數(shù)字信號(hào)處理第3章講解

1、第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 3.1 引言引言 3.2 自適應(yīng)橫向?yàn)V波器自適應(yīng)橫向?yàn)V波器 3.3 自適應(yīng)格型濾波器自適應(yīng)格型濾波器 3.4 最小二乘自適應(yīng)濾波最小二乘自適應(yīng)濾波 3.5 自適應(yīng)濾波的應(yīng)用自適應(yīng)濾波的應(yīng)用 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 3.1 引引 言言 自適應(yīng)數(shù)字濾波器和維納濾波器一樣，都是符合某種準(zhǔn)則 的最佳濾波器。維納濾波器的參數(shù)是固定的，適用于平穩(wěn)隨機(jī) 信號(hào)的最佳濾波，但要設(shè)計(jì)這種濾波器，必須要求輸入信號(hào)是 平穩(wěn)的，且具有信號(hào)和噪聲統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律的先驗(yàn)知識(shí)。在實(shí)際 中， 常常無(wú)法知道這些先驗(yàn)知識(shí)，且統(tǒng)計(jì)特性還會(huì)變化，因 此實(shí)現(xiàn)最佳濾波是困難的。 第三章 自

2、適應(yīng)數(shù)字濾波器 自適應(yīng)濾波器的特點(diǎn)是：濾波器的參數(shù)可以自動(dòng)地按照某 種準(zhǔn)則調(diào)整到最佳濾波；實(shí)現(xiàn)時(shí)不需要任何關(guān)于信號(hào)和噪聲的 先驗(yàn)統(tǒng)計(jì)知識(shí)，尤其當(dāng)輸入統(tǒng)計(jì)特性變化時(shí)，自適應(yīng)濾波器都 能調(diào)整自身的參數(shù)來(lái)滿足最佳濾波的需要。 常常將這種輸入統(tǒng) 計(jì)特性未知，調(diào)整自身的參數(shù)到最佳的過(guò)程稱為“學(xué)習(xí)過(guò)程”。 將輸入信號(hào)統(tǒng)計(jì)特性變化時(shí)，調(diào)整自身的參數(shù)到最佳的過(guò)程稱 為“跟蹤過(guò)程”，因此自適應(yīng)濾波器具有學(xué)習(xí)和跟蹤的性能。 由于自適應(yīng)濾波器有這些特點(diǎn)，自1967年威德諾(B.Widrow)等 人提出自適應(yīng)濾波器以來(lái)，在短短十幾年中，自適應(yīng)濾波器發(fā) 展很快，已廣泛地用于系統(tǒng)模型識(shí)別，通信信道的自適應(yīng)均衡， 雷達(dá)與聲

3、納的波束形成，減少或消除心電圖中的周期干擾，噪 聲中信號(hào)的檢測(cè)、跟蹤、 增強(qiáng)和線性預(yù)測(cè)等。 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 3.2 自適應(yīng)橫向?yàn)V波器自適應(yīng)橫向?yàn)V波器 自適應(yīng)濾波器的原理框圖如圖3.2.1所示，圖中x(n)稱為輸 入信號(hào)，y(n)是輸出信號(hào)，d(n)稱為期望信號(hào)，或者稱為參考信 號(hào)、訓(xùn)練信號(hào)，e(n)是誤差信號(hào)。 其中 e(n)=d(n)-y(n) 自適應(yīng)濾波器H(z)的系數(shù)根據(jù)誤差信號(hào)，通過(guò)一定的自適應(yīng)算 法，不斷地進(jìn)行改變， 使輸出y(n)最接近期望信號(hào)d(n)。 這 里暫時(shí)假定d(n)是可以利用的，實(shí)際中，d(n)要根據(jù)具體情況 進(jìn)行選取， 能夠選到一個(gè)合適的信號(hào)作為期望信號(hào)，是

4、設(shè)計(jì) 自適應(yīng)濾波器的一項(xiàng)有創(chuàng)意的工作。如果真正的d d(n n)可以獲得， 我們將不需要做任何自適應(yīng)濾波器。 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 圖 3.2.1 自適應(yīng)濾波器原理圖 H(z) y(n)x(n) d(n) e(n) 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 3.2.1 3.2.1 自適應(yīng)線性組合器和自適應(yīng)自適應(yīng)線性組合器和自適應(yīng)FIRFIR濾波器濾波器 1. 1. 自適應(yīng)濾波器的矩陣表示式自適應(yīng)濾波器的矩陣表示式 圖 3.2.2 表示的是一個(gè)有N個(gè)權(quán)系數(shù)的自適應(yīng)線性組合器， 圖中N個(gè)權(quán)系數(shù)w1,w2,wN受誤差信號(hào)ej的自適應(yīng)控制。對(duì)于固 定的權(quán)系數(shù)，輸出yj是輸入信號(hào)x1j,x2j,xNj的線性組合，因

5、此 稱它為線性組合器。這里的x1j,x2j,xNj可以理解為是從N個(gè)不 同的信號(hào)源到達(dá)的瞬時(shí)輸入，是一個(gè)多輸入系統(tǒng)， 也可以是同 一個(gè)信號(hào)源的N個(gè)序貫樣本，如圖 3.2.3 所示。因此它是一個(gè) 單輸入系統(tǒng)， 實(shí)際上這種單輸入系統(tǒng)就是一個(gè)FIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)， 或者說(shuō)是一個(gè)自適應(yīng)橫向?yàn)V波器。其輸出y(n)用濾波器的單位脈 沖相應(yīng)表示成下式： 1 0 )()()( N m mnxmwny (3.2.1) 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 圖 3.2.2 自適應(yīng)線性組合器 x1j x2j xNj dj ej yj w1 w2 wN 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 圖 3.2.3 自適應(yīng)FIR濾波器 z1z1 x(n1)

6、x(n2)x(n N) z1 d(n) e(n) y(n) x(n) w2w3wN1wNw1 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 這里w(n)稱為濾波器單位脈沖響應(yīng)，令：i=m+1,wi=w(i-1), xi=x(n-i+1)，n用j表示，上式可以寫成 N i ijij xwy 1 (3.2.2) 這里wi也稱為濾波器加權(quán)系數(shù)。用上面公式表示其輸出，適合于 自適應(yīng)線性組合器，也適合于FIR濾波器。將上式表示成矩陣形 式： jjj XWWXy TT (3.2.3) 式中 T 21 T 21 , NjjjjN xxxXwwwW 誤差信號(hào)表示為 jjjjjjj XWdWXdyde TT (3.2.4) 第三章

7、 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 2. 2. 利用均方誤差最小準(zhǔn)則求最佳權(quán)系數(shù)和最小均方誤差利用均方誤差最小準(zhǔn)則求最佳權(quán)系數(shù)和最小均方誤差 誤差信號(hào)被用來(lái)作為權(quán)系數(shù)的控制信號(hào)。下面采用均方誤 差最小的準(zhǔn)則，求最佳權(quán)系數(shù)。由(3.2.4)式，均方誤差為 WXXEWWXdEdE ydEeE jjjjj jjj (2 )( TTT2 22 (3.2.5) 令 WXXEWWXdEXdER jj T jjjjdx TT (3.2.6) NjNjjNjjNj Njjjjjj Njjjjjj T jjxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx EXXER 21 12111 12111 (3.2.7) 第三章 自適應(yīng)數(shù)

8、字濾波器 將(3.2.6)、 (3.2.7)式代入(3.2.5)式， 得到 WRWWRdEeE xxdxjj TT22 2 (3.2.8) R Rdx稱為dj與Xj的互相關(guān)矩陣，是一個(gè)N維列矩陣；Rxx是輸入信 號(hào)的自相關(guān)矩陣，特點(diǎn)如下： (1)是對(duì)稱矩陣，即; (2) 是正定或半正定的，因?yàn)閷?duì)于任意矢量V滿足下式： xx T xx RR 0)( 2TTT VXEVXXVEVRV T xx 自相關(guān)矩陣的主對(duì)角線是輸入信號(hào)的均方值， 交叉項(xiàng)是輸入信 號(hào)的自相關(guān)值。 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 (3.2.8)式表明，當(dāng)輸入信號(hào)和期望信號(hào)是平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)時(shí)， 均方誤差信號(hào)Ee2j是權(quán)系數(shù)的二次函數(shù)，即將

9、(3.2.8)式展 開時(shí)，公式中的權(quán)系數(shù)均以它的一次冪或二次冪出現(xiàn)。如果只 有一個(gè)權(quán)系數(shù)w1,則Ee2j是w1的口向上的拋物線；如果有兩個(gè) 權(quán)系數(shù)w1w2,則Eej2是它們的口向上的拋物面；對(duì)于兩個(gè)權(quán)系 數(shù)以上的情況，則屬于超拋物面性質(zhì)。 Eej2在自適應(yīng)信號(hào)處理中是一個(gè)重要的函數(shù)，經(jīng)常稱它 為性能函數(shù)。為選擇權(quán)系數(shù)，使性能函數(shù)到達(dá)它的最小點(diǎn)， 一 些有用的自適應(yīng)方法都是基于梯度法的，我們用 表示Eej2 的梯度向量，它是用Eej2對(duì)每個(gè)權(quán)系數(shù)求微分而形成的一個(gè) 列向量， 用公式表示如下： j 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 T 2 2 2 1 2 , , N jjj j w eE w eE w e

10、E (3.2.9) 按照(3.2.4)式, 梯度推導(dǎo)如下： 2,2 21 jj T N jjj jj XeE w e w e w e eE (3.2.10) 還可以用(3.2.8)式對(duì)W求導(dǎo)得到 dxxxj WRWR2 (3.2.11) 令上式等于0, 得到最佳權(quán)矢量W*的表達(dá)式： dxxx RRW 1* (3.2.12) 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 對(duì)比第二章維納濾波器的最佳解，結(jié)果是一樣的。上式也 稱為維納權(quán)矢量。當(dāng)自適應(yīng)濾波器的權(quán)系數(shù)滿足上式時(shí)，均方 誤差將取最小值。將(3.2.12)式代入(3.2.8)式得到最小均方誤 差： *2 *2 min 2 2 2 WRdE WRWWRdEeE

11、T dxj xx TT dxjj (3.2.13) 或者將上式取轉(zhuǎn)置，用下式表示： dx T jj RWdEeE *2 min 2 (3.2.14) 我們知道，在維納濾波器中，當(dāng)濾波器的單位脈沖響應(yīng)取最佳值 時(shí)， 其誤差信號(hào)和輸入信號(hào)是正交的；這里也有相同的結(jié)果， 當(dāng)權(quán)矢量取最佳值時(shí)，梯度為0，按照(3.2.10)式： 02 jjj XeE 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 例例 .1 一個(gè)單輸入的二維權(quán)矢量自適應(yīng)濾波器如圖 3.2.4所示，圖中輸入信號(hào)與期望信號(hào)分別為 j N dj N x jj 2 cos2, 2 sin 這兩個(gè)信號(hào)都是周期性確定性信號(hào)， 因?yàn)槿魏握液瘮?shù)積的期 望

12、值，都可由這個(gè)積在一個(gè)或多個(gè)周期上作時(shí)間平均來(lái)計(jì)算， 可以推導(dǎo)出下面公式6: 5 . 0 2 cos5 . 0 2 cos5 . 05 . 0 1 , 0 2 sin)( 2 sin 2 cos 2 1 , 0 2 cos5 . 0)( 2 sin 2 sin 1 2 11 1 2 1 1 N N xxx xxx ER nn N nj N j NN xdE nn N nj N j NN xxE jjj jjj xx N j njj N j njj 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 T T 1 2 sin, 0, N xdxdER jjjjdx 2 2 sin2 2 cos)(5 . 0 2 sin02

13、 1 2 cos 2 cos1 5 . 02 2 221 2 2 2 1 2 1 2 1 21 TT22 N w N wwww w w Nw w N N ww WRWWRdEeE xxdxjj 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 圖 3.2.4 兩個(gè)權(quán)的自適應(yīng)濾波器 w1 z1 xj w2 dj yj ej 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 上式表明性能函數(shù)Eej2對(duì)權(quán)函數(shù)是二次型的，用(3.2.11)式 求梯度向量，得到 N w N w N ww N w w N N RWR dxxxj 2 sin2 2 cos 2 cos 2 sin 0 2 1 2 cos 2 cos1 22 21 21 2 1 求最佳權(quán)矢

14、量可以用(3.2.12)式，通過(guò)對(duì)Rxx求逆得到，也可以 通過(guò)上式，令 ，而求出： 0 j T T 21 * 2 csc2, 2 cot2 NN wwW 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 用(3.2.13)式求最小均方誤差： 0 2 csc2 2 cot2 2 sin02min *T22 N N N WRdEeE dxjj 上式說(shuō)明只要N2,不管N取多少，通過(guò)對(duì)權(quán)系數(shù)的調(diào)整可使均 方誤差達(dá)到0，此時(shí)輸出信號(hào)yj完全等于期望信號(hào)dj, 例如N=2， 按照上面公式，可以求出輸入、輸出信號(hào)以及最佳權(quán)系數(shù)如下： 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 jd jxwxwy jx www j jjj j 2 cos2 2 co

15、s2 2 sin 20 121 T* 2 * 1 * 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 3.2.2 3.2.2 性能函數(shù)表示式及其幾何意義性能函數(shù)表示式及其幾何意義 在自適應(yīng)濾波器的分析研究中，性能函數(shù)是一個(gè)重要函數(shù)， 前面已推導(dǎo)出性能函數(shù)用(3.2.8)式表示，重寫如下： WRWWRdEeE xxdxjj TT22 2 下面我們推導(dǎo)它的其它表示方法以及幾何意義。 均方誤差是權(quán)系數(shù)的二次函數(shù)，當(dāng)權(quán)系數(shù)取最佳值時(shí)， 均 方誤差取最小值，將(3.2.14)式代入(3.2.8)式，可以用最小均 方誤差表示性能函數(shù)，推導(dǎo)如下： 為了表示方便，令 =Ee2j, 則 WRWWRRW xxdxdx TTT* min

16、 2 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 將(3.2.12)式代入上式，得到 )()( *T* min TT*TT* min T*TT*T* min WWRWW WRWWWRWW WRWWRWWRWWRW xx xxxx xxxxxxxx (3.2.15) 令 V=W-W*=v1, v2, , vNT (3.2.16) V V稱為偏差權(quán)向量，它表示權(quán)向量對(duì)最佳權(quán)向量的偏差。這樣性 能函數(shù)可以表示得更簡(jiǎn)單： VRV xx T min (3.2.17) 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 因?yàn)镽xx是對(duì)稱的，正定或半正定的，利用它的特征值和特 征向量再進(jìn)一步簡(jiǎn)化，假設(shè)Rxx是NN維，它的N個(gè)特征值為： 1,2,N，將

17、Rxx進(jìn)行分解，得到 R Rxx=Q QT TQ,=QTRxxQ (3.2.18) 通過(guò)調(diào)節(jié)使Q歸一化，即 1TT , QQIQQ (3.2.19) NNNN N N N qqq qqq qqq qqqQ 21 22221 11211 21 , (3.2.20) 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 式中，Q稱為正交矩陣或特征矩陣，qi稱為特征向量，滿足下式： NiqqR ji ji qq iiixx j T i , 2 , 1 0 1 (3.2.21) (3.2.22) 是由特征值組成的對(duì)角矩陣， 用下式表示： ),(Diag 21N (3.2.23) 將(3.2.18)式代入(3.2.17)式，得到

18、VQQV TT min 令 , T 2 1 T QVVvvvVQV N (3.2.24) 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 則 N i iiv VV 1 2 min T min (3.2.25) 上式將性能函數(shù)變成了平方和的形式。再觀察(3.2.24)式， 該式將V坐標(biāo)中的Rxx的特征向量變成了V V坐標(biāo)中的單位向量。 利用(3.2.24)式將特征向量qi變成qi，再利用(3.2.20)、 (3.2.21)式， 可得 TT 21 0 , 1 , 0, iNi T i qqqqqQq (3.2.26) 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 也就是說(shuō)，qi為V坐標(biāo)中的第i個(gè)單位向量，qi亦是矩陣 對(duì)應(yīng)于i的特征向量。

19、下面用二維權(quán)矢量的情況說(shuō)明它的幾何 意義。對(duì)于二維權(quán)矢量情況，有下面公式： 2 1* 2 1 , v v WWV w w W 2 221 2 1min *T* min )0() 1 (2)0( )()( )0() 1 ( ) 1 ()0( vrvvrvr WWRWW rr rr R xxxxxx xx xxxx xxxx xx 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 圖 3.2.5 二維權(quán)矢量性能表面 minw1opt w2opt w1 w2 v2 v1 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 圖 3.2.6 等均方誤差的橢圓曲線族 0w1 w2 v1 v2 v1 v2 wopt 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 按照(3.2.

20、17)式，有 cVRV xx T min 或 1 T cVRV xx 當(dāng)c=min時(shí)，對(duì)應(yīng)橢圓的中心，V=W-W*, 則相當(dāng)于W坐標(biāo)平移到V 坐標(biāo)的原點(diǎn)，即V坐標(biāo)的原點(diǎn)對(duì)應(yīng)W坐標(biāo)的最佳點(diǎn)W *。這里, v1v2 不是橢圓的主軸。但經(jīng)過(guò)對(duì)Rxx的分解： 2 1T 0 0 QRQ xx 且V=QTV將性能函數(shù)的橢圓族(按照(3.2.25)式)變成 1 T cVV 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 即 1 2 22 2 11 cvv 或者 1 / 21 2 2 11 2 1 c v c v (3.2.27) 顯然，上式是一個(gè)橢圓方程，v1和v2是橢圓族的主軸，如果 12,則v1是長(zhǎng)軸，v2是短軸。因此(3.

21、2.24)式起坐標(biāo)旋 轉(zhuǎn)的作用，將v1v2旋轉(zhuǎn)到主軸上，形成v1v2主軸。對(duì)于維數(shù)N 2的情況，長(zhǎng)軸對(duì)應(yīng)最小特征值，按照上面的橢圓方程長(zhǎng)軸正 比于；短軸對(duì)應(yīng)于最大特征值，正比于 。另 外， 因?yàn)?min /1 min /1 T 2 1 T , N vvvVQV 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 得到 , 2 12211NNN vvvvqvqvq(3.2.28) V中單位矢量就是V坐標(biāo)中的Rxx的特征矢量。 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 3.2.3 最陡下降法最陡下降法 1. 1. 最陡下降法的遞推公式最陡下降法的遞推公式 將(3.2.11)式代入(3.2.29)式，得到 * 1 1 22 )22( WRW

22、RIW WRRWW xxjxxj jxxdxjj (3.2.30) (3.2.31) 在上式兩邊都減去W *,并令Vj=W j-W*, 得到 V Vj+1=I-2RxxVj (3.2.32) 上式是一個(gè)遞推公式，由于項(xiàng)不是對(duì)角矩陣，計(jì)算與分析 均復(fù)雜。下面仍然采用坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的方法進(jìn)行推導(dǎo)。 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 11 1 1 1-1T )2( )2( 2 , , j jxx jxxj jjjj xxxx VI VQRQIQQ QVRIQV QVVVQV QRQQQR (3.2.33) 此時(shí)，項(xiàng)已變成對(duì)角矩陣，假設(shè)起始值是V V0，可得到上 式的遞推解為 0 )2(VIV j j (3.2.3

23、4) 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 再將(3.2.24)式代入，再經(jīng)過(guò)坐標(biāo)平移，即代入Vj=Wj-W*式， 最后得到權(quán)系數(shù)的遞推公式： )()2( * 0 T* WWQIQWW j j (3.2.35) 上面遞推公式中，部分已變成對(duì)角矩陣， 這使分析與研 究自適應(yīng)特性變得簡(jiǎn)單了。 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 2. 2. 收斂條件收斂條件 由最陡下降法的遞推公式不難分析出它的收斂條件，即當(dāng) 迭代次數(shù)j趨于時(shí)，權(quán)系數(shù)收斂最佳時(shí)的條件。按照上式， 顯然只有當(dāng) max 1 0 , 2 , 11|21 | 02lim Ni I i j j (3.2.36) (3.2.37) 滿足時(shí)，才能得到： 。(3.2.3

24、7)式即是最陡下降 法的收斂條件，式中max是R Rxx的最大特征值。(3.2.36)式中的0表 示0矢量。 * limWWj j 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 3. 3. 過(guò)渡過(guò)程過(guò)渡過(guò)程 過(guò)渡過(guò)程是指權(quán)矢量和性能函數(shù)由起始點(diǎn)隨迭代次數(shù)的增 加，進(jìn)行變化的過(guò)程。下面從權(quán)矢量和性能函數(shù)兩方面討論自 適應(yīng)濾波器的過(guò)渡過(guò)程。權(quán)矢量的過(guò)渡過(guò)程討論如下： 按照(3.2.34)式，權(quán)矢量的遞推解是 0 )2(VIV j j 第i個(gè)權(quán)系數(shù)遞推方程是 0 )2( i j iji vIv(3.2.38) 令 Ni i i , 3 , 2 , 1e21 1 - (3.2.39) 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 將上式代入

25、(3.2.38)式，得到 Nivv i ji i , 3 , 2 , 1e 0 1 - (3.2.40) 上式說(shuō)明第i個(gè)分量v i按指數(shù)規(guī)律變化，其時(shí)常數(shù)為 )21 (1 1 i i n i=1, 2, 3, , N (3.2.41) 因?yàn)橐话闳〉帽容^小，可以近似為 i i 2 1 i=1, 2, 3, , N (3.2.42) 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 因?yàn)?2 1 21 22221 11211 jN j j NNNN N N jj v v v qqq qqq qqq QVV 所以 N k jkikji vqv 1 再將(3.2.40)式代入，得到 i j N k kikji evqv 1

26、0(3.2.43) 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 k j N k ikiji cww - 1 * e (3.2.44) 式中 0kikik vqc (3.2.45) 上式說(shuō)明第i個(gè)加權(quán)系數(shù)按照N個(gè)指數(shù)和的規(guī)律變化，由初始值 收斂到最佳值，其時(shí)常數(shù)與特征值成反比。下面分析性能函數(shù) 的過(guò)渡過(guò)程。按照(3.2.25)式，性能函數(shù)如下式： N i jiij veE 1 2 min 2 (3.2.46) 將(3.2.40)式代入，得到 i j N i iij eveE 2 1 2 0min 2 (3.2.47) 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 上式說(shuō)明性能函數(shù)也是按N個(gè)指數(shù)和的規(guī)律變化，和加權(quán)系 數(shù)過(guò)渡過(guò)程不同的

27、是時(shí)間常數(shù)不同， 它的時(shí)常數(shù)為 i i 4 1 2 imse (3.2.48) 我們已經(jīng)知道，性能函數(shù)和各個(gè)加權(quán)系數(shù)都是按照N個(gè)具有 不同時(shí)常數(shù)的指數(shù)和的規(guī)律變化的，時(shí)常數(shù)和特征值成反比， 不同的特征值對(duì)應(yīng)的收斂時(shí)間是不一樣的，但最終的收斂要取 決于最慢的指數(shù)過(guò)程，它的時(shí)常數(shù)最大，對(duì)應(yīng)最小的特征值， 公式如下： min maxmse min max 4 1 2 1 (3.2.49) (3.2.50) 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 但為保證收斂，不能取得太大，受限于最大特征值max。 這樣，如果特征值比較分散時(shí)，即max和min相差很大時(shí)， 使最陡下降法的收斂性能很差。下面分析值的影響。 值收斂過(guò)程

28、影響很大，首先必須選擇得足夠小，使之滿 足收斂條件： max 1 0 但按照(3.2.47)、 (3.2.48)式，它影響收斂速度。 一般希望 在保證收斂的條件下，選大一些，使時(shí)間常數(shù)小一些，收斂的 速度快一些。但當(dāng)選擇得太大時(shí)，即使收斂條件滿足，也可 能形成振動(dòng)性的過(guò)渡特性。 在圖 3.2.7 中，圖(a)是較小時(shí) 的情況；圖(b)是較大時(shí)的情況，此時(shí)過(guò)渡過(guò)程已發(fā)生振蕩。 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 圖 3.2.7 值的影響 (a) 較小時(shí)的情況； （b） 較大時(shí)的情況 (a)(b) w2 w1 w(0) w(0) w1 w2 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 3.2.4 最小均方最小均方(LMS)算

29、法算法 1. LMS1. LMS算法的權(quán)值計(jì)算算法的權(quán)值計(jì)算 LMS(Least Mean Square)算法的梯度估計(jì)值用一條樣本曲 線進(jìn)行計(jì)算，公式如下： N jjj jj w e w e w e e 2 2 2 1 2 2 (3.2.51) 因?yàn)?jjj XWde T 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 所以 j N jjj X w e w e w e T 21 , jjj Xe2 (3.2.52) (3.2.53) jjjj XeWW2 1 FIR濾波器中的第i個(gè)權(quán)系數(shù)的計(jì)算公式為 Nixeww ijjijij , 3 , 2 , 12 , 1 (3.2.54) FIR濾波器中的第i個(gè)權(quán)系數(shù)的控

30、制電路如圖3.2.8所示, LMS自 適應(yīng)濾波器的總框圖如圖 3.2.9 所示。 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 圖 3.2.8 FIR第i個(gè)支路的控制電路 z1 wi(n1) xi(n)wi(n) 2 e(n) 控制電路 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 LMS算法的加權(quán)系數(shù)按照(3.2.53)式進(jìn)行控制， 式中加權(quán) 矢量的改變量是2ejXj，梯度的估計(jì)值是-2ejX Xj。顯然，這是 一個(gè)隨機(jī)變量，這說(shuō)明LMS算法的加權(quán)矢量是隨機(jī)變化的。因此， LMS算法又稱為隨機(jī)梯度法。下面對(duì)這種算法的性能進(jìn)行分析， 主要分析加權(quán)矢理和性能函數(shù)的平均變化規(guī)律以及它們的隨機(jī) 性造成的影響。 按照(3.2.52)式， 對(duì)

31、梯度估計(jì)值求統(tǒng)計(jì)平均， 得到 jjjj XeEE2 (3.2.55) 上式說(shuō)明梯度估計(jì)值是無(wú)偏估計(jì)的，梯度的估計(jì)量在理想梯度 j附近隨機(jī)變化，權(quán)系數(shù)也是在理想情況下的權(quán)軌跡附近隨機(jī) 變化的。 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 控制1 控制2 控制 N x1(n) x2(n) xN(n) w1 w2 wN y(n) d(n) e(n) 圖 3.2.8 LMS自適應(yīng)濾波器總計(jì)算框圖 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 2.LMS2.LMS算法加權(quán)矢量的過(guò)渡過(guò)程算法加權(quán)矢量的過(guò)渡過(guò)程 將誤差公式(3.2.4)式代入(3.2.53)式，得到 jjj T jj j T jjjjjj dXWXXi WXXdXWW 22 2

32、 1 (3.2.56) 按照(3.2.53)式， 對(duì)加權(quán)矢量取統(tǒng)計(jì)平均： * T 1 2)2( )(2 (2 2 WRWERI WERRWE WXXEXdEWE XeEWEWE xxjxx jxxdxj jjjjjj jjjj (3.2.57) 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 類似于最陡下降法的推導(dǎo)，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)平移和旋轉(zhuǎn)，變換到 V坐標(biāo)中。其公式推導(dǎo)如下: 令 Vj=Wj-W* (3.2.58) 那么 EVj=EWj-W* EVj+1=EWj+1-W* (3.2.59) 將上面兩式代入(3.2.57)式中，得到 2 1jxxj VERIVE 它的遞推解是 0 2VRIVE j xxj 令 Rxx=QQ

33、 T, =QRxxQT (3.2.60) 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 , 2 1 T QVVvvvVQV N 得到 0 2VIVE j j (3.2.61) (3.2.62) 再將(3.2.59)、(3.2.60)和(3.2.61)式代入上式，得到 EWj=W*+QI-2j Q-1(W0-W*) (3.2.63) 對(duì)比(3.2.35)式，說(shuō)明LMS算法加權(quán)矢量的統(tǒng)計(jì)平均值的 過(guò)渡過(guò)程和最陡下降法加權(quán)矢量的過(guò)渡過(guò)程是一樣的。換句話 說(shuō)， LMS算法加權(quán)矢量是在最陡下降法加權(quán)矢量附近隨機(jī)變化 的， 其統(tǒng)計(jì)平均值等于最陡下降法加權(quán)矢量，那么，其收斂條 件同樣為 max 1 0 (3.2.64) 第三章

34、 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 在滿足收斂條件的情況下，才有下式： * limWWE j j 由于最大的特征值max不可能大于R R的跡(R R的主對(duì)角線元素之 和)，即 )()(tr)()(tr max 的對(duì)角元素的對(duì)角元素RR 因此收斂條件可以表示為 )( 1 0 Rtr (3.2.65) 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 對(duì)于橫向?yàn)V波器， 式中的跡是NEx2j，即N倍的輸入功率， 那么 1 0 2 j xNE (3.2.66) 實(shí)際中，通常選得很小，選 1 0 2 j xNE (3.2.67) 同樣由(3.2.62)式，第i個(gè)分量為 0 2 i j iji vIvE (3.2.68) 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波

35、器 同樣引入時(shí)常數(shù)i, e 2 1 )21ln( 1 * - 0 i jj j iji ii i vQEWWE vvE (3.2.69) (3.2.70) (3.2.71) 同樣，第i個(gè)權(quán)系數(shù)可以表示成 k j N k ikiji CwwE - 1 * e (3.2.72) 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 3 . LMS3 . LMS算法性能函數(shù)的過(guò)渡過(guò)程算法性能函數(shù)的過(guò)渡過(guò)程學(xué)習(xí)過(guò)程學(xué)習(xí)過(guò)程 由于LMS算法加權(quán)矢量的平均值的變化規(guī)律與最陡下降法 的加權(quán)矢量一樣，可以推想它的均方誤差也會(huì)按照最陡下降的 均方誤差變化規(guī)律變化。下面進(jìn)行推導(dǎo)。 按照(3.2.4)式， 信號(hào)誤差為 j T jj j T j

36、 T jj T jjjjj VXe WWXWXd WXdyde opt * )()( (3.2.73) 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 式中，eoptj=dj-XjTW*，稱為最佳誤差信號(hào)，它對(duì)應(yīng)于最小均方 誤差， 即 min 22 opt jj eEeE 按照(3.2.73)式寫出均方誤差表示式： 2 22 j T joptj T jj T joptj VXeEVXXVEeEeE 假定Xj和Vj不相關(guān)，上式中最后一項(xiàng)為0，那么 minj T jj T j VXXVE 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 2 1 min min min ) ji N i i j T j jxx T j vE VEVE VERV

37、E 同樣，假設(shè)加權(quán)系數(shù)變化很小，V Vj也變化很小，EV VjVj，這樣： 類似前面的推導(dǎo)，得到 i i imse N i j oji i v 4 1 2 e 1 2 - 2 min (3.2.74) (3.2.75) 對(duì)照最陡下降法性能曲線(3.2.47)式，LMS均方誤差變化規(guī)律和 最陡下降法完全一樣，學(xué)習(xí)曲線同樣近似為幾個(gè)不同時(shí)間常數(shù) 的指數(shù)和。 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 4. 4. 穩(wěn)態(tài)誤差和失調(diào)系數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差和失調(diào)系數(shù) 由上面分析知道，權(quán)矢量的平均值可以收斂到它的最佳值， 但權(quán)矢量變化過(guò)程是隨機(jī)的，即使其平均值收斂到最佳值，它 仍然按照下式： Wj+1=Wj+2ejXj 隨機(jī)地進(jìn)行變化

38、，這樣使權(quán)矢量仍在最佳值附近隨機(jī)變化， 但均方誤差將大于最小均方誤差，如圖 3.2.10 所示。為此，引 入失調(diào)系數(shù)M，M定義為 min min M(3.2.76) 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 加權(quán)系數(shù)的變化 均方誤差的變化 min v v w wopt j 圖 3.2.10 LMS算法穩(wěn)態(tài)誤差 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 可以推出5失調(diào)系數(shù)為 N i ixx RM 1 tr (3.2.77) 或者 M=NPin (3.2.78) 式中，N是濾波器的階數(shù)，Pin是輸入信號(hào)功率。上式說(shuō)明和 輸入功率加大都會(huì)增加失調(diào)系數(shù)。 在保證收斂的情況下加 大，會(huì)提高收斂速度，也說(shuō)明為了減小失調(diào)系數(shù)， 應(yīng)該適當(dāng)

39、選擇收斂速度，以保證收斂速度和失調(diào)系數(shù)都滿足要求。 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 圖 3.2.11 是一個(gè)LMS自適應(yīng)濾波器的計(jì)算機(jī)結(jié)果5，階 數(shù)N=5，其輸入是信號(hào)加白噪聲， 輸入信號(hào)功率為1，中心頻率 是0.03fs(fs為采樣頻率)，噪聲功率為0.5, 輸入信號(hào)自相關(guān)函 數(shù)的特征值為： 5.14、0.853、0.502、0.500、0.500 ，權(quán)系 數(shù)初始值取0，=0.0065。圖中畫出了一條樣本學(xué)習(xí)曲線和150 條樣本學(xué)習(xí)曲線的平均曲線。該圖表明個(gè)別學(xué)習(xí)曲線起伏較大， 平均學(xué)習(xí)曲線起伏很小，計(jì)算出的維納最小均方誤差為0.743 96，用LMS算法得到的穩(wěn)態(tài)誤差大于該值，按(3.2.77)

40、式計(jì)算的 失調(diào)系數(shù)是4.87%，按計(jì)算機(jī)模擬結(jié)果測(cè)得的失調(diào)系數(shù)是5.40%。 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 圖 3.2.11 LMS算法的學(xué)習(xí)曲線 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 3.3 自適應(yīng)格型濾波器自適應(yīng)格型濾波器 3.3.1 3.3.1 前、后向線性預(yù)測(cè)誤差濾波器前、后向線性預(yù)測(cè)誤差濾波器 1. 1. 前向線性預(yù)測(cè)誤差濾波器前向線性預(yù)測(cè)誤差濾波器 為了分析簡(jiǎn)單，假設(shè)信號(hào)屬于實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)。前向線性 預(yù)測(cè)誤差濾波器直接由信號(hào)的線性一步預(yù)測(cè)導(dǎo)出。在維納濾波 器一章我們已研究了信號(hào)的線性一步預(yù)測(cè)問(wèn)題，即由x(n-1), x(n-2), , x(n-p)預(yù)測(cè)x(n)，其估計(jì)值x(n)和預(yù)測(cè)誤差ep(n)

41、 用下式表示： p k kp knxanx 1 , )() ( (3.3.1) p k kpp knxanxnxnxne 1 , )()() ( )()( 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 由于假設(shè)了信號(hào)是實(shí)的，式中預(yù)測(cè)誤差ep(n)和系數(shù)ap,k均是實(shí) 數(shù)。(3.3.1)式表明 是由n時(shí)刻以前的p個(gè)數(shù)據(jù)x(n-1)、 x(n-2)x(n-p)得到的估計(jì)，因此稱 為前向預(yù)測(cè)誤差。將前 向預(yù)測(cè)誤差用 表示，上式重寫為 )( nx )(nep )(ne f p p k kp f p knxanxne 1 , )()()(3.3.2) 對(duì)上式進(jìn)行Z變換，得到 k p k kp f p zzXazXzE 1

42、, )()()(3.3.3) 令 p k k kp p k k kpf f p f zazazH zX zE zH 0 , 1 , 1)( )( )( )( (3.3.4) 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 Hf(z)稱為前向預(yù)測(cè)誤差濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。前向預(yù)測(cè)誤差濾波 器的結(jié)構(gòu)圖如圖 3.3.1所示。 圖 3.3.1 前向預(yù)測(cè)誤差濾波器 z1 ap,0 z1z1 ap,1ap,2ap, p1ap, p x(n) )(ne f p 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 用均方誤差最小的準(zhǔn)則求前向預(yù)測(cè)誤差濾波器的最佳系數(shù)ap,k, 0 )( , 2 kp f p a neE k=1, 2, ，p (3.3.5) 將(

43、3.3.2)式代入上式，得到 0)()(knxneE f p k=1, 2, 3,，p (3.3.6) 上式表明前向預(yù)測(cè)誤差與用于預(yù)測(cè)的數(shù)據(jù)正交，這就是對(duì)于前 向預(yù)測(cè)誤差的正交原理。按照第二章的推導(dǎo)，前向預(yù)測(cè)誤差濾 波器的最佳系數(shù)ap,k和信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系式稱為 Yule-Walker方程式，重寫如下： 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 p i xxipxxp p i xxipxx irar pkikrakr 1 , 2 1 , )()0( , 3 , 2 , 10)()( (3.3.7) 將上式用矩陣方程表示為 0 0 1 ) 1()2()( ) 1()0() 1 ( )() 1 ()0(

44、 2 , 1 , p pp p xxxxxx xxxxxx xxxxxx a a prprpr prrr prrr (3.3.8) 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 2. 2. 后向線性預(yù)測(cè)誤差濾波器后向線性預(yù)測(cè)誤差濾波器 如果利用x(n+1),x(n+2), ,x(n+p)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)x(n)，則稱為 后向預(yù)測(cè)，其估計(jì)值用 表示。這樣 )( nx p k kp knxanx 1 , )() ( (3.3.9) 一般前向、后向預(yù)測(cè)用同一數(shù)據(jù)進(jìn)行，即利用x(n),x(n-1)， x(n-2)，,x(n-p)進(jìn)行預(yù)測(cè)，為此，將上式改為 p k kp kpnxapnx 1 , )() ( (3.3.10) 這樣

45、，前向預(yù)測(cè)是由x(n-p),x(n-p+1),x(n-2),x(n-1)預(yù)測(cè) x(n)，后向預(yù)測(cè)是由x(n-p+1),x(n-p+2),x(n)預(yù)測(cè)x(n-p)， 這兩種預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系如圖 3.3.2 所示。 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 圖 3.3.2 前向預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系 x(n p) , x(n p1) , , x(n2) , x(n1) , x(n) 后向預(yù)測(cè) 前向預(yù)測(cè) 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 設(shè)后向預(yù)測(cè)誤差用 表示(實(shí)際表示的是信號(hào)在n-p時(shí)刻 的預(yù)測(cè)誤差)， 這樣 )(neb p ) ( )()(pnxpnxnbb p (3.3.11) 同樣，利用最小均方誤差的準(zhǔn)則，可以得到關(guān)

46、于后向預(yù)測(cè) 時(shí)的正交原理以及Yule-Walker方程，它們分別用下面的(3.3.12) 和(3.3.13)式表示： 0)()(kpnxneE b p k=1, 2, 3, , p p i xxkpxxp p i xxkpxx irar ikrakr 1 , 2 1 , )()0( 0)()( k=1, 2, 3, , p (3.3.12) (3.3.13) 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 式中， 是后向預(yù)測(cè)誤差的最小誤差功率。將(3.3.13)式和 (3.3.7)式進(jìn)行對(duì)比，它們極其相似。利用Toeplitz矩陣的性質(zhì)， 可得到以下重要關(guān)系： 2 p 2 2 , , 3 , 2 , 1 pp kp

47、kp pkaa (3.3.14) (3.3.15) 上面兩式表明前、后向預(yù)測(cè)的最小誤差功率相等，系數(shù)也相等 (如果是復(fù)數(shù)，則是共軛關(guān)系)。由(3.3.10)、 (3.3.11)、 (3.3.14) 式得到 1)()( 0, 0 , p p k kp b p akpnxane (3.3.16) 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 式中，當(dāng)k=0, 1, 2, 3, , p時(shí)， p-k=p, p-1, p-2, , 0, 因此也可以 寫成下式： 1)()( 0, 0 , p p k kpp b p aknxane 由上式畫出后向預(yù)測(cè)誤差濾波器的結(jié)構(gòu)圖如圖 3.3.3 所示。 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 圖 3

48、.3.3 后向預(yù)測(cè)誤差濾波器 z1 ap,0 z1z1 ap,1ap,p1ap,p x(n) )(neb p ap,p2 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 對(duì)比圖 3.3.1 和圖 3.3.3, 或者對(duì)比公式(3.3.2)和 (3.3.17)， 它們的系數(shù)雖然一樣，但后向預(yù)測(cè)誤差濾波器的系 數(shù)排序卻是前向預(yù)測(cè)誤差濾波器系數(shù)排序的逆轉(zhuǎn)排列。 對(duì)(3.3.16)式進(jìn)行Z變換，得到 p k kp kp pb p zzzXazzXzE 1 , )()()(3.3.18) 后向預(yù)測(cè)誤差濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 p k k kp p b p b zaz zX zE zH 1 , 1 )( )( )( (3.3.19)

49、第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 將上式與前向預(yù)測(cè)誤差濾波器的系統(tǒng)函數(shù)(3.3.4)式對(duì)比，得到 前、 后向預(yù)測(cè)誤差濾波器的系數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系是 )()( 1 zHzzH f p b 為了求解前、后向預(yù)測(cè)誤差濾波器的最佳系數(shù)，需要解Yule- Walker方程?？梢圆捎酶咚瓜ń獬鯽p,k(k=1,2, 3,p)以 及2p,但需要p3量級(jí)運(yùn)算量。利用Yule-Walker方程中的自相 關(guān)矩陣是一個(gè)埃爾米特(Hermitain)和托布列斯(Toeplitz)矩 陣的特點(diǎn)，且至少是半正定的，可以有效地減少運(yùn)算量，這就 是下面要推導(dǎo)的Levinson-Durbin算法，它的運(yùn)算量級(jí)是p2。 第三章 自適應(yīng)

50、數(shù)字濾波器 3.Levinson-durbin3.Levinson-durbin算法算法 Levinson-Durbin算法首先由一階AR模型開始，按照(3.3.8) 式，一階AR模型(p=1)的Yule-Walker為 0 1 )0() 1 ( )2()0( 2 1 1 , 1 a rr rr xxxx xxxx 由該方程解出： )0()1 ( )0( ) 1 ( 2 1 , 1 2 1 1 , 1 xx xx xx ra r r a 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 然后增加一階，即令p=2，按照(3.3.8)式得到 0 0 1 )0() 1 ()2( ) 1 ()0() 1 ( )2() 1 (

51、)0( 2 2 2, 2 1 , 2 a a rrr rrr rrr xxxxxx xxxxxx xxxxxx 由上面方程解出： 2 1 2 2, 2 2 2 1 , 12, 21 , 1 22 1 , 2 2 11 , 1 222 2, 2 )1 ( )1 ()0(/)2() 1 () 1 ()0( /)1 ()2( )1 ()0(/)1 ()2()0( a aaa rrrrrra rar rrrrra xxxxxxxxxxxx xxxx xxxxxxxxxx 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 然后令p=3, 4, , 以此類推， 可以得到一般遞推公式如下： )()0( )1 ( 1, 3 , 2

52、, 1 )()( 22 0 2 1 22 , 1, 1, , 2 1 1 1 1 nxEr k pkakaa ak kprapr k xx ppp kpppkpkp ppp p p k xxpxx p (3.3.21) (3.3.22) (3.3.23) (3.3.24) (3.3.25) 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 上面(3.3.21)(3.3.25)式就是Levinson-Durbin遞推公式， 該式中的kp稱為反射系數(shù)。在(3.3.24)式中，2p和2p-1是預(yù) 測(cè)誤差的均方值，因此1-k2p必須大于等于0，這樣kp應(yīng)要求滿足 下式： 1| p k (3.3.26) 2 1 22 , 1

53、2 1 2 )1 ( ppppp k 反 進(jìn)而得到 ，即預(yù)測(cè)誤差隨遞推次數(shù)增加而減少。把kp 稱作反射系數(shù)，是類似于傳輸線的情況，如圖3.3.4 所示，第p 節(jié)的輸出功率(即下一級(jí)的輸入功率)等于前一級(jí)的輸出功率減去 本級(jí)的反射功率，用公式表示如下： 2 1 2 pp (3.3.27) 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 第 p節(jié) 2 1p 2 p 2 , 1反p 圖3.3.4 傳輸線 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 3.3.2 3.3.2 格型濾波器格型濾波器 1. 1. 由預(yù)測(cè)誤差濾波器導(dǎo)出格型濾波器由預(yù)測(cè)誤差濾波器導(dǎo)出格型濾波器 將前面已推導(dǎo)的前向預(yù)測(cè)誤差公式(3.3.2)重寫如下: p k kp f

54、p knxanxne 1 , )()()( 再將系數(shù)ap,k(k=1,2,3,p)的遞推公式(3.3.23)代入上式，并 令kp=ap,p，得到 1 1 1 1 , 1, 1 1 1 , 1, 1 1 1 , )()()()( )()()()( )()()()( p k p k kpppkp p k pkpppkp p k pkp f p knxapnxkknxanx pnxkknxakanx pnxkknxanxne 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 將上式與(3.3.2)式對(duì)比，方程式的右邊前兩項(xiàng)是p-1階前向預(yù)測(cè) 誤差， 即 1 1 , 11 )()()( p k kp f p knxanxne

55、 (3.3.28)方程式的右邊最后一項(xiàng)中，因?yàn)閗=1,2,3,p-1時(shí)， p-k=p-1, p-2, ,1，方括號(hào)部分可以寫成 1 1 , 1 1 1 , 1 )()()()( p k kp p k kpp kpnxapnxknxapnx 將上式右邊與(3.3.16)式對(duì)比，該部分就是n-1時(shí)刻p-1階的后向 預(yù)測(cè)誤差， 即 1 1 , 11 )()() 1( p k kpp b p knxapnxne 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 這樣由(3.3.28)式，得到前向預(yù)測(cè)誤差的遞推公式， 即 ) 1()()( 11 neknene b pp f p f p (3.3.29) 類似地，得到后向預(yù)測(cè)誤

56、差的遞推公式為 )() 1()( 11 neknene f pp b p b p (3.3.30) 利用(3.3.29)式和(3.3.30)式，組成格型濾波器的第p節(jié)的結(jié) 構(gòu)圖, 如圖 3.3.5(a)所示。 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 圖 3.3.5 全零點(diǎn)格型濾波器 )(ne f p )(neb p z1 x(n) z1z1 e0(n ) e1(n ) b0(n ) b1(n ) k1 k1 k2 k2 kp kp z1 )(ne f p )(neb p )( 1 ne f p )( 1 neb p kp kp (a) (b) 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 對(duì)于p=0的情況， 按照(3.3.2)

57、式和(3.3.11)式， 得到 )()()( 00 nxnene bf 整個(gè)預(yù)測(cè)誤差格型濾波器的結(jié)構(gòu)如圖 3.3.5(b)所示。由于沒(méi) 有反饋支路，它是一個(gè)全零點(diǎn)格型濾波器。 經(jīng)過(guò)變形還可得 到其他類型，如全極點(diǎn)格型濾波器、全極點(diǎn)橫向?yàn)V波器，等等 5。 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 2. 2. 格型濾波器的性質(zhì)格型濾波器的性質(zhì) (1) 各階后向預(yù)測(cè)誤差相互正交。 用公式表示如下： jineneE b j b i 0)()( 設(shè)ij,按照(3.3.12)式， 與x(n-j+1),x(n-j+2), x(n- i),x(n-i+1),x(n)數(shù)據(jù)正交，但按照(3.3.16)式， 是x(n- i),x(

58、n-i+1), , x(n)的線性組合，因此 與 相互正交。 各階后向預(yù)測(cè)誤差相互正交的結(jié)果，使濾波器前后級(jí)互相解 耦，對(duì)于系統(tǒng)最小化問(wèn)題化為一系列獨(dú)立的對(duì)每一級(jí)局部最小 化問(wèn)題。用作自適應(yīng)濾波時(shí)，各級(jí)可選用不同的自適應(yīng)步長(zhǎng)， 使收斂速度提高。另外，為提高線性預(yù)測(cè)性能，需要增加一節(jié) 或幾節(jié)，可以只對(duì)新增加的級(jí)進(jìn)行獨(dú)立的調(diào)節(jié)，達(dá)到輸出均方 誤差最小，無(wú)需再調(diào)節(jié)前面的系數(shù)。 )(neb j )(neb i )(neb i )(neb j 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 (2) 平穩(wěn)隨機(jī)序列可由自相關(guān)函數(shù)或反射系數(shù)表征。按照 Levinson-Durbin遞推公式，已知rxx(0),k1,k2,kp,從一

59、階開 始，可以推出全部的預(yù)測(cè)系數(shù)ap,1,ap,2, ,ap,p和2p，把得到 的這些數(shù)據(jù)代入Yule-walker方程，可求得信號(hào)的自相關(guān)函數(shù) rxx(0), rxx(1), rxx(2),rxx(p)。以上說(shuō)明平穩(wěn)隨機(jī)序列可由 自相關(guān)函數(shù)表征，也可由rxx(0),k1,k2,kp表征。 (3) 前向預(yù)測(cè)誤差濾波器是最小相位濾波器，即它的全部零 點(diǎn)在單位圓內(nèi)。 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 3. 對(duì)于復(fù)信號(hào)的預(yù)測(cè)誤差濾波器和格型濾波器對(duì)于復(fù)信號(hào)的預(yù)測(cè)誤差濾波器和格型濾波器 前向預(yù)測(cè)誤差濾波器的系統(tǒng)函數(shù)He(z)以及前向預(yù)測(cè)誤差公 式 和實(shí)信號(hào)情況一樣，仍是(3.3.4)式和(3.3.2)式，但利

60、用均 方誤差最小原則求預(yù)測(cè)系數(shù)要用下式求解： )(ne f p pk a neE kp f p , 3 , 2 , 10 | )(| , 2 (3.3.32) 對(duì)于前向預(yù)測(cè)誤差的正交原理，則用下式表示： pkknxneE f p , 3 , 2 , 10)()( * (3.3.33) 前向預(yù)測(cè)誤差濾波器的預(yù)測(cè)系數(shù)和信號(hào)自相關(guān)函數(shù)之間的 Yule-Walker方程仍和(3.3.8)式一樣。 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 后向預(yù)測(cè)誤差和后向預(yù)測(cè)誤差濾波器系統(tǒng)函數(shù)分別用下式表示： pkknxane p k kpp f p , 3 , 2 , 1)()( 1 * , (3.3.34) 1)( * 0, 1