2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.1 合情推理與演繹推理 2.1.1 合情推理教學(xué)案 2-2

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精21。1合情推理預(yù)習(xí)課本p7077,思考并完成下列問題 （1）歸納推理的含義是什么?有怎樣的特征?（2）類比推理的含義是什么？有怎樣的特征？（3）合情推理的含義是什么？1歸納推理和類比推理點(diǎn)睛(1）歸納推理與類比推理的共同點(diǎn)：都是從具體事實(shí)出發(fā)，推斷猜想新的結(jié)論（2）歸納推理的前提和結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然的，結(jié)論不一定正確；而類比推理的結(jié)果具有猜測(cè)性,不一定可靠，因此不一定正確2合情推理1判斷（正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”）(1)統(tǒng)計(jì)學(xué)中，從總體中抽取樣本，然后用樣本估計(jì)總體,這種估計(jì)屬于歸納推理（）(2)類比推理得到的結(jié)論可以作為定理應(yīng)用()(3)由個(gè)別到一般的推理為

2、歸納推理（）答案：（1)（2)（3）2由“若ab，則acbc得到“若ab,則acbc”采用的是（）a歸納推理b演繹推理c類比推理 d數(shù)學(xué)證明答案：c3數(shù)列5,9，17,33，x,中的x等于_答案：65歸納推理在數(shù)、式中的應(yīng)用典例(1)觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511,，則a10b10()a28b76c123 d199(2)已知f(x)，設(shè)f1(x)f(x)，fn(x）fn1(fn1(x)）(n1，且nn*）,則f3(x）的表達(dá)式為_，猜想fn(x）(nn*)的表達(dá)式為_解析（1）利用歸納法:ab1，a2b23，a3b3314，a4b4437，a5b5741

3、1，a6b611718，a7b7181129，a8b8291847，a9b9472976，a10b107647123，規(guī)律為從第三組開始，其結(jié)果為前兩組結(jié)果的和(2)f(x），f1(x).又fn（x)fn1(fn1(x）)，f2（x）f1（f1（x)，f3(x）f2(f2（x)），f4(x）f3（f3（x)，f5（x)f4（f4（x)），根據(jù)前幾項(xiàng)可以猜想fn（x).答案(1）c(2)f3（x）fn（x）1已知等式或不等式進(jìn)行歸納推理的方法（1)要特別注意所給幾個(gè)等式(或不等式)中項(xiàng)數(shù)和次數(shù)等方面的變化規(guī)律；（2）要特別注意所給幾個(gè)等式（或不等式)中結(jié)構(gòu)形式的特征;(3)提煉出等式(或不等式)

4、的綜合特點(diǎn)；（4）運(yùn)用歸納推理得出一般結(jié)論2數(shù)列中的歸納推理在數(shù)列問題中，常常用到歸納推理猜測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和（1）通過已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)或前n項(xiàng)和；（2）根據(jù)數(shù)列中的前幾項(xiàng)或前n項(xiàng)和與對(duì)應(yīng)序號(hào)之間的關(guān)系求解；（3）運(yùn)用歸納推理寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式活學(xué)活用1觀察下列等式：2212；222223；222234；222245；照此規(guī)律，2222_.解析：通過觀察已給出等式的特點(diǎn)，可知等式右邊的是個(gè)固定數(shù),后面第一個(gè)數(shù)是等式左邊最后一個(gè)數(shù)括號(hào)內(nèi)角度值分子中的系數(shù)的一半，后面第二個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的下一個(gè)自然數(shù),所以，所求結(jié)果為n(n1），即n（n1）答案：n（n1）2已知數(shù)列a

5、n的前n項(xiàng)和為sn，a13，滿足sn62an1(nn）(1)求a2，a3，a4的值（2)猜想an的表達(dá)式解：(1)因?yàn)閍13，且sn62an1(nn)，所以s162a2a13，解得a2，又s262a3a1a23，解得a3，又s362a4a1a2a33，解得a4。（2）由（1)知a13，a2，a3，a4，猜想an(nn*).歸納推理在幾何中的應(yīng)用典例有兩種花色的正六邊形地面磚，按下圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案,則第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是(）a26 b31c32 d36解析有菱形紋的正六邊形個(gè)數(shù)如下表：圖案123個(gè)數(shù)61116由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)依次組成一個(gè)以6為首項(xiàng),以5

6、為公差的等差數(shù)列，所以第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是65（61）31。故選b。答案b利用歸納推理解決幾何問題的兩個(gè)策略(1）通項(xiàng)公式法:數(shù)清所給圖形中研究對(duì)象的個(gè)數(shù)，列成數(shù)列，觀察所得數(shù)列的前幾項(xiàng)，探討其變化規(guī)律,歸納猜想通項(xiàng)公式(2）遞推公式法：探究后一個(gè)圖形與前一個(gè)圖形中研究對(duì)象的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，把各圖形中研究對(duì)象的個(gè)數(shù)看成數(shù)列，列出遞推公式，再求通項(xiàng)公式活學(xué)活用1用火柴棒擺“金魚，如圖所示：按照上面的規(guī)律,第n個(gè)“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為()a6n2b8n2c6n2 d8n2解析:選c歸納“金魚圖形的構(gòu)成規(guī)律知，后面“金魚”都比它前面的“金魚多了去掉尾巴后6根火柴組成的魚頭部分

7、，故各“金魚”圖形所用火柴棒的根數(shù)構(gòu)成一首項(xiàng)為8，公差是6的等差數(shù)列，所以第n個(gè)“金魚”圖需要的火柴棒的根數(shù)為an6n2.2(陜西高考）觀察分析下表中的數(shù)據(jù)：多面體面數(shù)(f)頂點(diǎn)數(shù)(v）棱數(shù)(e）三棱柱569五棱錐6610立方體6812猜想一般凸多面體中f，v，e所滿足的等式是_解析：三棱柱中5692；五棱錐中66102；立方體中68122,由此歸納可得fve2。答案：fve2類比推理的應(yīng)用典例如圖所示，在abc中，射影定理可表示為a=bcos c+ccos b，其中a，b，c分別為角a，b,c的對(duì)邊，類比上述定理，寫出對(duì)空間四面體性質(zhì)的猜想解如圖所示，在四面體p.abc中,s1，s2，s3，

8、s分別表示pab,pbc，pca，abc的面積,，依次表示平面pab,平面pbc,平面pca與底面abc所成二面角的大小我們猜想射影定理類比推理到三維空間,其表現(xiàn)形式應(yīng)為s=s1cos +s2cos +s3cos 。1類比推理的步驟（1）找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似性(或一致性)(2)用一類對(duì)象的性質(zhì)去推測(cè)另一類對(duì)象的性質(zhì)，從而得出一個(gè)猜想（3）檢驗(yàn)這個(gè)猜想2平面圖形與空間圖形類比如下平面圖形空間圖形點(diǎn)線線面圓球三角形四面體線線角二面角邊長(zhǎng)面積周長(zhǎng)表面積面積體積 活學(xué)活用1在abc中，d為bc的中點(diǎn)，則(+），將命題類比到四面體中去，得到一個(gè)命題為：_.解析：平面中線段的中點(diǎn)類比到空間為

9、四面體中面的重心，頂點(diǎn)與中點(diǎn)的連線類比頂點(diǎn)和重心的連線答案：在四面體a。bcd中,g是bcd的重心，則ag（+）2在rtabc中，若c90，則cos2acos2b1，在空間中，給出四面體性質(zhì)的猜想解：如圖,在rtabc中，cos2acos2 b221.于是把結(jié)論類比到四面體pabc中，我們猜想，三棱錐p。abc中，若三個(gè)側(cè)面pab，pbc，pca兩兩互相垂直，且分別與底面所成的角為，則cos2cos2cos21。層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1觀察圖形規(guī)律，在其右下角的空格內(nèi)畫上合適的圖形為()a。bc。 d解析：選a觀察可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每行、每列中，方、圓、三角三種形狀均各出現(xiàn)一次,每行、每列有兩陰影一空白

10、，即得結(jié)果2下面幾種推理是合情推理的是(）由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì)；由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是180，歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180;教室內(nèi)有一把椅子壞了，則猜想該教室內(nèi)的所有椅子都?jí)牧?；三角形?nèi)角和是180,四邊形內(nèi)角和是360，五邊形內(nèi)角和是540，由此得出凸n邊形的內(nèi)角和是（n2)180(nn，且n3)a bc d解析:選c是類比推理；是歸納推理,都是合情推理3在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為12，則它們的面積比為14，類似地,在空間內(nèi)，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為12，則它們的體積比為（）a12 b14c18 d116解析:選c由平面和空間的知識(shí)，可知面積

11、之比與邊長(zhǎng)之比成平方關(guān)系,在空間中體積之比與棱長(zhǎng)之比成立方關(guān)系，故若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為12，則它們的體積之比為18。4類比平面內(nèi)“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的性質(zhì)，可推出下列空間結(jié)論：垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行；垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行;垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行,則其中正確的結(jié)論是（)a bc d解析：選b根據(jù)立體幾何中線面之間的位置關(guān)系及有關(guān)定理知，是正確的結(jié)論5觀察下列各等式：2,2，2，2,依照以上各式成立的規(guī)律，得到一般性的等式為（)a.2b.2c。2d.2解析:選a觀察發(fā)現(xiàn)：每個(gè)等式的右邊均為2，左邊是兩個(gè)

12、分?jǐn)?shù)相加，分子之和等于8，分母中被減數(shù)與分子相同，減數(shù)都是4，因此只有a正確6觀察下列等式11234934567254567891049照此規(guī)律，第n個(gè)等式為_解析：觀察所給等式，等式左邊第一個(gè)加數(shù)與行數(shù)相同，加數(shù)的個(gè)數(shù)為2n1，故第n行等式左邊的數(shù)依次是n，n1，n2,，（3n2);每一個(gè)等式右邊的數(shù)為等式左邊加數(shù)個(gè)數(shù)的平方，從而第n個(gè)等式為n(n1)（n2)（3n2）（2n1)2。答案：n(n1)(n2）（3n2）(2n1）27我們知道：周長(zhǎng)一定的所有矩形中，正方形的面積最大；周長(zhǎng)一定的所有矩形與圓中，圓的面積最大,將這些結(jié)論類比到空間，可以得到的結(jié)論是_解析:平面圖形與立體圖形的類比:周

13、長(zhǎng)表面積,正方形正方體，面積體積，矩形長(zhǎng)方體，圓球答案：表面積一定的所有長(zhǎng)方體中，正方體的體積最大；表面積一定的所有長(zhǎng)方體和球中，球的體積最大8如圖(甲)是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(簡(jiǎn)稱icme7)的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主體圖案是由如圖(乙）的一連串直角三角形演化而成的，其中oa1a1a2a2a3a7a81，如果把圖(乙)中的直角三角形依此規(guī)律繼續(xù)作下去，記oa1，oa2，oan，的長(zhǎng)度構(gòu)成數(shù)列an，則此數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an_.解析：根據(jù)oa1a1a2a2a3a7a81和圖(乙)中的各直角三角形，由勾股定理，可得a1oa11,a2oa2，a3oa3，,故可歸納推測(cè)出an。答案：9在平面內(nèi)觀察：凸

14、四邊形有2條對(duì)角線，凸五邊形有5條對(duì)角線,凸六邊形有9條對(duì)角線，由此猜想凸n邊形有幾條對(duì)角線？解:因?yàn)橥顾倪呅斡?條對(duì)角線,凸五邊形有5條對(duì)角線，比凸四邊形多3條；凸六邊形有9條對(duì)角線，比凸五邊形多4條，于是猜想凸n邊形的對(duì)角線條數(shù)比凸（n1）邊形多(n2)條對(duì)角線，由此凸n邊形的對(duì)角線條數(shù)為2345(n2），由等差數(shù)列求和公式可得n（n3)（n4,nn)所以凸n邊形的對(duì)角線條數(shù)為n（n3）(n4，nn)10已知f(x）,分別求f（0）f(1） ，f(1）f(2），f(2）f(3），然后歸納猜想一般性結(jié)論，并證明你的結(jié)論解：f(x),所以f（0）f（1），f（1)f（2),f(2)f(3）.歸

15、納猜想一般性結(jié)論；f(x)f（x1）.證明如下：f（x）f(x1）.層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1由代數(shù)式的乘法法則類比得到向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：“mnnm類比得到“abba”；“(mn）tmtnt”類比得到“（ab）cacbc；“（mn)tm(nt)”類比得到“(ab）ca(bc）”；“t0，mtxtmx類比得到“p0，apxpax”；“mn|m|n|”類比得到“ab|a|b|”；“類比得到“其中類比結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()a1b2c3 d4解析：選b由向量的有關(guān)運(yùn)算法則知正確，都不正確，故應(yīng)選b.2類比三角形中的性質(zhì)：(1)兩邊之和大于第三邊；(2）中位線長(zhǎng)等于底邊長(zhǎng)的一半;(3)三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)

16、可得四面體的對(duì)應(yīng)性質(zhì)：（1)任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積；（2)過四面體的交于同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)的平面面積等于該頂點(diǎn)所對(duì)的面面積的；（3)四面體的六個(gè)二面角的平分面交于一點(diǎn)其中類比推理方法正確的有（）a（1) b（1）（2)c(1）(2)(3) d都不對(duì)解析:選c以上類比推理方法都正確，需注意的是類比推理得到的結(jié)論是否正確與類比推理方法是否正確并不等價(jià)，方法正確結(jié)論也不一定正確3觀察下列式子：1,1，1，根據(jù)以上式子可以猜想：1(）a. b。c. d.解析：選c觀察可以發(fā)現(xiàn)，第n(n2）個(gè)不等式左端有n1項(xiàng)，分子為1，分母依次為12,22，32，(n1)2;右端分母為n1,分子成

17、等差數(shù)列，首項(xiàng)為3，公差為2，因此第n個(gè)不等式為1，所以當(dāng)n2 016時(shí)不等式為：1.4設(shè)abc的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c，abc的面積為s，內(nèi)切圓半徑為r，則r；類比這個(gè)結(jié)論可知:四面體p.abc的四個(gè)面的面積分別為s1，s2，s3,s4，內(nèi)切球的半徑為r，四面體pabc的體積為v,則r（)a. b。c。 d。解析：選c將abc的三條邊長(zhǎng)a，b，c類比到四面體p。abc的四個(gè)面面積s1，s2，s3，s4，將三角形面積公式中系數(shù)，類比到三棱錐體積公式中系數(shù)，從而可知選c。證明如下：以四面體各面為底，內(nèi)切球心o為頂點(diǎn)的各三棱錐體積的和為v,vs1rs2rs3rs4r，r.5觀察下圖中各正方形圖案，

18、每條邊上有n(n2)個(gè)圓圈，每個(gè)圖案中圓圈的總數(shù)是s,按此規(guī)律推出s與n的關(guān)系式為_解析：每條邊上有2個(gè)圓圈時(shí)共有s4個(gè)；每條邊上有3個(gè)圓圈時(shí),共有s8個(gè)；每條邊上有4個(gè)圓圈時(shí),共有s12個(gè)可見每條邊上增加一個(gè)點(diǎn)，則s增加4,s與n的關(guān)系為s4（n1)（n2）答案：s4(n1）（n2）6可以運(yùn)用下面的原理解決一些相關(guān)圖形的面積問題：如果與一固定直線平行的直線被甲、乙兩個(gè)封閉的圖形所截得的線段的比都為k,那么甲的面積是乙的面積的k倍你可以從給出的簡(jiǎn)單圖形、中體會(huì)這個(gè)原理現(xiàn)在圖中的兩個(gè)曲線的方程分別是1（ab0）與x2y2a2，運(yùn)用上面的原理，圖中橢圓的面積為_解析:由于橢圓與圓截y軸所得線段之比為,即k,橢圓面積sa2ab。答案:ab7觀察下列兩個(gè)等式：sin210cos240sin 10cos 40；sin26cos236sin 6cos 36.由上面兩個(gè)等式的結(jié)構(gòu)特征，你能否提出一個(gè)猜想？并證明你的猜想解：由知若兩角差為30，則它們的相關(guān)形式的函數(shù)運(yùn)算式的值均為.猜想：若30,則30，sin2cos2(30）sin cos（30）。下面進(jìn)行證明：左邊sin2cos(30)cos（30）sin sin2sin2cos2sin2右邊所以，猜想是正確的故sin2cos2（30）sin cos(30).8已知在rtabc中,abac，adb