第4章離散傅里葉變換

1、2021-6-20第4章離散傅里葉變換 第第4章章 圖像變換圖像變換 n4.2 離散余弦變換離散余弦變換 n4.3 K-L變換變換 n4.4 小波變換小波變換 2 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 第第4章章 圖像變換圖像變換 為了有效和快速地對圖像進行處理和分析，常常需為了有效和快速地對圖像進行處理和分析，常常需 要將原定義在圖像空間的圖像以某種形式轉換到其他要將原定義在圖像空間的圖像以某種形式轉換到其他 空間，并且利用圖像在這個空間的特有性質進行處理，空間，并且利用圖像在這個空間的特有性質進行處理， 然后通過逆變換操作轉換到圖像空間。然后通過逆變換操作轉換到圖像空間。 本章討論圖像變

2、換重點介紹圖像處理中常用的正交本章討論圖像變換重點介紹圖像處理中常用的正交 變換，如傅里葉變換、離散余弦變換和小波變換等。變換，如傅里葉變換、離散余弦變換和小波變換等。 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 設設f(x)f(x)為為x x的函數(shù)，如果的函數(shù)，如果f(x)f(x)滿足下面的狄里赫萊條件：滿足下面的狄里赫萊條件： (1)(1)具有有限個間斷點；具有有限個間斷點； (2)(2)具有有限個極值點；具有有限個極值點； (3)(3)絕對可積。絕對可積。 則定義則定義f(x)f(x)的傅里葉變換為：的傅里葉變換為： dxexfuF uxj2 )()( 4 2021-6-20第4章離散傅里葉

3、變換 從從F(u)F(u)恢復恢復f(x)f(x)稱為傅里葉反變換，定義為：稱為傅里葉反變換，定義為： dueuFxf uxj2 )()( 上述二式形成傅里葉變換對，記做上述二式形成傅里葉變換對，記做 ： )()(uFxf 函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的傅里葉變換一般是一個復數(shù)，它可以由下式表示：的傅里葉變換一般是一個復數(shù)，它可以由下式表示： F(u)=R(u)+jI(u)F(u)=R(u)+jI(u) R(u),I(u) R(u),I(u)分別為分別為F(u)F(u)的實部和虛部。的實部和虛部。 寫成指數(shù)形式：寫成指數(shù)形式： ju F uF u e 5 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 F

4、(u)為復平面上的向量，它有幅度和相角：為復平面上的向量，它有幅度和相角： 幅度： 2/122 )()(| )(|uIuRuF 相角： )( )( arctan)( uR uI u 幅度函數(shù)|F(u)|稱為f(x)的傅里葉譜或頻率譜，(u)稱為 相位譜。 )()(| )(|)( 222 uIuRuFuE 稱為f(x)的能量譜或稱為功率譜。 6 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 2. 2.二維連續(xù)傅里葉變換二維連續(xù)傅里葉變換 傅里葉變換可以推廣到兩個變量連續(xù)可積的函數(shù)傅里葉變換可以推廣到兩個變量連續(xù)可積的函數(shù) f(x,y)f(x,y)若若f(x,y)f(x,y)滿足狄里赫萊條件，則存在如下

5、傅里葉滿足狄里赫萊條件，則存在如下傅里葉 變化對：變化對： ),(),(),( 22 vuIvuRvuE dxdyeyxfvuF vyuxj)(2 ),(),( 二維函數(shù)的傅里葉譜、相位和能量譜分別表示為： ),(),(| ),(| 22 vuIvuRvuF ),( ),( arctan),( vuR vuI vu dudvevuFyxf vyuxj)(2 ),(),( 7 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 1.1.一維離散傅里葉變換一維離散傅里葉變換 對一個連續(xù)函數(shù)f(x)等間隔采樣可得到一個離散序列。 設共采了N個點，則這個離散序列可表示為 f(0),f(1),f(N-1)。借助這種

6、表達，并令x為離散空域 變量，u為離散頻率變量，可將離散傅里葉變換定義為： 2 1 0 ( )( ) ux N j N x F uf x e 8 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 傅里葉反變換定義由表示：傅里葉反變換定義由表示： 2 1 0 1 ( )( ) ux N j N u f xF u e N 可以證明離散傅里葉變換對總是存在的。 其傅里葉譜、相位和能量譜如下： 2/122 )()(| )(|uIuRuF )( )( arctan)( uR uI u )()(| )(|)( 222 uIuRuFuE 9 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 2.2.離散傅里葉變換（離散傅里葉變

7、換（DFTDFT）的矩陣表示法）的矩陣表示法 由由DFTDFT的定義，的定義，N N4 4的原信號序列的原信號序列 f(x)=f(0),f(1),f(2),f(3)f(x)=f(0),f(1),f(2),f(3)的傅里葉變換的傅里葉變換F(u)F(u)展開為：展開為： 0000 0:(0) (0)(1)(2)(3)uFfefefefe 23 22 0 2 1:(1) (0)(1)(2)(3) jj j uFfefefefe 46 22 2 0 2 2:(2) (0)(1)(2)(3) jj j uFfefefefe 69 22 3 0 2 3:(3) (0)(1)(2)(3) jj j uFf

8、efefefe 10 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 將將e指數(shù)項化簡可寫成矩陣形式：指數(shù)項化簡可寫成矩陣形式： 0000 3 0 22 00 3 0 22 (0)(0) (1)(1) (2)(2) (3)(3) jj j jj jj j eeee Ff Ffeeee Ffeeee Ff eeee 記作： FWf 可用復平面的單位圓來求W的各元素。如圖4-1所示。當N=4時， 參看圖4.1(a)。 把單位圓分為N=4份，則正變換矩陣第u行每次移動u份得到該 行系數(shù)。 11 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 0 4 W 1 4 W 2 4 W 3 4 W 0 8 W 1 8 W 2

9、 8 W 3 8 W 4 8 W 5 8 W 6 8 W 7 8 W (a) (b) 圖4.1 復平面單位圓 (a)N4 (b)N8 12 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 0000 0123 0202 0321 1111 11 1111 11 WWWW jjWWWW WWWW jjWWWW 同理N=8見圖4-1(b)的單位圓。N=8的W陣應把單位圓分 為8份，順時順次轉0份,1份、,7份，可得W陣為: 13 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 00000000 01234567 02460246 03614725 04040404 05274163 06420642 0765432

10、1 11111111 1111 11 2222 1111 jjjj jj WWWWWWWW WWWWWWWW jjj WWWWWWWW WWWWWWWW W WWWWWWWW WWWWWWWW WWWWWWWW WWWWWWWW 1111 11 2222 11111111 1111 11 2222 1111 1111 11 2222 j jjjj jj jjjj jj jjjj jjjj jj 14 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 2.2.二維離散傅里葉變換二維離散傅里葉變換 一幅靜止的數(shù)字圖像可看做是二維數(shù)據(jù)陣列。因此，一幅靜止的數(shù)字圖像可看做是二維數(shù)據(jù)陣列。因此， 數(shù)字圖像處理主要

11、是二維數(shù)據(jù)處理。數(shù)字圖像處理主要是二維數(shù)據(jù)處理。 如果一幅二維離散圖像如果一幅二維離散圖像f(x,y)f(x,y)的大小為的大小為M M* *N N，則二，則二 維傅里葉變換可用下面二式表示。維傅里葉變換可用下面二式表示。 11 2 () 00 0,1,2,1 ( , )( , ) 0,1,2,1 uxvy MN j MN xy uM F u vf x y e vN 11 2 () 00 0,1,2,1 1 ( , )( , ) 0,1,2,1 uxvy MN j MN uv xM f x yF u v e yNMN 15 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 在圖像處理中，一般總是選擇方形

12、陣列，所以通常情在圖像處理中，一般總是選擇方形陣列，所以通常情 況下總是況下總是M=NM=N。正逆變換對具有下列對稱的形式：。正逆變換對具有下列對稱的形式： 11 2 () 00 1 ( , )( , ),0,1,2,1 ux vy NN j N xy F u vf x y eu vN N 11 2 () 00 1 ( , )( , ),0,1,2,1 ux vy NN j N uv f x yF u v ex yN N 16 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 3. 3.二維離散傅里葉變換的性質二維離散傅里葉變換的性質 二維離散傅里葉變換有一些重要的性質，這些性質為二維離散傅里葉變換有一

13、些重要的性質，這些性質為 使用提供了極大的方便。使用提供了極大的方便。 1 1）分離性）分離性 二維離散傅里葉變換具有分離性二維離散傅里葉變換具有分離性 11 2 () 00 1 ( , )( , ) ux vy NN j N xy F u vf x y e N 11 22 00 1 ( , ) uxvy NN jj NN xy ef x y e N 1 2 0 1 ( , ) ux N j N x F x v e N 1 2 0 1 ( , )( , ) vy N j N y F x vNf x y e N 17 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 分離性質的主要優(yōu)點是可借助一系列一維傅

14、里葉變換分兩步 求得F(u,v)。第1步，沿著f(x,y)的每一行取變換，將其結果 乘以1/N,取得二維函數(shù)F(x,v);第2步，沿著F(x,v)的每一列 取變換，再將結果乘以1/N,就得到了F(u,v)。這種方法是先 行后列。如果采用先列后行的順序，其結果相同。 如圖4.6所示。 18 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 (0,0) f(x,y) N-1 N-1 x y (0,0) F(x,v) N-1 N-1 v x (0,0) F(u,v) N-1 N-1 v u 行變換列變換 圖4.6 把二維傅里葉變換作為一系列一維的計算方法 19 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 對逆變換

15、對逆變換f(x,y)也可以類似地分兩步進行。也可以類似地分兩步進行。 11 2 () 00 11 22 00 1 2 0 ( , )( , ) ( , ) ( , ) uxvy MN j MN uv uxvy NN jj NN uv ux N j N u f x yF u v e eF u v e f u y e 20 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 2 2）平移性）平移性 傅里葉變換和逆變換對的位移性質是指：傅里葉變換和逆變換對的位移性質是指： )(2 00 00 ),(),( N yvxu j eyxfvvuuF N vyux j evuFyyxxf 00 2 00 ),(),(

16、由f(x,y)乘以指數(shù)項并取其乘積的傅立葉變換，使頻率 平面的原點位移至(u0,v0)。同樣地，以指數(shù)項乘以F(u,v)并 取其反變換，將空間域平面的原點位移至(x0,y0)。當 u0=v0=N/2時，指數(shù)項為： 00 2 () ()() ( 1) u x v y j jx yx y N ee 21 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 即為即為：) 2 , 2 () 1)(,( )( N v N uFyxf yx 這樣，用（-l）(x+y)乘以f(x,y)就可以將f(x,y)的傅里 葉變換原點移動到N*N頻率方陣的中心，這樣才能看到整個 譜圖。另外，對f(x,y)的平移不影響其傅里葉變換的

17、幅值。 此外，與連續(xù)二維傅里葉變換一樣，二維離散傅里葉變 換也具有周期性、共軛對稱性、線性、旋轉性、相關定理、 卷積定理、比例性等性質。這些性質在分析及處理圖像時有 重要意義。 22 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 3.DFT 3.DFT應用中的問題應用中的問題 1 1）頻譜的圖像顯示）頻譜的圖像顯示 DFTDFT在計算機圖像處理中計算的中間過程和結果要圖在計算機圖像處理中計算的中間過程和結果要圖 像化。對像化。對DFTDFT來講不但來講不但f(x,y)f(x,y)是圖像是圖像,F(u,v),F(u,v)也要用圖像來也要用圖像來 顯示其結果。顯示其結果。 譜圖像就是把譜圖像就是把|F(

18、u,v)|F(u,v)|作為亮度顯示在屏幕上。但在作為亮度顯示在屏幕上。但在 傅里葉變換中傅里葉變換中F(u,v)F(u,v)隨隨u,vu,v的衰減太快，其高頻項只看到的衰減太快，其高頻項只看到 一兩個峰，其余皆不清楚。一兩個峰，其余皆不清楚。 由于人的視覺可分辨灰度有限，為了得到清晰的顯示由于人的視覺可分辨灰度有限，為了得到清晰的顯示 效果，即為了顯示這個頻譜，可用下式處理，設顯示信號效果，即為了顯示這個頻譜，可用下式處理，設顯示信號 為為D(u,v), D(u,v), |D(u,v)log(1F(u,v) ) 23 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 即用顯示即用顯示D(u,v)D(u

19、,v)來代替只顯示來代替只顯示|F(u,v)|F(u,v)|不夠清楚的補救不夠清楚的補救 方法。方法。 譜的顯示加深了對圖像的視覺理解。如一幅遙感圖像譜的顯示加深了對圖像的視覺理解。如一幅遙感圖像 受正弦網(wǎng)紋的干擾，從頻譜圖上立即可指出干擾的空間頻受正弦網(wǎng)紋的干擾，從頻譜圖上立即可指出干擾的空間頻 率并可方便地從頻域去除。率并可方便地從頻域去除。 如圖如圖4.74.7為圖像的傅里葉頻譜圖像為圖像的傅里葉頻譜圖像 24 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 圖4.7 圖像的傅里葉頻譜圖像，原始圖像，(b) 頻譜直接顯示，(c)頻譜經(jīng)過變換后的結果 (b) (c) a. a. 25 2021-6

20、-20第4章離散傅里葉變換 2. 2.頻譜圖像的移中顯示頻譜圖像的移中顯示 常用的傅里葉正反變換公式都是以零點為中心的公式，常用的傅里葉正反變換公式都是以零點為中心的公式， 其結果中心最亮點卻在頻譜圖像的左上角，作為周期性函數(shù)其結果中心最亮點卻在頻譜圖像的左上角，作為周期性函數(shù) 其中心最亮點將分布在四角，為了觀察方便，將頻譜圖像的其中心最亮點將分布在四角，為了觀察方便，將頻譜圖像的 零點移到顯示的中心。零點移到顯示的中心。 當周期為當周期為N N時，應在頻域移動時，應在頻域移動N/2N/2。利用。利用DFTDFT的平移性質，的平移性質， 先把原圖像先把原圖像f(x,y)f(x,y)乘以乘以(-

21、1)(-1)(x+y) (x+y)然后再進行傅里葉變換，其 然后再進行傅里葉變換，其 結果譜就是移結果譜就是移N/2N/2的的F(u,v)F(u,v)。圖。圖4-84-8所示。所示。 應當注意，顯示是為了觀看，而實際應當注意，顯示是為了觀看，而實際F(u,v)F(u,v)數(shù)據(jù)仍保留數(shù)據(jù)仍保留 為原來的值。為原來的值。 26 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 圖4.8 頻譜圖像的移中顯示 (a)未移至中心的 頻譜圖像，(b)移至中心后的頻譜圖像 (a)(b) 27 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 3. 3.旋轉性旋轉性 應用中，對兩幅圖像進行傅里葉變換后，為求兩幅圖應用中，對兩幅圖像進行傅里葉變換后，為求兩幅圖 像的相似性，常須對頻域圖進行旋轉尋找匹配。此時像的相似性，常須對頻域圖進行旋轉尋找匹配。此時FTFT公公 式常用極坐標表示為傅里葉變換對。設式常用極坐標表示為傅里葉變換對。設f(x,y)f(x,y)為原圖中任為原圖中任 一點的坐標，一點的坐標， ，為為(x,y)(x,y)點與點與x x軸的夾角，軸的夾角， 則傅里葉變換對為：則傅里葉變換對為： sincosyx ),(),(fRF 若空域 sin cos y x sin cos Rv Ru 頻域 28 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 則旋轉不變性質為：則旋轉不變性質為： ),(),( 00 fR