2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 .2 復(fù)數(shù)的四則運算 第一課時 復(fù)數(shù)的加減與乘法運算教學(xué)案選修2-2

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第一課時復(fù)數(shù)的加減與乘法運算復(fù)數(shù)的加減法已知復(fù)數(shù)z1abi，z2cdi(a,b，c，dr)問題1：多項式的加減實質(zhì)是合并同類項，類比想一想復(fù)數(shù)如何加減？提示:兩個復(fù)數(shù)相加(減）就是把實部與實部、虛部與虛部分別相加(減）問題2：復(fù)數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律嗎？提示：滿足1復(fù)數(shù)的加法、減法法則設(shè)z1abi,z2cdi(a，b，c,dr),則z1z2（abi)(cdi）（ac)（bd)i，z1z2（abi）（cdi)(ac）（bd）i.即兩個復(fù)數(shù)相加（減）就是把實部與實部、虛部與虛部分別相加(減）2復(fù)數(shù)加法的運算律（1)交換律:z1z2z2z1；(2）結(jié)合律：(z1z2）z

2、3z1(z2z3）.復(fù)數(shù)的乘法設(shè)z1abi，z2cdi，(a，b，c,dr）問題1：如何規(guī)定兩復(fù)數(shù)相乘？提示：兩個復(fù)數(shù)相乘，類似于兩個多項式相乘，只要在所得的結(jié)果中把i2換成1,并且把實部與虛部分別合并即可即z1z2(abi）（cdi）acbciadibdi2(acbd）(bcad）i.問題2：試驗復(fù)數(shù)乘法的交換律提示：z1z2（abi)（cdi)(acbd）（bcad）i,z2z1（cdi)(abi)（acbd)（bcad）i.故z1z2z2z1。1復(fù)數(shù)的乘法設(shè)z1abi，z2cdi是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的積(abi）（cdi）acbciadibdi2(acbd)（adbc）i(a，b，c

3、，dr)2復(fù)數(shù)乘法的運算律對于任意z1、z2、z3c，有交換律z1z2z2z1結(jié)合律（z1z2)z3z1(z2z3）乘法對加法的分配律z1（z2z3）z1z2z1z3共軛復(fù)數(shù)問題：復(fù)數(shù)34i與34i，abi與abi（a，br）有什么特點？提示：兩復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)1把實部相等，虛部互為相反數(shù)的兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)2復(fù)數(shù)zabi的共軛復(fù)數(shù)記作,即abi.3當(dāng)復(fù)數(shù)zabi的虛部b0時，z，也就是說，實數(shù)的共軛復(fù)數(shù)仍是它本身1復(fù)數(shù)加、減法的規(guī)定:實部與實部相加(減）、虛部與虛部相加(減）兩個復(fù)數(shù)的和或差仍是一個復(fù)數(shù)2復(fù)數(shù)的乘法與多項式的乘法是類似的，有一點不同即必須在所得結(jié)果中把i2

4、換成1，再把實部，虛部分別合并、兩個復(fù)數(shù)的積仍是一個復(fù)數(shù),可推廣到任意多個復(fù)數(shù),任意多個復(fù)數(shù)的積仍然是一個復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的加減運算例1計算：（1)（35i）(34i）；(2)(32i）(45i）；(3)（55i)(22i)(33i）思路點撥解答本題可根據(jù)復(fù)數(shù)加減運算的法則進行精解詳析（1)(35i）（34i）（33)（54)i6i。（2)(32i)(45i）(34)2(5)i77i。（3)(55i)（22i）(33i）(523)5(2）3i10i。一點通復(fù)數(shù)加減運算法則的記憶方法:（1）復(fù)數(shù)的實部與實部相加減，虛部與虛部相加減(2)把i看作一個字母，類比多項式加減中的合并同類項1(35i）(4i）(

5、34i）_。解析：（35i）(4i)(34i)（343）(514）i410i。答案:410i2若（7i5)（98i)（xyi）2，則xy_。解析:（7i5)（98i）(xyi)（59x）(78y)i(x4）(y1)i.（x4)(y1)i2，即x42，y10。x6，y1。xy5.答案：53計算:(1）(12i)(34i）（56i)；（2)5i(34i)(13i)解:（1)原式（42i）(56i)18i；(2）原式5i（4i)44i。復(fù)數(shù)的乘法例2計算:(1)（1i）（1i)(1i)；(2）(2i)(15i）（34i)2i.思路點撥應(yīng)用復(fù)數(shù)的乘法法則及乘法運算律來解精解詳析（1）（1i)(1i）(

6、1i）1i21i1i.（2)（2i)(15i）（34i）2i（210ii5i2)（34i）2i(211i5）(34i)2i（311i）(34i）2i(912i33i44i2）2i5321i2i5323i.一點通（1）三個或三個以上的復(fù)數(shù)相乘，可按從左向右的順序運算,或利用結(jié)合律運算混合運算的順序與實數(shù)的運算順序一樣(2)平方差公式，完全平方公式等在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立一些常見的結(jié)論要熟悉：i21,(1i)22i.4（浙江高考改編)已知i是虛數(shù)單位，則（1i)（2i）_。解析：(1i)(2i)2i2ii213i。答案：13i5若（1i)(2i）abi,其中a，br，i為虛數(shù)單位，則ab_。解析：(

7、1i）(2i)13iabi，a1,b3，故ab4.答案:46計算下列各題(1）（1i）2；(2）(13i）（34i）；(3）(1i)(1i)解：(1）（1i）212ii22i.(2)(13i)（34i）34i9i12i2913i.（3)法一：（1i)（1i）(1i)(1i）iii21i。法二：原式(1i）(1i）（1i2）21i.共軛復(fù)數(shù)的概念例3已知zc，為z的共軛復(fù)數(shù),若z3i13i，求z.思路點撥.精解詳析設(shè)zabi（a，br），則abi(a，br)，由題意得（abi）(abi）3i(abi）13i，即a2b23b3ai13i，則有解得或所以z1或z13i。一點通（1）實數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它

8、本身,即zrz,利用此性質(zhì)可以證明一個復(fù)數(shù)是實數(shù)(2)若0且z0，則z為純虛數(shù),利用此性質(zhì)可證明一個復(fù)數(shù)是純虛數(shù)7已知復(fù)數(shù)z1i，為z的共軛復(fù)數(shù)，則zz1_。解析:z1i，1i，z（1i）(1i）2，zz12（1i）121i1i。答案：i8復(fù)數(shù)z滿足(12i）43i，則z_。解析：設(shè)zabi，則abi.（12i）(abi)43i，abi2ai2b43i，即（a2b）(2ab)i43i,解之得a2，b1.z2i。答案:2i9已知復(fù)數(shù) z1i，求實數(shù) a，b 使 az2b(a2z）2成立解:z1i，az2b(a2b)（a2b)i，(a2z）2(a2）244（a2)i（a24a）4(a2）i。a，b

9、 都是實數(shù)，由 az2b(a2z)2，得兩式相加，整理得 a26a80。解得 a12,a24，對應(yīng)得 b11,b22.所求實數(shù)為 a2，b1 或 a4，b2.1復(fù)數(shù)的加減運算把復(fù)數(shù)的代數(shù)形式zabi看作關(guān)于“i”的多項式，則復(fù)數(shù)的加法、減法運算，類似于多項式的加法、減法，只需要“合并同類項就行，不需要記加、減法法則2復(fù)數(shù)的乘法運算復(fù)數(shù)的乘法可以把虛數(shù)單位i看作字母，按多項式乘法的法則進行，注意要把i2化為1，進行最后結(jié)果的化簡一、 填空題1計算（i3）(25i)的結(jié)果為_解析:（i3)（25i）i325i6i5.答案：56i2若復(fù)數(shù)z12i，（i為虛數(shù)單位）則zz的實部是_解析：z12i,12

10、i,z(12i）（12i)5，zz512i62i。答案：63已知3i(43i）z(67i)，則z_。解析：3i(43i)z（67i）z3i（43i）（67i)(346)(137）i55i.答案：55i4(北京高考)若(xi)i12i(xr)，則x_。解析：（xi）i1xi12i，由復(fù)數(shù)相等的定義知x2.答案：25已知z134i,z2ti，且z12是實數(shù)，則實數(shù)t_。解析：z2ti,2ti，z12(34i）（ti)3t3i4ti4i2（3t4)(4t3)i，又z12是實數(shù)，4t30,即t。答案:二、解答題6計算：(1）；(2)(32i)（2）i；(3）(63i)（32i）(34i）(2i）解：（1）原式ii；(3)(32i）（2)i3（22）i3i；(3）(63i）（32i)(34i)（2i)633(2）32（4)1i82i。7計算：（1)（4i6)2i；(2)(1i)解：(4i6）2i2i6i239i2i76i。（2）(1i）(1i）(1i)ii.8(江西高考改編）是z的共軛復(fù)數(shù)若z2，(z)i2(i為虛數(shù)單位),求z.解：法一：設(shè)