2018年高考數(shù)學16 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)教學案 理

1、學必求其心得，業(yè)必貴于專精專題16 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)1。了解任意角的概念；2.了解弧度制的概念，能進行弧度與角度的互化；3.理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義 1角的概念的推廣（1)定義：角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形(2）分類(3)終邊相同的角:所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合s|k360,kz2弧度制的定義和公式（1）定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.(2）公式角的弧度數(shù)公式|（弧長用l表示)角度與弧度的換算1 rad；1 rad弧長公式弧長l|r扇形面積公式slrr23

2、.任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點p(x，y)，那么y叫做的正弦，記作sin x叫做的余弦,記作cos 叫做的正切，記作tan 各象限符號三角函數(shù)線有向線段mp為正弦線有向線段om為余弦線有向線段at為正切線高頻考點一角的概念及其集合表示【例1】 （1）若角是第二象限角,則是(）a.第一象限角 b.第二象限角c。第一或第三象限角 d。第二或第四象限角（2)終邊在直線yx上，且在2，2）內(nèi)的角的集合為_。解析（1）是第二象限角，2k2k，kz，kk，kz.當k為偶數(shù)時，是第一象限角；當k為奇數(shù)時,是第三象限角.【方法規(guī)律】（1）利用終邊相同的角的集合

3、可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合,然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需的角。（2)確定k，(kn)的終邊位置的方法先用終邊相同角的形式表示出角的范圍，再寫出k或的范圍,然后根據(jù)k的可能取值討論確定k或的終邊所在位置。【變式探究】 （1）設(shè)集合m,n，那么(）a。mn b.mnc.nm d.mn(2)集合中的角所表示的范圍（陰影部分）是（)解析（1）法一由于m,45，45，135，225，n,45，0,45，90，135，180，225，顯然有mn，故選b.法二由于m中，x18045k9045(2k1）45，2k1是奇數(shù);而n中，x18045k4545(k1

4、）45，k1是整數(shù)，因此必有mn，故選b.(2)當k2n(nz)時,2n2n，此時表示的范圍與表示的范圍一樣；當k2n1(nz)時,2n2n，此時表示的范圍與表示的范圍一樣，故選c。答案(1）b（2)c高頻考點二弧度制的應用【例2】 已知一扇形的圓心角為，半徑為r，弧長為l。（1）若60,r10 cm,求扇形的弧長l；（2)已知扇形的周長為10 cm，面積是4 cm2，求扇形的圓心角;（3)若扇形周長為20 cm，當扇形的圓心角為多少弧度時，這個扇形的面積最大？【方法規(guī)律】應用弧度制解決問題的方法(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度.(2）求扇形面積最大值的問題時,常

5、轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決。(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形?！咀兪教骄俊?已知一扇形的圓心角為 （0），所在圓的半徑為r.（1）若90,r10 cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積；(2）若扇形的周長是一定值c (c0)，當為多少弧度時,該扇形有最大面積？解（1)設(shè)弧長為l，弓形面積為s弓，則90,r10，l105(cm),s弓s扇s5101022550(cm2)。（2)扇形周長c2rl2rr，r，s扇r2。當且僅當24，即2時，扇形面積有最大值.高頻考點三三角函數(shù)的概念【例3】 （1)已知角的終邊與單位圓x2y21交于點p，則

6、cos 2等于（）a. b。 c. d。1（2）已知角的終邊過點p（8m，6sin 30），且cos ，則m的值為（）a. b. c. d。解析（1）根據(jù)題意可知，cos ，cos 22cos2121。(2)r，cos ，m0，,因此m.答案(1)a（2)b【方法規(guī)律】(1）利用三角函數(shù)的定義,求一個角的三角函數(shù)值，需確定三個量:角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標x,縱坐標y，該點到原點的距離r.(2)利用三角函數(shù)線解三角不等式時要注意邊界角的取舍,結(jié)合三角函數(shù)的周期性正確寫出角的范圍.【變式探究】 （1)設(shè)是第三象限角,且cos ，則是(）a.第一象限角 b。第二象限角c.第三象限角 d

7、.第四象限角(2）滿足cos 的角的集合為_。解析（1)由是第三象限角，知為第二或第四象限角,cos ，cos 0，綜上知為第二象限角。高頻考點四三角函數(shù)線例4、滿足cos的角的集合為_答案解析作直線x交單位圓于c、d兩點，連接oc、od，則oc與od圍成的區(qū)域(圖中陰影部分）即為角終邊的范圍,故滿足條件的角的集合為.【感悟提升】(1)利用三角函數(shù)的定義，求一個角的三角函數(shù)值，需確定三個量：角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標x，縱坐標y，該點到原點的距離r。（2)根據(jù)三角函數(shù)定義中x、y的符號來確定各象限內(nèi)三角函數(shù)的符號，理解并記憶： “一全正、二正弦、三正切、四余弦”（3)利用三角函數(shù)線

8、解三角不等式時要注意邊界角的取舍,結(jié)合三角函數(shù)的周期性正確寫出角的范圍【變式探究】（1)已知角的余弦線是單位長度的有向線段，那么角的終邊在()ax軸上by軸上c直線yx上d直線yx上（2)已知角的終邊經(jīng)過點(3a9，a2），且cos0，sin0，則實數(shù)a的取值范圍是()a（2,3 b(2，3)c2，3) d2，3答案（1)a（2）a解析（1）1,角的終邊在x軸上(2）cos0，sin0，角的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上2a3。故選a.高頻考點五、數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的應用例5、(1）如圖，在平面直角坐標系xoy中，一單位圓的圓心的初始位置在（0，1),此時圓上一點p的位置在(0，0)，

9、圓在x軸上沿正向滾動當圓滾動到圓心位于c（2,1)時，的坐標為_(2)(2015合肥調(diào)研）函數(shù)ylg（34sin2x）的定義域為_解析（1）如圖所示，過圓心c作x軸的垂線，垂足為a，過p作x軸的垂線與過c作y軸的垂線交于點b。因為圓心移動的距離為2，所以劣弧2，即圓心角pca2，則pcb2，所以|pb|sin(2）cos 2，cbcos(2）sin 2，所以xp2cb|2sin 2,yp1pb1cos 2，所以(2sin 2，1cos 2)（2）34sin2x0，sin2x，sin x。利用三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示），x（kz）答案（1）（2sin 2，1cos 2

10、）(2)（kz)【特別提醒】（1)解決和旋轉(zhuǎn)有關(guān)的問題要抓住旋轉(zhuǎn)過程中角的變化，結(jié)合弧長公式、三角函數(shù)定義尋找關(guān)系(2)利用三角函數(shù)線解三角不等式要在單位圓中先作出臨界情況，然后觀察適合條件的角的位置【方法技巧】1在利用三角函數(shù)定義時，點p可取終邊上任一點，如有可能則取終邊與單位圓的交點|op|r一定是正值2三角函數(shù)符號是重點，也是難點，在理解的基礎(chǔ)上可借助口訣:一全正,二正弦,三正切，四余弦3在解簡單的三角不等式時，利用單位圓及三角函數(shù)線是一個小技巧【易錯點睛】1注意易混概念的區(qū)別：象限角、銳角、小于90的角是概念不同的三類角第一類是象限角，第二、第三類是區(qū)間角2角度制與弧度制可利用180r

11、ad進行互化,在同一個式子中，采用的度量制度必須一致,不可混用3已知三角函數(shù)值的符號確定角的終邊位置不要遺漏終邊在坐標軸上的情況1.【2016高考新課標3理數(shù)】在中，邊上的高等于，則（ ）（a） （b） （c） (d）【答案】c2.【2016高考新課標2理數(shù)】若，則( ）（a） （b) （c） （d)【答案】d【解析】 ,且,故選d?！?015高考新課標1，理2】 =（ ） （a） (b) （c) （d）【答案】d【解析】原式= =，故選d.（2014新課標全國卷 如圖1.1，圓o的半徑為1,a是圓上的定點，p是圓上的動點，角x的始邊為射線oa，終邊為射線op，過點p作直線oa的垂線，垂足為m

12、，將點m到直線op的距離表示成x的函數(shù)f(x）,則yf（x）在0，上的圖像大致為（）圖1。1a bc d【答案】c【解析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，點m(cos x，0)，opm的面積為sin xcos x，在直角三角形opm中,根據(jù)等積關(guān)系得點m到直線op的距離，即f(x）|sin xcos xsin 2x，且當x時上述關(guān)系也成立， 故函數(shù)f（x)的圖像為選項c中的圖像（2013四川卷）設(shè)sin 2sin ，,則tan 2的值是_【答案】1。給出下列四個命題：是第二象限角；是第三象限角;400是第四象限角；315是第一象限角.其中正確的命題有（）a。1個 b。2個 c。3個 d.4個解析是第三象限

13、角，故錯誤.，從而是第三象限角,正確.40036040，從而正確。31536045，從而正確.答案c2.已知點p(tan ，cos ）在第三象限，則角的終邊所在象限是（)a。第一象限 b。第二象限c.第三象限 d.第四象限解析由題意知tan 0，cos 0,是第二象限角.答案b3.已知角的終邊經(jīng)過點p(4,m），且sin ，則m等于（)a。3 b.3 c. d.3解析sin ,解得m3。答案b4.點p從（1，0)出發(fā)，沿單位圓逆時針方向運動弧長到達q點，則q點的坐標為()a.(，) b。（，)c。(，） d.（，)解析由三角函數(shù)定義可知q點的坐標(x，y)滿足xcos ，ysin 。答案a5.

14、已知角的終邊經(jīng)過點（3a9，a2），且cos 0，sin 0。則實數(shù)a的取值范圍是(）a.（2,3 b。(2，3）c。2，3） d.2,3解析cos 0，sin 0，角的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上。2a3.答案a6.若一圓弧長等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長，則其圓心角（0，）的弧度數(shù)為（）a. b。 c。 d.2解析設(shè)圓半徑為r，則其內(nèi)接正三角形的邊長為r,所以rr,.答案c7.給出下列命題：第二象限角大于第一象限角；三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角;不論是用角度制還是用弧度制度量一個角，它們與扇形的半徑的大小無關(guān)；若sin sin ，則與的終邊相同；若cos 0，則是第二或第三象

15、限的角.其中正確命題的個數(shù)是（)a。1 b.2 c。3 d。48.已知角的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y2x上,則cos 2()a. b.c. d.解析由題意知，tan 2,即sin 2cos ，將其代入sin2cos21中可得cos2，故cos 22cos21。答案b9。已知圓o：x2y24與y軸正半軸的交點為m,點m沿圓o順時針運動弧長到達點n，以on為終邊的角記為,則tan ()a.1 b.1 c。2 d。2解析圓的半徑為2,的弧長對應的圓心角為，故以on為終邊的角為，故tan 1.答案b10。設(shè)是第二象限角,p（x，4)為其終邊上的一點,且cos x，則tan 等

16、于()a。 b。 c。 d。解析因為是第二象限角，所以cos x0,即x0.又cos x，解得x3，所以tan .答案d11.已知角的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內(nèi)(不包括邊界），則角用集合可表示為_.解析在0，2)內(nèi),終邊落在陰影部分角的集合為，所以，所求角的集合為（kz).答案(kz）12.設(shè)p是角終邊上一點，且|op1，若點p關(guān)于原點的對稱點為q,則q點的坐標是_。解析由已知p(cos ，sin ）,則q（cos ，sin )。答案（cos ，sin )13。已知扇形的圓心角為,面積為，則扇形的弧長等于_.14.若390角的終邊上有一點p(a，3），則a的值是_.解析tan 390，又tan 390tan（36030)tan 30。，a3。答案315。函數(shù)y的定義域為_.解析2sin x10，sin x。由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影所示)。x(kz）。答案(kz)16。如圖，在平面直角坐標系xoy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0，1），此時圓上一點p的位置在（0,0）,圓在x軸上沿正向滾動，當圓滾動到圓心位于（2，1）時，的坐標為_