2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 1 空間向量與立體幾何章末綜合測(cè)評(píng)新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

1、2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 1 空間向量與立體幾何章末綜合測(cè)評(píng)新人教a版選擇性必修第一冊(cè)2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 1 空間向量與立體幾何章末綜合測(cè)評(píng)新人教a版選擇性必修第一冊(cè)年級(jí)：姓名：章末綜合測(cè)評(píng)(一)空間向量與立體幾何(滿(mǎn)分：150分時(shí)間：120分鐘)一、選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1已知a(3,2,5)，b(1,5，1)，則a(a3b)()a(0,34,10)b(3,19,7)c44d23ca3b(3,2,5)3(1,5，1)(0,17,2)，則a(a3b)(3,2,5)(0,17,2)0341044.2設(shè)l1的

2、方向向量為a(1,2，2)，l2的方向向量為b(2,3，m)，若l1l2，則m等于()a1b2 cd3b若l1l2，則ab，ab0，1(2)23(2m)0，解得m2.3在空間四邊形abcd中，若向量(3,5,2)，(7，1，4)，點(diǎn)e，f分別為線段bc，ad的中點(diǎn)，則的坐標(biāo)為()a(2,3,3)b(2，3，3)c(5，2,1)d(5,2，1)b取ac中點(diǎn)m，連接me，mf(圖略)，則， 所以(2，3，3)，故選b4如圖所示，在平行六面體abcda1b1c1d1中，點(diǎn)e為上底面對(duì)角線a1c1的中點(diǎn)，若xy，則()ax，ybx，ycx，ydx，ya()，x，y.5已知a(2，5,1)，b(2，4,

3、2)，c(1，4,1)，則與的夾角為()a30b60 c45d90b由題意得(0,1,1)，(1,1,0)，cos，所以與的夾角為60.6已知二面角l的大小為，m，n為異面直線，且m，n，則m，n所成的角為()ab cdb設(shè)m，n的方向向量分別為m，n.由m，n知m，n分別是平面，的法向量|cosm，n|cos ，m，n或.但由于兩異面直線所成的角的范圍為，故異面直線m，n所成的角為.7.如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體abcda1b1c1d1中，p為a1d1的中點(diǎn)，q為a1b1上任意一點(diǎn)，e，f為cd上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且ef的長(zhǎng)為定值，則點(diǎn)q到平面pef的距離()a等于ab和ef的長(zhǎng)度有關(guān)c等于ad和點(diǎn)q

4、的位置有關(guān)a取b1c1的中點(diǎn)g，連接pg，cg，dp，則pgcd，所以點(diǎn)q到平面pef的距離即點(diǎn)q到平面pgcd的距離，與ef的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)，b錯(cuò)又a1b1平面pgcd，所以點(diǎn)a1到平面pgcd的距離即點(diǎn)q到平面pgcd的距離，即點(diǎn)q到平面pef的距離，與點(diǎn)q的位置無(wú)關(guān)，d錯(cuò)如圖，以點(diǎn)d為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則c(0，a,0)，d(0,0,0)，a1(a,0，a)，p，(0，a,0)，(a,0，a)，設(shè)n(x，y，z)是平面pgcd的法向量，則由得令z1，則x2，y0，所以n(2,0,1)是平面pgcd的一個(gè)法向量設(shè)點(diǎn)q到平面pef的距離為d，則d，a對(duì)，c錯(cuò)故選a8.如圖所示，abcda1

5、b1c1d1是棱長(zhǎng)為6的正方體，e，f分別是棱ab，bc上的動(dòng)點(diǎn)，且aebf.當(dāng)a1，e，f，c1四點(diǎn)共面時(shí)，平面a1de與平面c1df所成夾角的余弦值為()abcdb以d為原點(diǎn)，da、dc、dd1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，易知當(dāng)e(6,3,0)，f(3,6,0)時(shí)，a1，e，f，c1共面，設(shè)平面a1de的法向量為n1(a，b，c)，依題意得可取n1(1,2,1)，同理可得平面c1df的一個(gè)法向量為n2(2，1,1)，故平面a1de與平面c1df的夾角的余弦值為.故選b二、選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得5分

6、，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分)9已知正方體abcd a1b1c1d1的中心為o，則下列結(jié)論中正確的有()a與是一對(duì)相反向量b與是一對(duì)相反向量c與是一對(duì)相反向量d與是一對(duì)相反向量acdo為正方體的中心，故()，同理可得()，故()，ac正確；，與是兩個(gè)相等的向量，b不正確；，()，d正確10在以下選項(xiàng)中，不正確的命題有()a|a|b|ab|是a，b共線的充要條件b若ab，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使abc對(duì)空間任意一點(diǎn)o和不共線的三點(diǎn)a，b，c，若22，則p，a，b，c四點(diǎn)共面d若a，b，c為空間的一個(gè)基底，則ab，bc，ca構(gòu)成空間的另一個(gè)基底abca|a|b|ab|a與b共線，但a與b共線時(shí)|

7、a|b|ab|不一定成立，故不正確；bb需為非零向量，故不正確；c因?yàn)?211，由共面向量定理知，不正確；d由基底的定義知正確11下列說(shuō)法正確的是()a直線l的方向向量a(1，1,2)，直線m的方向向量b，則l與m垂直b直線l的方向向量a(0,1，1)，平面的法向量n(1，1，1)，則lc平面，的法向量分別為n1(0,1,3)，n2(1,0,2)，則d平面經(jīng)過(guò)三點(diǎn)a(1,0，1)，b(0,1,0)，c(1,2,0)，向量n(1，u，t)是平面的法向量，則ut1ad對(duì)于a，a(1，1,2)，b，ab12(1)120，ab，直線l與m垂直，a正確對(duì)于b，a(0,1，1)，n(1，1，1)，an01

8、1(1)(1)(1)0，an，l或l，b錯(cuò)誤對(duì)于c，n1(0,1,3)，n2(1,0,2)，n1與n2不共線，不成立，c錯(cuò)誤對(duì)于d，由于a(1,0，1)，b(0,1,0)，c(1,2,0)，則(1,1,1)，(1,1,0)，又向量n(1，u，t)是平面的法向量，即則ut1，d正確12如圖(1)是一副直角三角板的示意圖現(xiàn)將兩三角板拼成直二面角，得到四面體abcd，如圖(2)所示，則下列結(jié)論中正確的是()a0b平面bcd的法向量與平面acd的法向量垂直c異面直線bc與ad所成的角為60d直線dc與平面abc所成的角為30ad以b為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)閤軸，y軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

9、所示設(shè)bd2，則b(0,0,0)，d(2,0,0)，c(0,2，0)，a(0，)，(2,0,0)，(0，)，(0,2，0)，(2，)，(2,2，0)(2,0,0)(0，)0，a正確；易得平面bcd的一個(gè)法向量為n1(0,0，)，平面acd的一個(gè)法向量為n2(，1,1)，n1n20，b錯(cuò)誤；|cos，|，c錯(cuò)誤；易得平面abc的一個(gè)法向量為(2,0,0)，設(shè)直線dc與平面abc所成的角為，則sin ，故d正確三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在題中的橫線上)13已知(1,5，2)，(3,1，z)，若bc，(x1，y，3)，且平面abc，則_.，0，352z0，z4.(x1，y

10、，3)，且平面abc，即解得故.14已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c共面，則_.易知a與b不共線，由共面向量定理可知，要使a，b，c共面，則必存在實(shí)數(shù)x，y，使得cxayb，即解得15已知a(0,0，x)，b(1，2)，c(x，2)三點(diǎn)，點(diǎn)m在平面abc內(nèi)，o是平面abc外一點(diǎn)，且x2x4，則x_，與的夾角為_(kāi)(本題第一空2分，第二空3分)1由a，b，c，m四點(diǎn)共面可知x2x41，x1.a(0,0,1)，c(1，2)，(1，1)，(1，1)，cos，即與的夾角為.16如圖，等邊三角形abc與正方形abde有一公共邊ab，二面角cabd的余弦值為，m，n分別是

11、ac，bc的中點(diǎn)，則em，an所成角的余弦值為_(kāi)如圖所示，過(guò)點(diǎn)c作co平面abde，垂足為o，取ab的中點(diǎn)f，連接cf，of，oa，ob，則cfo為二面角cabd的平面角，所以coscfo.設(shè)ab1，則cf，of，oc，所以o為正方形abde的中心如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則e，a，m，n，所以，所以cos，.四、解答題(本題共6小題，共70分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17(本小題滿(mǎn)分10分)已知空間三點(diǎn)a(2,0,2)，b(1,1,2)，c(3,0,4)，設(shè)a，b.(1)若|c|3，且c，求向量c；(2)求向量a與向量b的夾角的余弦值；(3)若kab與ka2b互相垂直，求實(shí)數(shù)k的

12、值解(1)c，存在實(shí)數(shù)m，使得cmm(2，1,2)(2m，m,2m)|c|3，3|m|3，m1.c(2，1,2)或c(2,1，2)(2)a(1,1,0)，b(1,0,2)，ab(1,1,0)(1,0,2)1.又|a|，|b|，cosa，b，即向量a與向量b的夾角的余弦值為.(3)kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)，(k1，k,2)(k2，k，4)(k1)(k2)k280，k2或k.當(dāng)kab與ka2b互相垂直時(shí)，實(shí)數(shù)k的值為2或.18.(本小題滿(mǎn)分12分)如圖，在直三棱柱abca1b1c1中，abc90，bc2，cc14，點(diǎn)e在線段bb1上，且eb11，d，f，g分別為cc1，c1

13、b1，c1a1的中點(diǎn)(1)求證：b1d平面abd；(2)求證：平面egf平面abd解如圖，以b為坐標(biāo)原點(diǎn)，ba，bc，bb1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系bxyz，則b(0,0,0)，d(0,2,2)，b1(0,0,4)(1)設(shè)baa，則a(a,0,0)所以(a,0,0)，(0,2,2)，(0,2，2)所以0，0440.所以b1dba，b1dbd又babdb，所以b1d平面abd(2)由題意及(1)，知e(0,0,3)，g，f(0,1,4)，所以，(0,1,1)所以0220，0220.所以b1deg，b1def.又egefe，所以b1d平面egf.由(1)，知b1d平面abd

14、，故平面egf平面abd19(本小題滿(mǎn)分12分)如圖，已知四邊形abcd為矩形，四邊形abef為直角梯形，faab，adaffe1，ab2，adbe.(1)求證：bede；(2)求點(diǎn)f到平面cbe的距離解四邊形abcd為矩形，adab，又adbe，abbeb，ad平面abef，又ad平面abcd，平面abcd平面abef.faab，平面abcd平面abefab，fa平面abcdfaad(1)證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則b(0,2,0)，c(1,2,0)，d(1,0,0)，e(0,1,1)，f(0,0,1)，(0，1,1)，(1,1,1)，0(1)(1)1110，bede.(2)由(1)得

15、(1,0,0)，(0，1,1)，(0,1,0)，設(shè)n(x，y，z)是平面cbe的法向量，則由得令y1，得z1，n(0,1,1)是平面cbe的一個(gè)法向量設(shè)點(diǎn)f到平面cbe的距離為d，則d.點(diǎn)f到平面cbe的距離為.20(本小題滿(mǎn)分12分)如圖，在直三棱柱a1b1c1abc中，acab，acab4，aa16，點(diǎn)e，f分別為ca1，ab的中點(diǎn)(1)證明：ef平面bcc1b1；(2)求b1f與平面aef所成角的正弦值解(1)證明：如圖，連接ec1，bc1，因?yàn)槿庵鵤1b1c1abc為直三棱柱，所以e為ac1的中點(diǎn)又因?yàn)閒為ab的中點(diǎn)，所以efbc1.又ef平面bcc1b1，bc1平面bcc1b1，所

16、以ef平面bcc1b1.(2)以a1為原點(diǎn)，a1c1，a1b1，a1a所在直線分別為x、y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系a1xyz，則a(0,0,6)，b1(0,4,0)，e(2,0,3)，f(0,2,6)，所以(0，2,6)，(2,0，3)，(0,2,0)，設(shè)平面aef的法向量為n(x，y，z)，則令x3，得n(3,0,2)，記b1f與平面aef所成角為，則sin |cos，n|.21(本小題滿(mǎn)分12分)如圖所示的幾何體中，bebc，eaac，bc2，ac2，acb45，adbc，bc2ad(1)求證：ae平面abcd；(2)若abe60，點(diǎn)f在ec上，且滿(mǎn)足ef2fc，求平面fad與

17、平面adc的夾角的余弦值解(1)證明：在abc中，bc2，ac2，acb45，由余弦定理可得ab2bc2ac22bcaccos 454，所以ab2(負(fù)值舍去)，因?yàn)閍c2ab2bc2，所以abc是直角三角形，abbc又bebc，abbeb，所以bc平面abe.因?yàn)閍e平面abe，所以bcae，因?yàn)閑aac，acbcc，所以ae平面abcd(2)由題易得eb2ab4，由(1)知，bc平面abe，所以平面bec平面abe，如圖，以b為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)b且垂直于平面bec的直線為z軸，be，bc所在直線分別為x，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系bxyz，則c(0,2,0)，e(4,0,0)，a(1,0，)，d(1

18、,1，)，因?yàn)閑f2fc，所以f，易知(0,1,0)，設(shè)平面fad的法向量為n(x，y，z)，則即令z，則x9，所以n(9,0，)由(1)知ea平面abcd，所以(3,0，)為平面abcd的一個(gè)法向量設(shè)平面fad與平面adc的夾角為，則cos ，所以平面fad與平面adc的夾角的余弦值為.22(本小題滿(mǎn)分12分)如圖，在四棱錐pabcd中，底面abcd是邊長(zhǎng)為2的菱形，dab60，adp90，平面adp平面abcd，f為棱pd的中點(diǎn)(1)在棱ab上是否存在一點(diǎn)e，使得af平面pce？并說(shuō)明理由；(2)當(dāng)二面角dfcb的余弦值為時(shí)，求直線pb與平面abcd所成的角解(1)在棱ab上存在點(diǎn)e，使得af平面pce，且e為棱ab的中點(diǎn)理由如下：如圖，取pc的中點(diǎn)q，連接eq，fq，由題意得，fqdc且fqcd，因?yàn)閍ecd且aecd，所以aefq且aefq.所以四邊形aeqf為平行四邊形所以afeq.又eq平面pce，af平面pce，所以af平面pce.(2)連接bd，de.由題意知abd為正三角形，所以edab，即edcd，又adp90，所以pdad，且平面adp平面abcd，