2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 解三角形 1.2 余弦定理教案 北師大版必修5

1、2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 解三角形 1.2 余弦定理教案 北師大版必修52021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 解三角形 1.2 余弦定理教案 北師大版必修5年級：姓名：1.2余 弦 定 理導(dǎo)思1.余弦定理的內(nèi)容是什么?2.余弦定理可以解決哪些問題?1.余弦定理公式表達語言描述a2=b2+c2-2bccos ab2=a2+c2-2accos bc2=a2+b2-2abcos c三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.【說明】對余弦定理的理解(1)適用范圍:余弦定理對任意三角形都成立.(2)結(jié)構(gòu)特征:“平方”“夾角”“余弦”.(3)揭示的規(guī)律:

2、余弦定理指的是三角形中三條邊與其中一個角的余弦之間的關(guān)系式,它描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系.(4)主要功能:余弦定理的主要功能是實現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化.(1)余弦定理和勾股定理有什么關(guān)系?提示:余弦定理可以看作是勾股定理的推廣,勾股定理可以看作是余弦定理的特例.(2)觀察余弦定理的符號表示及推論,你認為余弦定理可用來解哪類三角形?提示:已知兩邊及其夾角,解三角形;已知三邊,解三角形.2.余弦定理的變形cos a=_,cos b=_,cosc=_.在abc中,若c2=a2+b2,則該三角形是什么三角形?提示:因為c2=a2+b2,所以a2+b2-c2=0,故cos c=0,所以c=

3、90,從而abc為直角三角形.1.辨析記憶(對的打“”,錯的打“”).(1)余弦定理僅適用于銳角三角形或鈍角三角形.()(2)若已知兩邊和一邊所對的角,不能用余弦定理解三角形.()(3)在abc中,若sin2csin2a+sin2b,則abc為鈍角三角形.()(4)在abc中,若已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其他兩個角的類型問題,則求解時都只有一個解.()提示:(1).余弦定理對任意三角形都成立.(2).如已知a,b和a可利用公式a2=b2+c2-2bccos a求c,進而可求角b和c.(3).根據(jù)正弦定理可得c2a2+b2,故a2+b2-c20,所以cos c=0,故c為鈍角,所以abc為

4、鈍角三角形.(4).根據(jù)余弦定理可知第三邊唯一,從而三角形確定,另外兩角確定,故該三角形唯一.2.某同學(xué)用三條長度分別為3,5,7的線段畫出一個三角形,則他將()a.畫不出任何滿足要求的三角形b.畫出一個銳角三角形c.畫出一個直角三角形d.畫出一個鈍角三角形【解析】選d.令長度較長的邊所對的角為,則cos =0,所以他將畫出一個鈍角三角形.3.(教材二次開發(fā):例題改編)為測出小區(qū)的面積,進行了一些測量工作,所得數(shù)據(jù)如圖所示,則小區(qū)的面積為()a. km2b. km2c. km2d. km2【解析】選d.如圖,連接ac,ac=,則acb=90,bac=30,abc是直角三角形,所以sabc=.因

5、為dac=dca=15,adc=150,所以adc是等腰三角形,3=2ad2-2ad2cos 150,ad2=6-3,sadc=ad2sin 150=.s四邊形abcd=+=(km2).關(guān)鍵能力合作學(xué)習(xí)類型一余弦定理的應(yīng)用(邏輯推理)1.在abc中,已知a2=b2+c2+bc,則a等于()a.b.c.或d.2.在abc中,已知面積為s,且4s=a2+b2-c2,則角c的度數(shù)為()a.135b.45c.60d.1203.在abc中,abc=2,求abc中最大角的度數(shù).【解析】1.選d.因為a2=b2+c2+bc,所以b2+c2-a2=-bc.由余弦定理的推論得cos a=-,又0a0),由bac

6、,知c為abc最大內(nèi)角,cos c=-,又0c0,cos b=.又0b,所以b=.答案:類型二三角形的形狀判斷(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)【典例】在abc中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cos asin b=sin c,確定abc的形狀.四步內(nèi)容理解題意判斷三角形的形狀,即判斷該三角形是怎樣的特殊三角形.思路探求可利用余、正弦定理,將2cos asin b=sin c化為三角形邊或角之間的關(guān)系,進而得出結(jié)論.書寫表達方法一:由正弦定理得=,由2cos asin b=sin c,有cos a=.又由余弦定理得cos a=,所以=,即c2=b2+c2-a2,所以a2=b2,所以a=b.

7、又因為(a+b+c)(a+b-c)=3ab,所以(a+b)2-c2=3ab,所以4b2-c2=3b2,即b2=c2.所以b=c,所以a=b=c.所以abc為等邊三角形.方法二:因為a+b+c=180,所以sin c=sin(a+b),又因為2cos asin b=sin c,所以2cos asin b=sin acos b+cos asin b,所以sin(a-b)=0.又因為a與b均為abc的內(nèi)角,所以a=b.又由(a+b+c)(a+b-c)=3ab得(a+b)2-c2=3ab,所以a2+b2-c2+2ab=3ab,即a2+b2-c2=ab.由余弦定理得cos c=,又0c180,所以c=6

8、0.所以abc為等邊三角形.題后反思本題求解的關(guān)鍵是正確應(yīng)用正、余弦定理.判斷三角形形狀的兩條途徑(1)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系,通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系;(2)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系,通過三角函數(shù)恒等變形,得出內(nèi)角的關(guān)系,此時要注意應(yīng)用a+b+c=這個結(jié)論.提醒:在上述兩種途徑的等式變形中,一般兩邊不要直接約去公因式,應(yīng)移項提取公因式,以免漏解.在abc中,已知(a2+c2-b2)cos2=acsin asin b(a,b,c分別為角a,b,c的對邊),則abc為()a.等腰三角形b.等邊三角形c.直角三角形d.等腰直角三角形【解析

9、】選a.在abc中,因為(a2+c2-b2)cos2=acsin asin b,所以2cos2=sin asin b,由余弦定理得cos b2cos2=sin asin b,所以cos b(cos a+1)=sin asin b,即cos bcos a-sin bsin a+cos b=0,即cos(a+b)+cos b=0,即cos(-c)+cos b=0,即cos c=cos b.即c=b.即abc是等腰三角形.類型三正、余弦定理的應(yīng)用(數(shù)學(xué)運算)【典例】在平面四邊形abcd中,adc=90,a=45,ab=2,bd=5.(1)求cos adb;(2)若dc=2,求bc.【思路導(dǎo)引】(1)

10、可利用正弦定理求出sinadb,再求出cosadb.(2)可利用誘導(dǎo)公式求出cosbdc,再利用余弦定理求bc.【解析】(1)在abd中,由正弦定理得=.由題設(shè)知,=,所以sin adb=.由題意知,adb90,所以cos adb=.(2)由題意及(1)知,cos bdc=sin adb=.在bcd中,由余弦定理得bc2=bd2+dc2-2bddccos bdc=25+8-252=25.所以bc=5.設(shè)abc的內(nèi)角a,b,c的對邊分別為a,b,c,且c=2a,a+c=10,cos a=.求:(1)的值;(2)b的值.【解析】(1)因為cos a=,所以由正弦定理得=2cos a=.(2)由(1

11、)知=,又a+c=10,兩式聯(lián)立得a=4,c=6.由余弦定理得42=b2+62-12b,即b2-9b+20=0,解得b=4或b=5.當b=4時,a=b,所以b=a,又a+b+c=180,且c=2a,所以a=b=45,所以cos a=cos 45=,不符合題意,舍去;當b=5時,經(jīng)檢驗符合題意,所以b=5.綜上知b的值為5.正、余弦定理的綜合應(yīng)用(1)邊、角互化是處理三角形邊、角混合關(guān)系的常用手段.(2)在有關(guān)三角形的題目中注意選擇是應(yīng)用正弦定理,還是余弦定理,要有意識地考慮用哪個定理更合適,或是兩個定理都要用,要抓住能利用某個定理的信息.(3)解題時注意三角恒等變換的應(yīng)用.1.如圖,在abc中

12、,d是bc上的點,且ac=cd,2ac=ad,ab=2ad,則sin b=()a.b.c.d.【解析】選c.根據(jù)題意設(shè)ad=2x,則ac=cd=x,ab=4x,在adc中,由余弦定理可得cosadc=,所以sinadb=sinadc=,所以在adb中,由正弦定理得sin b=.2.在abc中,sin2asin2b+sin2c-sin bsin c,則a的取值范圍是()a.b.c.d.【解析】選c.由于sin2asin2b+sin2c-sin bsin c,根據(jù)正弦定理可知a2b2+c2-bc,故cos a=.又a(0,),所以a的范圍為.3.(2020全國卷)abc的內(nèi)角a,b,c的對邊分別為

13、a,b,c.已知b=150.(1)若a=c,b=2,求abc的面積;(2)若sin a+sin c=,求c.【解析】(1)由題設(shè)及余弦定理得28=3c2+c2-2c2cos 150,解得c=-2(舍去),c=2,從而a=2.abc的面積為22sin 150=;(2)在abc中,a=180-b-c=30-c,所以sin a+sin c=sin(30-c)+sin c=sin(30+c),故sin(30+c)=.而0c0,所以能組成銳角三角形.2.abc的內(nèi)角a,b,c的對邊分別為a,b,c,已知asin a-bsin b=4csin c,cos a=-,則=()a.6b.5c.4d.3【解析】選

14、a.由已知及正弦定理可得a2-b2=4c2,由余弦定理推論可得-=cos a=,所以=-,所以=,即=4=6.3.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)在abc中,a,b,c的對邊分別為a,b,c,若0,則abc()a.一定是銳角三角形b.一定是直角三角形c.一定是鈍角三角形d.是銳角或直角三角形【解析】選c.因為=cos c0,所以c為鈍角,故abc為鈍角三角形.4.abc的內(nèi)角a,b,c的對邊分別為a,b,c,a=,a=7,若abc的面積為,則其周長是_.【解析】根據(jù)余弦定理:a2=b2+c2-2bccos a=b2+c2+bc=49.根據(jù)面積公式:s=bcsin a=bc=,故bc=15.故(b+c)2