)/c)+pi*b*c/2)*1000*2.45-262； %代入公式求容量并減去罐內(nèi)油量初值262L；V1=vpa(VV，8) %保留有效數(shù)字；V2=xlsread(f：問題A附件1：實驗采集數(shù)據(jù)表.xls，無變位進(jìn)油，C2：C79)； %讀入體積數(shù)據(jù)；DV=V1-V2； %絕對誤差；dv=vpa(DV，6) %對絕對誤差進(jìn)行合適處理；P=polyfit(m，VV，3) %將高度作為自變量，誤差作為因變量，進(jìn)行三次擬合；PP=polyval(P，m)； %取點(diǎn)；plot(m，VV，bo，m，PP，r) %作圖，看看擬合的效果；VZ=poly2sym(P)； %還原到多項式中；VZ=v

42、pa(VZ，4) %處理；附錄二：對模型一用進(jìn)行誤差擬合；clcformat long esyms x yb=0.89；c=0.6；m=xlsread(f：問題A附件1：實驗采集數(shù)據(jù)表.xls，無變位進(jìn)油，D2：D79)/1000； %讀入高度數(shù)據(jù)并統(tǒng)一單位；VV=(b*(m-c)/c.*sqrt(2*c*m-m.2)+b*c*asin(m-c)/c)+pi*b*c/2)*1000*2.45-262； %代入公式求容量并減去罐內(nèi)油量初值262L；V2=xlsread(f：問題A附件1：實驗采集數(shù)據(jù)表.xls，無變位進(jìn)油，C2：C79)； %讀入體積數(shù)據(jù)；DV=VV-V2； %絕對誤差；DV=d

43、ouble(DV)；P=polyfit(m，DV，3) %將高度作為自變量，誤差作為因變量，進(jìn)行三次擬合；PP=polyval(P，m)； %取點(diǎn)；title(調(diào)節(jié)函數(shù)擬合結(jié)果)plot(m，DV，bo，m，PP，r) %作圖，看看擬合的效果；VZ=poly2sym(P，h)； %還原到多項式中；VZ=vpa(VZ，8) %處理；附錄三：無變位和變位情況下油位高度間隔為1cm時罐容表標(biāo)定值clcformat long esyms x yb=0.89；c=0.6；m=0：0.01：1.2； %控制區(qū)間；V1=(b*(m-c)/c.*sqrt(2*c*m-m.2)+b*c*asin(m-c)/c)

44、+pi*b*c/2)*1000*2.45-262-(-84.029792*m.3+150.64977*m.2+58.215842*m-1.7108249)+262；%代入公式求容量并加上罐內(nèi)油量初值262L；h=0：0.01：1.2；V2 =-(.8909e-54*(.1744e35-.5192e36*h.2+.5933e36*h).(3/2)-.3600*asin(1.667*h-.9522).*h.+.2057*asin(1.667*h-.9522)-.4996e-18*(.1744e35-.5192e36*h.2+.5933e36*h).(1/2)-.9932e-1.-.4562e-51

45、*(-.1606e34-.8113e34*h.2+.1212e35*h).(3/2)+.3600*asin(1.667*h-1.245).*h-.2689*.asin(1.667*h-1.245)+.3997e-17*(-.1606e34-.8113e34*h.2+.1212e35*h).(1/2)*1000*0.89/0.6*cot(4.1*pi/180)+215+.55032e-3*h.3-.69302e-3*h.2-.58276*h+104.10； %積分得到的模型的公式加上誤差調(diào)節(jié)函數(shù)， 同時注意此處加上罐體傾斜變位進(jìn)油是，罐內(nèi)油量初值215LV1 %給出無變位時每間隔1cm時的標(biāo)定；

46、V2 %給出傾斜變位時每間隔1cm時的標(biāo)定；附錄四：求得盲區(qū)兩種情況下的儲油量p=4.1*pi/180；x=0：0.00001：0.89*sqrt(1-(0.6-0.4*tan(p)2/0.62)；f=2*(0.6*sqrt(1-x.2/0.892)-(0.6-0.4*tan(p).2/2/tan(p)*1000；vm1=trapz(x，f)x1=0：0.00001：0.89*sqrt(1-(0.6-2.05*tan(p)2/0.62)；f1=2*(0.6*sqrt(1-x1.2/0.892)-(0.6-2.05*tan(p).2/2/tan(p)*1000；vm2=trapz(x1，f1)v

47、m1 %盲區(qū)一的容量；vm2 %盲區(qū)二的容量；附錄五：問題一油罐變位時的函數(shù)求解c=0.6；syms m y z；p=4.1*pi/180；m=xlsread(f：問題A附件1：實驗采集數(shù)據(jù)表.xls，傾斜變位進(jìn)油，D2：D54)/1000；%讀入高度數(shù)據(jù)并統(tǒng)一單位；for i=1：length(m) m=m(i)； if m=0 sprintf(%f， 9.740076199628695e+001) elseif m0 f1=2*b/c*(pi*c2/4-(c-(m-(y-0.4)*tan(p)/2*sqrt(c2-(c-(m-(y-0.4)*tan(p).2)-c2/2*asin(c-(m

48、-(y-0.4)*tan(p)/c)； f11=int(f1，y，0，0.4+h*cot(p)； vpa(f11，6)； sprintf(%f，1000*f11) elseif m=2.05*tan(p) f1=2*b/c*sqrt(b2-z2)； zlower=-b； zupper=-b+m-(y-0.4)*tan(p)； f11=1000*int(int(f1，z，zlower，zupper)，y，0，2.45) elseif m=1.2-0.4*tan(p) f1=2*b/c*sqrt(b2-z2)； zlower=b-m+(y-0.4)*tan(p)； zupper=b； f11=int(int(f1，z，zlower，zupper)，y，0.4-(1.2-h)*cot(p)，2.45)+pi*b*c*(0.4-(1.2-m)*cot(p)； sprintf(%f，1000*f11) elseif m=1.2 sprintf(%f，9.740076199628695e+001) end end附錄六：問題一變位時調(diào)節(jié)前后與實際曲線的對比clccfgformat long eh=xlsread(f：問題A附件1：實驗采集數(shù)據(jù)表.xls，傾斜變位進(jìn)油，D2：D54)/1000；L=xlsread(f：問題A附件1：實驗采集